四川省雅安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省雅安市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在复平面内,复数所表示的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．从小到大排列的数据1,2,3,7,8,9,10,11的第三四分位数为( )
A.B.9C.D.10
3．复数满足,则( )
A.B.C.D.
4．如图,在梯形ABCD中,,E在BC上,且,设,,则( )
A.B.C.D.
5．已知m,n表示两条不同直线,表示平面,则( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
6．一艘船向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东方向上,航行后到B处,看到灯塔S在船的北偏东的方向上,此时船距灯塔S的距离（即BS的长）为( )
A.B.C.D.
7．在复平面内,满足的复数对应的点为Z,复数对应的点为,则的值不可能为( )
A.3B.4C.5D.6
8．已知下面给出的四个图都是正方体,A,B为顶点,E,F分别是所在棱的中点,
则满足直线的图形的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、多项选择题
9．为普及居民的消防安全知识,某社区开展了消防安全专题讲座.为了解讲座效果,随机抽取14位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷,这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示,下列说法正确的是( )
A.讲座前问卷答题得分的中位数小于70
B.讲座后问卷答题得分的众数为90
C.讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差
D.讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差
10．若平面向量,满足,则( )
A.B.向量与的夹角为
C.D.在上的投影向量为
11．如图,在棱长为1的正方体中,M是的中点,点P是侧面上的动点,且平面,则( )
A.P在侧面的轨迹长度为
B.异面直线AB与MP所成角的最大值为
C.三棱锥的体积为定值
D.直线MP与平面所成角的正切值的取值范围是
三、填空题
12．某学校高中二年级有男生600人,女生400人,为了解学生的身高情况,现按性别分层,采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本,则所抽取的男生人数为____________.
13．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,BC边上的高为,则_____________.
14．半正多面体亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体.如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体,这是一个有8个面为正三角形,6个面为正方形的“阿基米德多面体”,包括A,B,C在内的各个顶点都在球O的球面上.若P为球O上的动点,记三棱锥体积的最大值为,球O的体积为V,则__________.
四、解答题
15．已知复数,（其中）.
（1）若为实数,求m的值;
（2）当时,复数是方程的一个根,求实数p,q的值.
16．已知向量,.
（1）若与垂直,求实数k的值;
（2）已知O,A,B,C为平面内四点,且,,.若A,B,C三点共线,求实数m的值.
17．一家水果店为了解本店苹果的日销售情况,记录了过去200天的日销售量（单位：kg）,将全部数据按区间,,…,分成5组,得到下图所示的频率分布直方图.
（1）求图中a的值;并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;
（2）若一次进货太多,水果不新鲜;进货太少,又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜,又能地满足顾客的需要（在100天中,大约有85天可以满足顾客的需求）.请问,每天应该进多少水果？
18．从①;②;③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答该题.
记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知________.
（1）求角C的大小;
（2）若点D在AB上,CD平分,,,求CD的长;
（3）若该三角形为锐角三角形,且面积为,求a的取值范围.
19．我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中,将“底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体,底面ABCD是正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC上的动点
（1）平面AEF与平面PBC是否垂直？若垂直,请证明,若不垂直,请说明理由;
（2）求二面角的大小;
（3）若直线平面AEF,求直线AB与平面AEF所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：,故所表示的点位于第三象限.
2．答案：C
解析：由于,该组数据的第三四分位数为9和10的平均数 .
3．答案：B
解析：设 .则,
即,所以且,即,所以.
4．答案：D
解析：依题意
5．答案：A
解析：,则,故A正确;
若,则m, n相交或平行或异面,故B错误;
若,则或.故C错误;
若,则或或或n与相交,故D错误.
6．答案：B
解析：在中,,
依据正弦定理,,
则.
7．答案：A
解析：依题意,点Z的轨迹为以为圆心,1为半径的圆,
故只需求和Z之间距离的取值范围即可, 点到圆心的距离为,
则,故的值不可能等于3.
8．答案：D
解析：
9．答案：ACD
解析：
10．答案：AD
解析：
11．答案：ABD
解析：
12．答案：30
解析：该学校高二年级学生中,男生占比为,则所抽取的男生人数为.
13．答案：3
解析：因为,
所以,
所以,
因为 ,
所以,
因为,,
所以,
由余弦定理可得,
所以,解得或(舍去).
故答案为：3.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
因为为实数,
所以,解得.
故为实数时,m的值为.
（2）当时,,,
则复数,
因为是方程的一个根,
所以,
化简得,
由解得
16．答案：（1）
（2）2
解析：（1）,
则,
因为与垂直,所以,
解得.
（2）,
,
,
,
因为A,B,C三点共线,所以.
所以,
解得.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由直方图可得,样本落在,,…,的频率分别为,,0.2,0.4,0.3,
由,
解得.
则样本落在,,…,频率分别为0.05,0.05,0.2,0.4,0.3,
所以,该苹果日销售量的平均值为.
（2）为了能地满足顾客的需要,即估计该店苹果日销售量的分位数.
方法1：依题意,日销售量不超过的频率为,
则该店苹果日销售量的分位数在,设为,
则,
解得.
所以,每天应该进苹果.
方法2：依题意,日销售量不超过的频率为,
则该店苹果日销售量的分位数在,
所以日销售量的分位数为.
所以,每天应该进苹果.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）若选条件①,
依题意,得,根据正弦定理得,
因为,所以,则,即,
即,所以.
又,则,
所以.
若选条件②.
由正弦定理得,
所以
,
即,
即,整理得,即.
因为,所以,
所以.
若选条件③
在中,因为,,
所以,
即,
化简得.
又,则,故.
因为,所以.
（2）依题意,,
即,则,
在中,根据余弦定理,
有,
即,解得或（舍去）,
所以.
（3）依题意,的面积,所以.
又为锐角三角形,且,
则,所以.
又,则,所以.
由正弦定理,得,
所以,
所以,即,
所以a的取值范围为.
19．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）平面平面PBC.
理由如下：
因为平面ABCD,平面ABCD,
所以,
因为,又.
所以平面PAB,故.
在中,,E为PB的中点,所以.
因为平面PBC,平面PBC,,
所以平面PBC.又平面AEF,
所以平面平面PBC.
（2）不妨设,计算可得,,
又,,,所以,
则,作于G,
连结DG,又,,可知,
所以,
所以是二面角的平面角.
在中,由,
得,则,,
连结BD,知,在中,根据余弦定理,
得,
所以.
（3）因为直线平面AEF,平面PBC,平面平面,
所以直线直线EF.
又E为线段PB的中点,所以F为线段BC上的中点.
由（2）知,所以.
设BG与EF交点为H,连结AH,
由（1）知,平面平面PBC,平面平面,
所以平面AEF.
所以直线AB与平面AEF所成角为.
又由,F为BC上的中点,可得H为BG的中点,
可知,,又,
所以.
直线AB与平面AEF所成角的正弦值为.