2023-2024学年七年级下册数学期中试卷及答案A卷北师大版

这是一份2023-2024学年七年级下册数学期中试卷及答案A卷北师大版，共80页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列由不能判断的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列五道题是小明的作业，那么小明做对的题数为（ ）
（1）若，则； （2）；
（3）； （4）； （5）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．下列图形中，与是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，边上的高是（ ）

A．B．C．D．
5．有以下说法：①；②一个三角形中至少有两个锐角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④若三条线段的长满足，则以为边一定能构成三角形．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（ ）．
A．128B．256C．512D．1024
7．某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，节链条总长度为，则与的关系式是（ ）
A．B．C．D．
8．设 ，，．若，则的值是( )
A．5B．6C．7D．8
9．如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落在点E处，若，则的度数为( )

A．B．C．D．
10．如图，正方形的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示的面积y与x的关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
11．若，则代数式的值是 .
12．如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为 ．
13．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点，处，E交AF于点G．若∠CEF=70°，则∠GF= °．
14．一列慢车从地驶往地，一列快车从地驶往地．两车同时出发，各自抵达目的地后停止，如图所示，折线表示两车之间的距离（km）与慢车行驶时间（h）之间的关系．当快车到达地时，慢车与地的距离为 km．
15．如图，于C，E是上一点，,平分平分，则：与之间的数量关系为 ．
16．（1）；
（2）先化简，再求值：，其中，．
17．某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下的主视图．上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1，轴1（安装在点B处）可以控制椅背以顺时针旋转，按下开关2，轴2（安装在点A处）可以控制腿托以顺时针旋转．
(1)课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请作出此时腿托所在的直线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
(2)如图3，按下开关1，使椅背从与発面垂直时的状态顺时针旋转，此时测得，求的度数；
18．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E．

(1)若求的度数；
(2)若，求的度数．
19．如图，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．如图，这是某学校操场的一角，在长为米，宽为米的长方形场地中间，有两个并排大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边沿的距离都为b米．
(1)求这两个篮球场的总占地面积．
(2)若篮球场每平方米的造价为200元，其余场地每平方米的造价50元，求整个长方形场地的造价．
21．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证：．

22．九河下梢，芳华天津．小明利用假期来到美丽的天津，已知他入住的酒店、文创馆、某老字号糕点店依次在同一条直线上，糕点店离酒店，文创馆离酒店小明从酒店骑共享单车到文创馆，在那里逛了后返回，匀速步行了到糕点店买糕点，在糕点店停留了后，散步返回酒店．给出的图象反映了这个过程中小明离开酒店的距离与小明离开酒店的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
②填空：小明从蛋糕店返回酒店的速度为__________；
③当时，请直接写出小明离酒店的距离关于时间的函数解析式；
(2)当小明离酒店时，请直接写出他离开酒店的时间．
23．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
一、单选题
1．下列由不能判断的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了同位角相等两直线平行，据此即可进行判断．
【详解】解：由图可知：A、B中，均是直线被第三条直线所截形成的同位角，
根据同位角相等两直线平行，可得；
D中：
若，
∵
∴，
根据同位角相等两直线平行，可得；
而C中，是另两条直线被直线所截形成的同位角，不能得出；
故选：C
2．下列五道题是小明的作业，那么小明做对的题数为（ ）
（1）若，则； （2）；
（3）； （4）； （5）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了整式的运算问题，分别利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方法则、多项式的除法，乘法法则计算各式进行判断即可．
【详解】解：（1）若，，则，小明计算正确；
（2）；小明计算错误；
（3）；小明计算错误；
（4）；小明计算正确；
（5）．小明计算正确；
综上分析可知，正确的有3个
故选：B．
3．下列图形中，与是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了同位角．熟练掌握同位角的定义是解题的关键．
根据两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁且在被截两直线的同一侧的角为同位角，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，D选项中与是同位角，故符合要求；
故选：D．
4．如图，在中，边上的高是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义判断即可解答．
【详解】∵过点C，且，
∴边上的高是．
故选：A
5．有以下说法：①；②一个三角形中至少有两个锐角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④若三条线段的长满足，则以为边一定能构成三角形．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据零指数幂的意义，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形三条边的关系逐项分析即可．
【详解】①当时，，故原说法不正确；
②一个三角形中至少有两个锐角，正确；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法不正确；
④若三条线段的长满足，则以为边不一定能构成三角形，故原说法不正确．
故选A．
【点睛】本题考查了零指数幂的意义，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形三条边的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
6．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（ ）．
A．128B．256C．512D．1024
【答案】B
【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可．
【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为
，
由此可知展开式的各项系数之和为，
则展开式中所有项的系数和是，
故选：B．
7．某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为，按照这种连接方式，节链条总长度为，则与的关系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．依据题意，先求出节链条的长度，节链条的总长度，节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
节链条的长度为，
节链条的总长度为：，
节链条的总长度为，
∴节链条总长度，
∴与的关系式是：．
故选：C．
8．设 ，，．若，则的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据完全平方公式得出，，进而根据已知条件得出，进而即可求解．
【详解】，，，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出是解题的关键．
9．如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落在点E处，若，则的度数为( )

