人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练第十八章平行四边形章末检测卷(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练第十八章平行四边形章末检测卷(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了5C．15D．24等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·河南南阳·八年级阶段练习）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
2．（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形
3.（2022·河南·淅川县九年级期中）如图，△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D．延长BD交AC于点N．若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．（2021·重庆中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
5．（2021·辽宁丹东市·九年级期末）如图，在和中，，，是的中点，连接，，，若，则的面积为（ ）
A．12B．12.5C．15D．24
6．（2022·江苏盐城市·八年级月考）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 ( )
A．B．C．D．
7．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）
A． B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
8．（2022·福建三明·一模）如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．3
9．（2021·浙江温州市·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·深圳市龙岗区初三）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC−CF=2HE．其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·长春市九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．
12．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M在BC边上，连接MO并延长交AD边于点N．若BM = 1，∠OMC = 30°，MN = 4，则矩形ABCD的面积为 _________ ．
13．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是_____________．
14．（2022·江苏仪征初三一模）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为______．
15．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
16．（2022·山东青岛市·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，，，E，F分别是CD和BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为________cm．
17．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______．
18．（2021·浙江南浔·八年级期末）如图，已知有一张正方形纸片，边长为，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，，上当点恰好落在边上时，线段的长为________；在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·湖北·浠水县八年级期中）已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．（1）求证：G是CD的中点；（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．
20.（2022·山东潍坊市期末）如图，在四边形中，分别是的中点，分别是对角线的中点，依次连接连接．（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若，则 ．
21．（2022·广西玉林市·九年级期末）如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．
22．（2022·内蒙古兴安盟期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，求∠EFC的度数．
23．（2022·重庆一中九年级开学考试）如图1，平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，对角线与的交点恰好在轴上，点是中点，直线交于．
（1）点的坐标为___；（2）如图1，在轴上有一动点，连接．请求出的最小值及相应的点的坐标；（3）如图2，若点是直线上的一点，那么在直线上是否存在一点，使得以、、、为顶．点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022·广东连州·九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结，①求证：；②求的度数；
（3）若，，，M是的中点，求的长．
25．（2022·四川·成都市第十八中学校八年级期末）如图1，在正方形中，对角线相交于点，点为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点.
（1）若，求的面积；（2）如图2，线段的延长线交于点，过点作于点，求证：；（3）如图3，点为射线上一点，线段的延长线交直线于点，交直线于点，过点作垂直直线于点，请直接写出线段的数量关系.
26．（2022·四川·成都实外八年级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝BO＝12，将矩形ABCD翻折，使得B与D重合，A的对应点为，折痕为EF，连接B，DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若M，N为矩形边上的两个动点，且运动过程中，始终保持∠MON＝60°不变，请回答下列两个问题：①如图2，当点M在边BC上，点N在边CD上，ON与ED交于点G，请猜想EO、EM、EG三条线段的数量关系，并说明理由；②如图3，若M，N都在BC边上，将△ONM沿ON所在直线翻折至ONP，取线段CD的中点Q，连接PQ，则当PQ最短时，求PM的长．
