2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、大庆铁人中学高二下学期期末联考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、大庆铁人中学高二下学期期末联考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=2,4,6，B=x∈Zx−1≥2，则A∩∁ZB=( )
A. 2B. 0,2C. 0,1,2D. 0,1,2,4
2.命题“对∀x∈−1,2，ax2−x+a>0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A. a≥12B. a>12C. a≥1D. a≥13
3.若a,b,c满足2a>2b,lg3c<0，则( )
A. 1b−ac>0B. ac>bcC. ac>bcD. a+c>bc
4.某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的14，13，512.若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为( )
A. 19100B. 19300C. 531200D. 731200
5.为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有( )
A. 72B. 120C. 216D. 240
6.已知函数fx=2x2,x≤0e2x,x>06，若fx1=fx2x1≠x2，则x1+x2的最大值为( )
A. −ln2B. 2ln2−2C. ln2−1D. 12ln2−1
7.已知x+y=1,y>0,x>0，则12x+xy+1的最小值为( )
A. 54B. 0C. 1D. 22
8.已知m=21.02，n= 4.24，p=2.04，则m，n，p的大小关系为( )
A. m二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知f(x)=x2+1x9，则下列说法中正确的有( )
A. f(x)的展开式中的常数项为84
B. f(x)的展开式中不含1x3的项
C. f(x)的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D. f(x)的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
10.若函数fx=2x3−ax2a<0在(a2,a+63)上有最大值，则a的取值可能为( )
A. −6B. −5C. −4D. −3
11.某校为了解学生对2024欧洲杯的关注度(关注或不关注)，对本校学生随机做了一次调查，结果显示被调查的男、女生人数相同，其中有56的男生“关注”，有23的女生“关注”，若依据小率值α=0.001的独立性检验，认为学生对世界杯的关注度与性别有关联，则调查的总人数可能为( )
参考公式：x2=nad−bc2a+ba+da+cb+d，n=a+b+c+d．
A. 276B. 288C. 300D. 312
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数fx=e2x−1在点1,e处的切线与两个坐标轴围成的三角形面积为 ．
13.某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到86,100，71,85，56,70、41,55、30,40五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩X∼N50,256，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．(分数保留整数)附：①若X∼Nμ,σ2，Y=X−μσ，则Y∼N0,1；②当Y∼N0,1时，PY≤1.3≈0.9．
14.设x0是函数fx=x2ex−3+lnx−3的零点，则e3−x0+lnx0= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx=ex+x−1ex．
(1)求函数fx的极值；
(2)若曲线y=fx在点0,0处的切线与曲线y=ax2+2a+5x−2只有一个公共点，求a的值．
16.(本小题12分)
某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为23，12，13，且各老师的审核互不影响．
(1)在某歌手通过晋级的条件下，求他(她)经过了复合审查的概率；
