四川省遂宁市2022-2023学年高二数学上学期期中文试题（Word版附解析）

这是一份四川省遂宁市2022-2023学年高二数学上学期期中文试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了 给定下列两种说法， 函数y＝ 的最小正周期是等内容，欢迎下载使用。

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合 ，根据交集的定义求得 ，进而可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 中元素的个数为4个.
故选：B.
2. 给定下列两种说法：①已知 ，命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”，②“ ，使 ”的否定是“ ，使 ”，则（）
A. ①正确②错误B. ①错误②正确C. ①和②都错误D. ①和②都正确
【答案】D
【解析】
【分析】根据否命题和命题的否定形式，即可判定①②真假.
【详解】①中，同时否定原命题的条件和结论，
所得命题就是它的否命题，故①正确；
②中，特称命题的否定是全称命题，
所以②正确，综上知，①和②都正确.
故选：D
【点睛】本题考查四种命题的形式以及命题的否定，注意命题否定量词之间的转换，属于基础题.
3. 函数y＝ 的最小正周期是（）
A. B. C. πD. 2π
【答案】B
【解析】
【分析】首先将正切化简为正弦和余弦，再利用二倍角公式进一步化简，求函数的周期.
【详解】y＝ ＝ ＝cs22x－sin22x＝cs 4x，所以最小正周期 .
故选：B
4. 已知函数 ，满足对任意x1≠x2，都有 0成立，则a的取值范围是（ ）
A. a∈(0,1)B. a∈[ ,1)C. a∈(0, ]D. a∈[ ,2)
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件知 在R上单调递减，从而得出 ，求a的范围即可．
【详解】∵ 满足对任意x1≠x2，都有 0成立，
∴ 在R上是减函数，
∴ ，解得 ，
∴a的取值范围是 ．
故选：C．
5. 塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量 与时间 年之间的关系为 ，其中 为初始量， 为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的 .该品牌塑料袋大约需要经过（）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据： ， ）
A. 20B. 16C. 12D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，解方程 即可.
【详解】依题意有 时， ，则 ，
当 时，有 ， ，
.
故选：B
6. 已知 为 的导函数，则 的图象大致是（）
A B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式对函数解析式进行化简，再利用函数 的奇偶性及函数 在原点右边的小邻域内单调递减，即可选出正确答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 为奇函数，排除A，D；
因为 ， ，
当 时， ，
所以 在 内递减.
故选B.
【点睛】本题考查导数在函数中的应用、诱导公式、奇偶性、单调性的综合运用，求解时要充分利用图象提供的信息，寻找隐含条件，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
7. 已知函数 ，设 ，则 ， ， 的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先研究函数 的性质，利用奇偶性对函数值进行等价变形，最后利用单调性进行比较大小.
【详解】解：已知 的定义域为 ，且 ，
所以函数 为偶函数，
当 时，函数 为增函数，
所以 ， .
因为 在定义域上为单调递增函数，
所以 ，即 ，
因为 在 上为增函数，
所以 ，
因为 在定义域上为单调递增函数，
所以 ，所以 ，
根据函数 在 上为增函数，
所以 ，所以 .
故选：A．
8. 设函数 ．若 为函数 的零点， 为函数 的图象的对称轴，且 在区间 上有且只有一个极大值点，则 的最大值为（）
A. B. C. D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用 ， ，求出 和 的表达式，进一步利用 在区间 上有且只有一个极大值点，通过分类讨论求出 的值，进而可得最大值.
【详解】由已知得 ， ，，
则 ，
其中 ，
因为 ，
当 时，
当 时， ，
因为 在区间 上有且只有一个极大值点，
所以 ，
解得 ，
即 ，
所以 ，
当 时， ，此时 ，此时有两个极大值点，舍去；
当 时， ，此时 ，此时有一个极大值点，成立；
所以 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过条件将 和 都用整数表示出来，然后对 的值由大到小讨论找到符合条件的结果.
9. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，其中有如下记载：将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.现有如图所示的直径长为2的胶泥球胚，某数学兴趣小组的同学需在此胶泥球胚中切割出底面为正方形，且垂直于底面的侧棱与底面正方形边长相等的阳马模型的几何体（实物体），若要使该阳马体积最大，则应削去的胶泥的体积大约为（ ）（）

