2025年高考数学一轮复习课时作业-数列的综合应用【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-数列的综合应用【含解析】，共10页。
1.(5分)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,4a1,2a3,a5成等差数列,则a1=( )
A.52-5B. 52+5
C.52D. 5
2.(5分)设数列{an},{bn}都是正项等比数列,Sn,Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和,且SnTn=n+12n,则lga3b3等于( )
A.35B.95C.59D.53
3.(5分)若f(x)=xm+ax的导函数为f'(x)=2x+1,则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为( )
A.nn+1B.n+2n+1C.nn-1D.n+1n
4.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=-5,a3=-1.记bn=Snan(n=1,2,…),则数列{bn}的( )
A.最小项为b3B.最大项为b3
C.最小项为b4D.最大项为b4
5.(5分)已知数列{an}满足a1=1,P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上,如果函数f(n)=1n+a1+1n+a2+…+1n+an(n∈N*,n≥2),那么函数f(n)的最小值为( )
A.13B.14C.712D.512
6.(5分)(多选题)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”意思是某人要走三百七十八里的路程,第一天脚步轻快有力,走了一段路程,第二天脚痛,走的路程是第一天的一半,以后每天走的路程都是前一天的一半,走了六天才走完这段路程.则下列说法正确的是( )
A.此人第二天走了九十六里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C.此人第三天走的路程占全程的18
D.此人后三天共走了四十二里路
7.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,{lg Sn}是公差为lg 3的等差数列,则a2+a4+…+a2n= .
8.(5分)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sn是其前n项和,若S2+a2=S3-3,则a4+3a2的最小值为 .
9.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,写出一个{an}的通项公式an= ,使{an}满足以下条件:①{an}是递减数列;②{Sn}是递增数列.
10.(10分)(2023·济南模拟)已知数列an满足a1=1,nan+1-(n+1)an=1.
(1)若数列bn满足bn=1+ann,证明:bn是常数列;
(2)若数列cn满足cn=sin(π2an)+2an,求cn的前2n项和S2n.
11.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n22+3n2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=an+2-an+1an+2·an,且数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn0) ,a1≠0,故由题意可得:
a1(1+q+q2+q3)=154a3=4a1+a5,a1(1+q+q2+q3)=154q2=4+q4,
解得q2=2,q=2 ,a1=52-5 .
2.(5分)设数列{an},{bn}都是正项等比数列,Sn,Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和,且SnTn=n+12n,则lga3b3等于( )
A.35B.95C.59D.53
【解析】选D.因为数列{an},{bn}都是正项等比数列,所以数列{lg an}与{lg bn}为等差数列.
因为SnTn=n+12n,所以S5T5=lg(a1·a2·…·a5)lg(b1·b2·…·b5)=lga35lgb35=lgb3a3=610=35,则lga3b3=53.
3.(5分)若f(x)=xm+ax的导函数为f'(x)=2x+1,则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为( )
A.nn+1B.n+2n+1C.nn-1D.n+1n
【解析】选A.因为f(x)=xm+ax,
所以f'(x)=mxm-1+a.又因为f'(x)=2x+1,
所以m=2,a=1,所以f(n)=n2+n=n(n+1),
所以1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+1,
所以数列{1f(n)}的前n项和为
1f(1)+1f(2)+…+1f(n)=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1.
4.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=-5,a3=-1.记bn=Snan(n=1,2,…),则数列{bn}的( )
A.最小项为b3B.最大项为b3
C.最小项为b4D.最大项为b4
【解析】选C.等差数列{an}中,a1=-5,a3=-1,
所以d=2,an=-5+2(n-1)=2n-7,
Sn=-5n+n(n-1)2×2=n2-6n,
则bn=Snan=n(n-6)2n-7.令f(x)=x2-6x2x-7,x>0,则f'(x)=2(x2-7x+21)(2x-7)2>0,
故f(x)在(0,72),(72,+∞)上单调递增,没有最大值.因为b1=1,b3=9,b4=-8,结合数列的函数特性易得,当n=4时,bn取得最小值.
