2023-2024学年广东省广州市白云区高一下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市白云区高一下学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在▵ABC中，BE=3EC，则AE=( )
A. 13AB+23ACB. 23AB+13ACC. 14AB+34ACD. 34AB+14AC
2.下列的表述中，正确的是( )
A. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直
B. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行
C. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直
D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
3.若两个非零向量a,b的夹角为θ，且满足|a|=2|b|,(a+3b)⊥a，则csθ=( )
A. −23B. −13C. 13D. 23
4.有一组从小到大排列的样本数据x1,x2,…,xn，由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn，其中yi=axi+b(i=1,2,…,n)，a>0,b≠0，则( )
A. 数据y2,y3,…,yn−1的标准差不小于数据y1,y2,…,yn的标准差
B. 数据y2,y3,…,yn−1的中位数与数据y1,y2,…,yn的中位数相等
C. 若数据x1,x2,…,xn的方差为m，则数据y1,y2,…,yn的方差为am
D. 若数据x1,x2,…,xn的极差为d，则数据y1,y2,…,yn的极差为ad+b
5.为了得到y=sin2x+2π3的图象，只需把y=sinx图象上所有的点( )
A. 先向右平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变
B. 先向右平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
C. 先向左平移2π3个单位长度，横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变
D. 先向左平移2π3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
6.已知▵ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC,|AB|= 3|AO|，则BA在BC上的投影向量为( )
A. 32BCB. 34BCC. 58BCD. 34BC
7.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，且tanα+tanβ=1csα，则( )
A. 2α+β=π2B. 2α−β=π2C. 2β−α=π2D. 2β+α=π2
8.通常以24小时内降水在平地上积水厚度(单位：mm)来判断降雨程度，其中小雨(<10mm)，中雨(10mm−25mm)，大雨(25mm−50mm)，暴雨(50mm−100mm).小明用一个近似圆台的水桶(如图，计量单位1cm=10mm)连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的16，则当天的降雨等级是( )
A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨
9.已知向量a=(2,m),b=(−1,3)，则下列说法中正确的是( )
A. 若|a+b|= 10，则m=4
B. 若|a+b|=|a−b|，则m=23
C. 若a//b，则m=−6
D. 若向量a,b的夹角为钝角，则m的取值范围是−∞,23
10.已知复数z1,z2，则下列说法中正确的是( )
A. z1+z2≤z1+z2B. 若z1z2=z12，则z1=z2
C. 若z1−z2=z1+z2，则z1z2=0D. 若z2≠0，则z1z2=z1z2
11.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知动点P满足BP=λBC+μBB1，λ∈[0,1],μ∈[0,1]，且AB=AA1，则下列说法中正确的是( )
A. 若λ=1，则三棱锥B−AB1P的体积是定值
B. 若μ=1，则三棱锥B−AB1P的体积是定值
C. 若λ=μ=12，则三棱锥B−AB1P的体积是三棱柱ABC−A1B1C1的体积的16
D. 若λ+μ=1，则直线AP与平面BB1C1C所成角的正弦值的最大值是 427
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知复数z满足z(1+i)=2+i，则|z|= ．
13.某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：
则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为 小时，方差为 ．