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据平行线的性质得到，然后由邻补角得到，然后根据折叠的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
由折叠可得，．
故选：A．
10．如图，正方形的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示的面积y与x的关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别分析点P在上和点P在上的情况即可求解．
【详解】解：当P点在上即时，
；
当P点运动到上即时，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的运动与面积问题，涉及到了一次函数的应用等知识，解题关键是求出三角形的面积表达式，注意分类讨论的思想的应用．
11．若，则代数式的值是 .
【答案】2
【分析】根据题意推出和，原式进行变形把和分别代入求解即可.
【详解】解：∵，易知和
∴
将代入，则原式
原式将代入得，原式
故答案为2.
【点睛】本题主要考查了整式的运算，运用到了整体代入的思想，根据题意推出和是解答本题的关键.
12．如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为 ．
【答案】110°/110度
【分析】延长BD交AC于点E，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】延长BD交AC于点E，
∵∠DEC是△ABE的外角，∠A＝60°，∠B＝20°，
∴∠DEC＝∠A+∠B＝80°，
则∠BDC＝∠DEC+∠C＝110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线DE是解题的关键．
13．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点，处，E交AF于点G．若∠CEF=70°，则∠GF= °．
【答案】40
【详解】解：根据折叠的性质，得∠DFE=∠FE．
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠GFE=∠CEF=70°，
∠DFE=－∠CEF=110°．
∴∠GF=∠FE－∠GFE=110°－70°=40°．
故答案为：40．
【点睛】本题考查折叠问题矩形的性质，平行的性质．
14．一列慢车从地驶往地，一列快车从地驶往地．两车同时出发，各自抵达目的地后停止，如图所示，折线表示两车之间的距离（km）与慢车行驶时间（h）之间的关系．当快车到达地时，慢车与地的距离为 km．
【答案】400
【分析】根据题意和函数图象中的数据计算出慢车和快车的速度，进而求得快车到达A地所用的时间，即可求得当快车到达A地时，慢车与地的距离．
【详解】解：由图象可知，慢车的速度为1200÷10=120（km∕h），
快车的速度为1200÷4﹣120=180（km∕h），
快车到达A地所用的时间为1200÷180=（h），
此时，慢车与B的距离为1200﹣120×=400（km），
故答案为：400．
【点睛】本题考查一次函数的应用，理解图象上点表示的具体含义是解答的关键．
15．如图，于C，E是上一点，,平分平分，则：与之间的数量关系为 ．
【答案】2∠H+∠ACF=180°
【分析】延长EC，交DH于K，根据三角形外角的性质，平行线的性质即可得到90°+∠ACE=45°+∠ACE+∠H，从而求得∠ACE，进而即可求得∠H与∠ACF之间的数量关系．
【详解】解：延长EC，交DH于K，
∵∠EKD=∠HEC+∠H，∠ECD=∠EKD+∠HDC，
∴∠ECD=∠HEC+∠HDC+∠H，
∵DF∥AB，
∴∠B=∠BDG，
∵EH平分∠BEC，DH平分∠BDG，
∴∠HEC=∠BEC，∠HDC=∠B，
∵∠BEC=∠A+∠ACE，
∴∠HEC=∠A+∠ACE，
∴∠ECD=∠A+∠ACE+∠B+∠H，
∵AC⊥BD，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ECD=45°+∠ACE+∠H，
∵AC⊥BD，
∴∠ECD=90°+∠ACE，
∴90°+∠ACE=45°+∠ACE+∠H，
∴90°+∠ACE=2∠H，
∴90°+（90°-∠ACF）=2∠H，即2∠H+∠ACF=180°，
故答案为：2∠H+∠ACF=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形外角的性质，是基础题．
16．（1）；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先根据完全平方公式和多项式乘多项式的计算法则去括号，最后合并同类项即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去掉中括号内的小括号，再合并同类项，然后计算多项式除以单项式，最后代值计算即可．
【详解】解：（1）原式

