2023-2024学年河南省鹤壁市高中高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省鹤壁市高中高二下学期7月期末考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A=x|x=sin2π2023+sin4π2023+sin6π2023+⋅⋅⋅+sin2kπ2023,k∈Z,k>0，则集合A的元素个数为( )
A. 1011B. 1012C. 2022D. 2023
2.已知实数a=lg23，b=2cs36∘，c= 2，那么实数a,b,c的大小关系是( )
A. b>c>aB. b>a>cC. a>b>cD. a>c>b
3.在四面体ABCD中，点E满足DE=λDC,F为BE的中点，且AF=12AB+13AC+16AD,则实数λ=( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
4.在△ABC中，B=π3，D是AB的中点，CD= 3，则AB+2BC的取值范围为( )
A. ( 3,2 3]B. (2 3,2 6]C. (2 3,4 3]D. (0,4 3]
5.已知tan(α+β)，tan(α−β)是函数f(x)=x2−6x+4的零点，则cs3π2+2α4sin2β−2=( )
A. −25B. −35C. −710D. −45
6.已知x+3x+28=a0+a1x+1+a2x+12+⋯+a8x+18+a9x+19 ，则a8=( )
A. 8B. 10C. 28D. 29
7.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，过点A且以DB1为法向量的平面为α，则α截该正方体所得截面的形状为( )
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
8.已知a，b∈R，若2≤aA. 2.5B. 3.5C. 4.5D. 6
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数a,b满足a2−ab+b2=1，则( )
A. a+b的最大值为2B. ab的最小值为1
C. a2+b2的最大值为2D. a2+b2的最小值为1
10.随机变量X，Y分别服从正态分布和二项分布，即X∼N2,1，Y∼B4,12，则( )
A. PX≤2=12B. EX=EYC. DX=DYD. PY=1=12
11.已知圆C1:x−32+y2=1，C2:x2+y2=a2a>0，则下列结论正确的有( )
A. 若圆C1和圆C2相交，则2B. 若圆C1和圆C2外切，则a=2
C. 当a=52时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D. 当a=3时，圆C1和圆C2相交弦长为 353
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，若f1−4x，14x−fx+2都为偶函数，则k=165f′k= ．
13.在▵ABC中，若AC2+BC2=5AB2，则tanCtanA+tanCtanB= ．
14.直线l经过点P(2,−3)，与圆C：x2+y2+2x+2y−14=0相交截得的弦长为2 7，则直线l的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产x万件产品，每件产品需可变成本px万元，当产量不足50万件时，px=1120x2+160；当产量不小于50万件时，px=201+6400x2−1460x.每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．
(1)求利润函数的简析式；
(2)求利润函数的最大值．
16.(本小题12分)
已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsC+ccsA=2bcsA．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b=2，求边c及▵ABC的面积；
(3)在(2)的条件下，求sin2B−A的值．
17.(本小题12分)
已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,PA=AB=1，M为棱PD的中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求平面ACM与平面PAB夹角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知双曲线C;x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)经过点3, 62，右焦点为Fc,0，且c2,a2,b2成等差数列．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P,Q两点(P在Q的上方)，PQ的中点为M,M在直线l:x=2上的射影为N,O为坐标原点，设△POQ的面积为S，直线PN,QN的斜率分别为k1,k2，试问k1−k2S是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由．
19.(本小题12分)
已知实数q≠0，定义数列an如下：如果n=x0+2x1+22x2+⋯+2kxk,xi∈0,1，i=0,1,2,⋯,k，则an=x0+x1q+x2q2+⋯+xkqk．
(1)求a7和a8(用q表示)；
(2)令bn=a2n−1，证明：i=1nbi=a2n−1；
(3)若1答案简析
1.B
【简析】根据题意可知，当0又因为2023为奇数，2k为偶数，且2kπ2023中的任意两组角都不关于π2对称，
所以sin2kπ2023的取值各不相同，因此当0所以当k=1011时，集合A中有1011个元素；
当k=1012时，易知
x=sin2π2023+sin4π2023+⋅⋅⋅+sin2022π2023+sin2024π2023
=sin2π2023+sin4π2023+⋅⋅⋅+sin2022π2023+sinπ+π2023
=sin2π2023+sin4π2023+⋅⋅⋅+sin2022π2023−sinπ2023
又易知sin2022π2023=sinπ2023，所以可得
x=sin2π2023+sin4π2023+⋅⋅⋅+sin2022π2023+sin2024π2023=sin2π2023+sin4π2023+⋅⋅⋅+sin2020π2023，
即k=1012时x的取值与k=1010时的取值相同，
根据集合元素的互异性可知，k=1012时并没有增加集合中的元素个数，
当k=2022时，易知
x=sin2π2023+sin4π2023+⋅⋅⋅+sin4042π2023+sin4044π2023
=sin2π2023+sin4π2023⋅⋅⋅+sin2022π2023−sin2022π2023−⋅⋅⋅−sin4π2023−sin2π2023=0，
可得当k≥1012时，集合A中的元素个数只增加了一个0，
所以可得集合A的元素个数为1012个.