14.己知点G,O在▵ABC所在平面内，满足GA+GB+GC=0,|OA|=|OB|=|OC|，且AG⋅AO=3，|AG|= 2，则边BC的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共60分）
15.（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，P分别为CD，A1B1的中点．
(1)求证：直线DP//平面AB1E；
(2)求点A到平面BB1E的距离．
16.（12分）一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额(单位：百万元)进行统计，制作频率分布表如下：
(1)请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；
(2)请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数(同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表)；
(3)为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过60%的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．
17.（12分）已知甲船在A海岛正北方向15 3海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南60∘的方向航行．
(1)甲船航行3小时到达C处，求AC；
(2)在A海岛西偏南60∘方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．
18.（12分）在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为矩形，M是PD的中点，且PB与平面ABCD所成角的正弦值为 64．
(1)求证：AM⊥平面PCD；
(2)求直线AM与直线PB所成角余弦值；
(3)求平面ABM与平面PBC所成二面角的正弦值．
19.（12分）如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．
(1)若AD=2，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值；
(2)在▵ABC中，记∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a，b，c，且满足(c+b)b=a2
①求证：∠BAC=2∠ABC；
②求c+4bbcs∠ABC的最小值．
答案解析
1.C
【解析】AE=AB+BE=AB+34BC=AB+34(AC−AB)=14AB+34AC．
故选：C
2.B
【解析】对于A，因为过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直，
而过该垂线的面有无数个，根据面面垂直的判定定理可知这无数个面与该平面垂直，故A错误；
对于B，由平面定义可知过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，故B正确；
对于C，由线面垂直定义可知，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，
而过垂面内一点在垂面内有无数条直线与该直线垂直，
所以过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直，故C错误；
对于D，过直线外一点，只能作出一条直线与该直线平行，而过所作直线的平面有无数个，
所以过直线外一点，有无数个平面与该直线平行，故D错误．
故选：B．
3.A
【解析】因为a+3b⊥a，所以a+3b⋅a=0，
所以a2+3a⋅b=0，所以a⋅b=−a23，
所以csθ=a⋅ba⋅b=−a23a⋅a2=−23．
故选：A．
4.B
【解析】对于A，因为y1所以根据标准差的意义可知数据y2,y3,…,yn−1的标准差小于等于数据y1,y2,…,yn的标准差，
故A错误；
对于B，根据中位数定义可知，数据y2,y3,…,yn−1的中位数与数据y1,y2,…,yn的中位数是相同数据所得，
所以两组数据中位数相等，故B正确；
对于C，若数据x1,x2,…,xn的方差为m，
则由方差性质得数据y1,y2,…,yn的方差为a2m，故 C错误；
对于D，由题意数据x1,x2,…,xn的极差为d=xn−x1，
所以数据y1,y2,…,yn的极差为axn+b−ax1+b=axn−x1=ad，故 D错误．
故选：B．
5.C
【解析】根据平移变换知识y=sinx先向左平移2π3个单位长度可得y=sinx+2π3，
再将所得曲线横坐标缩短为原来12，纵坐标保持不变得y=sin2x+2π3．
故选：C．
6.B
【解析】因为2AO=AB+AC，所以O为BC边中点，
所以BC为外接圆的直径，∠BAC=π2且OA=OB=OC=R(R为外接圆半径)，