第十八章 平行四边形 章末检测卷（人教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·河南南阳·八年级阶段练习）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】由菱形的性质和矩形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、对边相等，是菱形和矩形都具有的性质，故选项A不符合题意；
B、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项C不符合题意；
D、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项D符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质以及矩形的性质，正确区分矩形和菱形的性质是解题的关键．
2．（2022·江苏扬州·八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，不符合题意；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，不符合题意；
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，不符合题意；
D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项不正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．
3.（2022·河南·淅川县九年级期中）如图，△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D．延长BD交AC于点N．若AB＝4，DM＝1，则AC的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】证明△ADB≌△ADN，根据全等三角形的性质得到BD=DN，AN=AB=4，根据三角形中位线定理求出NC，计算即可．
【详解】解：在△ADB和△ADN中，，
∴△ADB≌△ADN（ASA）∴BD=DN，AN=AB=4，
∵BM=MC，BD=DN，∴NC=2DM=2，∴AC=AN+NC=6，故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
4．（2021·重庆中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．80°
【答案】C
【分析】根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，，故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算．
5．（2021·辽宁丹东市·九年级期末）如图，在和中，，，是的中点，连接，，，若，则的面积为（ ）
A．12B．12.5C．15D．24
【答案】A
【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理求出EM的长度，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点M作交CD于点E，
∵，，是的中点，
， ．
∵，， ，
． 故选：A．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质及勾股定理，掌握直角三角形斜边的中线是斜边的一半是解题的关键．
6．（2022·江苏盐城市·八年级月考）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 ( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如下图，△BEP的周长=BE+BP+EP，其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E作AC的对称点F，连接FB，则FB就是BP+PE的最小值．
【详解】如下图，过点E作AC的对称点F，连接FB，FE，过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点G
∵菱形ABCD的边长为4，点E是BC的中点∴BE=2
∵∠DAB=60°，∴∠FCE=60° ∵点F是点E关于AC的对称点
∴根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上 则CF=CE=2
∴△CFE是等边三角形，∴∠FEC=60°，EF=2∴∠BEG=60°
∴在Rt△BEG中，EG=1，BG=∴FG=1+2=3
∴在Rt△BFG中，BF==2根据分析可知，BF=PB+PE
∴△PBE的周长=2故选：C
【点睛】本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE的长转化为FB的长．
7．（2022·浙江杭州市·八年级期中）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）
A． B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得出，，，，得出，求出，得出；由平行四边形的面积得出；若，则，求出，由直角三角形的性质得出，，得出，，求出平行四边形的周长；求出的面积，的面积，平行四边形的面积，得出四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；即得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，，
于点，于点，
，；
平行四边形的面积，，，
，；若，则，
，，，
，，平行四边形的周长；
的面积，的面积，平行四边形的面积，
四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；
综上所述，选项、、不符合题意，选项符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
8．（2022·福建三明·一模）如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】过点D作，垂足为点H，连接BD和BG，利用菱形及等边三角形的性质，求出，，在中，求出DH的长，进而求出BG 的长，设，在中，利用勾股定理，列方程，求出的值即可．