；
（2）原式


，
当，时，
原式

．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算和化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下的主视图．上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1，轴1（安装在点B处）可以控制椅背以顺时针旋转，按下开关2，轴2（安装在点A处）可以控制腿托以顺时针旋转．
(1)课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请作出此时腿托所在的直线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
(2)如图3，按下开关1，使椅背从与発面垂直时的状态顺时针旋转，此时测得，求的度数；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角的性质：
（1）以点A为顶点，作，即可得到所在的直线；
（2）延长，交于点，利用外角的性质和两直线平行，同位角相等，进行求解即可；
熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）如图所示，直线即为所求；
，
，
直线即为所求．
（2）延长，交于点，如图：
当时，．
又，
；
，
．
18．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E．

(1)若求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质即可得到；
（2）根据角平分线的定义得到．再由三角形外角的性质得到，即可利用三角形内角和定理得到答案．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵是的外角，，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，
∵是的外角，，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．如图，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由得到，即可得到，再根据等量代换得到即可证明；
（2）由平行的性质得到，求出即可求出答案．
【详解】（1），
，
，
，
，
；
（2），
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查平行的判定与性质，熟练掌握平行的判定与性质是解题的关键．
20．如图，这是某学校操场的一角，在长为米，宽为米的长方形场地中间，有两个并排大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边沿的距离都为b米．
(1)求这两个篮球场的总占地面积．
(2)若篮球场每平方米的造价为200元，其余场地每平方米的造价50元，求整个长方形场地的造价．
【答案】(1)这两个篮球场的总占地面积是平方米
(2)整个长方形场地的造价为元
【分析】本题考查列代数式，能正确根据题意列出代数式是解此题的关键．
（1）把篮球场平移为一个长方形，求出这个长方形的长和宽，即可求出面积；
（2）根据篮球场每平方米的造价为200元，其余场地每平方米的造价50元，列出代数式即可．
【详解】（1）解：
平方米．
答：这两个篮球场的总占地面积是平方米．
（2）平方米，
平方米，
元．
答：整个长方形场地的造价为元．
21．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，，进而证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
22．九河下梢，芳华天津．小明利用假期来到美丽的天津，已知他入住的酒店、文创馆、某老字号糕点店依次在同一条直线上，糕点店离酒店，文创馆离酒店小明从酒店骑共享单车到文创馆，在那里逛了后返回，匀速步行了到糕点店买糕点，在糕点店停留了后，散步返回酒店．给出的图象反映了这个过程中小明离开酒店的距离与小明离开酒店的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
②填空：小明从蛋糕店返回酒店的速度为__________；
③当时，请直接写出小明离酒店的距离关于时间的函数解析式；
(2)当小明离酒店时，请直接写出他离开酒店的时间．
【答案】(1)①，，；②；③
(2)或
【分析】本题考查了一次函数的应用，函数图象．
（1）①根据图象中线段的含义结合行程，求出各个时间段的速度及各个线段表示的实际意义，再分别求解即可；
②根据图象作答即可；
③当时，分成两部分分别求解析式；
（2）根据离开酒店和回酒店时离酒店两种情况进行求解．
【详解】（1）①由题意知，前10分钟骑共享单车到文创馆速度为，
∴在第时，离酒店的距离为，
第10到30分钟，在文创馆停留，此时，
第55到85分钟小明从蛋糕店返回酒店，速度为，
∴在第时，离酒店的距离为，
第10到30分钟，在文创馆停留，此时，
故答案为：，，；
②①由题意知，第55到85分钟小明从蛋糕店返回酒店的速度为，
故答案为：；
③当时，停留在文创馆，此时；
当时，从文创馆去蛋糕店，速度为，
∴小明离开酒店的距离，
∴；
（2）由题意知，出发去文创馆，离酒店距离为时，前10分钟骑共享单车到文创馆速度为，离酒店的时间为，
从文创馆去蛋糕店，酒店距离为时，代入可得
解得
∴当小明离离酒店距离为时，他离开家的时间为或，
故答案为：或；
23．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝ ；（用α的代数式表示，请直接写出结论）
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【答案】（1）2α﹣180°；（2）∠BPC+∠BQC＝180°．理由见解析；（3）∠A的度数是90°或60°或120°．
【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可．
（2）证明∠Q=90°-∠A，∠BPC=90°+∠A，可得结论．
（3）首先证明∠A=2∠E，∠ECQ=90°，再分四种情形分别求解即可解决问题．
【详解】（1）如图①中，

∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°（∠ABC+∠ACB）
=180°（180°﹣∠A），
=90°∠A，
∵∠BPC=α，
∴∠A=2α﹣180°．
故答案为2α﹣180°．
（2）结论：∠BPC+∠BQC=180°．
理由：如图②中，

∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）
（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
（180°+∠A）
=90°∠A，
∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A，
∵∠BPC=90°∠A，
∴∠BPC+∠BQC=180°．
（3）延长CB至F，

∵BQ为△ABC的外角∠MBC的角平分线，
∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分线，
∴∠ABF=2∠EBF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ECB，
∵∠EBF=∠ECB+∠E，
∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E，
即∠ABF=∠ACB+2∠E，
又∵∠ABF=∠ACB+∠A，
∴∠A=2∠E，
∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ
∠ACB∠NCB
=90°，
如果△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
一、单选题
1．下列各图中，与是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列多项式中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在学习“认识三角形”一节时，嘉嘉用四根长度分别为的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（ ）
A．B．C．D．
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图的作图依据是（ ）
A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边
6．下列说法中：①同角或等角的补角相等；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）

A．B．C．D．
9．若AB∥CD，∠CDE＝∠CDF，∠ABE＝∠ABF，则∠E：∠F＝（ ）
A．1：2B．1：3C．3：4D．2：3
10．如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．则下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③∠AHC=60°；④△BFG是等边三角形；⑤HB平分∠AHD．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．已知，则 ．
12．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ．
13．已知，则的值为 ．
14．如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．

15．一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中A点位置始终不变），当 时，．
16．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，请根据阅读理解解答下列各题：
(1)________；
(2)计算：；
(3)已知实数，满足行列式，则代数式的值．
17．作图题：
(1)在图①中，作过点P作直线，垂足为H：作直线；
(2)请直接写出图①中三角形的面积是 平方单位；
(3)在图②中过点P作直线（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
18．阅读下面的解题过程：已知，求的值．
解：由知，所以，即．
所以，故的值为．
该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目：
(1)若，求的值．
(2)若，求的值．
19．如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图2所示．
(1)A，B两地之间的距离为 千米；
(2)图中点M代表的实际意义是什么？
(3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米．
20．已知：如图，在中，是的平分线，E为上一点，且于点F．若，，求的度数．
21．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C． AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
23．(1)问题发现:如图1, 和均为等边三角形，点在同一直线上，连接
①求证:; ②求的度数.
(2)拓展探究:如图2, 和均为等腰直角三角形，,点在同一直线上为中边上的高，连接
①求的度数:
②判断线段之间的数量关系(直接写出结果即可).
解决问题:如图3，和均为等腰三角形，,点在同一直线上，连接.求的度数(用含的代数式表示，直接写出结果即可).
一、单选题
1．下列各图中，与是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同位角的意义，结合图形进行判断即可．
【详解】解：A．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
B．选项中的两个角符合同位角的意义，符合题意；
C．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
D．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
故选：B．选项
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
2．下列多项式中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．
平方差公式的形式是，平方差公式的特点是两个数的和乘以两个数的差，逐一判断四个选项，即可求解．
【详解】解：A、，不可以用平方差公式计算．
B、，可以用平方差公式计算；
C、，不可以用平方差公式计算；
D、，不可以用平方差公式计算．
故选：B．
3．在学习“认识三角形”一节时，嘉嘉用四根长度分别为的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐个分析即可作答．
【详解】解：A、当三边为，则周长为，故该选项不符合题意；
B、当三边为，则周长为，但，不能构成三角形，故该选项是符合题意的；
C、当三边为，则周长为，故该选项不符合题意；
D、当三边为，则周长为，故该选项不符合题意；
故选：B
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高．
故选：D
5．如图，观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图的作图依据是（ ）
A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．
由作图过程得，，，得到三角形全等，即可求解．
【详解】解：由作图过程得：，，，
，
（全等三角形的对应角相等）．
故选：A．
6．下列说法中：①同角或等角的补角相等；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据补角的性质判定①；根据垂线公理判定②；根据垂线段最短判定③；根据点到直线的距离概念判定④．
【详解】解：①同角或等角的补角相等，故①正确；
②在同一平面内，过直线上（或直线外）一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②错误；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确；
④从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离，故④错误；
∴正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查补角的性质，垂线公理，垂线段最短，点到直线的距离概念．熟练掌握相关性质定理及概念是解题的关键．
7．如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．
【详解】解：∵，
∴△AEB≌△AFC；（AAS）
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．
8．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，过作平面镜，可得，，而，再建立方程，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作平面镜，

