新蔡县第一高级中学2023-2024学年高一下学期7月月考数学试卷(含答案)

这是一份新蔡县第一高级中学2023-2024学年高一下学期7月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足，则z的虚部为( )
A.B.C.D.
2．若，则( )
A.B.C.D.
3．已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是( )
A.B.C.D.
4．我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为( )
A.B.C.D.
5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是( )
A.若m上有两点到平面距离相等，则
B.若，，，则m与n是异面直线
C.若，，，则m与n没有公共点
D.若，，则m与一定相交
6．已知，是函数的零点，则( )
A.B.C.D.
7．已知函数，则下列说法正确的是( )
A.函数的图象可以由的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到
B.函数是偶函数
C.函数的图象关于点对称
D.函数的最小正周期为
8．某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图.底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球O的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球O的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图是《易・系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形，，其中O为这两正方形的中心，E，F，G，H分别为，，，的中点，若正方形的边长为2，则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
10．《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为,,其中小正方形的面积为4,大正方形面积为9,则下列说法正确的是( )
A.每一个直角三角形的面积为
B.
C.
D.
11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.如图，在堑堵中，，且，，，过点A分别作于点E，于点F，则下列结论正确的是( )
A.四棱锥为“阳马”B.直线AE与平面ABC所成的角为
C.D.堑堵的外接球的体积为
三、填空题
12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，若三角形的面积为，且，则________.
13．已知中，，，，则在方向上的数量投影为________.
14．早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”.如图，抛物线C的方程为，过点作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为________.
四、解答题
15．（1）已知，，求的值.
（2）设a为正实数，已知，
求①的值；②的值.
16．锐角中角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，求的取值范围.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.
（1）令，，用，表示；
（2）证明：；
（3）若，，，求的余弦值.
18．如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2.
（1）若点F在棱上，平面，求证：；
（2）求点E到平面的距离.
19．某游乐场的摩天轮示意图如图.已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟.
（1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；
（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值.
参考答案
1．答案：B
解析：设，其中a，b为实数，则，所以，解得，所以z的虚部是。
故选：B.
2．答案：B
解析：，
，
当时，，此时原式;当时，.此时原式.
故选:B.
3．答案：B
解析：，
，
与共线的单位向量是，故选:B
4．答案：D
解析：设角所在的扇形的半径为r，则，解得，故.故选:D.
5．答案：C
解析：对于A，m上有两点到平面距离相等，平面可以过这两点的中点，此时m与相交，A错误；对于BC，，则，没有公共点，，，，得m与n没有公共点，m与n是平行直线或者是异面直线，C正确，B错误；
对于D，，，则或m与n是相交直线，当时，，D错误.
故选:C
6．答案：B
解析：因为，是函数的零点，
所以，，
所以
故选B
7．答案：C
解析：对于A:将的图象向右平移个单位得到
再将向上平移1个单位得到，故A错误；
对于B:由，，解得，.
即的定义域为，则的定义域为，定义域不关于原点对称，
故为非奇非偶函数，故B错误;
对于C:因为，所以函数的图象关于点对称，故C正确;
对于D:函数的最小正周期，故D错误.故选:C
8．答案：C
解析：设所在截面圆心为，连接，，交球于点E，交平面于点F，
设，，
由题意，，
，，，
在中，
，
解得，所以.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：延长，则过点C，因为G，H分别为，的中点，所以为的中位线，则，
又O为正方形的中心，所以，所以，A错误;
由上可知，，
由，得，B正确;由平面向量的加减法可知，，所以，
因为，所以，C正确;
由上可知，，，
所以，D正确.
故选BCD.
10．答案：ACD
解析：四个直角三角形全等,大正方形的面积为9,小正方形的面积为4,
每一个直角三角形的面积为,A正确;
,
,故B错误;
,,且,,
,故D正确;
,C正确.
故选:ACD.
11．答案：ACD
解析：
12．答案：
解析：由题意知，，
由正弦定理，得，又，
所以
得，又，
所以，即，又，所以;
由，得，
由，得，所以，
由余弦定理，得，
由，解得.
故答案为:.
13．答案：
解析：因为，，，所以，则在方向上的数量投影为.
故答案为:.
14．答案：
解析：设切线方程为，代入，得0，由，得，故切线方程为，且切点坐标为
过点作的水平截面，截面为圆环，
当时，代入得截面圆环外半径，
当时，代入得截面圆环内半径，截面圆环面积为
为了截出面积为的图形，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥，
圆锥及其轴截面如下图:其中，，
在距离底面为t的M处作底面的平行截面，设此时截面半径为，
，即，解得，
此截面的面积为，与截面圆环面积相同，
圆锥体积为，所以的体积为.
故答案为:.
15．答案：（1）；
（2）①；②
解析：（1）由，得，即，
则，由，得，则，
所以.
（2）①正实数a满足：，两边平方得，所以；
②，由①知，，两边平方得，所以.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，又，则；
（2）由，则、，
则
，
由为锐角三角形，可得，解得，
则，则，故.
17．答案：（1）
解析：（1）由题可知P是的重心，且，所以.
（2）在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得
.
（3）因为，，，
所以，
所以，即的余弦值为.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，所以平面平面，
平面，所以.
（2）取的中点O，连接，依题意，所以且，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
连接、，则，所以，
又，，，，
所以
，
又平面，平面，所以，
所以，
则，
则，
所以，
设点E到平面的距离为d，则，
解得，即点E到平面的距离为.
19．答案：（1）；
（2）或时，1号座舱与地面的距离为17米；
（3）
解析：（1）设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为
则，，
，
依题意，，
当时，，.
（2）令，即，，
，，或，
解得或，
或时，1号座舱与地面的距离为17米.
（3）依题意，，
令，，解得，所以当时，H取得最大值