河南省许昌市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份河南省许昌市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数的共轭复数是( )
A.B.C.D.
2．在中，，，点D满足，若为一组基底，则( )
A.B.C.D.
3．有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，则其分位数与分位数的和为( )
A.144B.145C.146D.147
4．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，，则
5．若样本，，，的平均数为10，方差为2，则对于样本，，，…，，下列结论正确的是( )
A.平均数为20，方差为4B.平均数为11，方差为4
C.平均数为20，方差为8D.平均数为21，方差为8
6．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是( )
A.抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D.小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
7．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角泰”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为9的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为( ).
A.B.C.D.
8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立B.乙与丙相互独立
C.甲与丁相互独立D.丙与丁相互独立
二、多项选择题
9．下列命题中错误的是( )
A.若x是实数，则x可能不是复数
B.若z是虚数，则z不是实数
C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D.-1没有平方根
10．已知向量，，，则下列结论正确的有( )
A.B.若，则
C.的最大值为2D.的最小值为2
11．已知正方体的棱长为2，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.存在点P，使得平面
C.若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为
D.若点P是AB的中点，点Q是AB的中点，经过D，P，Q三点的正方体的截面周长为
三、填空题
12．正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，且侧面积等于两底面面积之和，则该棱台的体积是______.
13．已知，，则在方向上的投影向量坐标为______.
14．在三棱锥中，若，，，且，，，Q为底面内部及边界上的动点，则PQ与底面ABC所成角的正弦值的取值范围为______.
四、解答题
15．已知，，与的夹角是.
（1）求的值及的值；
（2）当k为何值时，？
16．在一个文艺比赛中，10名专业人士和10名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分：
小组A 45 48 46 52 47 49 55 42 51 45
小组B 55 36 70 66 75 49 68 42 62 47
（1）如果选择方差度量每一组评委打分相似性的量，计算每组评委打分的方差；
（2）你能据此判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？
17．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求A；
（2）若，求面积的取值范围.
18．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.
（1）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数；
（2）现按分层随机抽样的方法从质量在，内的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中质量至少有一个在内的概率；
（3）若该种植园中还未摘下的芒果大约有10000个，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体.某经销商来收购未摘芒果，提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以10元/千克收购；
B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的芒果以3元/个收购.
通过计算确定该种植园选择哪种方案获利更多？
19．如图，三棱柱中，是正三角形，，，平面平面ABC，E、F分别为，的中点.
（1）证明：平面ABC；
（2）若P为底面ABC内（包括边界）动点，平面，且P的轨迹长度为l，求三棱柱的体积；
（3）在（2）的条件下，求二面角的正切值.
参考答案
1．答案：B
解析：求复数 的共轭复数, 即实部相同, 虚 部互为相反数,
,所以 的共轭复数为
综上所述, 本题正确答案为B
2．答案：A
解析：，，，，故选A.
3．答案：D
解析：
4．答案：D
解析：若，，则或或l与相交，相交也不一定垂直，故A错误；
若，，则l与m的位置关系有三种：平行、相交或异面，故B错误；
若，，则或或l与相交，相交也不一定垂直，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确.
故选：D.
5．答案：C
解析：因为样本，，，…，的平均数是10，方差为2，
所以样本，，，…，的平均数是：，方差为.
故本题正确答案为C.
6．答案：B
解析：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平；对于B，恰有一枚正面向上包括(正，反)，(反，正)两种情况，而两枚都正面向上仅有(正，正)一种情况，所以游戏不公平；对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平；对于D，小明、小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况，，，，两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平.故选B.
7．答案：A
解析：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为9，如图所示.
在棱长为9的正四面体中，取BC中点D，连接SD，AD
作平面ABC，垂足O在AD上，
则，
，.
当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，
过球心O作，则OE就是球的半径.
，该球半径.
该球体积的最大值为，
故放入丸子体积最大值为.
故选：A
8．答案：C
解析：依题意，有放回地随机取两次，共有36种不同结果：，
其中，，，
丁事件包含共6个基本事件.
丙事件包含，共5个基本等件.
易知“甲、丙同时发生”的基本事件有0个，“丙、丁同时发生”的基本事件有0个，“乙、丙同时发生”的基本事件为，有1个，
，又，
乙、丙不相互独立.
同理可知“甲、丁同时发生”的基本事件为，
，又
，
甲与丁相互独立，故选C.