又|AB|= 3|AO|= 3R，故AC= BC2−AB2= 2R2− 3R2=R=12BC，
所以∠ABC=π6，则BA在BC上的投影向量为BAcs∠BAC⋅BCBC= 3Rcsπ6⋅BC2R=34BC．
故选：B．
7.D
【解析】解：由tanα+tanβ=1csα，
得sinαcsα+sinβcsβ=1csα，
于是sinαcsβ+csαsinβ=csβ，即sin(α+β)=sin(π2−β)，
由α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，得0<α+β<π,0<π2−β<π2，
则α+β=π2−β或α+β+π2−β=π，即2β+α=π2或α=π2(不符合题意，舍去)，
所以2β+α=π2．
故选：D
8.B
【解析】由题桶的下底面面积为S1=π20022=10000π，上底面面积S=π32022=25600π
又桶中水水面与底面距离为16×30=5cm=50mm，
设水面半径为r，如图为桶的轴截面图形，
则BL=16−10=6cm，则MD=30−5=25cm，
故由▵BMD∼▵BLA得BM=BL×MDLA=6×2530=5cm，
故水面半径为r=CD=Q1M=16−5=11cm=110mm，
所以桶中水水面面积为S1=π×1102=12100π
所以连续24小时的桶中水的体积为V水=13×12100π+10000π+ 12100π×10000π×50=1655000π3，
所以24小时内降水在平地上积水厚度为1655000π325600π≈21.5∈10,25，
所以当天的降雨等级是中雨．
故选：B．
9.BC
【解析】A选项，a+b=(1,m+3)，故 12+m+32= 10，解得m=0， A错误；
B选项，|a+b|=|a−b|，即 1+m+32= 32+m−32，解得m=23， B正确；
C选项，由题意得2×3−−1m=0，解得m=−6， C正确；
D选项，若向量a,b的夹角为钝角，则a⋅b<0且a,b不反向共线，
故−2+3m<0且2×3+m≠0，解得m<23且m≠−6， D错误．
故选：BC
10.AD
【解析】对于A，设复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，
则由复数几何意义以及向量加法三角形法则结合向量的模的定义得z1+z2=OZ1+OZ2≤OZ1+OZ2=z1+z2，故 A正确；
对于B，当z1=0，则z1z2=z12=0，z2可为任意复数，即z1与z2不一定相等，故 B错误；
对于C，设复数z1=1、z2=i，则z1−z2=1−i,z1+z2=1+i，故z1−z2=z1+z2= 2，但不满足z1z2=0，故 C错误；
对于D，若z2≠0，设z1=a+bi，z2=c+di,a,b,c,d∈R，
故z1z2=a+bic+di=a+bic−dic+dic−di=ac+bd+bc−adic2+d2，
则z1z2= ac+bdc2+d22+bc−adc2+d22= a2c2+2abcd+b2d2+b2c2−2abcd+a2d2c2+d22
= a2+b2c2+d2c2+d22= a2+b2 c2+d2，
又z1z2=a+bic−di= a2+b2 c2+d2，故z1z2=z1z2，故 D正确．
故选：AD．
11.ACD
【解析】对于A，若λ=1，则BP=BC+μBB1，
所以μBB1=BP−BC=CP，所以BB1//CP，
所以点P在CC1上，
因为CC1//BB1，所以点P到平面ABB1的距离即为点C到平面ABB1的距离，为定值，
而S△ABB1为定值，
所以VB−AB1P=VP−ABB1为定值，故 A正确；

对于B，若μ=1，则BP=λBC+BB1，
所以λBC=BP−BB1=B1P，所以BC//B1P，
所以点P在B1C1上，所以点P到平面ABB1的距离不是定值，
因为S△ABB1为定值，
所以VB−AB1P=VP−ABB1不是定值，故 B错误；
对于C，若λ=μ=12，则点P为B1C的中点，
故VB−AB1P=VP−ABB1=12VC−ABB1=12VB1−ABC=12×13S▵ABC⋅BB1=16VABC−A1B1C1，故 C正确；
对于D，若λ+μ=1，则B1,P,C三点共线，即点P在B1C上，
取BC的中点D，连接AD,DP,AP，
则AD⊥BC，
因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
所以BB1⊥AD，
又BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面BB1C1C，
所以AD⊥平面BB1C1C，
所以∠APD即为直线AP与平面BB1C1C所成角的平面角，
设正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长为2，则AD= 3，
而tan∠APD=ADPD= 3PD，
要使sin∠APD最大，则tan∠APD要最大，
则PD最小，
当PD⊥B1C时，PD最小，此时PD=CDsin∠BCB1= 22，
此时PA= 3+12= 142，
所以sin∠APDmax= 3 142= 427，
