2024年四川省成都高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试中考数学预测试卷（一）

这是一份2024年四川省成都高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试中考数学预测试卷（一），共19页。试卷主要包含了关于二次函数，下列说法错误的是，因式分解等内容，欢迎下载使用。

中考预测卷（数学）密押卷（一）
注意事项：
1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟。
2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方。考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回。
3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效。
5．保持答题卡清洁，不得有折叠、污染、破损等。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，把序号涂在答题卡上）
1．的相反数是（ ）
A．3B．C．D．
2．如图，该几何体由六个大小相同的正方体组成，则该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．2024年3月24日，成都双遗马拉松第10届赛事在都江堰凤凰体育场鸣枪开跑．本届赛事参赛规模再创新高，共有35000人参加．将数据“35000”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．成都将于2025年举办第12届世界运动会，某中学九（1）班举办了“喜迎世运会”知识竞赛，其中第一小组6名成员在竞赛中的成绩（满分100分）为：86，86，87，86，90，87，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．86，86B．87，86.5C．86，86.5D．87，87
6．如图，已知AB与CD相交于点O，．只添加一个条件，能判定的是（ ）
A．B．C．D．
7．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？其大意是：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡，则公鸡、母鸡和小鸡各能买多少只？若母鸡有11只，设公鸡有x只，小鸡有y只，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线B．函数图象一定经过点
C．当时，y的值随x值的增大而增大D．当时，函数图象与x轴有两个交点
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．因式分解：______．
10．已知点在一次函数的图象上，则一次函数的图象经过第______象限．
11．如图，已知AB是的直径，C，D是上的点，且位于直径AB的两侧，连接AC，BC，AD，CD．若，则的度数为______．
12．分式方程的解为______．
13．如图，在菱形ABCD中，，E是边BC上的一点，连接AE，按下列步骤作图：①以点A为圆心、适当的长为半径作弧，分别交AB，AE于点M，N；②以点D为圆心、AM的长为半径作弧，交AD于点；③以点为圆心、MN的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交AE于点F．若，则______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（本小题满分12分，每题6分）
（1）计算：；（2）解不等式组：．
15．（本小题满分8分）
4月15日是全民国家安全教育日．成都某校为了解全校学生对国家安全知识的了解情况，从中随机抽取了部分学生进行安全知识测试（满分100分），根据测试结果把学生分为五组：A．；B．；C．；D．；E．，并绘制了如下不完整的频数直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）扇形统计图中______，______，并补全频数直方图；
（2）该校共有1800名学生，若成绩在70分以下的学生安全意识不强，需要进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
（3）若九（2）班被抽取的4名学生（3名男生和1名女生）的成绩均在E组，班主任准备在这4名学生中随机抽取2名学生作为代表发表感言，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
16．（本小题满分8分）
G5京昆高速公路绵阳至成都段扩容项目（以下简称“成绵扩容项目”）自开工以来备受关注．作为成都至绵阳的第三条高速公路，成绵扩容项目是四川省首条拥有连续40km的城市高架桥、采用双向八车道技术标准的高速公路．某数学兴趣小组在一片空旷安全的地面上，对成绵扩容项目的某段高架桥的高度进行了测量．如图，在面向高架桥的点A处，测得高架桥顶端C的仰角为14°，在离点A30m的点B处测得高架桥顶端C的仰角为30°．求这段高架桥离地面的高度CD．（结果精确到0.1m．参考数据：，，，）
17．（本小题满分10分）
如图，在中，，D是边BC上的一点，以BD为直径的与边AB交于点E，连接CE，．
（1）求证：CE是的切线；
（2）若，，求的半径和AE的长．
18．（本小题满分10分）
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连接AO．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）将直线AB向下平移个单位长度得到直线l：，设直线l与反比例函数的图象交于点P，与x轴交于点D．
