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2023-2024学年河北省沧州市高二下学期期末教学质量监测数学试题（含答案）
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这是一份2023-2024学年河北省沧州市高二下学期期末教学质量监测数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∣−1A. x−1C. x122.已知随机变量X∼Bn,p，若EX=3DX=2，则PX≤1=( )
A. 2027B. 49C. 727D. 29
3.x+1xn的展开式中系数最大项只有第5项，则它的展开式中常数项为( )
A. C63B. C84C. C105D. C126
4.下列各不等式成立的是( )
A. lg26<52B. 120.3>130.2C. ln2<23D. lg0.32>0.32
5.设随机变量X的分布列PX=k=m4k2−1k=1,2,3,4,5，则PX≥4=( )
A. 235B. 325C. 2225D. 3335
6.已知函数y=fx是定义在R上的偶函数；且在−∞,0上单调递增，若对于任意的x∈R，不等式fax>fx2+1恒成立，则a的取值范围是( )
A. −12,12B. −∞,−12∪12,+∞
C. −2,2D. −∞,−2∪2,+∞
7.高二(1)班从5名同学a,b,c,d,e中选取4人参加校运会的4×100米接力赛，每人只能跑一棒，其中第一棒只能从a,b中选一人跑，且a,b不相邻，第四棒不能由d跑，则不同的选取方法有( )
A. 18种B. 20种C. 24种D. 28种
8.设平行于x轴的直线与函数y=ex和y=ex+2的图象分别交于点A,B，若在y=ex的图象上存在Cx0,ex0，使得▵ABC为等腰直角三角形，且∠C=90∘，则x0=( )
A. −lne−1B. lne−1C. −lne−2D. lne−2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示的的散点图中，可选取的拟合曲线为( )
A. y=bx+aB. y=bx2+aC. y=blnx+aD. y=bex+a
10.已知集合U=1,2,3,4,5,M1=a,b,M2=c,d，且M1≠M2,M1⊆U,M2⊆U，设事件A=“a+b=5”，事件B=“a+b+c+d=10”，则下列结论正确的是( )
A. PA=15B. PB=19C. PAB=140D. PA∣B=15
11.已知函数fx=−x2+6x−5,x≥1,lg21−x,x<1,关于x的方程fx=m有从小到大排列的四个不同的实数根x1,x2,x3,x4，若M=−12x1−2x2+x3+x4，则( )
A. m∈0,4B. x1∈−14,0C. M的最小值为112D. M的最大值为938
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用三种颜色给图中的四个区域涂色，相邻区域涂不同颜色，共有 种涂色方法．
13.已知随机变量X服从正态分布X∼N0,σ2，若a>0,P(X14.已知a>0，函数fx=x−a−x+a+4ex+1+b是奇函数，则b= ；若fx 的 值域为−3,3，则a= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某环保网站为增强网站的吸引力，举行环保知识阅读有奖比赛，即所有的题目均可从网站上阅读获取答案，通过网民的申请发放10000份网络试卷，从中随机抽取50份试卷，将其成绩整理后制成频率分布直方图如图．
(1)求a的值，并估计此次有奖比赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值表示)；
(2)若80分以上(含80分)有奖且男性有2人，80分以下男性有24人，补全下面列联表，并根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析“有奖”是否与“性别”有关．
单位：人
附：临界值表及参考公式：
χ2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d
16.(本小题12分)
某药物研究所为了研究小白鼠的身长xmm与体重yg的关系，随机抽测了20只小白鼠，得到如下数据：
(1)若从序号为1∼10的10只小白鼠中任取2只，其中序号是5的倍数的小白鼠个数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)请根据序号为5的倍数的几组数据，求出y关于x的经验回归方程(精确到0.01)．
附：经验回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx．
17.(本小题12分)