∴，，
而，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键．
9．若AB∥CD，∠CDE＝∠CDF，∠ABE＝∠ABF，则∠E：∠F＝（ ）
A．1：2B．1：3C．3：4D．2：3
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．
【详解】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，
∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，
∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；
同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；
∵∠CDE＝∠CDF，∠ABE＝∠ABF，
∴∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠CDE+∠ABE＝（∠ABF+∠CDF）＝∠BFD，
∴∠BED：∠BFD＝3：4．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．则下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③∠AHC=60°；④△BFG是等边三角形；⑤HB平分∠AHD．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．
【详解】∵△ABC与△BDE为等边三角形，
∴AB=BC,BD=BE,
∴∠ABE=∠CBD，
即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD，
∴S△ABE=S△CBD，AE=CD，∠BDC=∠AEB，
又∵
∴△BGD≌△BFE，
∴BG=BF,
故①②正确；
∵△ABE≌△CBD，
∴∠EAB=∠BCD，
∵
∴ ∴③正确；
∵BF=BG,
∴△BFG是等边三角形，∴④正确；
∴
∴FG∥AD，
∵BF=BG,AB=BC,，
∴△ABF≌△CBG，
∴∠BAF=∠BCG，
∴
∴
∵
∴B、G、H、F四点共圆，
∵FB=GB，
∴∠FHB=∠GHB，
∴BH平分∠GHF，
∴⑤正确；
故选D.
【点睛】考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
11．已知，则 ．
【答案】．
【分析】计算，从而得到，然后先求原式的倒数，从而求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查倒数，完全平方公式的运用及分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构以及分式的化简计算是解题关键．
12．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
【详解】解：∵F是的中点，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
故答案为：．
13．已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式和代数式求值，先求出，进而利用完全平方公式得到，据此利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．