即直线AP与平面BB1C1C所成角的正弦值的最大值是 427，故 D正确．
故选：ACD．
12. 102或12 10
【解析】由题意z=2+i1+i=2+i1−i1+i1−i=3−i2=32−12i，
故|z|= 322+122= 102．
故答案为： 102．
13.25.6；1.3
【解析】该班学生这个月的课后阅读时长平均数为25×20+26×3050=25.6，
方差为20×[1+(25−25.6)2]+30×[1.1+(26−25.6)2]50=1.3．
故答案 ：25.6；1.3
14.3 2
【解析】取AB的中点D，则2GD=GA+GB，
因为GA+GB+GC=0，所以2GD=−GC，
所以GD//GC，又G为公共端点，所以C,G,D三点共线，
所以点G在AB边的中线上，且CG=23CD，
同理点G在AC,BC边的中线上，即点G为▵ABC的重心，
故AG=23×12AB+AC=13AB+AC，
因为|OA|=|OB|=|OC|，
所以点O为▵ABC的外心，即为O为▵ABC中垂线的交点，
故AOcs∠OAB=12AB,AOcs∠OAC=12AC，
则AG⋅AO=13AB+AC⋅AO=13AB⋅AO+AC⋅AO=16AB2+AC2=3，
所以AB2+AC2=18，
而AG=13AB+AC，所以AG2=19AB+AC2=2，
即AB2+AC2+2AB⋅AC=18，
所以AB⋅AC=0，所以AB⊥AC，
所以BC= AB2+AC2=3 2．
故答案为：3 2．
．
15.(1)
由正方体性质可知，B1A1//CD且B1A1=CD，故B1P//ED，
又因为点E，P分别为CD，A1B1的中点，
所以B1P=12B1A1=12CD=ED，所以四边形B1EDP是平行四边形，
所以B1E//DP，又B1E⊂平面AB1E，DP⊄平面AB1E，
所以直线DP//平面AB1E．
(2)
设点A到平面BB1E的距离为ℎ，
由题BE=AE= AD2+DE2= 22+12= 5，
故S▵ABE=12×AB×BC=12×2×2=2，
又由正方体性质B1B⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
所以B1B⊥BE，所以S▵B1BE=12×B1B×BE=12×2× 5= 5，
所以VA−B1BE=13S▵B1BEℎ=13× 5×ℎ= 53ℎ,VB1−ABE=13S▵ABEB1B=13×2×2=43，
又VA−B1BE=VB1−ABE，故 53ℎ=43⇒ℎ=4 55，即点A到平面BB1E的距离为4 55．
【解析】(1)证明四边形B1EDP是平行四边形，进而得B1E//DP即可得证直线DP//平面AB1E；
(2)由VA−B1BE=VB1−ABE即可求解．
16.(1)
x=100×0.15,y=30÷100=0.3，频率分布直方图如图所示，
(2)
x=13×0.1+15×0.15+17×0.2+19×0.3+21×0.15+23×0.05+25×0.05=18.2，
故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2．
(3)
第40百分位数为16+2×0.4−0.1−，故应选取本年度营销总额大于17.5百万元的加盟店获评优秀加盟店称号．
【解析】(1)根据频率与频数的关系，即可求解x,y，再把频率除以组距即可画出频率分布直方图．
(2)根据平均数计算公式即可求解．
(3)根据百分位数公式即可求解．
17.(1)
由题意得，AB=15 3海里，BC=3×7=21海里，∠ABC=90∘−60∘=30∘，
在▵ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cs∠ABC=15 32+212−2×15 3×21×cs30∘=171，
所以，AC= 171(海里)．
(2)
甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下：
如图所示，延长BC，过点A向正东方向作AD交BC的延长线于点D，连接DE，过点A作AF⊥DE交DE于点F，
在▵ABD中，AD=ABtan∠ABC=15 3× 33=15(海里)，
在▵ADE中，AE=6(海里)，∠DAE=180∘−60∘=120∘，由余弦定理得
DE2=AD2+AE2−2⋅AD⋅AE⋅cs∠DAE=152+62−2×15×6×cs120∘=351，
所以DE= 351(海里)，
所以AF=S▵ADE12DE=12×15×6× 3212× 351=15 1313>3，
因此甲船能沿DE方向航行前往救援．
【解析】(1)在▵ABC中使用余弦定理即可求得答案．
(2)先根据题目所给的条件作图，在▵ABD中，由AD=ABtan∠ABC求得AD长度，在▵ADE中，先根据余弦定理求得DE长度，再利用等面积法求得AF长度，即可判断．
18.(1)
证明：因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD，
因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM，
因为侧面PAD为正三角形，M是PD的中点，
所以AM⊥PD，