(2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望．
17.(本小题12分)
已知函数fx=alnx+1x−1a∈R．
(1)求函数fx的单调区间；
(2)若对于任意的x1,x2∈0,1，且x1≠x2，恒有fx1−fx2x1−x2<2，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了10人的身高(单位：cm)和体重(单位：kg)作为一个样本，所得样本数据如下表所示：
(1)在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测
(ⅰ)若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率；
(ⅱ)求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率；
(2)由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据173,90残差过大，确定其为离群点，所以应去掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去掉离群点173,90的合理性(相关系数r保留三位小数)．
参考公式及数据：样本相关系数r=i=1nxi−xyi−y i=1nxi−x2 i=1nyi−y2=i=1nxiyi−nxy i=1nxi2−nx2 i=1nyi2−ny2
i=110xi=1730，i=110yi=720，i=110xiyi=124990，i=110xi−x2=266， 266× 720≈437.6．
19.(本小题12分)
帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数m，n，函数fx在x=0处的m,n阶帕德近似定义为：Rx=a0+a1x+a2x2+…+amxm1+b1x+b2x2…+bnxn，且满足：f0=R0，f′0=R′0，f′′0=R′0…，fm+n0=Rm+n0(注：f′′x=f′x′，f′′′x=f′′x′，f4x=f′′′x′，f5x=f4x′，…，fnx为fn−1x的导数)已知fx=lnx+1在x=0处的1,1阶帕德近似为Rx=ax1+bx．
(1)求实数a，b的值，并估计ln1.1的近似值(保留三位小数)；
(2)求证：x+bf1x>1；
(3)求不等式1+1xx答案解析
1.A
【解析】A=2,4,6，B=x∈Zx≥3，
所以A∩∁ZB=2．
故选：A
2.C
【解析】由命题“对∀x∈−1,2，ax2−x+a>0”为真命题，可知a>xx2+1在−1,2上恒成立，
当x=0时可得a>0，当x∈[−1,0)∪(0,2]时不等式可化为：a>1x+1x，
设y=x+1x，
①因y=x+1x在[−1,0)上单调递减，故x+1x≤−2，则−12≤1x+1x<0，故得a≥0；
②又因y=x+1x在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，故2≤x+1x≤52，
则有25≤1x+1x≤12，故得a>12．
综上，可得a>12，即命题“对∀x∈−1,2，ax2−x+a>0”为真命题等价于a>12，
依题意需使选项的 范围是{a|a>12}的真子集，故 C正确．
故选：C．
3.C
【解析】由2a>2b,lg3c<0，得a>b,0令a=−1,b=−2,c=12，此时ac与bc无意义，所以B错误；
因为a>b,0bc，所以C正确；
令a=−2,b=−3,c=12，则a+c=−32=bc，所以D错误．
故选：C．
4.D
【解析】设B=“任选一名学生恰好是艺术生”，
A1=“所选学生来自甲班”，A2=“所选学生来自乙班”，A3=“所选学生来自丙班”．
由题可知：
PA1=14，PA2=13，PA3=512，PB|A1=225，PB|A2=350，PB|A3=120 ，
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A 2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=14×225+13×350+512×120=731200．
故选：D
5.C
【解析】从左到右的6个位置分别为A,B,C,D,E,F，
若两个0之间有一个数字，此时两个0的位置有A,C或B,D或C,E或D,F四种情况，
在把剩余的4个数进行全排列，此时共有4A44=96种，
若两个0之间有两个数字，此时两个0的位置有A,D或B,E或C,E三种情况，
剩余的4个数进行全排列，此时有3A44=72种，