A. 2.8B. 3.2C. 3.5D. 4.8
【答案】C
【解析】
【分析】根据阳马的定义，可借助截出阳马的正方体来求解体积，要使阳马体积最大，则原正方体的体积应该最大，即球的内接正方体，此时体对角线的长等于球的直径.
【详解】
如图正方体 中，四棱锥 即为阳马.
设正方体边长为 ，体积为 ，显然 ，
所以，当该正方体体积最大时，该阳马体积最大.
在球的内部，任意构造一个正方体，显然球的内接正方体体积最大，应有正方体的对角线 等于球的直径，即 .
又 ，所以 ，则 ，则 ，
所以 .
又球的体积为 ，
所以，应削去的胶泥的体积为 .
故选：C.
10. 已知函数 是定义域为 的偶函数， 是奇函数，则下列结论不正确的是（）
A. B.
C. 是以4为周期的函数D. 的图象关于 对称
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽象函数的对称性结合周期性判断各个选项即可.
【详解】因为函数 是定义域为 的偶函数，所以 ，
因为 是奇函数，所以 ，
将 换成 ，则有 ，
A：令 ，所以 ，因此本选项正确；
B：因为 ，所以函数 关于点 对称，
由 ，可得 ， 的值不确定，
因此不能确定 的值，所以本选项不正确；
C：因为 ，
所以 ，
所以 ，因此 是以4为周期的函数，因此本选项正确；
D：因为 ，
所以 ，
因此有 ，
所以函数 的图象关于 对称，
由上可知 是以4为周期的函数，
所以 的图象也关于 对称，因此本选项正确，
故选：B.
11. 在锐角 中，若 ，且 ，则 能取到的值有（）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由 得到 ，再根据正弦定理将 化简整理可得 ，由 为锐角三角形得到 ，根据正弦定理可得 ，最后结合两角差的正弦公式、辅助角公式即可求解.
【详解】由 ，
又 ，
所以 ，则 .
因为 ，
根据正弦定理得 ，
故 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以

，
因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，即 .
故选： D.
12. 已知函数 ，设方程 的3个实根分别为 ，且 ，则 的值可能为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数研究 的单调性、极值及区间值域，由题设可知 在 上必有两个不等的实根 (假设 )且 ，结合 的性质有 且 ， ，进而求目标式的值，即可确定答案.
【详解】由题设， 的定义域为 ，且 ，
∴当 时， ，即 递减；当 时， ，即 递增.
∴ ，又 在 上逐渐变小时 逐渐趋近于0，当 时 且随 趋向于0， 趋向无穷大.
∴ 的图象如下：

∵ 的定义域为 ，由 可得： 在 上必有两个不等的实根 (假设 )且 ，
∴令 ，要使 的3个实根，则 、 ，即 ，可得 .
∴由 知： ， ，
∴ .
故选：B.
【点睛】首先应用导数研究 性质，根据 有3个实根，则 在 上必有两个不等的实根 ，结合 的值域求m的范围且 、 ，即可求目标式的范围.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.
13. 计算： ______.
【答案】5
【解析】
【分析】根据指数以及对数的运算性质即可求解.
【详解】
，
故答案为：
14. 已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域求法和分式、根式有意义的要求可构造方程组求得结果.
【详解】由题意知： ，解得： ， 的定义域为 .
故答案为： .
15. 若 为偶函数，则实数 ______________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据奇偶性直接求解即可.
【详解】因为 为偶函数，故

.
故答案为：1
16. 如图1，在矩形ABCD中， ，E为AB的中点，将 沿DE折起，点A折起后的位置记为点 ，得到四棱锥 ，M为 的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论：

①恒有 ；
②异面直线 所成角的正切值为2；
③存在某个位置，使得 平面 平面 .
④三棱锥 的体积的最大值为 ；
其中所有正确结论 序号是___________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据翻折前后的位置关系，即可判断①；根据异面直线所成角的定义，即可作图判断②；若平面 平面 ，结合垂直关系的转化，即可推出矛盾判断③；利用等体积转化判断④.
【详解】①由图1可知， ，所以 ，故①正确；
②如图，取 的中点 ，连结 ，则 ，且 ,
， ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形， ,
所以异面直线 所成角为 与 所成的角，即 为所求角，
，故②正确；

③若平面 平面 ，且平面 平面 ，因为 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ,
中， ，即 ,所以不成立，故③错误；
④取 的中点 ，连结 ，
当平面 平面 时， 到平面 的距离最大，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
又因为平面 平面 时，所以 平面 ，
，所以四棱锥 体积的最大值为 ，
为 的中点，三棱锥 的体积的最大值为 ，故④正确.
故答案为：①②④
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 在 中，内角 所对的边分别为 且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；
（2）由 的面积为 可得 ，再根据余弦定理即可得 ，进而求得周长.
【小问1详解】
由正弦定理 ，即 ，由余弦定理 ，且 ，故 .
【小问2详解】
由题意 ，解得 .
由余弦定理 ，可得 .
故 的周长为
18. 设函数 ．
（1）设 ，若函数 有三个不同零点，求c的取值范围；
（2）求证： 是 有三个不同零点的必要而不充分条件．
【答案】（1） ；（2）证明见试题解析．
【解析】
【分析】（1）分别将 代入原式，求得导函数判断其单调性，求得其极值，即可判断三个零点，可求得c的范围；
（2）导函数是一个二次函数，讨论其判别式，先证明其必要性，再证明其不充分性，可得结果.
【详解】（1）当 时， ，所以 ．
令 ，得 ，解得 或 ．
与 在区间 上的情况如下：



