数学-江西省多所学校2025届高三第一次大联考试卷【含答案】

这是一份数学-江西省多所学校2025届高三第一次大联考试卷【含答案】，共12页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，曲线在点处的切线方程为，已知锐角满足，则，已知双曲线，则等内容，欢迎下载使用。

高三数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查7名同学在某周周日校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：.则该组数据的中位数和平均数分别为（ ）
A.60，58 B.60，60 C.55，58 D.55，60
3.已知为实数，则（ ）
A. B.2 C.1 D.
4.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知锐角满足，则（ ）
A. B. C. D.
6.过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知双曲线，则（ ）
A.的取值范围是
B.时，的渐近线方程为
C.的焦点坐标为
D.可以是等轴双曲线
10.下列函数中，存在数列使得和都是公差不为0的等差数列的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A.的图象关于点对称
B.是以8为周期的周期函数
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.二项式的展开式中的系数为__________.
13.已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________.
14.已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间（单位：）与位移（单位：）之间的关系，得到如下表数据：
画出散点图观察可得与之间近似为线性相关关系.
（1）求出关于的线性回归方程；
（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求前3项残差的和.
参考数据：，参考公式：.
16.（15分）已知的内角的对边分别为，且.
（1）证明：；
（2）若，求的周长.
17.（15分）已知直线交抛物线于两点，为的焦点，且.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
18.（17分）如图，在棱长为4的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点.
（1）当时，求四棱锥的体积；
（2）当直线与平面所成的角为时，求的值.
19.（17分）定义：若对于任意，数列满足：①；②，其中的定义域为，则称关于满足性质.
（1）请写出一个定义域为的函数，使得关于满足性质；
（2）设，若关于满足性质，证明：；
（3）设，若关于满足性质，求数列的前项和.
2025届新高三第一次大联考
高三数学参考答案及评分细则
1.【答案】D
【解析】，故.故选D.
2.【答案】B
【解析】将样本数据从小到大排列为.易得中位数为60，平均数为.故选B.
3.【答案】D
【解析】由题意可得，由为实数，得，即，则，故.故选D.
4.【答案】C
【解析】因为，所以在点处的切线斜率为，所以切线方程为，即.故选C.
5.【答案】A
【解析】因为，所以，注意到，而在上单调递减，从而，即.故选A.
6.【答案】B
【解析】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线，曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示），设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点，则应位于直线和切线之间，所以.由，由，得.故直线斜率的取值范围为.故选B.
7.【答案】D
【解析】设，由题意可知，线段的中点是直线与直线的交点，联立解得，另一方面，联立得.易知，由韦达定理得，解得，所以，故离心率.故选D.
8.【答案】B
【解析】由知为锐角，又因为，所以.设，即
.由，得，又，故.则，因此，即.在中，由正弦定理，以及，整理计算得.故选B.
9.【答案】ACD（每选对1个得2分）
【解析】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；对于B，时，双曲线方程为，其渐近线方程为，故B错误；对于C，由A得0，设的半焦距为，则，故其焦点坐标为，故C正确；对于D，若为等轴双曲线，则，故D正确.故选ACD.
10.【答案】AD（每选对1个得3分）
【解析】该题可转化为判断选项所给函数与一次函数是否存在3个交点，且其中一个交点是另外两个交点的中点的相关问题，过原点的直线与的对称交点均满足题意，故A正确；由于与一次函数不可能有三个交点，故B错误；为偶函数，且与二次函数图象形状一致，与一次函数不可能有三个交点，故C错误；过原点的直线可以与奇函数存在三个交点，故D正确.故选AD.
11.【答案】ABC（每选对1个得2分）
【解析】由题意，且，即①，用替换中的，得②，由①+②得，所以的图象关于点对称，且，故A正确；由，可得，，所以，所以是以8为周期的周期函数，故B正确；由①知，则，所以，故C正确；又因为，所以，令，则有2，令，则有，令，则有，所以
，所以
，故D错误.故选ABC.
12.【答案】15
【解析】由二项式的展开式的通项为，令得其展开式中的系数为.
13.【答案】
【解析】由题意可得，当时，，由函数在内恰有两个极值点，可知，
解得.
14.【答案】
【解析】设这三个正整数分别为，则题意可得，所以随机变量可能取值为1和2，用隔板法可求得：事件总情况为种，当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种；②三个数中有两个1，有种，所以时，；当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种；②三个数中有两个2，有种，所以时，，所以.
15.解：（1）依题意可得
所以关于的线性回归方程为.
（2）根据（1）得到；
；
，
所以.
16.（1）证明：由，得，
由正弦定理得.
因为，所以.
（2）解：因为，所以，
由余弦定理得，
即，解得，
所以的周长为.
17.（1）证明：由题意联立
得，
.
（2）解：设，由（1）得，，即，
即，
整理得，
将代入并整理得，，
，且，解得或.
18.解：（1）由题意平面平面，
所以，又因为，
得，所以，
因为，
所以，
故，又，
故平面，
所以.
（2）如图，易知两两垂直，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
由题知，则，
故，
设平面的一个法向量为，
由得
取，得，故，
又，
，
即，
化简可得，
解得或（舍去）.
19.（1）解：示例：（注：所有的定义域为的偶函数均符合题意）.
（2）证明：因为，所以，
移项得.
因为，所以，故.
由基本不等式，当且仅当时取到等号，
而，故，即.
（3）解：由题意，，
故，
设，
则，
故在上单调递增.而，
故时，时，，
因此在上单调递减，在上单调递增.
不妨设，因为，
所以当时，，当或时，，
且时，时，，
故对于任意，方程有且只有两个不同的根，
又，故的图象关于对称，故，
因此数列的前项和为.2.8
2.9
3
3.1
3.2
24
25
29
32
34