9．答案：ACD
解析：因为复数包含实数，故A错误；根据虚数的定义可知B正确；一个复数为纯虚数的充要条件是实部为零，虚部不为零，故C错误；-1的平方根为，故D错误.故选ACD.
10．答案：AC
解析：对于A，，A正确；
对于B，若，则，
所以，又，所以，B错误；
对于C，，
因为，所以，
所以的最大值为2，C正确；
对于D，，，
因为，所以，
当，取得最小值1，D错误
故选：AC.
11．答案：ABC
解析：对于A，由等体积法，三棱锥的高等于，
底面积，所以，
所以三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，以D为坐标原点，以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，，，，，，
，，，
若平面，则，，
则，，
解得，不符合，，故B错误；
对于C，，若，
，即.
所以点P的轨迹就是线段AC，轨迹长为，故C正确；
对于D，连接PQ并延长交DC的延长线于N，连接交于F，连接QF，延长QP交DA的延长线于M，连接交于E，连接PE，
则五边形即为经过，P，Q三点的正方体的截面，如图：
正方体的棱长为2，则，，
则为等腰直角三角形，则，
根据得，，
则，，
则，，
同理可得，，而，
则五边形的周长为，故D错误.
12．答案：
解析：由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，高为h.
可得上、下底面面积为，，
如图所示，取上、下底面正方形的中心分别为，O，
再取E，F分别为，BC的中点，
分别连接，，OE，EF，过点E作，
在直角中，可得
因为侧面积等于两底面面积之和，可得.
可得.
代入棱台体积公式：
，
得：，
故答案为：.
13．答案：
解析：因为，，，
所以，，
所以a在b方向上的投影向量为
14．答案：
解析：
如图，过点P作AB的垂线PM交AB于点M，
过点M作AB的垂线MN交AC于点N，
则为平面PAB与平面ABC所成的角，
易知是直角三角形，则，.
，，，，
又，
，
在中，，.
在中，，
过点P作平面ABC，垂足为O，则点O在直线MN上，
且，.
显然当点Q在点M处时，直线PQ与平面ABC所成的角取得最大值，.
当点Q在点C处时，直线PQ与平面ABC所成的角取得最小值，
又，则
15．答案：（1）；（2）
解析：（1），
；
（2）因为，
所以，
整理得，解得.
即当时，.
16．答案：（1）答案见解析；（2）A组更像是由专业人士组成的
解析：（1），
，
，
；
（2）由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高
由（1）可知，，因而，
根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的.
17．答案：（1）；（2）
解析：（1）由及正弦定理得：
，
即，
，
，
因为，因此，
所以得，
即，
得或，
又因为，所以.
（2）由正弦定理得：，
所以，，
所以
，
因为，所以，
因此，，
所以.
因此：面积的取值范围是：.
18．答案：（1）268.75；（2）；（3）该种植园选择B方案获利更多.
解析：设中位数为x，由频率分布直方图可得：
，解得：.
这组数据的中位数是268.75.
（2）抽取的6个芒果中，质量在和内的分别有4个和2个.
设质量在内的4个芒果分别为A，B，C，D，质量在内的2个芒果分别为a，b.
从这6个芒果中选出3个，样本空间为：，，
设“至少有一个在内”为事件M，
则，，
因此，
所以从6个芒果中随机抽取3个，至少有一个在内的概率为.
（3）A方案可获利：（元）.
B方案可获利：（元）
由于，因此该种植园选择B方案获利更多.
19．答案：（1）证明见解析；（2）；（3）
解析：（1）取AC的中点D，连接BD.
因为是等边三角形，所以.
又平面平面，且平面平面，在面ABC内，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，，BD，平面ABC，
所以平面ABC.
（2）取BC的中点M，连接DM，，，
因为E，F分别为，的中点，，
D、M分别为AC，BC的中点，，
因为三棱柱，侧面为平行四边形，，
，平面EFC，平面EFC，平面EFC，
因为三棱柱，侧面为平行四边形，D，E分别为AC，的中点，
且，四边形是平行四边形，，
平面EFC，平面EFC，平面EFC，
又，EF，平面EFC，所以平面平面EFC.
为底面ABC内（包括边界）的动点，当时，平面，
平面CEF，的轨迹为DM，，，
又因为是正三角形，
由（1）知：三棱柱的高为，，
三棱柱的体积.
（3）取AB的中点H，连接CH，，
是正三角形，H为AB的中点，，
平面，平面，，
又，CH，平面，
平面，又平面，，
二面角的平面角为，
在中，，，.
二面角的正切值为.