若两个0之间有三个数字，此时两个0的位置有A,E或B,F两种情况，
剩余的4个数进行全排列，此时有2A44=48种，
综上，可以设置的密码共有96+72+48=216个.
故选：C
6.D
【解析】因为fx=2x2,x≤0e2x,x>0，可知函数在(−∞,0]上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
不妨设x1<0可得x1=− 22ex2，则x1+x2=x2− 22ex2，
令gx=x− 22ex,x>0，则g′x=1− 22ex，
令g′x>0，则012ln2，
故gx在(0,12ln2)上单调递增，在(12ln2,+∞)上单调递减，
故gxmax=g12ln2=12ln2− 22× 2=12ln2−1，
故选：D
7.A
【解析】∵x+y=1，∴x+y+1=2，
∴12(x+y+1)2x+xy+1=14+y+14x+xy+1，
∵y>0,x>0，
∴y+14x>0,xy+1>0，
∴12x+xy+1=14+y+14x+xy+1≥14+2 y+14x⋅xy+1=54，
当且仅当y+14x=xy+1，即x=23，y=13时等号成立，
故选：A
8.A
【解析】令x=0.02，则m=21.02=21+0.02=21+x，n= 4.24= 4+0.24= 4+12x，p=2.04=2+0.04=2+2x，
当0设fx=2+2x− 4+12x，则f′x=2−6 4+12x=2 4+12x−6 4+12x，
∴f′x=2−6 4+12x=2 4+12x−6 4+12x<2 4+5−6 4+12x=0，
∴fx=2+2x− 4+12x在0,13单调递减，∴f0=0>f0.02=2+0.04− 4+0.24,
∴0>2+0.04− 4+0.24⇒ 4+0.24>2+0.04⇒ 4.24>2.04，
∴p当0设gx=2+2x−21+x，
则g′x=2−21+xln2=21−2xln2>0，
∴gx=2+2x−21+x在0,13单调递增，∴g0=0故选：A．
9.AC
【解析】解：对于A.因为f(x)的展开式中Tr+1=C9rx29−r·x−r=C9rx18−3r，
所以由18−3r=0得r=6，因此f(x)的展开式中的常数项为C96=84，故A正确;
对于B.由选项A知：由18−3r=−3得r=7，
因此f(x)的展开式中含1x3的项为C97x−3，故不正确;
对于C.由选项A知：f(x)的展开式中各项系数和二项式系数都是C9rr=0,1,2,⋯,9，
因此f(x)的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等，故C正确;
对于D.f(x)的展开式中的二项式系数最大的项是第五项和第六项，故D错误．
故选：AC．
10.ABC
【解析】解：因为函数fx=2x3−ax2a<0，
所以f′(x)=6x2−2ax=2x(3x−a)，
令f′(x)=2x(3x−a)=0，
得x1=0，x2=a3<0(a<0)，
当a3当x0时，f′(x)>0，f(x)在(−∞,a3)，(0,+∞)单调递增，
从而f(x)在x=a3处取得极大值f(a3)=−a327．
令f(x)=−a327，得(x−a3)2(2x+a3)=0，
解得x=a3或x=−a6．
∵f(x)在(a2,a+63)上有最大值，
∴a3∴a≤−4．
故选ABC．
11.CD
【解析】设男、女生人数均为n，可得如下2×2列联表：
由题意可得χ2=2n×5n6×n3−2n3×n62n2×3n2×n2=2n27，所以2n27≥10.828，所以n≥146.178，
则2n≥292.356，因为n为6的倍数，则2n为12的倍数，则CD满足题意．
故选：CD
12.e4
【解析】由题意可得f′x=2e2x−1，则曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为2e，
切点为1,e，故切线方程为y−e=2e(x−1)⇒y=2ex−e．
令x=0，得y=−e；令y=0，得x=12．
则该切线与坐标轴分别交于点(0,−e)，12,0，
故该切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×e×12=e4．
故答案为：e4．
13.71
【解析】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为10%，
若A等级的原始分最低为X，又原始成绩X∼N50,256，
μ=50,σ=16，令Y=X−5016，则Y∼N0,1，
又PY≤1.3≈0.9，所以PY≥1.3=1−PY≤1.3≈0.1，