【详解】解：过点D作，垂足为点H，连接BD和BG，如下图所示：
四边形ABCD是菱形，，，，
与是等边三角形，
且点G恰好为CD边的中点，平分AB，，
，，，，，
在中，，由勾股定理可知：，
，由折叠可知：，故有，
设，则，在中，由勾股定理可知：，
即，解得，故选：B．
【点睛】本题主要是考查了菱形、等边三角形的性质以及勾股定理列方程求边长，熟练综合利用菱形以及等边三角形的性质，求出对应的边或角，在直角三角形中，找到边之间的关系，设边长，利用勾股定理列方程，这是解决本题的关键．
9．（2021·浙江温州市·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．
【详解】如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，
∵，∴BE=PE=PC=PF=DF，∵∠CFD=∠BPC，∴DF//EH，∴PH为△CFQ的中位线，
∴PH=QF，CH=HQ，∵四边形EPFN是正方形，∴∠EFN=45°，
∵GD⊥DF，∴△FDG是等腰直角三角形，∴DG=FD=PC，
∵∠GDQ=∠CPH=90°，∴DG//CF，∴∠DGQ=∠PCH，
在△DGQ和△PCH中，，∴△DGQ≌△PCH，
∴PH=DQ，CH=GQ，∴PH=DF=BE，CG=3CH，∴BH=BE+PE+PH=，
在Rt△PCH中，CH==，
∴CG=BE，∴．故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
10．（2022·深圳市龙岗区初三）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC−CF=2HE．其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF=BC-（CD-DF）=2HE，判断出④正确．
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，
∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，，
∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°-45°）=67.5°，
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵AB=AH，∠AHB=（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，∴OE=OH，
∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵HE=AE-AH=BC-CD，∴BC-CF=BC-（CD-DF）=BC-（CD-HE）=（BC-CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·长春市九年级期末）如图，有一块形状为△的斜板余料，∠＝90°，＝6，＝8，要把它加工成一个形状为□的工件，使在边BC上,、两点分别在边、上，若点是边的中点，则的面积为_________．
【答案】12
【分析】作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据是边的中点可知是的中位线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果．
【详解】如图示，作交BC于H点，交DE于I点，
∵∴
∵是边的中点，，∴是的中位线，∴，
又∵，即有，∴，
∴，∴，故答案为：12．
【点睛】本题考查三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
12．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M在BC边上，连接MO并延长交AD边于点N．若BM = 1，∠OMC = 30°，MN = 4，则矩形ABCD的面积为 _________ ．
【答案】##
【分析】过点N作交于点E，由矩形ABCD得，，根据ASA可证，故可得，由直角三角形角所对的边为斜边的一半得出，根据勾股定理求出，从而得出，由矩形的面积公式即可得出答案．
【详解】
如图，过点N作交于点E，
∵四边形ABCD是矩形，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．
13．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是_____________．
【答案】或（0，）
【分析】分当D落在x轴正半轴时和当D落在x轴负半轴时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图1所示，当D落在x轴正半轴时，
∵O是菱形ABCD对角线BD的中点，∴AO⊥DO，∴当D落在x轴正半轴时，A点在y轴正半轴，
∴同理可得A、B、C三点均在坐标轴上，且点C在y轴负半轴，
∵∠BAD=60°，∴∠OAD=30°，∴，∴，
∴点C的坐标为（0，）；

如图2所示，当D落在x轴负半轴时，同理可得，
∴点C的坐标为（0，）；∴综上所述，点C的坐标为（0，）或（0，），
故答案为：（0，）或（0，）．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
14．（2022·江苏仪征初三一模）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为______．
【答案】4+2
【分析】连接BE，DF，过E作EN⊥BF于点N，证明△DCE≌△BCE和△BEF为等腰三角形，设AF=x，用x表示DE与EF，根据四边形ADEF的面积为4，列出x的方程求得x，进而求得四边形ADEF的周长．
【解析】解：如图，连接BE，DF，过E作EN⊥BF于点N，
∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE=BE，∠CDE=∠CBE，∴∠ADE=∠ABE，
∵∠DAB=90°，∠DEF=90°，∴∠ADE+∠AFE=180°，
∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠ADE=∠EFB，∴∠ABE=∠EFB，
∴EF=BE，∴DE=EF，设AF=x，则BF=3-x，∴FN=BN=BF=，∴AN=AF+FN=，
∵∠BAC=∠DAC=45°，∠ANF=90°，∴EN=AN=，∴DE=EF=，
∵四边形AFED的面积为4，∴S△ADF+S△DEF=4，∴×3x+×，
解得，x=-7（舍去），或x=1，∴AF=1，DE=EF=，
∴四边形AFED的周长为：3+1++=4+，故答案为：4+.
