甘肃省陇南市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份甘肃省陇南市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共9页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知正实数满足，则的最小值为，若复数等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：湘教版必修第一册，必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
3．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内
D．空间两两相交的三条直线在同一平面内
4．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，
，则小胡同学在下次应计算的函数值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
8．已知平面向量满足，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）
A．的虚部为B．的实部为1
C．在复平面上对应的点位于第一象限D．
10．已知，则关于事件与事件，下列说法正确的有（ ）
A．事件与可能相互独立B．事件与一定不互斥
C．D．
11．已知圆锥的母线长为为底面圆的一条直径，．用一平行于底面的平面截圆锥，得到截面圆的圆心为．设圆的半径为，点为圆上的一个动点，则（ ）
A．圆锥的体积为
B．的最小值为
C．若，则圆锥与圆台的体积之比为
D．若为圆台的外接球球心，则圆的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为______．
13．若某次调查样本数据为，且是方程的两根，则这个样本的方差是______．
14．若实数满足，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
的内角的对边分别为．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
16．（本小题满分15分）
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求的值；
（2）若，且为第一象限角，求的值．
17．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若函数在区间上的最大值和最小值之和为，求实数的值．
18．（本小题满分17分）
举办网络安全宣传周、提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容．为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分．甲、乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立．
（1）求甲队总得分为1分的概率；
（2）求两队积分相同的概率．
19．（本小题满分17分）
如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，
分别是线段上的动点，且．
（1）若二面角的大小为，求的长；
（2）当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
陇南一中202312024学年度第二学期期末考试・高一数
学参考答案、提示及评分细则
1．B，所以，故选B．
2．D，则有．故选D．
3．C如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；
如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误；
两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，故C正确；
空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误．故选C．
4．C对于选项A：根据指数函数的单调性可知该函数在上为单调递减函数，故错误；
对于选项B：根据幂函数的性质可知该函数在上为单调递减函数，故错误；
对于选项C：根据对数函数的单调性可知该函数在上为单调递增函数，故正确；
对于选项D：根据二次函数的性质可知该函数在上不单调，故错误．故选C．
5．A因为，且，解得或又，所以
所以，所以．
故选A．
6．D因为，所以小胡同学在下次应计算的函数值为．故选D．
7．C（当且仅当时，取“=”号）．故选C．
8．B因为，且，所以，，所以，令，所以，其中，所以，即的取值范围是．故选B．
9．BC因为复数，所以的虚部为5，实部为1，故A错误，B正确；，所以在复平面上对应的点为，位于第一象限，故C正确；，D错误．故选BC．
10．BCD由，可知事件与不是相互独立事件，故A不正确；
由，可知事件与一定不互斥，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
11．ABD由圆锥的母线长为，底面圆的半径为2，可得圆锥的高．
考察A选项：，A选项正确；
考察B选项：已知，设点在底面的投影为，则，所以，B选项正确；
考察C选项：当时，，所以，又，所以，C选项错误；
考察D选项：若点是圆台的外接球球心，则由，解得，所以，D选项正确．故选ABD．
12． ．
13．4，不妨，样本平均数是4，根据方差公式得：
14．1令，易知为单调增函数，有且仅有一个零点，又由题可知，即，所以．
15．解：（1）因为，所以，
因为，所以．
（2）因为，所以．
因为，所以为锐角，
因为，所以．
所以．
故的面积为．
16．解：（1）由三角函数的定义有，，
（2）由题意有，
17．解：（1）不等式可化为
①当时，不等式可化为，解得，此时不等式的解集为
②当时，不等式可化为，解得，此时不等式的解集为
（2）
由函数单调，又由
有，解得．
18．解：（1）记“甲队总得分为1分”为事件，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，
；
（2）甲队积0分，1分，2分的概率分别为，
乙队积0分，1分，2分的概率分别为，
记两队积分同为0分，1分，2分的概率分别为事件，
两队得分相互独立，互不影响，
，
两队积分相同的概率为．
19．解：（1）取中点，过点作，交于点，连接．
因为底面是边长为2的菱形，，
所以为等边三角形．
由直四棱柱，可得平面，
平面，
，
所以和全等，可得．
因为为中点，所以．
又因为，
所以为二面角的平面角，即．
在平面中，，
所以，则有，所以．
在Rt中，，
则，
解得；
（2）因为平面，所以，
因为三棱锥的体积为，
所以，解得，
因为平面，所以．
在中，，
所以．
设到平面的距离为，
在中，，
所以，
所以．
因为，所以，解得．
在中，由余弦定理得，
所以．
设与平面所成的角为．
所以．
令，则．
因为，所以，所以，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是．