所以当 且 时，存在 ， ， ，使得 ．由 的单调性知，当且仅当 时，函数 有三个不同零点．
（2）当 时， ， ，此时函数 在区间 上单调递增，所以 不可能有三个不同零点；
当 时， 只有一个零点，记作 ．当 时， ， 在区间 上单调递增；当 时， ， 在区间 上单调递增．
所以 不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数 有三个不同零点，则必有 ，故 是 有三个不同零点的必要条件．当 ， 时， ， 只有两个不同零点，所以 不是 有三个不同零点的充分条件．
因此 是 有三个不同零点的必要而不充分条件．
【点睛】本题主要考查了导函数的应用，熟悉导函数判别单调性和极值是解题的关键，属于中档题目.
19. 已知函数 ，再从条件①： 的最大值为1；条件②： 的一条对称轴是直线 ﹔条件③： 的相邻两条对称轴之间的距离为 ﹐这三个条件中选择能确定函数 解析式的两个合理条件作为已知，求：
（1）函数 的解析式；
（2）已知 ，若 在区间 上的最小值为 ，求m的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简 ，再由三角函数的性质分别转化三个条件，即可得解；
（2）先求出 的解析式，再由正弦函数的性质即可确定m的取值范围，即可得最大值.
【小问1详解】
由题意，函数
，
若选①： 的最大值为1，则 ，则 ，
若选②： 的一条对称轴是直线 ,则由 ，不符合正弦函数对称轴的要求，不合题意；
若选③： 的相邻两条对称轴之间的距离为 ，
则函数 的最小正周期 ,可得 ；
所以只能选择条件①③作为已知，此时 ；
【小问2详解】
由题意， ，
当 ，则 ，
若 在区间 上的最小值为 ，则 ，
所以 ，所以m的最大值为 .
20. 如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， ， ， 分别是 ， 的中点，点 在直线 上．

（1）证明： ；
（2）当平面 与平面 所成的锐二面角为 时，求平面 与侧面 的交线长．
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】(1)建立以 分别作为 轴正方向建立空间直角坐标系 ，求出各点的坐标，只需证明 即可证明 ；
(2)利用空间坐标系，求出P点坐标，即可得P点位置，作出平面 与侧面 的交线，再计算即可.
【小问1详解】
解：由题意 两两垂直.
所以以 分别作为 轴正方向建立空间直角坐标系 ，如图，

则 ．
∵M是 的中点，N是 的中点，∴ ，
设 ，∴ ，则 ，
则 ，
所以 ．
【小问2详解】
解：设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即
令 ，则 ，
又平面 的一个法向量为 ，
平面 与平面 所成的锐二面角为 时，
∴ ，即 ，
解得 ，此时 ，如图位置，
设 为 的中点，连接 ，交 于点 ，由 且 ∥ ,
所以 与 全等，则 为 中点,
连接 ,由 分别为 中点，则 ∥ ,
又 分别为 中点，则 ∥ ，
所以 ∥ ,
所以点 共面，
又 ,
所以 共面，即面 与面 重合.
所以平面 与侧面 的交线为 ，
所以交线长度为 .

21. 已知函数 （ ，e为自然对数的底数）
（1）求函数 的单调区间；
（2）若不等式 在区间 上恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，利用导函数的单调性及零点确定导函数大于0、小于0的解集，即可得解；
（2）转化不等式为 在区间 上恒成立，构造函数，利用端点处的函数值及导数，分类讨论即可得解.
【小问1详解】
由题意， ，则 ，
由 在 上均单调递减，所以 在 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
【小问2详解】
不等式 即 在区间 上恒成立，
令 ，则 ， ，
所以 ，
若 ，即 时，此时存在 使得当 时， ，
函数 在 上单调递增， ，不合题意；
若 时， ，
令 ，则 ，
所以 单调递减， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 在 上单调递减，所以 ，符合题意；
综上，实数k的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是端点效应及多次求导的应用，在进行多次求导时，要清楚每次求导的作用.
22. 平面直角坐标系 中，曲线 参数方程为 （ 为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，记 和 交于 两点，求 的值.
【答案】（1）曲线 的普通方程为 ；曲线 的直角坐标方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）消去参数得到普通方程，利用公式将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）写出符合要求的直线参数方程，利用t的几何意义求解.
【小问1详解】
已知曲线 （ 为参数），
则 ，由 消参得 ，
则曲线 的普通方程为 ．
由曲线 的极坐标方程为 ，
变形得 ，
即 ，且满足 ，
由互化公式 ，得 ，即 .
故曲线 的直角坐标方程为 ．
【小问2详解】
由于 在直线l上，
可设直线l的参数方程的标准形式为 （t为参数），
代入曲线 ，
化简得 ， ，
设A，B对应的参数分别为 ， ，
则 ， ，
由于 ，故 ，
所以 .
故 的值为 .
23. 已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 ， 对任意正实数a，b恒成立，求实数x的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由已知可得 ，求解不等式组，即可得到解集；
（2）利用基本不等式求出 的最小值，可得出 ，分类讨论求解不等式的解集.
【小问1详解】
由已知可得， ，则 ，
即 ，解得 ，
故解集为 .
【小问2详解】
因为 ，且 为正实数， ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
因为 对任意正实数a，b恒成立，
所以 ，即 ，即 .
当 时，不等式化为 恒成立；
当 时，不等式化为 ，解得 ，又 ，所以不等式解集为 ；
当 时，不等式化为 ，显然不等式无解.
综上，不等式解集为 .