故选：B
2.B
【简析】解：由于 cs36∘>cs45∘ 可得 2cs36∘> 2 ，即 b>c ，
又由于 lg23=lg2 9>lg2 8=32> 2 ，所以 a>c ，
假设在 ▵ABC 中， AB=AC ， ∠A=36∘ ，角B的平分线交边AC于点D，
所以 ∠C=∠ABC=180∘−36∘2=72∘ ， ∠CBD=∠ABD=36∘ ， ∠BDC=180∘−36∘−72∘=72∘ ，
所以 △BCD∼△ABC ，所以 BCCD=ABBC ，即 CD=BC2AB ，
所以 AD=AC−CD=AB−BC2AB ，
所以 BC=BD=AD=AB−BC2AB ，
所以 BC⋅AB=AB2−BC2 ，即 ABBC=ABBC2−1 ，解得 ABBC=1+ 52 ，
在 ▵ABC 中， ABsin72∘=BCsin36∘ ，即 ABBC=sin72∘sin36∘=2sin36∘cs36∘sin36∘=2cs36∘ ，
所以 2cs36∘=1+ 52 ，
由于 35<28 ，即 5ln3<8ln2 ，所以 ln3ln2<85 ，
所以 a=lg23<85 ，
因为 1+ 52−85=5+5 5−1610=5 5−1110>0 ，所以 b>a ，
所以 b>a>c
故选：B．
3.D
【简析】
解：由F为BE的中点，得AF=12AB+12AE,
又AF=12AB+13AC+16AD,
所以AE=23AC+13AD，由DE=λDC,
得AE−AD=λAC−AD,
即AE=λAC+1−λAD,所以λ=23.
故选：D．

4.C
【简析】解：在△BCD中，设∠DCB=α，由正弦定理得BDsinα=BCsin(2π3−α)=DCsinπ3= 3 32=2，
所以BD=2sinα，BC=2sin⁡(2π3−α)，
因为D是AB的中点，所以AB=2BD=4sinα．
所以AB+2BC=4sin⁡α+4sin⁡(2π3−α)
=4sinα+2 3csα+2sinα=6sinα+2 3csα
=4 3sin⁡(α+π6)
因为0<α<2π3，所以π6<α+π6<5π6，所以12所以2 3<4 3sin(B+π6)≤4 3，
即AB+2BC的取值范围是(2 3,4 3].