【答案】3
【分析】证明，得到，即可得解．
【详解】解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
15．一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中A点位置始终不变），当 时，．
【答案】30或150
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键．根据平行线判定，作出图形，分两种情况：①内错角相等两直线平行；②同旁内角互补两直线平行，数形结合求解即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
①如图，
当时，可得；
②如图，
当时，可得，
则．
故答案为：30或150．
16．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，请根据阅读理解解答下列各题：
(1)________；
(2)计算：；
(3)已知实数，满足行列式，则代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义运算，二次根式混合运算，整式混合运算，求代数式的值；
（1）由二阶行列式的运算法则展开，即可求解；
（2）由二阶行列式的运算法则展开，即可求解；
（3）先用二阶行列式的运算法则展开，化简后可得，将代数式化简后代入求值，即可求解；
理解新定义，能根据二阶行列式的运算法则进行运算是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
故答案：；
（2）解：原式
；
（3）解：由得，
，
整理得：，
原式
，
当时，
原式
．
17．作图题：
(1)在图①中，作过点P作直线，垂足为H：作直线；
(2)请直接写出图①中三角形的面积是 平方单位；
(3)在图②中过点P作直线（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】(1)见解析；
(2)11；
(3)见解析
【分析】本题考查了两直线平行的判定，尺规作图作出相等角的作法，熟记平行线的判定定理，尺规作图的步骤是解题关键．
（1）利用网格的特点作出图形即可；
（2）利用割补法即可求解；
（3）根据同位角相等，两直线平行，过点P利用尺规作出即可解决问题．
【详解】（1）解：直线和直线即为所作，
；
（2）解：三角形的面积=
平方单位；
故答案为：11；
（3）解：如图，直线即为所求．
．
18．阅读下面的解题过程：已知，求的值．
解：由知，所以，即．
所以，故的值为．
该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目：
(1)若，求的值．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案；
（2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
∴．
（2）解：∵，且
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路．
19．如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图2所示．
(1)A，B两地之间的距离为 千米；
(2)图中点M代表的实际意义是什么？
(3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米．
【答案】(1)150
(2)点M代表的实际意义是乙到达C的时间
(3)甲车的速度为60千米/小时，乙车的速度为75千米/小时，他们的相遇点与点C的距离为千米
【分析】（1）由图象可知AC=60，CB=90，据此来求解；
（2）由图象可知点M代表的实际意义是乙到达C的时间；
（3）根据图像分别解出甲车和乙车的速度，用总路程除以甲乙两车的速度和就等于他们相遇的时间小时，再用乙车到达C点时的路程减去汽车行驶小时的路程即为所求．
【详解】（1）解：由图象可知AC=60，BC=90，
∴A、B两地距离为60+90=150km；
∴A、B两地距离为150千米；
故答案为：150．
（2）解：由图象可知，点M代表的实际意义是：乙到达C的时间．
（3）解：由图象可知：甲乙两车匀速运动，AC=60，BC=90，
∴甲车的速度：60÷1=60(千米/小时)，
乙车的速度为：150÷2= 75(千米/小时)，
设经过x小时甲乙两车相遇，根据题意列方程，得
(60+75)x=150
解得x=；
由图像知已到达C的距离为90千米，那么
他们的相遇点与点C的距离为：90-75×=(千米)．
∴他们的相遇点与点C的距离为千米．
【点睛】此题考查了行程问题（一元一次方程的应用）和用图象表示变量间的关系，解题的关键是看清横轴、纵轴的含义，通过分析找到变量之间的关系求解．
20．已知：如图，在中，是的平分线，E为上一点，且于点F．若，，求的度数．
【答案】
【分析】先根据，可得出的度数，再由三角形外角的性质得出的度数，根据角平分线的定义得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴．
21．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
（1）证明，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由三角形外角的性质求出，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
22．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C． AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】(1)B
(2)C
(3)见解析
【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选：C．
（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线
∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中
∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，
∴AC＝BF．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
23．(1)问题发现:如图1, 和均为等边三角形，点在同一直线上，连接
①求证:; ②求的度数.
(2)拓展探究:如图2, 和均为等腰直角三角形，,点在同一直线上为中边上的高，连接
①求的度数:
②判断线段之间的数量关系(直接写出结果即可).
解决问题:如图3，和均为等腰三角形，,点在同一直线上，连接.求的度数(用含的代数式表示，直接写出结果即可).
【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE=CE+2AF；（3）∠AEC=90°+.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE,依据其性质可得，再根据对应角相等求出的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE，根据对应角相等求出的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；
（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n°，根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE，根据对应角相等求出得出∠ADB=的度数,结合内角和用n表示∠ADE的度数，即可得出结论.
【详解】（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1)，
∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAE.
∴ △BAD≌△CAE（SAS）
∴ BD=CE.

② 由△CAE≌△BAD，
∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.
∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.
（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，
∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，
∵ ∠BAC=∠DAE=90°，
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAE.
∴ △BAD≌△CAE（SAS）.
∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.
∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.

② BE=CE+2AF.
（3）如图3：∠AEC=90°+，理由如下，
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAE.
∴ △BAD≌△CAE（SAS）.
∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°- .
∴∠AEC=90°+.
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )
A．B．C．D．
4．将两把相同的直尺如图放置．若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题中，①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②不带根号的数一定是有理数；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④内错角相等．真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，对于下列条件：；；；其中一定能得到的条件有（ ）
A．B．C．D．
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝110°，∠C＝36°，则∠2的度数为（ ）°．

A．35B．36C．37D．38
8．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
9．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（ ）

A．1B．5C．16D．80
10．如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（ ）
A．①②B．②③④C．①②③④D．①③④
二、填空题
11．已知，则的值为 ．
12．成立的的值为 ．
13．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是 ．
14．如图，四边形为一长条形纸带，，将纸带沿折叠，A、D两点分别与对应，若，则的度数为
15．如图，已知，M为平行线之间一点，连接，N为上方一点，连接，E为延长线上一点，若分别平分，，则 ．

三、解答题
16．先化简，再求值
（1），其中
（2），其中
（3），其中
17．（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
18．如图，分别与、交于点G、H，，．若，求证：．
19．小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了（如图），但知道，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

