江苏省南京市六校2023-2024学年高一下学期6月期末调研数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市六校2023-2024学年高一下学期6月期末调研数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若，则( )
A.B.3C.D.5
2．已知向量，，若，则实数m的值为( )
A.B.1C.D.2
3．已知，，，则的值为( )
A.B.C.D.
4．已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为( )
A.B.C.D.
5．在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心150km.以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据：( )
A.2B.4.5C.9.5D.10
6．从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则( )
A.A与B互斥B.A与B独立C.A与C互斥D.A与C独立
7．在如图所示的几何体中，底面是边长为2的正方形，，，，均与底面垂直，且.，点E、F分别为线段、的中点，记该几何体的体积为V，平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为( )
A.B.C.D.
8．已知点P为内一点，且，，，，则的正切值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列有关复数的说法正确的是( )
A.若，则
B.
C.
D.若，则的取值范围为
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.则下列说法正确的是( )
A.
B.的取值范围是
C.若D为边的中点，且，则面积的最大值为
D.若角B的平分线交于点E，且，则的最小值18.
11．正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是( )
A.
B.直线与平面所成的角为
C.若点P为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
D.若点P为棱上的动点，则的最小值为
三、填空题
12．已知向量，向量，则在上的投影向量的坐标为________.
13．如图，平面四边形中，，，，，则的长为________.
14．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，为球O的直径，且，则三棱锥体积的最大值为________.
四、解答题
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小.
（2）若，，求AC边上的中线BD的长.
16．为了解某地居民的月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表.
（1）求频率分布直方图中a的值.
（2）求月收入的平均数、75百分位数.
（3）现按月收入分层，在和这两个收入段中，按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率.
17．如图，在梯形中，，，，，O为AC与BM的交点.
（1）若，求；
（2）若，求.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，且，AC交BD于点O，，，M，N分别为PA，BC的中点.
（1）求证：平面；
（2）记二面角的平面角为θ，若
①求PA与底面所成角的大小；
②求点N到平面的距离.
19．已知，点B，C分别为其两条边上不与点A重合的点.
（1）如图1，若，，为锐角三角形，求AC的取值范围.
（2）如图2，若，，以BC为边构造等边，设，试求AD的最大值.
（3）如图2，若，，以BC为边构造等边，试求AD的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：方法一：因为，
所以，
方法二：，
故选：C.
2．答案：B
解析：因为向量，，
所以，
解得，
故选：B.
3．答案：D
解析：因为，，则，
可得，
所以.
故选：D.
4．答案：A
解析：
如图，因为圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，所以圆锥的底面半径为1，
则该圆锥的侧面积为，底面积为，
所以该圆锥的表面积为.
故选：A.
5．答案：B
解析：
如图，当台风中心向西北方向移动到达点C时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响，
设t小时后该城市所在地开始受到影响，台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km，
又台风中心向西北方向移动，所以，
由余弦定理可得，
解得或（舍），
则开始受到影响在之后.
故选：B.
6．答案：D
解析：由题意可知：随机选两个人参加某个比赛，可知：
样本空间：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），则，
事件A：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），则，；
事件B：（甲，丙），（甲，丁），（丙，丁），则，；
事件C：（甲，乙），（丙，丁），则，；
事件AB：（甲，丙），（甲，丁），则，；
事件AC：（甲，乙），则，；
对于选项A：因为，可知A与B不互斥，故A错误；
对于选项B：因为，所以A与B不独立，故B错误；
对于选项C：因为，可知A与C不互斥，故C错误；
对于选项D：因为，可知A与C独立，故D正确；
故选：D.
7．答案：B
解析：由题意可知该几何体是长方体截去一个三棱锥，如图所示，
有，，四边形为平行四边形，有，
点E、F分别为线段、的中点，则，
所以平面即为平面AFE截几何体的截面.
因为，，
所以几何体的体积，
被截棱台的体积，
较大部分体积为，且，
所以较小部分的体积为.
故选：B.
8．答案：A
解析：
如图，过P作AC的垂线，垂足为D，过P作BC的垂线，垂足为E，
令的外接圆半径为r，
因为，，，
所以，，
由正弦定理可得：，
因为，，所以，
所以，在中，
，
因为，所以，在中，
，，
所以
所以，在中，
，
故选：A.
