[数学][期末]浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期期末调研测试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期期末调研测试试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】单位向量的模长相等，则，故D正确；
且两者并不一定是相同或相反向量，故A错误；两者不一定共线，故B错误；
两者不一定垂直，故C错误.
故选：D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】∵，
∴，则，
∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D．
3. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，
则，所以，所以.
故选：A.
4. 设，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项：
对A，若，，，直线可能平行、相交或异面，故错误；
对B，若，，，平面可能相交或平行，故错误；
对C：如图，若，，，过直线作两个平面，，
根据线面平行的性质可得可得，则，
因为，，则，又因为，，则，则，
故C正确；
对D，若，，，则，故D错误.
故选：C.
5. 如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ）
A. 众数<中位数<平均数B. 众数<平均数<中位数
C. 中位数<平均数<众数D. 中位数<众数<平均数
【答案】A
【解析】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，
显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，
由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，
所以众数<中位数<平均数.
故选：A.
6. 在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】取的中点，连接，
因为//，且，则为平行四边形，可得//，
又因为分别为的中点，则//，
所以//，
故异面直线DE与AC所成角为（或的补角），
设正方体的棱长为2，则，
在中，由余弦定理，
所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是.
故选：D.
7. 湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D共线）处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为（ ）
A. 284mB. 286mC. 288mD. 290m
【答案】C
【解析】因为是等腰直角三角形，所以，
在中，，，
所以，由正弦定理可知：
，
在中，.
故选：C.
8. 已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知，由正弦定理得，得，
由余弦定理，则，即，
由正弦定理得，
因为，则，
所以，即.
因为为锐角三角形，，则，
又在上单调递增，所以，则，
因为为锐角三角形，，解得，
所以.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是互斥事件B. 与是对立事件
C. D.
【答案】ABC
【解析】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件：只参加科技游艺活动，
与事件：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；
对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件和事件满足两个特点，
故B正确；
对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确；
对D：表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.
故选：ABC.
10. 若复数z，w均不为0，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】不妨设且，
对于A，，故，
而，故A错误；
对于B，，，
则，，故，
B正确；
对于C，
，
，
故，因此C正确；
对于D，，，故，
D正确．
故选：BCD.
11. 如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（ ）
A. 当平面平面时，平面
B. 当A，C重合于点时，平面
C. 当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为
D. 当A，C重合于点时，四棱锥的体积为
【答案】AC
【解析】由题意，将沿折起，且点在平面，
此时、、、四点共面，平面平面，
平面平面，当平面平面，，
由题意得：，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
因为，所以，则可得，
即，同理可得，
当重合于点时，如上图，在中，
，
又因为，所以，
因为，所以，
所以为等腰三角形，即，，，
故和不垂直，则不垂直于平面，故B错误；
在三棱锥中，，均为直角三角形，所以为外接球直径，
则外接球半径，则三棱锥外接球表面积为，
故C正确；
，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
平面平面，过点作，
因为是边长为的等边三角形，所以可得，
由面面垂直性质定理可知平面，即为四棱锥的高，
所以，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知事件和事件相互独立，且，，则__________．
【答案】
【解析】∵事件A与事件B相互独立，则A与事件也相互独立，且，，
∴.
故答案为：．
13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是__________．
【答案】
【解析】在方向上的投影向量为.
故答案为：.
14. 已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是__________．
【答案】
【解析】在平面内，分别过作的平行线交于点，连接，
则四边形为平行四边形，则，，
则，
在中，，，由正弦定理得，
其中为的外接圆半径，解得，
则点在半径为的的外接圆的劣弧上，
作⊥，垂足为，如图1，
则当为的中点，即时，最大，此时，
如图2所示，此时，
当平面⊥平面时，点到平面的距离最大，且最大距离为，
连接，此时三棱锥的体积最大，最大为，
而，故四面体的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．
（1）求和的值；
（2）求两次摸到的不都是红球的概率．
解：（1）将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有4种等可能的结果，
将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，
第一次摸到红球的可能结果有8种，
即，
所以；
第二次摸到红球的可能结果也有8种，
即，
所以．
（2）事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即，
则两次摸到都是红球的概率，
故两次摸到的不都是红球的概率．
16. 在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
解：（1）因为，
由正弦定理，得，
即，即，
因在中，，所以，
又因为，所以.
（2）因为的面积为，
所以，得，
由，即，
所以.由余弦定理，得，即，
化简得，所以，即，
所以的周长为.
17. 某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按，，…，依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中x的值；
（2）估计参与这次测试学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；
（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．
解：（1）由题意得，所以.
（2）参与测试学生的成绩平均值：
，
第60百分位数为.
（3）设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为，，，，，，
且三组的频率之比为4：6：5，则这三组的平均数，
所以第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的测试成绩的方差
.
18. 如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）求四棱台的体积和球的表面积．
解：（1）设与、与BD分别交点E，F，连接EF，因为底面为菱形，
所以，
在等腰梯形中，因为E，F为底边中点，
所以，又EF与BD相交，平面，所以平面．
（2）由（1）可知平面平面，又平面平面，
过点作于，则平面，因为平面，
所以，再作于，又因为，平面，
所以平面，因为平面，所以，
则是二面角的平面角，
因为平面，故是侧棱与底面所成角，
所以，
在，，，
在，，
在，，
因此二面角的正切值为．
（3）将四棱台还原为四棱锥，
由题意可知三棱台为正三棱台，所以三棱锥为正三棱锥，
因此三棱台和三棱锥的内切球为同一个球，
设，是和的中心，
由（2）易知在，所以三棱锥为正四面体，所以，
因此平面是四棱锥中截面，则，，
故四棱台的体积
，
球的表面积为．
19. 已知函数，．
（1）写出函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；
（3）已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围．
解：（1），
则的单调递增区间是，单调递减区间是，．
（2）函数在单调递减，在单调递增，
故在的最小值为，
同理，在的最小值为，
故结合图象可得，函数有两个零点时需满足，解得：，
或，解得：，综上所述：或．
（3）由题意得：，则，
且，则，
因为，，所以，故，
所以
，
又，故单调递增，
所以单调递增，故，
因此的取值范围为．