20．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
(1)求证：．
(2)若，，，求的度数．
21．【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解数学问题．例如，求图1中阴影部分的面积，可以得到乘法公式．请解答下列问题：
（1）请写出图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式（直接写出乘法公式即可）；
（2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形摆成如图3所示的正方形，请你根据图3中阴影部分的面积写出三个代数式、、之间的等量关系式（直接写出等量关系式即可）；
【自主探索】
（3）小丽用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，计算的值；
【拓展迁移】
（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5表示的是一个棱长为的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式________．
22．如图，在四边形中，分别是上的点，且．求证：．
23．甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：
(1)甲的速度是______km/h，乙的速度是______km/h；
(2)对比图①、图②可知______，______；
(3)乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，幂的运算法则，完全平方公式对各个选项进行判断即可.
【详解】A.a2和a3不是同类项，无法合并，故本选项错误；
B.，故本选项错误；
C.，故本选项错误；
D.，故本选项正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查同类项合并，幂的运算，完全平方公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
2．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故选：B．
3．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平方差公式逐个判断即可．
【详解】解：A、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意；
B、，不能用平方差公式进行计算，不符合题意；
C、，能用平方差公式进行计算，符合题意；
D、不能用平方差公式进行计算，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，注意：．
4．将两把相同的直尺如图放置．若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】互补关系求出，互余关系求出，再用互补关系即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查余角和补角的计算．正确的识图，确定角度之间的和差关系，是解题的关键．
5．下列命题中，①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②不带根号的数一定是有理数；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④内错角相等．真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了真假命题的判定，熟练掌握有理数和无理数、平行公理、内错角等知识是解题关键．根据平行公理、有理数和无理数、内错角的定义和性质分析判断即可．
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题；
②不带根号的数不一定是有理数，如，故原命题是假命题；
③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题是假命题；
④两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题．
所以，真命题的个数是1个．
故选：A．
6．如图，对于下列条件：；；；其中一定能得到的条件有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平行线的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：，∴；
， ∴；
，∴；
，∴；
综上分析可知，一定能得到的条件有，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，灵活运用平行线的判定定理是解题的关键．
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得∠1＝110°，∠C＝36°，则∠2的度数为（ ）°．

A．35B．36C．37D．38
【答案】D
【分析】根据折叠性质得出∠C′=∠C=35°，根据三角形外角性质得出∠DOC=∠1-∠C=74°，∠2=∠DOC-∠C′=38°．
【详解】解：如图，设C′D与AC交于点O，
∵∠C=36°，
∴∠C′=∠C=36°，
∵∠1=∠DOC+∠C，∠1=110°，
∴∠DOC=∠1-∠C=110°-36°=74°，
∵∠DOC=∠2+∠C′，
∴∠2=∠DOC-∠C′=74°-36°=38°．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和定理及三角形的外角定理是解题的关键．
8．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出关于的函数关系式．
【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米，
平行于墙的一边长为米．
根据题意得：．
故选：D
9．我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（ ）

A．1B．5C．16D．80
【答案】D
【分析】根据公式规律，写出展开式，计算即可，本题考查了规律探索，正确找到规律是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
当时
，
含项的系数是，
故选D．
10．如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（ ）
A．①②B．②③④C．①②③④D．①③④
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟记“一般地，从一个角的顶点出发，在角的内部把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”，“当两直线所组成的角为直角时，称它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线”的相关概念，利用表示各个角度．根据角平分线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可．
【详解】解：，，
，
，
平分，
，
故①正确；
，
，
，
即平分，
故②正确；
，，
，
，
，
，
，
故③正确；
，，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：C．
二、填空题
11．已知，则的值为 ．
【答案】2023
【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：2023．
12．成立的的值为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查的是零指数幂、有理数的乘方，掌握1的任何次幂都等于、1的偶数次幂都等于1、任何不等于零的数的零次幂都等于1是解题的关键．
根据零指数幂的运算法则、有理数的乘方法则计算即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，．
故答案为：或或．
13．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是 ．
【答案】1＜AD＜7
【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中,
，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB，
∵AB=6，AC=8，
∴8-6∴1故答案为：1【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
14．如图，四边形为一长条形纸带，，将纸带沿折叠，A、D两点分别与对应，若，则的度数为
【答案】72
【分析】本题考查了翻折的性质，平行的性质．由题意，设，证明，构建方程即可解决问题．解题的关键在于确定角的数量关系．
【详解】解：由翻折的性质可知：，
，
，
设，则，
，
即：，
解得：，
，
故答案为：72．
15．如图，已知，M为平行线之间一点，连接，N为上方一点，连接，E为延长线上一点，若分别平分，，则 ．