故选C．
5.B
【简析】因为tan(α+β)，tan(α−β)是函数f(x)=x2−6x+4的零点，
所以tan(α+β)+tan(α−β)=6，tan(α+β)tan(α−β)=4，
所以cs3π2+2α4sin2β−2=sin2α−2cs2β=−12×sinα+β+α−βcsα+β−α−β
=−12×sinα+βcsα−β+csα+βsinα−βcsα+βcsα−β+sinα+βsinα−β
=−12×tanα+β+tanα−β1+tanα+βtanα−β==−12×61+4=−35．
故选：B
6.B
【简析】x+3x+28=x+1+2x+1+18，
其中x+1+18展开式的通项为Tr+1=C8rx+18−r⋅1r=C8rx+18−r，r∈N且r≤8，
当r=0时，T1=C80x+18=x+18，此时只需乘以第一个因式x+1+2中的2，可得2x+18；
当r=1时，T2=C81x+17=8x+17，此时只需乘以第一个因式x+1+2中的x+1，可得8x+18．
所以a8=2+8=10．
故选：B
7.A
【简析】解：连接AC，BD，则AC⊥BD，
又BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
故BB1⊥AC，又BD∩BB1=B，BD⊂平面BDB1，BB1⊂平面BDB1，
故AC⊥平面BDB1，DB1⊂平面BDB1，
故AC⊥DB1，
同理AD1⊥DB1，
AC∩AD1=A，AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，
故DB1⊥平面ACD1，
故过点A且以DB1为法向量的平面α截该正方体所得截面为三角形ACD1．
8.B
【简析】由ab=ba得lnaa=lnbb，设fx=lnxx，则f(a)=f(b)，
又f′(x)=1−lnxx2，
当00，f(x)单调递增，
当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
因为f(2)=ln22=2ln24=ln44=f(4)，所以2≤a结合选项可知B正确，ACD错误．
故选：B．
9.AC
【简析】由a2−ab+b2=1，可得(a−b2)2+3b24=1，令a−b2=csθ， 3b2=sinθ，所以a=csθ+ 33sinθ，b=2 33sinθ，θ∈0,2π3
对于A，则a+b=csθ+ 3sinθ=2sin(θ+π6)，当θ=π3时，a+b取最大值为2，故A正确
对于B，ab=2 33sinθcsθ+ 33sinθ=2 33sinθcsθ+23sin2θ= 33sin2θ−13cs2θ+13=23sin(2θ−π6)+13
当θ=π3时，ab的最大值为1，故B错误；
对于C、D，由B可得0故选：AC
10.ABC
【简析】A选项，根据正态分布的定义得PX≤μ=12，故 A正确；
B选项，EX=μ=2，EY=4×12=2，故EX=EY，故 B正确；
C选项，DX=σ2=1，DY=4×12×12=1，故DX=DY，故 C正确；
D选项，PY=1=C41×12×1−123=14，故 D错误．
故选：ABC．
11.ABD
【简析】由题意可知：圆C1:x−32+y2=1的圆心C13,0，半径r1=1；
圆C2:x2+y2=a2a>0的圆心C20,0，半径r2=a；
则C1C2=3，
对于选项A：若圆C1和圆C2相交，则r1−r2即a−1<3对于选项B：若C1和C2外切，则C1C2=r1+r2，
即3=a+1，解得a=2，故 B正确；
对于选项C：当a=52时，由选项 A可知：圆C1和圆C2相交，
所以圆C1和圆C2有且仅有2条公切线，故C错误；
对于选项D：当a=3时，由选项 A可知：圆C1和圆C2相交，
且圆C1:x2+y2−6x+8=0，C2:x2+y2=9，
两圆方程作差得x=176，即公共弦所在直线的方程为x=176，
圆心C20,0到直线x=176的距离d=176，
所以公共弦长为2 r22−d2= 353，故 D正确．
故选：ABD
12.520
【简析】
解：因为 f(1−4x) 为偶函数，则 f(1+4x)=f(1−4x) ，即 f(1+x)=f(1−x) ，
则 f′(1+x)=−f′(1−x) ，即 f′(1+x)+f′(1−x)=0 ，
故 f′(x) 的图象关于点 (1,0) 对称，且 f′(1)=0 ；
又 14x−f(x+2) 为偶函数，则 −14x−f(−x+2)=14x−f(x+2) ，
则 −14+f′(−x+2)=14−f′(x+2) ，即 f′(−x+2)+f′(x+2)=12 ，
故 f′(x) 的图象关于点 (2,14) 对称，且 f′(2)=14 ，