因为PD∩CD=D，PD,CD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD；
(2)
取AD的中点O，BC的中点E，连接OP,OE，
因为▵PAD为正三角形，所以OP⊥AD，
因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，
所以OP⊥平面ABCD，
因为OE,OD⊂平面ABCD，所以OP⊥OE,OP⊥OD，
因为四边形ABCD为矩形，AD的中点O，BC的中点E，
所以OE⊥OD，所以OE,OD,OP两两垂直，
所以以O为原点，OE,OD,OP所在的直线分别为x,y,z建立空间直角坐标系，
设AB=a,BC=b，因为OP⊥平面ABCD，
所以∠PBO为PB与平面ABCD所成角，
所以sin∠PBO=POPB= 32b a2+12b2+ 32b2= 64，化简得a=b，
令a=2，则A(0,−1,0),B(2,−1,0),P(0,0, 3),M(0,12, 32)，
所以AM=(0,32, 32),PB=(2,−1,− 3)，
所以csAM,PB=AM⋅PBAMPB=−32−32 94+34× 4+1+3=−3 3×2 2=− 64，
所以直线AM与直线PB所成角的余弦值为 64；
(3)
因为A(0,−1,0),B(2,−1,0),P(0,0, 3),M(0,12, 32),C(2,1,0)，
所以AM=(0,32, 32),PB=(2,−1,− 3)，AB=(2,0,0),BC=(0,2,0)，
设平面ABM的法向量为m=(x1,y1,z1)，则
m⋅AB=2x1=0m⋅AM=32y1+ 32z1=0，令z1= 3，则m=(0,−1, 3)，
设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2)，则
n⋅PB=2x2−y2− 3z2=0n⋅BC=2y2=0，令z2= 3，则n=(32,0, 3)，
所以csm,n=m⋅nmn=3 1+3× 94+3=3 21，
设平面ABM与平面PBC所成二面角为θ，
所以sinθ= 1−3 212=2 77
所以平面ABM与平面PBC所成二面角的正弦值2 77．
【解析】(1)由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，再由等边三角形三线合一的性质可得AM⊥PD，然后由线在垂直的判定定理可证得结论；
(2)取AD的中点O，BC的中点E，连接OP,OE，可证得OE,OD,OP两两垂直，所以以O为原点，OE,OD,OP所在的直线分别为x,y,z建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；
(3)求出平面ABM与平面PBC的法向量，利用空间向量求解即可．
19.(1)
设BD=t,∠BAD=α,α∈0,π，
在▵ABD中AD=2,AE=AB=1，由余弦定理得t2=1+4−2×1×2×csα=5−4csα，
SABFD=S▵ABD+S▵BDF=12×1×2×sinα+12×t×t× 32
=sinα+ 34t2=sinα+ 345−4csα=5 34+2sinα−π3，
当α=5π6时，SABFDmax=5 34+2．
(2)
①在▵ABC中，由余弦定理a2=b2+bc=b2+c2−2bccs∠BAC，
所以b=c−2bcs∠BAC，
再由正弦定理得sin∠ABC=sin∠ACB−2sin∠ABCcs∠BAC，
sin∠ABC=sin∠ABC+∠CAB−2sin∠ABCcs∠BAC，
sin∠ABC=sin∠ABCcs∠BAC+cs∠ABCsin∠BAC−2sin∠ABCcs∠BAC，
sin∠ABC=cs∠ABCsin∠BAC−sin∠ABCcs∠BAC=sin∠BAC−∠ABC，
sin∠ABC=sin∠BAC−∠ABC，∠BAC−∠ABC∈−π,π,∠ABC∈0,π,
所以∠ABC=∠BAC−∠ABC，∠BAC=2∠ABC．
②设∠ABC=θ,∠BAC=2θ，则∠ACB=π−3θ,
由正弦定理可得bsinθ=csinθ+2θ，所以c=bsinθ+2θsinθ，
所以c+4bbcs∠ABC=bsinθ+2θsinθ+4bbcsθ=sinθ+2θsinθ+4csθ=sinθ+2θ+4sinθsinθcsθ
=sinθcs2θ+csθsin2θ+4sinθsinθcsθ=sinθcs2θ−sin3θ+2cs2θsinθ+4sinθsinθcsθ=cs2θ−sin2θ+2cs2θ+4csθ
=4cs2θ+3csθ=4csθ+3csθ≥2 4csθ×3csθ=4 3．
当csθ= 32,θ=π6时，c+4bbcs∠ABC的最小值为4 3．
【解析】(1)设边长及角，应用余弦定理把面积转化为函数，再应用辅助角求出最值即可；
(2)①应用已知结合余弦定理求出边的关系得出角的关系；应用正弦定理边化角把分式化简最后应用基本不等式求出最小值．课后阅读时长平均数(小时)
方差
男生组
25
1
女生组
26
1.1
分组
频数
频率
12,14
10
0.1
14,16
x
0.15
16,18
20
0.2
18,20
30
y
20,22
15
0.15
22,24
5
0.05
24,26
5
0.05
合计
100
1.00