2024年华东师大版七年级数学暑期提升精讲 第12讲 有理数章末九大题型总结(知识点+练习)

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【题型一】数轴中的新定义问题
1．（23-24七年级上·福建莆田·期末）数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，a，b满足，点P为数轴上一动点，其对应的数为．
(1)若点P为线段AB的中点，则点P对应的数______；
(2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数的值；
(3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时t的值．
2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）对于有理数a，b，定义一种新运算“※”规定．
（第24题）
(1)计算______；
(2)当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简；
(3)已知，求a的值．
3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）阅读下面材料
定义：在数轴上，如果两个点所表示数的和等于2，那么我们就叫做这两个点关于表示1的点对称．若点表示的数是，点表示的数是，则点与点关于表示1的点对称．
例如：，表示的点与表示5的点关于表示1的点对称．
根据上面材料的信息，解答下列问题：
(1)填空：表示18的点与表示________的点关于表示1的点对称；
(2)若点表示的数是，点表示的数是，判断点与点是否关于表示1的点对称，并说明理由．
4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，两点在数轴上对应的有理数分别为，，且，满足：．
(1)则________；________；
(2)定义：若点为数轴上，两点之间一点，且到，两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称为，两点的“友好点”．
①求，两点的“友好点”在数轴上对应的有理数；
②点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，当点、相遇则停止运动．设运动时间为秒，若整个运动过程中，，，三点中有一点是另两点的“友好点”，求值．
【题型二】数轴上的动点问题
5．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知a是最大的负整数，b是的相反数，且a、b分别是点A、B、在数轴上对应的数．
(1)求a、b的值，并在数轴上标出点A、B．
(2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值？
6．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知点、在数轴上分别对应和15，点为原点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒（）．
(1)线段的长度为______；
(2)动点在数轴上表示的数为______；（用含的代数式表示）
(3)当点、两点之间的距离为3时，求的值：
(4)当点，，中一个点到另外两个点（其中两个点重合时除外）的距离相等时，直接写出的值．
7．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，长方形，长为3，宽为2，如图所示放置在数轴上，点B与表示的点重合，点P是数轴上的一点，规定：表示三角形的面积．
(1)若点P表示的数为，则是多少？
(2)若，则点P表示的数为多少？
(3)若长方形原来位置向左以2个单位速度移动，动点P从表示的点以3个单位速度向右移动，当，则点P表示的数是多少？
8．（23-24七年级上·重庆南川·期末）如图所示，点是数轴的原点，数轴上的点对应的数是，点对应的数是9．点为数轴上的一动点，其对应的数为．用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
9．（23-24七年级上·重庆忠县·期末）在数轴上，若点、对应的数为、，则把称为、点间距离，并记．如图，点表示的数是方程的解，点表示最大的负整数，点在点的左边且满足．是数轴上的一个动点，设点表示的数为．
(1)如果、、三点表示的数分别为，，，求，，的值；
(2)如果点使得，求的值；
(3)如果点从点出发向点方向移动，到达点后立即返向移动，到达点后停止．移动中，点始终保持每秒移动2个单位，设点从点处出发的移动时间为秒，当时，写出所有的值．
【题型三】绝对值中的最值问题
10．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：
应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________．
(2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________．
(3)请写出当__________时，有最小值为__________．
(4)规律应用
工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米．
11．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是 ，若，那么x为 ；
(3)利用数轴，求的最小值 ；
(4)当x是 时，代数式；
12．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读材料：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为，则．如，，则，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
(1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；
(2)若，则 ；
(3)若，则 ；
(4)找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是 ；
(5)当x满足 时，的最小值是 ；
(6)根据第（5）小题的探索，当 时，式子的值最小，最小值为 ；
(7)若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，运动几秒后，？（请写出必要的求解过程）
13．（23-24七年级上·四川达州·期中）阅读下面材料，回答问题：
已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．

（）当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图，．
（）当、两点都不在原点时，
如图，点、都在原点的右边，；
如图，点、都在原点的左边，；
如图，点、在原点的两边，．
综上，数轴上、两点的距离．
利用上述结论及数轴，解决以下问题：