【答案】
【分析】如图所示，过点M作，过点N作，则，先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到；再证明，，即可得到，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点M作，过点N作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴

，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
三、解答题
16．先化简，再求值
（1），其中
（2），其中
（3），其中
【答案】（1），；（2），1；（3），．
【分析】（1）先计算整式的乘法、完全平方公式，再计算整式的加减法，然后将x的值代入计算即可得；
（2）先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后计算整式的除法，最后将y的值代入计算即可得；
（3）先计算平方差公式、完全平方公式、整式的乘法，再计算整式的加减法，然后计算整式的除法，最后将x、y的值代入计算即可得．
【详解】（1）原式
将代入得：原式；
（2）原式
将代入得：原式；
（3）原式
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、整式的加减乘除法等知识点，熟记整式的运算法则是解题关键．
17．（1）已知，，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式进行运算．
（1）将变形为，然后将，代入求解即可；
（2）先把变形得到，再利用完全平方公式求值即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
即的值是87；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的值是14．
18．如图，分别与、交于点G、H，，．若，求证：．
【答案】见详解
【分析】根据平行线的判定与性质进行推理论证即可．
【详解】证明：∵∠2＋∠AHC＝180°，
∴∠AHC＝180°−∠2＝180°−125°＝55°，
∴∠AHC＝∠1＝55°，
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠ABD＝∠C （两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠F（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠ABD＝∠D（两直线平行，内错角相等），
∴∠C＝∠D（等量代换）；
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
19．小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了（如图），但知道，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】图见详解
【分析】本题考查作图−应用与设计，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．如图作，射线交射线于点C，点C即为所求．
【详解】解：如图作，射线交射线于点C，
点C即为所求．

20．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
(1)求证：．
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）先证明，再证明，从而可得答案；
（2）由全等三角形的性质，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】（1）证明：为中点．
，
在和中，
，
，
；
（2）由（1）知，
，
又，
，
又，
，
．
21．【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解数学问题．例如，求图1中阴影部分的面积，可以得到乘法公式．请解答下列问题：
（1）请写出图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式（直接写出乘法公式即可）；
（2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形摆成如图3所示的正方形，请你根据图3中阴影部分的面积写出三个代数式、、之间的等量关系式（直接写出等量关系式即可）；
【自主探索】
（3）小丽用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，计算的值；
【拓展迁移】
（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5表示的是一个棱长为的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式________．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，立方公式的几何意义，学会画图是解题的关键．
（1）阴影部分是边长为的正方形，这个正方形的面积等于以为边长的大正方形面积减去非阴影区域面积；
（2）阴影部分面积大正方形面积长方形面积；
（3）先画出大长方形，再按照和的比例进行分割即可画出图形，按照图形数出和的值，再进行计算；
（4）大正方体体积各小长方体体积之和．
【详解】解：（1）阴影部分面积大正方形面积非阴影区域面积，
即：；
（2）阴影部分面积，
大正方形面积，
长方形面积，
大正方形面积长方形面积阴影部分面积，
即：；
（3）将面积为的长方形画出后，按比例分割，如下图所示：
，
看图即可得：，
∴；
（4）大正方体体积各小长方体体积之和，
即：，
故答案为：．
22．如图，在四边形中，分别是上的点，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长至点G，使，连接，先证明，得到；再证明，进而证明，得到，则．
【详解】证明：如图，延长至点G，使，连接．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
23．甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：
(1)甲的速度是______km/h，乙的速度是______km/h；
(2)对比图①、图②可知______，______；
(3)乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
【答案】(1)25，10
(2)10，1.5
(3)或
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；
（2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值；
（3）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题．
【详解】（1）解：由图可得，
甲的速度为：，乙的速度为：，
故答案为：25，10；
（2）解：由图可得，
，
，
故答案为：10；1.5；
（3）解：由题意可得，
前，乙行驶的路程为：，
则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后，
设乙出发时，甲、乙两人路程差为，
，
解得，，
，得；
即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．
离开酒店的时间/min
5
7
25
50
60
离开酒店的距离/km
1.25
1.5
离开酒店的时间/min
5
7
25
50
60
离开酒店的距离/km
1.25
1.5