①连接AP，BP，若，求m的值；
②连接AD，CD，当是等腰三角形时，请直接写出点D到直线AB的距离．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知代数式可以写成的形式，则______．
20．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______．
21．如图，正六边形ABCDEF内接于，AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF均是正六边形ABCDEF的对角线．现随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为______．
22．如图，在中，，AD是边BC上的中线，将沿AD翻折得，连接，，分别与AD相交于点O，与AC相交于点E，与边AC相交于点F．若，则______．
23．定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则______；若抛物线上至少存在一个“优点”，则c的取值范围为______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．（本小题满分8分）
川剧脸谱是川剧表演艺术中重要的组成部分，是历代川剧艺人共同创造并传承下来的艺术瑰宝．成都某商家准备购进甲、乙两种川剧变脸玩具，若购进甲种川剧变脸玩具20个，乙种川剧变脸玩具18个，需花费630元；若购进甲种川剧变脸玩具12个，乙种川剧变脸玩具22个，需花费546元．
（1）求甲、乙两种川剧变脸玩具的单价；
（2）该商家将甲、乙两种川剧变脸玩具的售价分别定为30元/个、25元/个，根据销售情况，该商家决定再购进甲、乙两种川剧变脸玩具共100个，计划购买成本不超过1620元，且购进的甲种川剧变脸玩具的数量不少于乙种川剧变脸玩具数量的．当两种川剧变脸玩具销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．
25．（本小题满分10分）
如图，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点，顶点为，对称轴与x轴交于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BC，P是抛物线第一象限图象上的动点，过点P作，垂足为F，过点P作轴交抛物线于点Q，求的最大值；
（3）已知是对称轴上的一个定点，过点K的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
26．（本小题满分12分）
如图，在中，，，P是边AB上的动点（不与点A，B重合），Q是边AC上的动点（不与点A重合），且，过点B作，交射线QP于点D，连接AD，过点A作，交PQ于点E．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，连接BQ，若，求的值；
（3）连接BE，BQ，在点P，Q的运动过程中，对于每个不同的n，线段BE的长度都存在一个最小值，求此时的值（用含n的代数式表示）．
参考答案
2024年成都市高中阶段教育学校统一招生
暨初中学业水平考试
中考预测卷（数学）密押卷（一）
1．B【解析】由题意，，3的相反数为．故选B．
2．A【解析】从正面看该立体图形，可画出主视图为，故选A．
3．B【解析】．故选B．
4．C【解析】，A：选项错误．，B选项错误．，C选项正确．，D选项错误．故选C．
5．C【解析】这组数据出现次数最多的是86，∴这组数据的众数为86．将这组数据按从小到大的顺序排列为：86，86，86，87，87，90，∴中位数为．故选C．
6．B【解析】∵，∴，．若，则在与中，∴（AAS）．故选B．
7．D【解析】∵共买了100只鸡，其中母鸡有11只，公鸡有x只，小鸡有y只，∴可列方程为．∵一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，一共花了100钱，∴可列方程为．故选D．
8．C【解析】对于二次函数，对称轴是直线，A选项说法正确．令，
则，∴函数图象一定经过点，B选项说法正确．∵二次项系数是，∴二次函数图象开口向下．∴在对称轴，即直线，的右侧，y的值随x值的增大而减小．∴当时，y的值随x值的增大而减小，C选项说法错误．当时，二次函数表达式为．令，则．∵，∴一元二次方程有两个不相同的实数根．∴当时，函数图象与x轴有两个交点，D选项说法正确．故选C．
9．【解析）．故答案为．
10．一、二、三【解析】∵点在一次函数的图象上，∴．解得．∴一次函数的表达式为．∵，，∴一次函数的图象经过第一、二、三象限．故答案为一、二、三．
11．57°【解析】∵AB是的直径，∴．∵，∴．∴．故答案为57°．
12．【解析】去分母，得．解得．经检验，是原分式方程的根．故答案为．
13．【解析】∵四边形ABCD是菱形，，∴，．∴．由作图可知，，∴．∴．故答案为．
14．（1）解：原式…（4分）
．…（6分）
（2）解
解不等式①，得．…（8分）
解不等式②，得．…（10分）
∴原不等式组的解集为．…（12分）
15．（1）25 72【解析】由题意可知，抽取的总人数为，∴C组人数占抽取总人数的百分比为．∴．…（1分）
B组的人数为，∴扇形统计图中B组扇形的圆心角度数为．∴．…（2分）
故答案为25，72．
解：B组的人数为12，补全频数直方图如图所示．
…（3分）
（2）解：由题意可知，A，B两组的学生安全意识不强，
∴该校安全意识不强的学生约有（人）．…（5分）
（3）解：根据题意，画树状图如下：
…（6分）
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的
2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果为6种，…（7分）
