2024年上海市夏季高考数学试卷

这是一份2024年上海市夏季高考数学试卷，共12页。

2．已知，则（3） ．
3．已知，则不等式的解集为 ．
4．已知，，且是奇函数，则 ．
5．已知，，，则的值为 ．
6．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ．
7．已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么到轴的距离为 ．
8．某校举办科学竞技比赛，有、、种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
9．已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
10．设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
11．已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则 ．（精确到0.1度）
12．无穷等比数列满足首项，，记，，，，若对任意正整数，集合是闭区间，则的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．
13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
14．下列函数的最小正周期是的是
A．B．C．D．
15.已知集合是空间直角坐标系内的点集，为坐标原点，任取、、，均存在不全为0的实数、、，使得. 已知，则的充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
16．已知函数的定义域为，定义集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是
A．存在是偶函数
B．存在在处取最大值
C．存在为严格增函数
D．存在在处取到极小值
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（14分）如图为正四棱锥，为底面的中心．
（1）若，，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小．
18．（14分）已知．
（1）若过，求的解集；
（2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围．
19．（14分）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到．
（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
20．（18分）双曲线，、为左右顶点，过点的直线l交双曲线于两点P、Q.
（1）当离心率时，求b的值；
（2）当，△为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标；
（3）设直线交于点（为坐标原点），若，求取值范围.
21．（18分）对于一个函数和一个点，定义，若存在，使得是的最小值，则称点是点的最近点.
（1）对于和点，求证：存在点，使得点是点的最近点；
（2）对于和，试判断是否存在一个点，它是点的最近点，且直线与在点处的切线垂直；
（3）已知定义域为的函数存在导函数，函数在定义域上恒正，，. 若对任意，都存在点，使得同时是点和点的最近点，试判断函数的单调性.
2024年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1．设全集，2，3，4，，集合，，则 ，3， ．
【解析】：全集，2，3，4，，集合，，则，3，．故答案为：，3，．
2．已知，则（3） ．
【解析】：，则（3）．故答案为：．
3．已知，则不等式的解集为 ．
【解析】：可化为，解得，
故不等式的解集为：．故答案为：．
4．已知，，且是奇函数，则 0 ．
【解析】：由题意，可得，解得，
当时，，满足，
即是奇函数，故符合题意．故答案为：0．
5．已知，，，则的值为 15 ．
【解析】：由，，，可得，解得．故答案为：15．
6．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 10 ．
【解析】：由题意，展开式中各项系数的和是，所以，
则该二项式的通项公式是，
令，解得，故项的系数为．故答案为：10．
7．已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么到轴的距离为 ．
【解析】：设坐标为，，
到准线的距离为9，即，解得，代入抛物线方程，可得，
故到轴的距离为．故答案为：．
8．某校举办科学竞技比赛，有、、三种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【解析】：由题可知，题库占比为，题库占比为，题库占比为，
故．故答案为：．
9．已知虚数，其实部为1，且，则实数为 2 ．
【解析】：虚数，其实部为1，则可设，
所以，因为，
所以，解得，所以．故答案为：2．
10．设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 329 ．
【解析】：由题可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数，
先研究集合中无重复数字的三位偶数：
（1）若个位为0，这样的偶数有种；
（2）若个位不为0，这样的偶数有种；
所以集合元素个数最大值为种．故答案为：329．
11．已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则 ．（精确到0.1度）
【解析】：解法一：在中，根据正弦定理可得，
设，则，
所以，①
在中，根据正弦定理可得，
，②
联立①②，因为，
所以，解得．故答案为：．
解法二：设，，
在△中，，在△中，，
所以，得解得
12. 无穷等比数列满足首项，，记，若对任意正整数n，集合是闭区间，则q的取值范围是
【解析】不妨设
若，则
若，则
若，，则
因为集合是闭区间，所以，
即，得，所以 故答案为：，．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．
13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
【解析】：成对数据相关分析中，如果相关系数为正，当的值由小变大，的值具有由小变大的变化趋势，
所以、、选项错误．故选：．
14．下列函数的最小正周期是的是
A．B．C．D．
【解析】：对于，，则，满足条件，所以正确．
对于，，则，不满足条件，所以不正确．
对于，，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以不正确．
对于，，则，不满足条件，所以不正确．故选：．
15.已知集合是空间直角坐标系内的点集，为坐标原点，任取、、，均存在不全为0的实数、、，使得. 已知，则的充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】：不全为0的实数，，，使得．
所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，
又因为，0，，所以对于三者可以构成一组基，
故不能推出，0，，故错误；
对于，，0，，，0，，且，0，，，0，共线，
所以，0，可以属于，此时三者不共面，故错误；
对于，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出，0，，故正确；
对于，三者无法构成一组基，故不能推出，0，，故错误．故选：．
16. 已知函数的定义域为，集合,在使得的所有中，存在满足（ ）
A. 是偶函数； B. 的最大值是；
C. 严格递增； D. 在处取极小值.
【解析】：对于，时，，
当时，，，
对于任意，（1）恒成立，
若是偶函数，此时（1），矛盾，故错误；
对于，若函数图像如下：
当时，，时，，，当，，
所以存在在处取最大值，故正确；
对于，在时，若函数严格增，
则集合的取值不会是，，而是全体定义域，故错误；
对于，若存在在处取到极小值，
则在左侧存在，，与集合定义矛盾，故错误．故选：．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（14分）如图为正四棱锥，为底面的中心．
（1）若，，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小．
【解析】：（1）因为是正四棱锥，
所以底面是正方形，且底面，
因为，所以，
因为，所以，
所以绕旋转一周形成的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，
所以；
（2）解法一：如图建立空间直角坐标系，
因为，由题知是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，
设，
则，，
则，0，，，0，，，，，，0，，，，，，0，，，
故，，，
设为平面的法向量，
则，即，令，则，，
所以，
则，
设直线与面所成角为，
因为，，则．
解法二：（2）设，则，
所以，
因为为中点，为中点，所以，所以
因为，，所以平面，得
所以平面，得即是直线与平面所成角，
因为△为等腰直角三角形，为中点，所以
即即是直线与平面所成角的大小为
18．（14分）已知．
（1）若过，求的解集；
（2）存在使得、、成等差数列，求的取值范围．
【解析】：（1）由过可得，则，解得（负值舍去），
因为在上是严格增函数，，
则，解得，故所求解集为；
（2）因为、、成等差数列，
所以，即有解，
化简可得，
则且，
故在上有解，
又，故在上，，
故，解得或，
又，所以，故的取值范围为．
19．（14分）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？
（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到．
（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
【解析】：（1）580人中体育锻炼时长大于1小时人数占比，
该地区29000名初中学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为；
（2）该地区初中学生锻炼平均时长约为
；
（3）由题意可得列联表，
①提出零假设：成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关，
②确定显著性水平，，
③，
④否定零假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．