有4枚硬币，其中三枚是均匀的，另一枚由于正面缺失一部分，它是不均匀的，经多次拖掷试验，正面向上的概率为35.抛掷一枚硬币，若正面向上记2分，正面向下记1分.现将4枚硬币一起抛掷一次，所得分数记为X．
(1)求X的分布列和数学期望；
(2)在X≥6的前提下，求不均匀硬币正面向上的概率．
18.(本小题12分)
已知均不等于1的正数x,y满足lgax=lgby=lg12a+b4=m,a>0且a≠1,b>0且b≠1，且a+b≠2．
(1)若m=2，求x+y的最小值；
(2)当m>0时，求xy的最大值；
(3)若1a+4b的最小值为916，求m的值．
19.(本小题12分)
已知1+x(2+x)2n−1=a0+a1x+⋯+akxk+⋯+a2nx2n,n∈N∗．
(1)当n=3时，求a1+a2+⋯+a2n的值；
(2)当k≥1时，证明：2kak=2n+kC2n−1k−1⋅22n−k；
(3)设2k⋅2n−kak=22n−1⋅2n+kbk，求和：b0+3b1+5b2+7b3+⋯+4n−1b2n−1．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.C
7.D
8.A
9.BD
10.ABD
11.AC
12.24
13.45 或0.8
14.−2；
12 ；或0.5
15.解：(1)
由频率分成直方图得10×0.032+0.026+0.016+2a+0.006=1，
所以a=0.010，
此次有奖比赛成绩的平均数约为45×0.10+55×0.16+65×0.26+75×0.32+85×0.10+95×0.06=68.4(分)．
(2)
由频率分布直方图得80分以上(含80分)的人数为50×0.10+0.06=8，列联表如下：
零假设为H0：有奖与性别之间无关联．
根据列联表中数据，经计算得到χ2=50×(6×24−18×2)224×26×8×42≈2.782>2.706=x0.1．
根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，即认为“有奖”与“性别”有关，此推断犯错误的概率不大于0.1．
16.解：1)由题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2，
可得PX=0=C82C102=2845,PX=1=C81C21C102=1645,PX=2=C22C102=145．
所以随机变量X的分布列为
所以数学期望EX=0×2845+1×1645+2×145=25．
(2)根据序号为5的倍数的几组数据，可得x=97+85+103+914=94，
y=34+39+37+424=38，
则b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=3×−4+−9×1+9×−1+−3×432+92+92+32≈−0.23，
所以a=38+0.23×94=59.62．
所以y关于x的经验回归方程为y=−0.23x+59.62．
17.解：(1)
X的所有可能取值为4,5,6,7,8．
PX=4=1−35×12×12×12=240=120．
PX=5=35×12×12×12+C31×25×12×12×12=940．
PX=6=C31×35×12×12×12+C32×25×12×12×12=1540=38．
PX=7=C32×35×12×12×12+C33×25×12×12×12=1140．
PX=8=35×12×12×12=340．
X的分布列为
数学期望EX=4×120+5×940+6×38+7×1140+8×340=6110．
(2)
设事件A=“X≥6”，B=“不均匀硬币正面向上”．
则PA=2940．
PAB=C31×35×12×12×12+C32×35×12×12×12+35×12×12×12=2140，
则PB∣A=PABPA=2129．
18.解：(1)
当m=2时，x=a2,y=b2,(a+b)2=16，
∴x+y=a2+b2≥12(a+b)2=8，当且仅当a=b=2时取等号，
∴x+y的最小值为8．
(2)
由已知a=x1m,b=y1m,12a+b=41m，
∴41m=12x1m+y1m≥ x1m⋅y1m，
∴xy≤16，当且仅当x=y时取等号，
∴xy的最大值为16．
(3)
由(2)知a+b=2⋅41m，则12⋅4−1m(a+b)=1，
∴1a+4b=12⋅4−1m⋅1a+4ba+b
=12⋅4−12⋅5+ba+4ab≥12⋅4−1m⋅5+4，
当且仅当b=2a时取等号．
因为1a+4b的最小值为916，
所以12⋅4−1m⋅5+4=916，则2−1⋅2−2m=2−4，
解得m=23，
19.解：(1)当n=3时，已知等式化为1+x(2+x)5=a0+a1x+⋯+a6x6，
今x=1，则a0+a1+⋯+a6=2×35；令x=0，则a0=25．
∴a1+a2+⋯+a2n=a1+a2+⋯+a6=2×35−25=454．
(2)
由题意得ak=C2n−1k−1⋅22n−k+C2n−1k⋅22n−k−1=22n−k−1⋅22n−1!k−1!2n−k!+2n−1!k!2n−k−1!
