[数学][三模]浙江省诸暨市2024届高三下学期三模数学试题

这是一份[数学][三模]浙江省诸暨市2024届高三下学期三模数学试题，共4页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。

考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知抛物线： ， 则其焦点到准线的距离为（ ）
A . B . C . 1 D . 4
2. 若关于的不等式的解集为 ， 则（ ）
A . ， B . ， C . ， D . ，
3. 有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ）
A . 第75百分位数 B . 平均数 C . 极差 D . 众数
4. 在的展开式中，含项的系数是10，则（ ）
A . 0 B . 1 C . 2 D . 4
5. 若非零向量 ， 满足 ， 则在方向上的投影向量为（ ）
A . B . C . D .
6. 已知 ， 为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A . 若 ， 则曲线的离心率 B . 若 ， 则曲线的离心率 C . 若曲线上恰有两个不同的点 ， 使得 ， 则 D . 若 ， 则曲线上存在四个不同的点 ， 使得
7. 已知函数满足：对任意实数 ， ， 都有成立，且 ， 则（ ）
A . 为奇函数 B . 为奇函数 C . 为偶函数 D . 为偶函数
8. 设 ， 已知 ， 若恒成立，则的取值范围为（ ）
A . B . C . D .
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。(共3题；共18分)
9. 若 ， 则（ ）
A . B . C . D .
10. 已知 ， 为圆上的两个动点，点 ， 且 ， 则（ ）
A . B . C . 外接圆圆心的轨迹方程为 D . 重心的轨迹方程为
11. 已知函数有两个零点 ， ， 则下列说法正确的是（ ）
A . 的值可以取 B . 的值可以取 C . 的值关于单调递减 D .
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. 若复数满足： ， 则复数的虚部为____________________．
13. 记为正项数列的前项积，已知 ， 则____________________；____________________．
14. 若正四面体的棱长为1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体 ， ， ， 则外接圆的半径是____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共77分)
15. 已知函数的所有正零点构成递增数列 ．
（1） 求函数的周期和最大值；
（2） 求数列的通项公式及前项和 ．
16. 如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面 ， ， 点是的中点， ．
（1） 求证：为三棱锥外接球的球心；
（2） 求直线与平面所成角的正弦值；
（3） 若 ， ， 求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值．
17. 已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．
（1） 设直线的斜率为 ， 直线的斜率为 ， 求的值；
（2） 若直线与双曲线在点处的切线交于点 ， 求的面积．
18. 如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥 ， 现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行。
（1） 求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率；
（2） 在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为 ， 求的分布列及其数学期望；
（3） 设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为 ， 求（用表示）。
19. 若函数在区间上有定义，且 ， ， 则称是的一个“封闭区间”．
（1） 已知函数 ， 区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
（2） 已知函数 ， 设集合 ．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．
证明：存在唯一长度为的闭区间 ， 使得是的一个“封闭区间”．题号
一
二
三
四
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