20．（18分）双曲线，、为左右顶点，过点的直线l交双曲线于两点P、Q.
（1）当离心率时，求b的值；
（2）当，△为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标；
（3）设直线交于点（为坐标原点），若，求取值范围.
【解析】：（1）因为，即，所以，又因为，所以，
又因为，所以，所以（负舍）；
（2）因为△为等腰三角形，
①若为底，则点在线段的中垂线，即上，与双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去；
②若为底，则，与矛盾，故舍去；
③若为底，则，
设，，，，
则，即，
又因为，得，得，
解得，即；
（3）由，设，，，，
则，，设直线，
联立，得，
则，，
所以，，，，
又因为，得，
则，即，
化简后可得到，
再由韦达定理得，化简得，
所以，所以，解得，
．
21．（18分）对于一个函数和一个点，定义，若存在，使得是的最小值，则称点是点的最近点.
（1）对于和点，求证：存在点，使得点是点的最近点；
（2）对于和，试判断是否存在一个点，它是点的最近点，且直线与在点处的切线垂直；
（3）已知定义域为的函数存在导函数，函数在定义域上恒正，，. 若对任意，都存在点，使得同时是点和点的最近点，试判断函数的单调性.
【解析】：（1）当时，，
当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，
使得该点是在的“最近点”；
（2）由题设可得，
则，因为，均为上单调递增函数，
则在上为严格增函数，
而，故当时，，当时，，
故，此时，
而，，故在点处的切线方程为，
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
（3）设，
，
而，
，
若对任意的，存在点同时是，在的“最近点”，
设，，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，
则存在，使得，
即，①
，②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，
则恒成立，
接下来证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，，
即，③
，④
③④得，
即，因为
则，解得，
则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减．
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时间范围
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学业成绩
优秀
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44
42
3
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不优秀
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147
137
40
27
时间范围
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学业成绩
优秀
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不优秀
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其他
总数
优秀
45
50
95
不优秀
177
308
485