=22n−k−1⋅2n−1!k−1!2n−k!2+2n−kk=22n−k−1⋅C2n−1k−1⋅2n+kk．
∴2kak=2n+kC2n−1k−1⋅22n−k．
(3)
由(2)知ak=22n−k−1⋅2n−1!k−1!2n−k!2+2n−kk
=22n−k−1⋅2n−1!k!2n−k−1!2k2n−k+1=22n−k−1⋅C2n−1k⋅2n+k2n−k，
则2k⋅2n−kak=22n−1⋅C2n−1k⋅2n+k，
∵2k⋅2n−kak=22n−1⋅2n+kbk,∴bk=C2n−1k，
当k=0时，2k+1bk=b0=C2n−10；
当k≥1时，2k+1bk=2k⋅C2n−1k+C2n−1k=2k⋅2n−1!k!2n−k−1!+C2n−1k
=22n−1⋅2n−2!k−1!2n−k−1!+C2n−1k=22n−1C2n−2k−1+C2n−1k，
∴b0+3b1+5b2+7b3+⋯+4n−1b2n−1
=C2n−10+22n−1C2n−20+C2n−21+⋯+C2n−22n−2+C2n−11+⋯+C2n−12n−1
=22n−1C2n−20+C2n−21+⋯+C2n−22n−2+C2n−10+C2n−11+⋯+C2n−12n−1
=22n−1⋅22n−2+22n−1=2n−1⋅22n−1+22n−1=2n⋅22n−1=n⋅22n．
性别
成绩
合计
80分以上(含80分)
80分以下
女性
男性
2
24
合计
50
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身长x/mm
113
88
91
96
97
79
91
87
88
85
体重y/g
39
31
35
33
34
36
42
39
40
39
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
身长x/mm
89
98
87
94
103
99
85
90
82
91
体重y/g
41
43
40
43
37
32
38
41
37
42
性别
单位：人
80分以上(含80分)
80分以下
合计
女性
6
18
男性
2
24
26
合计
8
42
50
X
0
1
2
P
2845
1645
145
X
4
5
6
7
8
P
120
940
38
1140
340
1.已知集合A={x∣−1
A. 2027B. 49C. 727D. 29
3.x+1xn的展开式中系数最大项只有第5项，则它的展开式中常数项为( )
A. C63B. C84C. C105D. C126
4.下列各不等式成立的是( )
A. lg26<52B. 120.3>130.2C. ln2<23D. lg0.32>0.32
5.设随机变量X的分布列PX=k=m4k2−1k=1,2,3,4,5，则PX≥4=( )
A. 235B. 325C. 2225D. 3335
6.已知函数y=fx是定义在R上的偶函数；且在−∞,0上单调递增，若对于任意的x∈R，不等式fax>fx2+1恒成立，则a的取值范围是( )
A. −12,12B. −∞,−12∪12,+∞
C. −2,2D. −∞,−2∪2,+∞
7.高二(1)班从5名同学a,b,c,d,e中选取4人参加校运会的4×100米接力赛，每人只能跑一棒，其中第一棒只能从a,b中选一人跑，且a,b不相邻，第四棒不能由d跑，则不同的选取方法有( )
A. 18种B. 20种C. 24种D. 28种
8.设平行于x轴的直线与函数y=ex和y=ex+2的图象分别交于点A,B，若在y=ex的图象上存在Cx0,ex0，使得▵ABC为等腰直角三角形，且∠C=90∘，则x0=( )
A. −lne−1B. lne−1C. −lne−2D. lne−2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示的的散点图中，可选取的拟合曲线为( )
A. y=bx+aB. y=bx2+aC. y=blnx+aD. y=bex+a
10.已知集合U=1,2,3,4,5,M1=a,b,M2=c,d，且M1≠M2,M1⊆U,M2⊆U，设事件A=“a+b=5”，事件B=“a+b+c+d=10”，则下列结论正确的是( )
A. PA=15B. PB=19C. PAB=140D. PA∣B=15
11.已知函数fx=−x2+6x−5,x≥1,lg21−x,x<1,关于x的方程fx=m有从小到大排列的四个不同的实数根x1,x2,x3,x4，若M=−12x1−2x2+x3+x4，则( )
A. m∈0,4B. x1∈−14,0C. M的最小值为112D. M的最大值为938
