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北京市石景山区2024届高三下学期3月统一练习数学试卷（原卷及解析版）
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这是一份北京市石景山区2024届高三下学期3月统一练习数学试卷（原卷及解析版），文件包含精品解析北京市石景山区2024届高三下学期3月统一练习数学试卷原卷版docx、精品解析北京市石景山区2024届高三下学期3月统一练习数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，在区间上为减函数的是（）
A. B. C. D.
3. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（）
A. B. C. D.
4. 设是三个不同平面，且，，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（）
A. B. C. 5D. 25
6. 直线与圆相交于两点，则线段的长度可能为（）
A. 5B. 7C. 9D. 14
7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（）
A. B. 1C. D.
8. 设，，，则（）
A. B. C. D.
9. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（）
A. 18种B. 24种C. 36种D. 72种
10. 对于曲线，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线与曲线有四个交点．
其中正确命题个数是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数z在复平面内对应点为，则___________．
12. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，则______.
13. 已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为______．
14. 设函数，
①若有两个零点，则实数的一个取值可以是______；
②若是上的增函数，则实数的取值范围是______．
15. 黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，．若数列，给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在锐角中，角对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
17. 如图，四棱锥中，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．
条件①：；
条件②：平面．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层
表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
（1）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
（2）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为，求的分布列和数学期望；
（3）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）
19. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值与最小值；
（3）当时，求证：．
20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内的点，直线交椭圆于两点．若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
21. 已知集合，对于，，定义与之间距离为．
（1）已知，写出所有的，使得；
（2）已知，若，并且，求的最大值；
（3）设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．植物名称
植物类型
株数
酸枣
灌木
28
荆条
灌木
41
孩儿拳头
灌木
22
河朔荛花
灌木
4
臭椿
乔木幼苗
1
黑枣
乔木幼苗
1
构树
乔木幼苗
2
元宝槭
乔木幼苗
1
植物名称
植物类型
株数
黄栌
乔木幼苗
6
朴树
乔木幼苗
7
栾树
乔木幼苗
4
鹅耳枥
乔木幼苗
7
葎叶蛇葡萄
木质藤本
8
毛樱桃
灌木
9
三裂绣线菊
灌木
11
胡枝子
灌木
10
大花溲疏
灌木
10
丁香
灌木
8
本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，在区间上为减函数的是（）
A. B. C. D.
3. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（）
A. B. C. D.
4. 设是三个不同平面，且，，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则的前5项和为（）
A. B. C. 5D. 25
6. 直线与圆相交于两点，则线段的长度可能为（）
A. 5B. 7C. 9D. 14
7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（）
A. B. 1C. D.
8. 设，，，则（）
A. B. C. D.
9. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（）
A. 18种B. 24种C. 36种D. 72种
10. 对于曲线，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线与曲线有四个交点．
其中正确命题个数是（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数z在复平面内对应点为，则___________．
12. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，则______.
13. 已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为______．
14. 设函数，
①若有两个零点，则实数的一个取值可以是______；
②若是上的增函数，则实数的取值范围是______．
15. 黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：时，．若数列，给出下列四个结论：
①；②；③；④．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在锐角中，角对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
17. 如图，四棱锥中，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．
条件①：；
条件②：平面．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层
表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
（1）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
（2）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为，求的分布列和数学期望；
（3）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）
19. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值与最小值；
（3）当时，求证：．
20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内的点，直线交椭圆于两点．若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
21. 已知集合，对于，，定义与之间距离为．
（1）已知，写出所有的，使得；
（2）已知，若，并且，求的最大值；
（3）设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．植物名称
植物类型
株数
酸枣
灌木
28
荆条
灌木
41
孩儿拳头
灌木
22
河朔荛花
灌木
4
臭椿
乔木幼苗
1
黑枣
乔木幼苗
1
构树
乔木幼苗
2
元宝槭
乔木幼苗
1
植物名称
植物类型
株数
黄栌
乔木幼苗
6
朴树
乔木幼苗
7
栾树
乔木幼苗
4
鹅耳枥
乔木幼苗
7
葎叶蛇葡萄
木质藤本
8
毛樱桃
灌木
9
三裂绣线菊
灌木
11
胡枝子
灌木
10
大花溲疏
灌木
10
丁香
灌木
8
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