2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第13练 函数与方程及函数模型的应用（精练：基础+重难点）（含解析）

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第13练 函数与方程及函数模型的应用（精练：基础+重难点）（含解析），共27页。试卷主要包含了了解用二分法求方程的近似解等内容，欢迎下载使用。


1理解函数的零点与方程的解的关系.
2.了解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
4.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
5.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
一、多选题
1．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD.
二、填空题
2．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
4．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用零点存在性定理，结合函数的单调性判断即可.
【详解】因为，，
且易得在单调递增，
所以在上有唯一的零点，且零点在区间内.
故选：B
2．（23-24高一上·北京东城·期末）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设铁丝的一段长度为，则另一段铁丝长为，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设铁丝的一段长度为，（其中），则另一段铁丝长为，
两个正方形的面积之和为，
根据题意，可得，
当且仅当时，取得最小值，最小值为.
故选：D.
3．（23-24高一下·北京·期中）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．无穷多个B．4个C．2个D．0个
【答案】D
【分析】根据函数零点的意义变形，构造函数并探讨函数的最值即可得解.
【详解】当时，由，即，得，
当时，恒成立，而恒成立，因此不成立，
所以函数在区间上的零点个数为0.
故选：D
4．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】化简函数，利用函数零点的意义转化成确定函数与的图象公共点的个数求解.
【详解】依题意，函数，由，得，
因此函数的零点即为函数与的图象公共点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，
观察图象知，函数与的图象只有两个公共点，
所以函数的零点个数为2.
故选：B
5．（2024·江西·模拟预测）酒驾最新标准规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车．如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为，从此刻起停止饮酒，血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案.
【详解】由．即，两边取对数可得，
，
故至少经过7个小时才能驾驶.
故选：B
6．（22-23高一下·江苏宿迁·期中）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（ ）
A．9B．12C．0或9D．0或12
【答案】C
【分析】令，将函数零点转化成方程的根，再对进行分类讨论即可得到结果.
【详解】因为，令，得到，
当时，，得到，满足题意，
当时，因为函数有且只有一个零点，故，得到，综上，或.
故选：C.
7．（2024·广东湛江·二模）已知函数，，则（ ）
A．当有2个零点时，只有1个零点
B．当有3个零点时，有2个零点
C．当有2个零点时，有2个零点
D．当有2个零点时，有4个零点
【答案】D
【分析】作出函数，图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与的图象的公共点的个数，结合图象可得答案.
【详解】两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数，
作出，的大致图象，如图所示.
由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；
当有3个零点时，只有1个零点；
当有2个零点时，有4个零点.
故选：D
8．（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，转化为和有两个交点，画出两个函数的图形，结合函数的图象，即可求得实数的取值范围.
【详解】由函数 ，
因为，令，即，
由函数有2个零点，即和有两个交点，
在同一坐标系内画出两个函数的图形，如图所示，
结合函数的图象，要使得函数有2个零点，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用二分法的定义得到答案.
【详解】由题知第一次所取区间为，取中间值，
则第二次所取区间可能是或.
故选：BD.
10．（23-24高一下·广东茂名·开学考试）已知函数在定义域上单调递增，，，，则函数的一个误差不超过0.05的零点可以为（ ）
A．0.6B．0.68C．0.7D．0.72
【答案】BCD
【分析】由函数的零点判断定理得出结果即可.
【详解】因为，，，所以函数的零点所在的区间为，而，所以函数的一个误差不超过0.05的零点可以为0.68或0.7或0.72.