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用三种颜色给图中的四个区域涂色，相邻区域涂不同颜色，共有 种涂色方法．
13.已知随机变量X服从正态分布X∼N0,σ2，若a>0,P(X
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某环保网站为增强网站的吸引力，举行环保知识阅读有奖比赛，即所有的题目均可从网站上阅读获取答案，通过网民的申请发放10000份网络试卷，从中随机抽取50份试卷，将其成绩整理后制成频率分布直方图如图．
(1)求a的值，并估计此次有奖比赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值表示)；
(2)若80分以上(含80分)有奖且男性有2人，80分以下男性有24人，补全下面列联表，并根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析“有奖”是否与“性别”有关．
单位：人
附：临界值表及参考公式：
χ2=n(ad−bc)2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d
16.(本小题12分)
某药物研究所为了研究小白鼠的身长xmm与体重yg的关系，随机抽测了20只小白鼠，得到如下数据：
(1)若从序号为1∼10的10只小白鼠中任取2只，其中序号是5的倍数的小白鼠个数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)请根据序号为5的倍数的几组数据，求出y关于x的经验回归方程(精确到0.01)．
附：经验回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx．
17.(本小题12分)
有4枚硬币，其中三枚是均匀的，另一枚由于正面缺失一部分，它是不均匀的，经多次拖掷试验，正面向上的概率为35.抛掷一枚硬币，若正面向上记2分，正面向下记1分.现将4枚硬币一起抛掷一次，所得分数记为X．
(1)求X的分布列和数学期望；
(2)在X≥6的前提下，求不均匀硬币正面向上的概率．
18.(本小题12分)
已知均不等于1的正数x,y满足lgax=lgby=lg12a+b4=m,a>0且a≠1,b>0且b≠1，且a+b≠2．
(1)若m=2，求x+y的最小值；
(2)当m>0时，求xy的最大值；
(3)若1a+4b的最小值为916，求m的值．
19.(本小题12分)
已知1+x(2+x)2n−1=a0+a1x+⋯+akxk+⋯+a2nx2n,n∈N∗．
(1)当n=3时，求a1+a2+⋯+a2n的值；
(2)当k≥1时，证明：2kak=2n+kC2n−1k−1⋅22n−k；
(3)设2k⋅2n−kak=22n−1⋅2n+kbk，求和：b0+3b1+5b2+7b3+⋯+4n−1b2n−1．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.C
7.D
8.A
9.BD
10.ABD
11.AC
12.24
13.45 或0.8
14.−2；
12 ；或0.5
15.解：(1)
由频率分成直方图得10×0.032+0.026+0.016+2a+0.006=1，
所以a=0.010，
此次有奖比赛成绩的平均数约为45×0.10+55×0.16+65×0.26+75×0.32+85×0.10+95×0.06=68.4(分)．
(2)
由频率分布直方图得80分以上(含80分)的人数为50×0.10+0.06=8，列联表如下：
零假设为H0：有奖与性别之间无关联．
根据列联表中数据，经计算得到χ2=50×(6×24−18×2)224×26×8×42≈2.782>2.706=x0.1．
根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，即认为“有奖”与“性别”有关，此推断犯错误的概率不大于0.1．
16.解：1)由题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2，
可得PX=0=C82C102=2845,PX=1=C81C21C102=1645,PX=2=C22C102=145．
所以随机变量X的分布列为
所以数学期望EX=0×2845+1×1645+2×145=25．
(2)根据序号为5的倍数的几组数据，可得x=97+85+103+914=94，
y=34+39+37+424=38，
则b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=3×−4+−9×1+9×−1+−3×432+92+92+32≈−0.23，