5.(5分)已知数列{an}满足a1=1,P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上,如果函数f(n)=1n+a1+1n+a2+…+1n+an(n∈N*,n≥2),那么函数f(n)的最小值为( )
A.13B.14C.712D.512
【解析】选C.将点P的坐标代入直线方程,得an+1-an=1,所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=n,所以f(n)=1n+1+1n+2+…+1n+n,f(n+1)=1n+2+1n+3+…+1n+n+2,
所以f(n+1)-f(n)=1n+n+1+1n+n+2-1n+1>12n+2+12n+2-1n+1=0,
所以f(n)单调递增,故f(n)的最小值为f(2)=712.
6.(5分)(多选题)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”意思是某人要走三百七十八里的路程,第一天脚步轻快有力,走了一段路程,第二天脚痛,走的路程是第一天的一半,以后每天走的路程都是前一天的一半,走了六天才走完这段路程.则下列说法正确的是( )
A.此人第二天走了九十六里路
B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C.此人第三天走的路程占全程的18
D.此人后三天共走了四十二里路
【解析】选ABD.记每天走的路程里数为an(n=1,2,3,…,6),由题意知{an}是公比为12的等比数列,由S6=378,得a1(1-126)1-12=378,解得a1=192,所以a2=192×12=96,此人第一天走的路程比后五天走的路程多192-(378-192)=6(里),a3=192×14=48,48378>18,前3天走的路程为192+96+48=336(里),则后3天走的路程为378-336=42(里).
7.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,{lg Sn}是公差为lg 3的等差数列,则a2+a4+…+a2n= .
【解析】S1=a1=1,则lg S1=lg 1=0,
因为{lg Sn}是公差为lg 3的等差数列,
所以lg Sn=(n-1)lg 3=lg 3n-1,则Sn=3n-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=2×3n-2,
a2=2,当n≥2时,an+1an=2×3n-12×3n-2=3,
所以数列{an}自第二项起构成公比为3的等比数列,可得a2+a4+…+a2n=2(1-9n)1-9=9n-14.
答案:9n-14
8.(5分)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sn是其前n项和,若S2+a2=S3-3,则a4+3a2的最小值为 .
【解析】因为S3-S2=a3,所以由S2+a2=S3-3,得a3-a2=3.设等比数列{an}的公比为q,则a1=3q(q-1),由于{an}的各项均为正,所以q>1.
a4+3a2=a1q3+3a1q=a1q(q2+3)=3q(q-1)q(q2+3)=3(q2+3)q-1=3(q-1+4q-1+2)≥18,当且仅当q-1=2,即q=3时,a4+3a2取得最小值18.
答案:18
9.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,写出一个{an}的通项公式an= ,使{an}满足以下条件:①{an}是递减数列;②{Sn}是递增数列.
【解析】由数列{Sn}是递增数列可知数列{an}从第二项起,各项都大于零,结合数列{an}为递减数列,考虑{an}为公比在0到1之间的等比数列,显然,an=12n符合条件.
答案: (12)n(答案不唯一)
10.(10分)(2023·济南模拟)已知数列an满足a1=1,nan+1-(n+1)an=1.
(1)若数列bn满足bn=1+ann,证明:bn是常数列;
(2)若数列cn满足cn=sin(π2an)+2an,求cn的前2n项和S2n.
【解析】(1)因为bn+1-bn=1+an+1n+1-1+ann
=n(1+an+1)-(n+1)(1+an)(n+1)n
=n+nan+1-(n+1)-(n+1)an(n+1)n
=n+1-(n+1)(n+1)n=0,所以bn+1=bn,
所以bn是常数列.
(2)因为a1=1,所以bn=b1=1+a11=2,所以1+ann=2,所以an=2n-1.
因为cn=sin π2(2n-1)+22n-1=sin (nπ-π2)+22n-1,
所以S2n=sin π2+sin3π2+sin 5π2+…+sin(2nπ-π2)+(21+23+25+…+24n-1)
=(1-1+1-1+…-1)+2(1-42n)1-4=24n+1-23.
11.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n22+3n2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=an+2-an+1an+2·an,且数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn0(n≥2),所以12n1-11+n,
所以当n≥2时,Pn