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是由面积列出x的方程，属于中考选择题中的压轴题．
15．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
【答案】10或14或10
【分析】利用BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，以及平行关系，分别求出、，通过和是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出的长即可．
【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，，，，
，，BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，，，
，， 由等角对等边可知：，，
情况1：当与相交时，如下图所示：
， ，，
情况2：当与不相交时，如下图所示：
，，故答案为：10或14．
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据和是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．
16．（2022·山东青岛市·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，，，E，F分别是CD和BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为________cm．
【答案】10
【分析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．
【详解】解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13cm， ∴AB//CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13cm，
∵ 点E、F分别是边CD、BC的中点，∴ EF//BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24cm，∴AC⊥BD，AO＝CO＝＝12cm，OB＝OD，
又∵AB//CD，EF//BD，∴DE//BG，BD//EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13cm，CO＝12cm，∴OB＝OD＝cm，
∴BD＝2OD＝10cm，∴EG＝BD＝10cm；故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
17．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，，，E、F分别是边AB、BC上的动点，且，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】11
【分析】作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM+BM最小，从而 CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．
【详解】如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB
由对称的性质得：PC=PG，GD=CD
∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM
则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM
∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90° ∴CG=2CD=12
∵M为线段EF的中点，且EF=4 ∴
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
∴GM=BG－BM=13－2=11 即CP+PM的最小值为11．
【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．
18．（2021·浙江南浔·八年级期末）如图，已知有一张正方形纸片，边长为，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，，上当点恰好落在边上时，线段的长为________；在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为________．
【答案】
【分析】如图1（见详解），连接，首先根据折叠的性质并利用勾股定理，求出，进而得到，然后由，得到 的长，再设为，则，根据勾股定理可求出 的值，即可得到的长；如图2（见详解），过点E作EH垂直，当H、G重合时，取最小值9，取最小值，取最大值，而最小值为0，且轨迹有重叠的情况，由此即可得出答案．
【详解】解：如图1，当点落在边上，连接，

由折叠性质可知，，，
∴，
∵，∴，
∴，设为，则，
∴在中，，即解得：，∴的长为；
如图2，过点E作EH垂直，
∴四边形为矩形，∴，又∵，即，
在中，，，∴当取最小值时，取最小值，取最大值，
即：当H、G重合时,记此时的点G记为G1，，，
∴，∵点是边与边交点，
∴取最小值为点恰好落在边上时，即：点G与点重合，此时，设此时的点为G2,
当F和A重合的时候，此时G与A点重合，此时的G点记为G3,
点G的轨迹是从G2- G1- G1- G3的过程，G1 G2=，
∴点相应运动的路径长为．故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了正方形折叠和勾股定理的应用，解题关键是根据勾股定理在不同的直角三角形中计算边长，难点是求出AG最大值，即EG⊥时是EG最小，最小值，最大．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·湖北·浠水县八年级期中）已知：在□ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF，EG，AG，∠1=∠2．（1）求证：G是CD的中点；（2）若CF=2，AE=3，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE的长是．
【分析】（1）通过证≌得到CG=CF，再结合已知条件即可证明结论；
（2）求出DC=CE=2CF=4，再由平行四边形的性质得到AB，最后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）证明：∵点F为CE的中点，∴CF=CE，
在与中，，∴≌，∴CG=CF=CE，
又∵CE=CD，∴CG=CD，即G是CD的中点；
（2）∵CE=CD，点F为CE的中点，CF= 2，∴CD=CE=2CF= 4，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，
∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练应用各性质及
20.（2022·山东潍坊市期末）如图，在四边形中，分别是的中点，分别是对角线的中点，依次连接连接．（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若，则 ．
【答案】（1）（2）见解析；（3）25.
