内蒙古自治区锡林郭勒盟2023-2024学年高二下学期末学业质量抽测数学试题（原卷版+解析版）

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高二数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用解一元二次不等式及求指数函数值域将集合进行化简后再判断交集.
【详解】依题意，，，故，故选C．
2. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的单调性，求得的取值范围，即求解.
【详解】由对数函数性质，可得，
所以.
故选：A.
3. 设是的导函数，且，则（ ）
A. 18B. 9C. 6D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的定义计算即可.
【详解】.
故选：A.
4. 已知事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用条件概率公式求.
【详解】由条件概率公式知：，
则.
故选：B
5. 某企业举办职工运动会，有篮球、足球、羽毛球、乒乓球4个项目.现有，两个场地承担这4个项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A. 10种B. 12种C. 14种D. 20种
【答案】C
【解析】
【分析】分一个场地承办一个项目，另一个场地承办三个项目与每个场地都承办两个项目两种情况讨论，按照先分组，再分配的方法计算可得.
【详解】若一个场地承办一个项目，另一个场地承办三个项目，则有种安排；
若每个场地都承办两个项目，则有种安排；
综上可得一共有种不同的安排方法.
故选：C
6. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，讨论当0【详解】的定义域为R.
因为，
所以为奇函数，故排除A、C.
当时，有，所以，，所以，故排除B.
故选：D
7. 某生产线正常生产状态下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（ ）
A. -8B. -15C. 8D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布的性质得到方程，解出即可.
【详解】根据正态分布的性质可得：
，
解得，
故选：B.
8. 已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的一个周期是2
B. 是奇函数
C. 不一定是偶函数
D. 的图象关于点中心对称
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，根据函数周期性的定义分析判断，对于BC，根据函数奇偶性的定义结合题意分析判断，对于D，根据函数的周期性、偶函数和对称性分析判断即可.
【详解】对于A，因为定义在上的函数满足，
所以，所以，
所以，所以的一个周期是4，所以A错误，
对于BC，因为，所以，
因为函数为奇函数，所以，
所以，所以的图象关于点对称，
所以，所以，
所以是偶函数，不是奇函数，所以BC错误，
对于D，因为为偶函数，的图象关于点对称，
所以的图象关于点对称，
因为的一个周期是4，所以的图象关于点对称，
即的图象关于点中心对称，所以D正确，
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1
B. 经验回归方程为时，变量x和y负相关
C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，，，，其经验回归方程必过点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，线性相关系数r的性质可得A不正确；对于B，根据斜率小于，可得B正确；对于C，根据残差分析结论可得C正确；对于D，根据经验回归方程必过点，可得D正确.
【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故A不正确；
对于B，因为斜率小于，所以变量x和y负相关，故B正确；
对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；
对于D，因为经验回归方程必过点，所以，，所以，故D正确.
故选：BCD
10. 若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 展开式中各项系数和为
C. 展开式中常数项为D. 展开式中各二项式系数和为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据二项式定理以及二项展开式系数的性质，运用赋值法和二项式展开项公式求解.
【详解】因为第5项和第6项是相邻的两项， ，A正确；
令 ，则有 ，B正确；
， ，常数项 ，C正确；
二项式系数之和 ，错误；
故选：ABC.
11. 已知幂函数，则下列选项中，能使得成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据幂函数的定义可得，由题设只需即可，结合指对幂函数的性质确定各选项中a、b的关系即可.
【详解】由题设，，可得，故，
所以，要使，则，即.
A：，符合；
C：，符合；
B，D：，均有可能为负数，不符合.
故选：AC.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线过原点的切线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设切点，求导，即可根据点斜式求解切线方程，进而根据直线过原点即可求解切点坐标，进而可求解.
【详解】由得
设切点为，则切线方程为
由于切线经过原点，所以，解得，
所以切线方程为，即，
故答案为：
13. 已知直角三角形的三边长之和为1，则该三角形面积的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件得，利用基本不等式可求面积的最大值.
【详解】设直角三角形的两直角边分别为，斜边为，其中
因为直角三角形的三边长之和为1，则，所以，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立,
所以的最大值为，
故答案为：
14. 2160有__________个不同的正因数．
【答案】40
【解析】
【分析】把2160进行质因数分解，然后结合分步乘法原理计算．
【详解】，它的正因数即为的幂的乘积，
因此正因数个数为，
故答案为：40.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球．
（1）求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率；
（2）设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列．
【答案】（1）
（2）分布列见解析
【解析】
【分析】（1）根据取球的结果结合古典概型分析求解；
（2）由随机变量的可能取值，计算相应的概率，进而求分布列.
【小问1详解】
设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”，
则取出的2个球没有白球，得，
所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为．
【小问2详解】
依题意，随机变量的取值为1，2，3，
， ， ，
所以的分布列为：
16. 关于的方程满足下列条件，求的取值范围.
（1）有两个正根；
（2）一个根大于1，一个根小于1；
（3）一个根在内，另一个根在内；
【答案】（1）；
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据韦达定理和根的判别式得到不等式，求出；
（2）令，设的两个根为，，故只需，求出答案；
（3）根据方程一个根在内，另一个根在内，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
令，设的两个根为.
由题得，解得.
【小问2详解】
令，设的两个根为.
若方程的一个根大于1，一个根小于1，
由于，开口向上，
故只需，解得.
【小问3详解】
令，设的两个根为.
若方程一个根在内，另一个根在内，
结合开口向上，
则，解得.
17. 为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测2026年该市新能源汽车充电站的数量.
参考数据：.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.
【答案】（1）理由见解析
（2），个
【解析】
【分析】（1）分别求出，再根据公式求出即可得出结论；
（2）利用最小二乘法求出，即可求得回归方程，再令即可得解.
小问1详解】
,
,
则，
因为，
所以已知可用线性回归模型拟合y与x的关系；
【小问2详解】
，
。
，
所以，
当时，，
即预测2026年该市新能源汽车充电站的数量为个.
18. 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）70台，最大利润是1760万元.
【解析】
【分析】（1）分、两种情况分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数的性质及基本不等式求出各段的最大值，即可得解.
【小问1详解】
由题意可得：当时，，
当时，，
所以．
【小问2详解】
当时，，
所以当时（万元）；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时万元.
综上可知，该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元.
19. 已知函数.
（1）当，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：若有两个零点，则.
【答案】（1）
（2）
（3）证明过程见解析
【解析】
分析】（1）当时，只需分别求出即可得解；
（2）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（3）利用分析法，转化要证明：当时，，再利用导数即可得证.
【小问1详解】
当，，
，
因为，
所以函数的图象在点处的切线方程为.
【小问2详解】
的定义域为，则，
令,得
当在上单调递减，
当在上单调递增，
，
若则,即，
所以的取值范围为.
【小问3详解】
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设，
要证,即证，
因为,即证，
又因为,故只需证，
即证，
即证当时，有成立，
下面证明时，，
设，
则
，
设，
所以，而，
所以，所以，
所以在单调递增，
即，所以，
令，
，
所以在单调递减，
即，所以；
综上, ，所以.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是将问题转换为：当时，，利用导数即可顺利得解.1
2
3
年份编号x
1
2
3
4
5
年份
2018
2019
2020
2021
2022
新能源汽车充电站数量y/个
37
104
147
186
226