又将 x=1 代入 f′(1+x)+f′(1−x)=0 得 f′(2)+f′(0)=0 ，则 f′(0)=−14 ；
令 x=1 ，由 f′(−x+2)+f′(x+2)=12 可得 f′(3)+f′(1)=12 ，则 f′(3)=12 ；
同理可得 f′(4)+f′(0)=12 ，则 f′(4)=34 ；
因为 f′(5)+f′(−1)=12 ， f′(3)+f′(−1)=0 ，所以 f′(5)−f′(3)=12 ，则 f′(5)=1 ； ⋯ ，
由此可得 f′(n),n∈N∗ 组成了以0为首项， 14 为公差的等差数列，
故 k=165f′(k)=0+14+12+34+⋯+16=65×0+65×642×14=520 ，
故答案为：520
13.12或0.5
【简析】tanCtanA+tanCtanB=tanCcsAsinA+csBsinB=sinCcsC⋅sinAcsB+csAsinBsinAsinB=sin2CsinAsinBcsC．
由余弦定理得csC=AC2+BC2−AB22AC⋅BC=4AB22AC⋅BC．
由正弦定理得csC=2sin2CsinAsinB，从而sinAsinBcsC=2sin2C．
所以tanCtanA+tanCtanB=12．
故答案为：12．
14.5x−12y−46=0；x=2
【简析】解：圆C：x2+y2+2x+2y−14=0，即(x+1)2+(y+1)2=16，圆心为C(−1,−1)，半径r=4，
因为直线与圆相交截得的弦长为2 7，
所以圆心到直线的距离d= 42−( 7)2=3，
若直线的斜率不存在，此时直线方程为x=2，满足圆心C(−1,−1)到直线x=2的距离为3，符合题意；
若直线的斜率存在，设斜率为k，则直线方程为y+3=k(x−2)，即kx−y−2k−3=0，
则d=|−k+1−2k−3| k2+(−1)2=3，解得k=512，所以直线方程为y+3=512(x−2)，即5x−12y−46=0，
综上可得直线方程为5x−12y−46=0或x=2．
故答案为：5x−12y−46=0或x=2．
15.(1)
由题意得，销售收入为200x万元．
当产量不足50万件时，px=1120x2+160，
利润为：fx=200x−x⋅px−300=200x−x⋅(1120x2+160)−300=−1120x3+40x−300；
当产量不小于50万件时，px=201+6400x2−1460x，
利润为：fx=200x−x⋅px−300=200x−x(201+6400x2−1460x)−300=−x−6400x+1160．
所以利润函数为fx=−1120x3+40x−300,&0(2)
当0所以当00,fx在0,40上单调递增；
当40所以当x=40时，fx取得最大值f40=23003；
当x≥50时，fx=−x+6400x+1160≤−2 x⋅6400x+1160=1000
当且仅当x=6400x，即x=80时，等号成立
又1000>23003，故当x=80时，所获利润最大，最大值为1000万元．
【简析】(1)根据题意，分段表示销售利润，即得利润函数；
(2)对利润函数分段讨论，利用求导、基本不等式等方法求函数的最大值即得．
16.(1)
因为acsC+ccsA=2bcsA，
由正弦定理可得sinAcsC+sinCcsA=2sinBcsA，
即sinA+C=2sinBcsA，即sinB=2sinBcsA，
又B∈0,π，所以sinB>0，则csA=12，又A∈0,π，所以A=π3．
(2)
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=4+c2−74c=12，
整理得c2−2c−3=0，解得c=3或c=−1(舍)，
所以▵ABC的面积S△ABC=12bcsinA=12×2×3× 32=3 32．
(3)
由正弦定理得asinA=bsinB，即 7sinπ3=2sinB，解得sinB= 217，
因为c>a>b，故角B为锐角，故csB= 1−sin2B=2 77，
所以sin2B=2sinBcsB=2× 217×2 77=4 37，
cs2B=1−2sin2B=1−2× 2172=17，
所以sin(2B−A)=sin2BcsA−cs2BsinA
=4 37×12−17× 32=3 314．
【简析】(1)利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出csA，即可得角A；
(2)根据余弦定理求得边长c，再利用面积公式求解即可．
(3)利用正弦定理求出sinB= 217，再求出csB=2 77，再利用二倍角公式求出sin2B,cs2B，最后再利用两角和与差的正弦公式即可．