【解析】证明：（1）∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG∥AB，AB=2EG
同理可证：FH∥AB，AB=2HF∴EG∥HF，EG=HF∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）GH⊥EF，
理由：∵G、F分别是BD、BC的中点，∴FG=CD，
由（1）知GE=AB，又∵AB=CD，∴GE=GF
又四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形，∴GH⊥EF；
（3）由题意，EG∥AB，HF∥AB，GE=AB∴EG∥HF，
同理，EH∥FG，GF=CD∴四边形EGFH是平行四边形，
∵AB=CD，∴GE=GF，∴四边形EGFH是菱形，
∵∠ABD=20°，∠BDC=70°，EG∥AB，GF∥CD，
∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，
∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，
∵FE平分∠GEH，∴∠GEF=∠GEH=25°．故答案为：25．
21．（2022·广西玉林市·九年级期末）如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由题意可得，则有，，进而可得，然后可证四边形是平行四边形，最后问题可求证；（2）由题意易得，则有AF=4，DF=1，设，则，，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：由题意可得，，，，
，，，
，，四边形是平行四边形，
又，四边形是菱形；
（2）解：矩形中，，，，
，，，，设，则，
，，解得，，
．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握矩形的性质及菱形的判定是解题的关键．
22．（2022·内蒙古兴安盟期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，求∠EFC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠EFC＝35°或125°．
【解析】解：（1）证明：过点F作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，

∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCA＝∠BCA＝45°，∴EQ＝EP，
∵四边形DEFG是矩形，∴∠PED+∠PEF＝90°，∵∠QEF+∠PEF＝90°，∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中， ，∴△EQF≌△EPD，∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；
（2）①当DE与AD的夹角为35°时，∵∠ADE＝35°，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝55°，∴∠EFC=125°
②当DE与DC的夹角为35°时，∵∠DEH=∠DCF=90°，∠DHE=∠FHC ∴∠EDC＝∠EFC＝35°，
综上所述：∠EFC＝35°或125°．
23．（2022·重庆一中九年级开学考试）如图1，平面直角坐标系中，菱形的边长为4，，对角线与的交点恰好在轴上，点是中点，直线交于．
（1）点的坐标为___；（2）如图1，在轴上有一动点，连接．请求出的最小值及相应的点的坐标；（3）如图2，若点是直线上的一点，那么在直线上是否存在一点，使得以、、、为顶．点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）最小值为，点的坐标为；（3）存在，或，
【分析】（1）想办法求出直线，直线的解析式，构建方程组确定交点坐标．
（2）如图中，过点作射线，使得，点点作于，过点作于．求出即可解决问题．
（3）如图2中，过点作交于，连接，．利用全等三角形的性质证明，可得点与重合时满足条件，再根据对称性求出坐标即可．
【详解】解：（1）如图1中，

四边形是菱形，，
，，，
，，，，
，，，，
，，，，，，，，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
，直线的解析式为，
由，解得，．故答案为．
（2）如图中，过点作射线，使得，点点作于，过点作于．，，，直线的解析式为，
，直线的解析式为，
由，解得，，，
，
在中，，，
，，
的最小值为，此时点的坐标为．
（3）如图2中，过点作交于，连接，．
是等边三角形，，，
，，，，
，四边形是平行四边形，
当点与重合时，四边形是平行四边形，此时，
根据对称性可知，当点与关于点对称时，四边形是平行四边形，此时，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或，．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
24．（2022·广东连州·九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结，①求证：；②求的度数；
（3）若，，，M是的中点，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②60°；（3）
【分析】（1）平行四边形的性质可得ADBC，ABCD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，ABCD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABDC，AB＝DC，ADBC，
∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，
∵ADBC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；
（3）如图，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝，∴DM＝．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
25．（2022·四川·成都市第十八中学校八年级期末）如图1，在正方形中，对角线相交于点，点为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点.
（1）若，求的面积；（2）如图2，线段的延长线交于点，过点作于点，求证：；（3）如图3，点为射线上一点，线段的延长线交直线于点，交直线于点，过点作垂直直线于点，请直接写出线段的数量关系.