∴P（恰好抽到1名男生和1名女生）．………（8分）
16．解：由题意可知，，设这段高架桥离地面的高度CD为xm．在中，，
∴，即，∴m．………（4分）
∵m，∴m．在中，，∴，即．解得．∴这段高架桥离地面的高度CD约为13.2m．…（8分）
17．（1）证明：如图1，连接OE．∵点B，E在上，∴．∴．…（1分）
∵，∴．…（2分）
∵，∴．∴．…（3分）
∴．
又∵OE是的半径，∴CE是的切线．……（4分）
（2）解：设．∵，∴，．
在中，，，
∴，即．∴．∴．…（5分）
在中，由勾股定理，得，即．解得（负值已舍去）．
∴的半径为3．…（7分）
如图2，过点C作，垂足为H，则．
∴．
∵，∴．
∴．∴．…（8分）
设，则，∴．
又∵，∴．∴，即．
∵，，∴．∴．…（10分）
18．解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，∴．解得．∴．…（1分）
将代入，得．解得．∴反比例函数的表达式为．…（2分）
对于一次函数，令，则．
解得．∴点B的坐标为．…（3分）
（2）①如图1，过点P作轴交直线AB于点Q，设点，
则点．∴．
∴
．
∵一次函数的图象与y轴交于点C，∴．
∴．……（4分）
∵，∴．整理，得．解得，（舍去）．
∴．…（5分）
将代入，得．解得．…（6分）
②或．…（10分）
【解析】∵，，，∴，，．
（ⅰ）当时，如图2，过点D作于点E，过点E作轴于点M，过点A作，交ME的延长线于点N．∵，，∴．∵，，
E是AC中点，∴．∴，．∴，，．易证，∴，即．解得．…（8分）
（ⅱ）当时，由于直线l是由直线AB向下平移个单位长度得到，∴此时点D在x轴正半轴．如图3，过点D作于点F，过点D作轴交直线AB于点G．∵．∴．∴．∴．将代入，得．解得．∵轴，∴．∴．∴．由平移可知，．∴，解得．…（10分）
综上所述，当是等腰三角形时，点D到直线AB的距离为或．
19．10或【解析】∵代数式可以写成的形式，∴．解得或．故答案为10或．
20．3【解析】原式．
∵c，b是一元二次方程的两个实数根，∴由根与系数的关系可知，，．∴原式．故答案为3．
21．【解析】根据题意，可将阴影部分转化为如图所示的形状．
由题易知，，∴．
设的半径为r，∴．设OC与BD相交于点G，则．
∴，．∴，
∴．而，∴．
∴这个点取在阴影部分的概率为．故答案为．
22．【解析】由翻折可知，AD垂直平分，∴，．∴O是BB'的中点．又∵AD是边BC上的中线，∴D是BC的中点．∴OD是的中位线．∴，．∴，．∴，．设，，．∵，，∵，，．∴（①式），（②式）．由①，得．由②，得．
∴．解得．∴，．
∴．∴．
在和中，，，
∴．∴．∴．
设，则，．∴（负值已舍去）．
∴．
∵D是BC中点，∴．∴．故答案为．
23．6 【解析】由“优点”定义可知，
解得或6．由题意可知，．∴．∴．∴，，
∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴直线上的点都是“优点”．对于直线，当时，；当时，．设，．由题意可知，抛物线上至少存在一个“优点”，即转化为抛物线与直线至少有一个交点．如图1，当抛物线与有且只有一个交点时，联立整理，得．∴．解得，此时c取得最小值．如图2，当抛物线过点A时，．解得，此时c取得最大值．∴c的取值范围为．故答案为6，．
24．解：（1）设甲种川剧变脸玩具的单价是x元，乙种川剧变脸玩具的单价是y元．
根据题意，得解得…（2分）
∴甲种川剧变脸玩具的单价是18元，乙种川剧变脸玩具的单价是15元．…（3分）
（2）设购进乙种川剧变脸玩具m个，则购进甲种川剧变脸玩具个．
根据题意，得解得．………（5分）
设购进的两种川剧变脸玩具全部销售完后获得的总利润为W元，则．
整理，得．…（6分）
∵，∴W的值随m值的增大而减小．∴当时，W取得最大值，最大值为，此时．…（7分）
∴当购进甲种川剧变脸玩具40个，乙种川剧变脸玩具60个时，销售利润最大，销售的最大利润为1080元．…（8分）
25．解：（1）∵抛物线顶点为，∴可设抛物线的函数表达式为．代入点，得．解得．∴抛物线的函数表达式为，即．…（3分）
（2）对于，令，则，解得或3．∴，．
∴．∵，∴．∴．
如图，过点P作轴，交BC于点L．∴．
∴．∴．∴．……（4分）
设，由，，易得直线BC的函数表达式为．
∴．∴．
∴．
由抛物线的对称性可知，∴．
∴．…（5分）
∵，∴当时，取得最大值，最大值为．…（6分）
（3）是定值，．理由如下：∵直线GH过点，
∴可设直线GH的函数表达式为．
设，，
联立整理，得．
∴，．…（7分）
∵直线DG，DH均过点，∴设直线DG的函数表达式为，直线DH的函数表达式为．又∵点G在直线GH上，∴点G坐标也可表示为．将代入，可解得．对于，令，则，∴．同理可得，．∵，∴，．∴．…（8分）
而
，
又∵，，
∴．
∴．∴，为定值．…（10分）
26．（1）证明：由题意可知，当时，点Q与点C重合，∴．∵，∴．∴．∵，∴．又∵，∴，即．∵，∴．∵，∴．在和中，∴（ASA）．∴．…（3分）
（2）解：如图1，过点Q作，垂足为H，则．∵在中，，，∴．∴是等腰直角三角形．∴．设，∴．∵，∴，∴．∴．∴．…（5分）
易证，∴．∴．
又∵，∴．∴．
∵，∴．∴．
∵，且，∴，
即．∴．…（6分）
∴．∵，∴，∴．∴．…（7分）
（3）解：如图2，取BQ的中点O，连接DO，AO，则．∵，∴，．∴．∴点B，D，A，Q在以点O为圆心、BQ为直径的圆上，画出如图2所示．由题可知，当n一定时，点E随着点P运动的轨迹是，圆心是点，连接，，，，画出如图2所示．对于每个不同的n，线段BE都存在一个最小值，则B，E，三点共线，如图3所示．…（9分）
在中，∵，∴．在中，同理可得．由（1）知，，∴．∵，，
∴．在中，，∴．∴，即．…（10分）
由对称性可知，垂直平分AQ，∵，即，∴．∴．
∴．∴．设，则，∴．在中，由勾股定理，得，∴，∴，即．…（12分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
C
C
B
D
C