9．答案：BCD
解析：对于A，因为时，，所以A错误，
对于B，令，则，
所以，
因为，所以，所以B正确，
对于C，设，对应的向量分别为，，则，
，
因为，所以，所以C正确，
对于D，令，则由，得
，，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上，
所以的最小值为，最大值为，
即的取值范围为，所以D正确，
故选：BCD
10．答案：ACD
解析：对于选项A：因为，
则，整理得，
且，所以，故A正确；
对于选项B：因为，
则
，
又因为，则，可得，
所以的取值范围为，故B错误；
对于选项C：因为D为边的中点，则，
则，
可得，即，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于选项D：由题意得，
即，
整理得，即，
可得，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：对于A选项，正八面体，连接，，，
对称性可知，平面，且，，相交于点O，O为，，的中点，
又，，
故四边形为菱形，四边形为菱形，
可知，，，是平面内两条相交直线，
所以平面，又平面，故，故A正确
对于B，由A选项可知平面，故直线与平面所成的角为，
且由题意得，，故，
故，B错误；
对于C，三棱锥的体积，
其中点A到平面的距离为，设菱形的面积为S，
则，，
若点P为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，故C正确.
对于D，由题意得为等边三角形，边长为3，
在中，，，，为等腰直角三角形，
将沿直线ED翻折到平面EAD内，如图，易得，
则的最小值为为
，
D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：因为，，则，，
所以在上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
13．答案：
解析：在中，，，所以，又，
由正弦定理可得，，即，
解得，
在中，，，，所以，又，
由正弦定理可得，，即，
解得，
又因为，，所以
在中，由正弦定理可得，
即，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图所示，设圆的半径为r，
在中，因为，，
由正弦定理得，可得，
即的外接圆的半径为，
因为为球O的直径，且，可得球的半径为，
所以球心O到所在小圆的距离为，
则点S到平面的距离为，
在中，由余弦定理得，
即，
当且仅当时，等号成立，即，
所以面积的最大值为，
故三棱锥体积的最大值为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，由正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）因为，且，可知，
可得，
由正弦定理可得，则，
又因为BD为AC边上的中线，则，
可得
，
所以AC边上的中线BD的长为.
16．答案：（1）；
（2）4800，5800；
（3）
解析：（1）由，解得，
（2）设月收入的平均数为x，则
，
设75百分位数为m，则
，
解方程得.
（3）在的人数为人
在的人数为人
按比例分配分层随机抽样方法抽出6人中，在中抽2人，记为a，b；在[300，400)中抽4人A，B，C，D；
从6人中任选2人结果有
，共有15个；
选中的2人来自不同收入段有共有8个，
所以选中的2人来自不同收入段的概率为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意可知：，，
可得则，，
若，则，
所以.
（2）由（1）可知：，，
且，
可得，
则，即，
，即，
所以.
18．答案：（1）证明见详解；
（2）①；②
解析：（1）取PD得中点E，连接ME，CE，如图，
因为为PA的中点，则，，
又因为N为的中点且四边形ABCD为菱形，则，，
可得，，可知四边形MNCE为平行四边形，则，
且平面，平面.所以平面.
（2）①连接，取的中点F，连接，，
因为，
则，且，，，
可知为二面角的平面角，即，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
则，
因为，O是的中点，则，
又因为为菱形，则，
且，平面，可得平面，
由平面，可知平面平面，
且平面平面，
由面面垂直的性质可知：直线在平面上的射影为，
所以PA与底面ABCD所成角为.
因为，则，
且，可知，
所以PA与底面ABCD所成角的大小为；
②连接，过O作于G，
由，平面，平面，则平面，
可知点N到平面CDP的距离即点O到平面CDP的距离，
因为，，，平面，
可得平面，且平面，可知平面平面
又因为，平面，平面平面，
所以平面，且平面，
在中，，，，
由等面积法可得，即，
所以点N到平面CDP的距离为.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）6
解析：（1）方法一：由余弦定理得，即，
故，
若C为最大角，只需，故，解得，
若B为最大角，只需，故，解得，
综上，.
方法二：如图，此时，，
如图，此时，，
由于为锐角三角形，故；
（2）由正弦定理得，R为的外接圆半径，
故，解得，
过点B，C分别作，⊥，，相交于点O，
其中，
故以O为圆心，为半径的圆，即为的外接圆，
当A，O，D三点共线时，取得最大值，如图，即为所求，
其中，故，
即最大值为；
（3）以为边向外作等边三角形，连接，故，
因为为等边三角形，所以，，
故，即，
故，所以，
当E，A，C三点共线时，取得最大值，此时，
最大值为，故的最大值为6.