【答案】（1）5；（2）见解析；（3）
【分析】（1）如图1中，利用勾股定理计算CE的长，由旋转可知△CEF是等腰直角三角形，可得结论；
（2）如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，证明△CPE≌△CMF（AAS），得EP＝FM，由角平分线的性质得EP＝EN＝FM，证明△NHE≌△MGF（AAS），得NH＝MG，由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，最后由线段的和可得结论；（3）如图3，构建辅助线，构建全等三角形，证明△CPE≌△FMC（AAS），得EP＝CM，PC＝FM，由△DPE是等腰直角三角形，得PE＝PD，证明△HNE≌△GMF（AAS），由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，同理可得结论．
【详解】（1）在正方形中，

（2）过点作于，于

又
是等腰直角三角形
（3）BH﹣MG＝BE，理由是：如图3，过E作EN⊥AB于N，交CG于P，
∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD，∴EP⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，
∵∠M＝∠ECF＝90°，∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，∴∠ECP＝∠CFM，
∵CE＝CF，∴△CPE≌△FMC（AAS），∴PC＝FM，
∵△DPE是等腰直角三角形，∴PE＝PD，∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，
∵AB∥CD，∴∠H＝∠FGM，∵∠ENH＝∠M＝90°，∴△HNE≌△GMF（AAS），
∴NH＝MG，∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，
∴BN＝BE，∴BH﹣MG＝BE．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．
26．（2022·四川·成都实外八年级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝BO＝12，将矩形ABCD翻折，使得B与D重合，A的对应点为，折痕为EF，连接B，DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若M，N为矩形边上的两个动点，且运动过程中，始终保持∠MON＝60°不变，请回答下列两个问题：①如图2，当点M在边BC上，点N在边CD上，ON与ED交于点G，请猜想EO、EM、EG三条线段的数量关系，并说明理由；②如图3，若M，N都在BC边上，将△ONM沿ON所在直线翻折至ONP，取线段CD的中点Q，连接PQ，则当PQ最短时，求PM的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）①OE=ME+EG，理由见详解；②
【分析】（1）由△DOF≌△BOE，推出EO＝OF，OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．（2）①过O点作OH⊥BC，OK⊥DE，证明Rt△OHE=Rt△OKE，△OHM≌△OKG，可得ME+EG=HM+ME+EK+KG=2HE，在Rt△OHE中，即可得出结论
②如图3，连接CP．证明△OBM≌△OCP（SAS），推出∠PCD＝30°，如图3﹣1中，当QP⊥PC时，PQ的值最小，作MH⊥OB于H，OE⊥MP于E．在直角三角形求出EM即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠FDO＝∠EBO，
在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE，∴EO＝OF，
∵OB＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形，
∵翻折，B与D重合∴EB＝ED∴四边形BFDE是菱形．
（2）①如图2，过O点作OH⊥BC，OK⊥DE．由（1）得四边形BFDE是菱形∴△OBE≌ODE
∵OH⊥BC，OK⊥DE∴OH=OK∵OE=OE∴Rt△OHE≌Rt△OKE∴HE=KE
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BO∴△ABO为等边三角形∴∠ABO=60°∴∠OBE=30°
∴∠BED=120°∴∠HOK=60°∵∠MON＝60°∴∠HOM=∠KOG
∵OH⊥BC，OK⊥DE∴∠OHM=∠OKG=90°∴△OHM≌△OKG∴HM=KG
∴ME+EG=HM+ME+EK+KG=2HE在Rt△OHE中，∠OEH=60°∴∠OHK=30°∴OE=2HE∴OE=ME+EG

②解：如图3，连接CP．
由翻折可知：OM＝OP，∠MON＝∠NOP＝60°，∴∠MOP＝∠COB＝120°，∴∠BOM＝∠COP，
∵OB＝OC，∴△OBM≌△OCP（SAS），∴∠OCP＝∠OBM＝30°，BM＝CP，
∵∠OCD＝60°，∴∠PCD＝30°，
如图3﹣1中，点P的运动轨迹就是线段CP,当QP⊥PC时，PQ的值最小，作MH⊥OB于H，OE⊥MP于E．
在Rt△PQC中，∵∠QPC＝90°，∠PCQ＝30°，CQDCAB＝6，∴PQ=3
∴PC＝BM＝= ，
在Rt△BMH中，则有BH＝，MHBM=，
∴OH＝OB﹣BH＝ ∴OM，
∵OM＝OP，OE⊥PM，∠OME=30°∴EM＝EP＝，∴MP＝2EM．
【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．