即X−5016≥1.3，可得X≥50+1.3×16=70.8≈71分，
则他的原始分数最低为71．
故答案为：71．
14.3
【解析】由题意，fx0=x02ex0−3+lnx0−3=0．
注意到x02ex0−3=elnx02ex0−3=e2lnx0ex0−3=ex0+2lnx0−3，
所以x02ex0−3+lnx0−3=ex0+2lnx0−3+lnx0−3=0，
在ex0+2lnx0−3+lnx0−3=0两边同时加上x0+lnx0，
即ex0+2lnx0−3+x0+2lnx0−3=x0+lnx0，
即ex0+2lnx0−3+x0+2lnx0−3=elnx0+lnx0，
设函数gx=ex+x，显然该函数是实数集上的增函数，
由ex0+2lnx0−3+x0+2lnx0−3=elnx0+lnx0⇒gx0+2lnx0−3=glnx0，
即x0+2lnx0−3=lnx0即x0+lnx0−3=0，
所以e3−x0+lnx0=elnx0+lnx0=x0+lnx0=3，
故答案为：3
关键点点睛：本题的关键是利用对数式与指数式的恒等式，由ex0+2lnx0−3+lnx0−3=0得到ex0+2lnx0−3+x0+2lnx0−3=elnx0+lnx0，然后通过构造函数，利用函数的单调性进行求解．
15.解：(1)易知fx定义域为R，f′x=(ex+1)ex−(ex+x−1)ex(ex)2=2−xex，
当x∈−∞,2时，f′x>0，当x∈2,+∞时，f′x<0．
∴fx在−∞,2上单调递增，在2,+∞上单调递减，
故fx在x=2处取得极大值且极大值f2=e2+1e2，无极小值．
(2)由(1)知f′x=2−xex，则f′0=2，又f0=0．
∴曲线y=fx在点0,0处的切线为y=2x，
把切线方程y=2x代入曲线方程y=ax2+2a+5x−2，
得ax2+2a+3x−2=0有唯一解，
①当a=0时，方程为3x−2=0，有唯一解x=23，符合题意；
②a≠0且Δ=0，即(2a+3)2−4a×(−2)=4a2+20a+9=0，
解得a=−12或−92．
所以a=−12或−92或0．
【解析】(1)求导得f′x=2−xex，分析单调性可得极值点．
(2)由f′0=2和f0=0可得切线方程，把切线方程代入曲线方程，因为切线与曲线只有一个公共点，可得ax2+2a+3x−2=0有唯一解，对二次项系数分类讨论即可求解．
16.解：(1)设事件A={A老师表示通过}，事件B={B老师表示通过}，事件C={C老师表示通过}，事件D={歌手通过晋级}，事件E={歌手经过复审}，
则PA=23，PB=12，PC=13，PD=PAB+PABC+PABC=23×12+13×12×13+23×12×13=12
PDE=13×12×13+23×12×13=16，因此，PE|D=PDEPD=13
所以在某歌手通过晋级的条件下，求他(她)经过了复合审查的概率为13．
(2)依题意，X的可能取值为0，1，2，3，显然，X∼B3,12，
则PX=0=C30123=18，PX=1=C31123=38
PX=2=C32123=38，PX=3=C33123=18
所以X的分布列如下：
数学期望为EX=3×12=32．
【解析】(1)根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算得解．
(2)求出X的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望．
17.解：(1)fx的定义域为0,+∞,f′x=ax−1x2=ax−1x2，
当a≤0时，f′x<0在0,+∞恒成立，
当a>0时，令f′x>0，得x>1a，fx单调递增；
令f′x<0，得0综上所述：当a≤0时，fx的单调递减区间为0,+∞；
当a>0时，fx的单调递增区间为1a,+∞，单调递减区间为0,1a．
(2)不妨设x12x1−x2，
即fx1−2x1>fx2−2x2，
令gx=fx−2x，则函数gx在0,1上单调递减，
则g′x=f′x−2=ax−1x2−2≤0在0,1上恒成立，
所以a≤1x+2x在0,1上恒成立，所以a≤2x+1xmin，
因为y=2x+1x在0, 22上单调递减，在 22,1递增，所以2x+1x≥2 2，
所以实数a的取值范围为−∞,2 2．
【解析】(1)求导后，根据导函数的正负情况对实数a进行分类讨论；
(2)不妨设x1fx2−2x2，进而转化为gx=fx−2x，则函数gx在0,1上单调递减，然后利用导数研究函数的单调性求得实数a的取值范围．
18.解：(1)(ⅰ)记抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg为事件M，则PM=C53C103+C51C52C103，得PM=12.