故选：BCD.
11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f（x）与时间x（天）之间的函数关系f（x）＝则下列说法正确的是（ ）
A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
【答案】ABC
【详解】
解析：由函数解析式可知f（x）随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1，故D错误．故选ABC.
12．（2024·重庆·模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间的衰变公式，表示物质的初始数量，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知，右表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为，，，则（ ）
A．B．与成正比例关系
C．D．
【答案】BD
【分析】A选项，根据半衰期的定义得到，从而得到方程，求出；B选项，由A选项得到结论；C选项，由B选项可得C错误；D选项，计算出，作商得到D正确.
【详解】A选项，由题意得，
又，故，两边取对数得，，
，A错误；
B选项，由A可知，与成正比例关系，B正确；
C选项，由B可知，与成正比例关系，由于铀234的值小于铀235的值，
故，C错误；
D选项，，
，
故，D正确.
故选：BD
三、填空题
13．（23-24高一下·江苏连云港·期中）函数的零点为 ．
【答案】
【分析】根据函数零点的概念，解方程可得函数零点.
【详解】由.
故答案为：
14．（2024高三·全国·专题练习）函数在所有零点之和为
【答案】
【分析】化简函数为，令，求得方程的根，即可求解.
【详解】由，
令，即，解得或，
因为，所以或或，所以零点之和为.
故答案为：.
15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝则使得方程x＋f（x）＝m有解的实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】方程有解，利用求函数的值域即可得到参数的范围.
【详解】当时，，即有解，则；
当时，，即有解，则，
即实数m的取值范围是.
故答案为：
16．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解.
【详解】因为在上均为增函数，
所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，
故若在区间上存在零点，则
解得．
故常数a的取值范围为．
故答案为：
17．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为 ．
【答案】
【分析】根据函数解析式可知为偶函数，则只能是，带入求解即可.
【详解】因为的定义域为，
又，
所以为偶函数，
因为函数的零点有且只有一个，故，即，即.
故答案为：
18．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在内恰有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先由的取值范围求出的取值范围，再由题意结合正弦函数的性质求解即可.
【详解】由时，所以，
当时，令，解得，
又因为在上仅有三个零点，
因此，解得.
故答案为：.
四、解答题
19．（23-24高三下·上海·阶段练习）某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设的长为毫米．
(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米）关于的函数关系式；
(2)如何设计与的长度，使得最大？
【答案】(1)，.
(2)为毫米，为毫米
【分析】（1）由矩形其外周长为毫米，又设的长为毫米，可得的长度，再根据圆柱和球的体积公式即可求得防蚊液的体积关于的函数关系式；
（2）对（1）求得的函数关系式求导，从而得到函数的单调区间，根据函数单调性即可确定防毒液体积最大值．
【详解】（1）由得，
由且得，
所以防蚊液的体积，.
（2）由，.
所以，
令得；令得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有最大值，此时，，
所以当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据：）
A．B．C．8minD．
【答案】B
【分析】根据初始条件求得参数，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间．
【详解】由题意可知，当时，，则，解得，
所以，
当时，，即，
则
，
所以茶水泡制时间大的为7 min.
故选：B.
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．-1C．D．2
【答案】A
【分析】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，
则，显然，所以，
构造函数与函数，则方程的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，
设为，所以，，
即，
另外发现，将代入，可得，
所以也是函数的零点，说明，即.
故选:A.
3．（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：