(1)数轴上表示数和的两点之间的距离是______；若数轴上表示数和的两点之间的距离是，则数为______；若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为______；
(2)若代数式取最小值时，求相应的整数的值；
(3)求的最小值，并写出此时的取值情况；
(4)请直接写出的最大值是______，最小值是______．
14．（23-24七年级上·江苏南京·期中）数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．借助数轴解决下列问题：
【知识回顾】
数轴上点A，B表示的数分别为a，b，A，B两点之间的距离记为；
（1）若，则 ；
若，则 ；
一般地， （用含a，b的代数式表示）．
【概念理解】
（2）代数式的最小值为 ；
【深入探究】
（3）代数式（m为常数）的最小值随m值的变化而变化，直接写出该代数式的最小值及对应的m的取值范围（用含m的代数式表示）；
（4）若代数式（m为常数）的最小值为8，则m的值为 ．
【题型四】分类讨论多绝对值问题
15．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．
例：三个有理数，，满足，求的值．
解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当，，都是正数，即，，时，
则：；
②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，，
则：，
综上述：的值为或-．
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知，，且，求的值；
(2)已知，是有理数，当时，求值．
(3)已知，，是有理数，，，求的值．
16．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的探究问题．
提出问题：两个有理数a，b且满足a，b同号，求的值．
解决问题：
解：由，同号，可知，有两种可能；
①当，都是正数时，即，，有，，则；
②当，都是负数，即，，有，，则；所以的值为2或．
探究问题：
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)两个有理数a，b满足a，b异号，求的值；
(2)已知，，且，求的值．
17．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______．
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______．
(3)若x表示一个有理数，且，则______
(4)若x表示一个有理数，且，求x的值．
18．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【题型五】与有理数有关的规律探究问题
19．（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）先阅读并填空，再解答问题：
我们知道，那么：
(1)（只列算式，不算结果）__________；__________；
(2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律：__________；
(3)依据（2）中的规律计算：．（写解题过程）
(4)的值为__________．
20．（23-24七年级上·湖北随州·期末）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）；
(2)利用以上规律计算的值．
21．（23-24七年级上·云南昆明·期中）观察下面算式的演算过程：
……
(1)根据上面的规律，直接写出下面结果：
①________；②________．
(2)根据规律计算：
．
22．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式：
，，，，
【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算：
【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算；
【问题拓展】（3）求的值．
23．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）探索规律．
(1)观察上面的各图形，我们会发现：
图①空白部分小正方形的个数是，
图②空白部分小正方形的个数是，
图③空白部分小正方形的个数是____________；
(2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______，
你会发现这些算式存在一个规律：
请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）；
(3)运用这个规律计算：．
【题型六】与有理数有关的新定义问题
24．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）表示两个有理数，定义一种新运算“”，规定：，如．
(1)求的值；
(2)求的值．
25．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若是有理数，定义一种新运算，例如：．
根据上述关于“”计算法则，完成下列任务．
(1)；
(2)．
26．（23-24七年级上·福建泉州·期末）设a，b是有理数，定义新运算，
例如，．
(1)计算：；
(2)设，，求的值．
27．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）（阅读理解问题）（1）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，例如：．求的值．
（2）对于有理数a，b，定义新运算：，求的值．
28．（23-24七年级上·湖北孝感·阶段练习）阅读：定义一种新的运算，取名为运算，按这种运算进行运算 的算式举例如下：①；②（﹣4）；③；④；⑤；⑥．问题：
(1)【阅读归纳】请归纳运算的运算法则：
两数进行运算时， ；特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，都得 ．
(2)【理解运用】计算：；
【题型七】与有理数有关的对折问题
29．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，点A、B都在数轴上，O为原点，且O，A两点间的距离为2，A，B两点间的距离为6．
(1)分别求出点A和点B表示的数；
(2)若点B以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求4秒后点B表示的数；
(3)对折纸面，使数轴上点A与点B重合，求同时与表示的点重合的点表示的数．
30．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为毫米．请在下面括号内填上适当的数：
(1)对折2次后，厚度为 毫米；对折3次后，厚度为 毫米；
(2)对折20次后，厚度为多少毫米？大约有多少层楼高？（友情提示：，，．设每层楼高度为3米）
31．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，在数轴上有A，B，C三点从左到右排列，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，已知：a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答问题：

(1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______；
(2)点P为数轴上一动点，现以点P为折点，将数轴向右对折．
①若对折后点A与点C重合，求此时点P代表的数；
②若对折后，A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时点P代表的数是______．
32．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图在数轴上点表示的数分别为，且满足．