(ⅱ)记第一次抽取的学生体重大于79kg为事件A，第二次抽取的学生身高大于175cm为事件B．
因为样本中学生身高大于175cm的有4人，身高大于175cm且体重大于79kg的有2人，
身高小于175cm且体重大于79kg的有1人，
所以PAB=C11C101×C41C91+C21C101×C31C91=19．
(2)设未去离群点的样本相关系数为r1，去掉离群点后的样本相关系数为r2，则r1≈0.802．
去掉离群点后，i=19x i′=i=110xi−173=1730−173=1557，x=15579=173，
i=19y i′=i=110yi−90=720−90=630，y=6309=70，
i=19x i′y i′=i=110xiyi−173×90=124990−15570=109420
i=19x i′−x2=i=110xi−x2=266，
i=19y i′−y2=132+122+52+52+52+62+102+142=720
由i=1nxi−xyi−y=i=1nxiyi−nxy
得r2=i=19x i′y i′−9xy i=19x i′−x2 i=19y i′−y2=109420−9×173×70 266× 720=430437.6≈0.983
因为r2>r1，且r2相比r1更接近1，所以y与x的线性相关性更强，所以去掉离群点173,90是合理的．
【解析】(1)(ⅰ)由超几何分布的概率公式计算得出；(ⅱ)记第一次抽取的学生体重大于79kg为事件A，第二次抽取的学生身高大于175cm为事件B，由乘法公式计算得出PAB；
(2)根据题设公式计算去掉离群点后的样本相关系数r2，由r2相比r1更接近1得出去掉离群点173,90的合理性．
19.解：(1)因为Rx=ax1+bx，所以R′x=a1+bx2，R′′x=−2ab1+bx3；
因为fx=lnx+1，所以f′x=1x+1，f′′x=−1x+12
由题意知，f′0=R′0，R′′0=f′′0
所以a=1−2ab=−1解得a=1，b=12.
ln1.1=f0.1≈R0.1=2×0.10.1+2=221≈0.095
(2)由(1)知，即证x+12ln1+1x>1，令t=1+1x，t>0且t≠1．
即证t∈0,1∪1,+∞时，有t+12t−1⋅lnt>1
设φt=lnt−2t−1t+1，t∈0,1∪1,+∞，则φ′t=1t−4t+12=t−12tt+12>0
所以φt在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递增
当t∈0,1时，φt<φ1=0，
可得lnt<2t−1t+1，即t+12t−1⋅lnt>1成立，
当t∈1,+∞时，φt>φ1=0，
可得lnt>2t−1t+1，即t+12t−1⋅lnt>1成立，
综上可得当t∈0,1∪1,+∞时，t+12t−1⋅lnt>1
所以x+12ln1+1x>1成立，即x+bf1x>1成立；
(3)由题意知，欲使得不等式1+1xx则至少有1+1x>0，即x>0或x<−1.
首先考虑e<1+1xx+12，该不等式等价于ln1+1xx+12>1，
即x+12ln1+1x>1．
由(2)知x+12ln1+1x>1成立，
所以使e<1+1xx+12成立的x的取值范围为x>0或x<−1
再考虑1+1xx该不等式等价于xln1+1x<1，
不妨令ℎx=lnx−x+1，函数定义域为0,1∪1,+∞．
当00，ℎx单调递增；
当x>1时，ℎ′x<0，ℎx单调递减，
所以ℎx<ℎ1=0，
即当x∈0,1∪1,+∞时，lnx则当x∈−∞,−1∪0,+∞时，有ln1+1x<1x
当x>0时，由ln1+1x<1x可得xln1+1x<1成立；
当x<−1时，由ln1+1x<1x可得ln1+1x<1x不成立，
所以使1+1xx综上可得不等式1+1xx【解析】(1)根据二阶求导及定义得出近似值；
(2)构造函数结合函数的单调性证明不等式；
(3)化简不等式分别构造函数，求出导函数结合函数的单调性得出最值进而解出不等式．
α
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高x/cm
164
165
170
172
173
174
176
177
179
180
体重y/kg
57
58
65
65
90
70
75
76
80
84
对卡塔尔世界杯关注
对卡塔尔世界杯不关注
合计
男生
5n6
n6
n
女生
2n3
n3
n
合计
3n2
n2
2n
X
0
1
2
3
P
18
38
38
18