将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故选：C．
4．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数，若关于x的方程的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方程因式分解得，所以或，根据函数的草图，判断的解的个数，从而确定解的个数，可得的取值范围.
【详解】当时，，由此可知在单调递减，
且当时，，在上单调递增，；
当时，在单调递增，在上单调递减，
，如图所示．
得，即或，
由与有两个交点，则必有四个零点，
即，得.
故选：C
二、多选题
5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.
【详解】∵函数的零点为，的零点为，
∴函数与函数图象的交点的横坐标为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为，
∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，
∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称，
对于A：∴，故选项A错误；
对于B：易知，故选项B正确；
对于C：∵，，，∴，即选项C正确；
对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确，
故选:BCD．
6．（2024·贵州毕节·三模）函数，下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A．，使得的图象关于原点对称
B．若，则方程有大于2的实根
C．若，则方程至少有两个实根
D．若，则方程有三个实根
【答案】AB
【分析】由已知可得为奇函数，作出图象，当时，为奇函数，可判断A；由已知可得，依据与的图象交点个数可判断B；由与至多有2个交点，可判断C；当时，可得与只有一交点，可判断D.
【详解】由，可得为奇函数，图象如图所示：
对于A：当时，为奇函数，故，使得的图象关于原点对称，故A正确；
对于B：若，则，由，可得，
由图象，若与有三个交点，存在交点的横坐标大于2，
所以方程有大于2的实根，故B正确；
对于C: 若，则由图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍可得的图象，
由，可得，
由图象，若与至多有2个交点，所以方程至多有两个实根，故C错误；
对于D：当时，由，可得，
由图象可得与只有一交点，故方程只有一个实根，故D错误.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：本题考查奇函数的图象特征及函数与的奇偶性关系，同时考查方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题的转化方法．
三、填空题
7．（2024·天津·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】是函数的一个零点，再分段去绝对值符号，探讨零点个数即得.
【详解】显然是函数的一个零点，
当时，，此时函数无零点；
当时，，由，得，
因为函数有3个零点，必有，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
8．（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案.
【详解】将函数向右平移1个单位得到，
作出函数的图象如下：
要关于的方程有两个不同的根，
则函数和函数有两个不同的交点，
当过点时，，
所以当函数和函数有两个不同的交点时，.
故答案为：.
9．（2024·安徽黄山·二模）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】．
【分析】令，则有，将问题转化为半圆与直线有两个交点，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】令，
则，所以，
又因为，即为，表示单位圆位于轴上及上方部分；
而，表示过点且斜率为的直线，
所以将问题转化为半圆与直线有两个交点，
当直线与半圆相切时；，解得，
当直线过点时，则有，解得，
综上，．
故答案为：．
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，作出函数的图象，结合图象得出关于的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.
【详解】如图，作出函数的图象，
令，
由图可知，当时，关于的方程有个不同的实数根，
当或时，关于的方程只有个实数根，
因为关于x的方程有三个不同实数根，
所以关于的方程的一个根在上，另一个根在上，
或方程的两个根一个为，另一个在上，
若为方程的根时，则，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
若为方程的根时，则或，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程只有一个根为，不符题意，
若关于的方程的一个根在上，另一个在上时，
令，
则，即，解得，
综上所述，实数t的取值范围是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
结合图象得出关于参数的不等式组求解.
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用导函数得出函数在上单调递增，将关于的方程有两个不等实根转化为关于的方程有两个不等实根；再数形结合得出，；最后构造函数，并利用导数求出该函数的最大值即可.
【详解】由可得：
函数的定义域为，，
所以函数在上单调递增.
令.
因为关于的方程有两个不等实根，，
则关于的方程有两个不等实根，.
作出函数的图象，如图所示：
.
所以结合图形可知.
由可得：，，
解得：，即有.
设，
则.
令，得：；令，得：，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质、方程的根与函数图象交点问题等.解题关键在于先利用换元法和函数的单调性将已知条件进行转化；再利用数形结合思想和导数即可求解.
二、填空题
3．（23-24高三下·天津·阶段练习）若方程在区间上有解，其中，则实数的取值范围为 ．（结果用表示）
【答案】
【分析】把方程在区间上有解，转化为函数的图象与直线在区间上有交点，根据函数单调性，分类讨论分别求出最值求解即可.
【详解】因为方程，即在区间上有解，
设函数，则函数的图象与直线在区间上有交点．
因为，所以，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，在区间上，，，

则，解得．
当时，因为，，．
令，解得，又，所以，

则，解得，
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为函数的图象与直线在区间上有交点，分类讨论得到的最值，即可求出的取值范围.
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40
物质
τ的量纲单位
τ的值
铀234
万年
35.58
铀235
亿年
10.2
铀238
亿年
64.75