所以a=38+0.23×94=59.62．
所以y关于x的经验回归方程为y=−0.23x+59.62．
17.解：(1)
X的所有可能取值为4,5,6,7,8．
PX=4=1−35×12×12×12=240=120．
PX=5=35×12×12×12+C31×25×12×12×12=940．
PX=6=C31×35×12×12×12+C32×25×12×12×12=1540=38．
PX=7=C32×35×12×12×12+C33×25×12×12×12=1140．
PX=8=35×12×12×12=340．
X的分布列为
数学期望EX=4×120+5×940+6×38+7×1140+8×340=6110．
(2)
设事件A=“X≥6”，B=“不均匀硬币正面向上”．
则PA=2940．
PAB=C31×35×12×12×12+C32×35×12×12×12+35×12×12×12=2140，
则PB∣A=PABPA=2129．
18.解：(1)
当m=2时，x=a2,y=b2,(a+b)2=16，
∴x+y=a2+b2≥12(a+b)2=8，当且仅当a=b=2时取等号，
∴x+y的最小值为8．
(2)
由已知a=x1m,b=y1m,12a+b=41m，
∴41m=12x1m+y1m≥ x1m⋅y1m，
∴xy≤16，当且仅当x=y时取等号，
∴xy的最大值为16．
(3)
由(2)知a+b=2⋅41m，则12⋅4−1m(a+b)=1，
∴1a+4b=12⋅4−1m⋅1a+4ba+b
=12⋅4−12⋅5+ba+4ab≥12⋅4−1m⋅5+4，
当且仅当b=2a时取等号．
因为1a+4b的最小值为916，
所以12⋅4−1m⋅5+4=916，则2−1⋅2−2m=2−4，
解得m=23，
19.解：(1)当n=3时，已知等式化为1+x(2+x)5=a0+a1x+⋯+a6x6，
今x=1，则a0+a1+⋯+a6=2×35；令x=0，则a0=25．
∴a1+a2+⋯+a2n=a1+a2+⋯+a6=2×35−25=454．
(2)
由题意得ak=C2n−1k−1⋅22n−k+C2n−1k⋅22n−k−1=22n−k−1⋅22n−1!k−1!2n−k!+2n−1!k!2n−k−1!
=22n−k−1⋅2n−1!k−1!2n−k!2+2n−kk=22n−k−1⋅C2n−1k−1⋅2n+kk．
∴2kak=2n+kC2n−1k−1⋅22n−k．
(3)
由(2)知ak=22n−k−1⋅2n−1!k−1!2n−k!2+2n−kk
=22n−k−1⋅2n−1!k!2n−k−1!2k2n−k+1=22n−k−1⋅C2n−1k⋅2n+k2n−k，
则2k⋅2n−kak=22n−1⋅C2n−1k⋅2n+k，
∵2k⋅2n−kak=22n−1⋅2n+kbk,∴bk=C2n−1k，
当k=0时，2k+1bk=b0=C2n−10；
当k≥1时，2k+1bk=2k⋅C2n−1k+C2n−1k=2k⋅2n−1!k!2n−k−1!+C2n−1k
=22n−1⋅2n−2!k−1!2n−k−1!+C2n−1k=22n−1C2n−2k−1+C2n−1k，
∴b0+3b1+5b2+7b3+⋯+4n−1b2n−1
=C2n−10+22n−1C2n−20+C2n−21+⋯+C2n−22n−2+C2n−11+⋯+C2n−12n−1
=22n−1C2n−20+C2n−21+⋯+C2n−22n−2+C2n−10+C2n−11+⋯+C2n−12n−1
=22n−1⋅22n−2+22n−1=2n−1⋅22n−1+22n−1=2n⋅22n−1=n⋅22n．
性别
成绩
合计
80分以上(含80分)
80分以下
女性
男性
2
24
合计
50
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身长x/mm
113
88
91
96
97
79
91
87
88
85
体重y/g
39
31
35
33
34
36
42
39
40
39
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
身长x/mm
89
98
87
94
103
99
85
90
82
91
体重y/g
41
43
40
43
37
32
38
41
37
42
性别
单位：人
80分以上(含80分)
80分以下
合计
女性
6
18
男性
2
24
26
合计
8
42
50
X
0
1
2
P
2845
1645
145
X
4
5
6
7
8
P
120
940
38
1140
340
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