(1)点表示的数为_____________；点表示的数为_____________；
(2)若数轴上有一点到点和点的距离相等，则点表示的数为_____________．
(3)若该数轴可以折叠，点在数轴上，并且点与点之间的距离为，若以数轴上一点为折点，将数轴对折后，点折叠后与点重合，则折点表示的数为_____________．
(4)若在原点处放一挡板，一只小蚂蚁甲从点处以个单位/秒的速度向左运动；同时另一只小蚂蚁乙从点处以个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略蚂蚁的大小，可看作一点）以个单位/秒的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），
当时，蚂蚁甲到原点的距离_____________；蚂蚁乙到原点的距离_____________；
当时，蚂蚁乙到原点的距离_____________；蚂蚁乙到蚂蚁甲的距离_____________（均用含的代数式表示）
直接写出甲，乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时的值．
33．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，将一张长方形纸片对折，记折痕为，，将之置于数轴上，初始状态为点与原点重合，点与数3所对应的点重合（即纸片正好覆盖住数，，，）；点在数轴上，对应的数为5．在此基础上，纸片左右滑动．
(1)若将纸片向左滑动个单位长度，则点所对应的数为__________，纸片覆盖住的负整数为__________；
(2)若纸片能覆盖住数，则需要将其向__________（填写“左”或“右”）滑动，且至少滑动__________个单位长度，至多滑动__________个单位长度；
(3)在初始状态的基础上，点与纸片同时开始滑动．纸片向右滑动，速度为每秒3个单位长度；点滑动的速度为每秒1个单位长度；二者滑动的时间为秒．
①若点向左滑动，请求出纸片覆盖住点的最初时刻、最后时刻及覆盖时长为多少；
②若点向右滑动，当纸片能覆盖住点时，请直接写出的取值范围，不用说明理由．
【题型八】幻方的应用
34．（22-23七年级上·河南驻马店·阶段练习）阅读材料，解答下列问题：
【发现】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______．
【尝试】（2）将，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除，2，5外的6个数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方（即每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）．
【应用】（3）把绝对值小于5的整数分别填入图4的各个方格中（每个数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等．

35．（21-22七年级上·浙江绍兴·期末）期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧．
(1)若一个数x的立方等于，请求出x的值．
(2)请利用整体思想和方程思想进行解题．
①若（1）中的x的值也是关于x的一元次方程的解，那么关于y的一元一次方程的解为y= ．
②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则的值为多少？
(3)在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后？
36．（23-24七年级上·全国·课后作业）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和.
(1)图1是一个“幻方”，则________；________；________；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系；
(2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数.
①求中心数的值；
②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满.

37．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图是一个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每横行、每竖列、每条对角线上的三个数之和相等．

(1)请将10、8、6、4、2、0、、、这九个数填入图2的方格中，使其每一横行，每一竖列以及每条对角线上的三个数字之和都相等：
(2)如图3所示的三阶幻方中，其每一横行，每一竖列以及每条对角线上的三个数字之和都相等，若，，，．
①求整式F．
②试比较与的大小关系，并说明理由．
【题型九】有理数的实际应用
38．（23-24七年级上·河南周口·期中）随着人居环境的改善，人们的生活品位也逐渐提高，盆栽走进了千家万户．某花盆厂计划每天生产各种花盆共300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．如表是某周的生产情况（超产记为“”，减产记为“”）：
(1)求出该厂星期三生产花盆的数量；
(2)该周产量中最少的一天比最多的一天少生产花盆多少个？
(3)求出该厂本周实际生产的花盆数．
39．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）有一路电车起点站和终点站分别是甲站和乙站．每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站．他出发时，恰有一辆电车到达乙站．在路上遇到了10辆迎面开来的电车．当到达甲站时，恰又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟？
40．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）川维中学附近有一商店销售一种笔记本和一种签字笔．笔记本的单价是元，签字笔的单价是2元．商店决定在“双十一”开展促销活动，提供了2种促销方案．
方案一：买一本笔记本送一支签字笔
方案二：笔记本和签字笔都按定价的付款
说明：两种方案可以同时选择．
现在一个学生要到该商店购买本笔记本，签字笔x支()
(1)分别用含有x的代数式表示单独选择方案一和方案二所需要的费用．
(2)若时，通过计算，说明选择方案一划算，还是选择方案二划算．
(3)当时，你能给出一种更为省钱的方案吗？试写出购买的方法，计算所需费用是多少元？
41．（23-24七年级上·河南许昌·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，完成下列问题．
(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最大，最大值是 ；
(2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除得到的商最小，最小值是 ；
(3)从中抽取4张卡片，用学过的“加、减、乘、除、乘方”运算方法，使计算结果为24，该如何抽取？写出运算式子．（每个数字只能用一次，写出一种即可）
42．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）：
(1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；
(3)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产10个口罩支付工人2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？
43．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）小伟是一个懂事的孩子，他每天都会从妈妈给的零花钱中存下一部分，他原计划每天存元，下表是小伟在某一周实际各天存钱的情况（多存记为“”，不足记为“”）．
(1)小伟在这一周中存钱最多的一天是星期_______，这一天存了_______元．
(2)请计算小伟这一周存了多少钱？
44．（23-24七年级上·山东德州·期中）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在欢乐谷门口出发，沿南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
(2)将第几位乘客送到目的地时，小李离欢乐谷门口最远？
(3)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？
(4)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．

星期
一
三
三
四
五
六
日
超减产量（个）
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
星期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
存钱（元）
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