17.(1)
因为平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，
且平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊂平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD．
(2)
由题意和(1)知，AB,AD,AP两两垂直，
以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P0,0,1,A0,0,0,B1,0,0,D0,1,0,C1,1,0．
可得M0,12,12,AC=(1,1,0),AM=0,12,12．
易知平面PAB的一个法向量为AD=(0,1,0)．
设平面ACM的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AC=x+y=0n⋅AM=12y+12z=0,
令y=−1，则x=1,z=1，可得n=(1,−1,1)．
设平面ACM与平面PAB的夹角为θ∈0,π2，
则csθ=csn,AD=n⋅ADn⋅AD=1 3= 33，
可得sinθ= 1−cs2θ= 63
所以平面ACM与平面PAB的夹角的正弦值为 63．
【简析】(1)由面面垂直得到线面垂直；
(2)建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用空间向量求面面夹角．
18.(1)
因为c2，a2，b2成等差数列，所以2a2=c2+b2，
又c2=a2+b2，所以a2=2b2．
将点3, 62的坐标代入C的方程得92b2−64b2=1，解得b2=3，
所以a2=6，所以C的方程为x26−y23=1．
(2)
依题意可设PQ：x=my+3，
由x=my+3x26−y23=1，得m2−2y2+6my+3=0，

设Px1,y1，Qx2,y2，y1>y2，则y1+y2=−6mm2−2y1y2=3m2−2．
Mx1+x22,y1+y22，N2,y1+y22，
则k1−k2=kPN−kQN=y1−y22x1−2−y2−y12x2−2=y1−y22my1+1−y2−y12my2+1=y1−y2my1+y2+22m2y1y2+my1+y2+1，
而S=12OF⋅y1−y2=32y1−y2，
所以k1−k2S=my1+y2+23m2y1y2+my1+y2+1=−6m2m2−2+233m2m2−2+−6m2m2−2+1=−4m2−4−6m2−6=23，
所以k1−k2S是定值，定值为23．
【简析】(1)根据题意和c2=a2+b2可得a2=2b2，然后根据点3, 62在双曲线上即可求解；
(2)依题意可设PQ：x=my+3，将直线方程与圆锥曲线方程联立得到m2−2y2+6my+3=0，利用韦达定理和已知条件求出k1−k2的表达式，然后求出k1−k2S的表达式，化简即可求证．
19.解：(1)因为 7=1+2+22 ，所以 a7=1+q+q2 ；
因为 8=23 ，所以 a8=q3 ．
(2)由数列 an 定义得： bn=a2n−1=qn−1 ，所以 i=1nbi=1+q+q2+⋯+qn−1 ．
而 2n−1=1+2+22+⋯+2n−1 ，
所以 a2n−1=1+q+q2+⋯+qn−1=i=1nbi ．
(3)当 1故对任意 an ，存在 am ，使得 am>an ．
设 m 是满足 am>an 的最小正整数．下面证明 am≤an+1 ．
①若 m−1 是偶数，设 m−1=2x1+22x2+⋯+2kxk,xi∈0,1,i=1,2,⋯,k ，
则 m=1+2x1+22x2+⋯+2kxk ，于是 am=1+x1q+x2q2+⋯+xkqk=1+am−1 ．
因为 an≥am−1 ，所以 am=1+am−1≤an+1 ．
②若 m−1 是奇数，设 m−1=1+2+22+⋯+2l+2l+2xl+2+⋯+2kxk ，
则m=2l+1+2l+2xl+2+⋯+2kxk，
所以am−am−1=ql+1−(1+q+q2+⋯+ql)
=(q−1)(1+q+q2+⋯+ql)−(1+q+q2+⋯+ql)+1<1．
所以 am综上所述，对于任意正整数 n ，存在正整数 m ，使得 an【简析】
(1)根据新定义直接求解即可；
(2)根据新定义可得 bn=a2n−1=qn−1，进而可得；
(3)由(2)可知 a2n−1=qn−1 无上界，故对任意 an ，存在 am ，使得 am>an ．
设 m 是满足 am>an 的最小正整数，分m−1是奇数和偶数分别证明am≤an+1即可．