2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（二）

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2．（B）
3．（B）
4．（C）
5．（A）
6．（B）
7．（D）
8．（A）
9．（D）
10.（C）
11．（A）
12．（A）
13．6eq \r(2).
14．－1.
15．eq \f(2,5).
16．8.5m.
17．5.
18．2eq \r(5).
19．解：原式＝－1－eq \f(1,4)×(－7)＝－1＋eq \f(7,4)＝eq \f(3,4).
20．
解：原式＝x2－4x＋4－4x2＋4x＋4x2－1＝x2＋3.
当x＝－eq \r(2) 时，原式＝(－eq \r(2))2＋3＝5.
21．
(1)解：如图所示．
(2)证明：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，
∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，
∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形．
22.
(1)表格中的a＝75，b＝75，c＝6；
解：(2)服装店应选择A供应商供应服装．理由：由于A，B平均值一样，B的方差比A的大，故A更稳定，所以选A供应商供应服装．
23．
(1)证明：连接OE，则∠EOB＝2∠EAB，
∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠EOB，
∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，
∵∠AFE＝∠ABC，∴△OFE∽△ABC，∴∠OEF＝∠C＝90°，
∵OE是⊙O的半径，∴EF与⊙O相切．
(2)解：设⊙O的半径为x，则OF＝x＋1，
∵∠AFE＝∠ABC，sin∠AFE＝eq \f(4,5)，∴sin∠ABC＝eq \f(4,5)，
eq \f(OE,OF)＝eq \f(4,5)，即eq \f(x,x＋1)＝eq \f(4,5)，解得x＝4，经检验，x＝4是所列方程的解，
∴⊙O半径为4，则AB＝8，
∴AC＝AB·sin∠ABC＝eq \f(32,5)，∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \f(24,5).
24．
解：(1)∵MQ⊥BC，∴∠MQB＝90°.
∴∠MQB＝∠A，又∠QBM＝∠ABC.
∴△QBM∽△ABC.
∴不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC.
(2)存在，理由：∵MN∥BQ，∴当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，
∵MN∥BC，∴eq \f(AM,AB)＝eq \f(MN,BC).∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5.
设AM＝3a，则MN＝5a，BM＝3－3a，
∴BQ＝MN＝5a，∵MN∥BQ，∴∠B＝∠AMN，又∠MQB＝∠A＝90°，∴△MBQ∽△NMA，∴eq \f(AM,BQ)＝eq \f(MN,BM)，即eq \f(3a,5a)＝eq \f(5a,3－3a).解得a＝eq \f(9,34)，∴BQ＝eq \f(45,34).
∴存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形．
(3)∵△QBM∽△ABC，∴eq \f(QB,AB)＝eq \f(QM,AC)＝eq \f(BM,BC).即eq \f(x,3)＝eq \f(QM,4)＝eq \f(BM,5)，
解得QM＝eq \f(4,3)x，BM＝eq \f(5,3)x，∴AM＝3－eq \f(5,3)x.
∵MN∥BC，∴eq \f(MN,BC)＝eq \f(AM,AB)，即eq \f(MN,5)＝eq \f(3－\f(5,3)x,3)，解得MN＝5－eq \f(25,9)x.
则S四边形BMNQ＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(25,9)x＋x))×eq \f(4,3)x＝－eq \f(32,27)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(45,32)))eq \s\up12(2)＋eq \f(75,32).
∵－eq \f(32,27)＜0，∴当x＝eq \f(45,32)时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为eq \f(75,32).
25．
解：(1)由题意，得y＝－(x＋1)(x－3)，
∴y＝－x2＋2x＋3.
(2)设P(1，m)，∵PB2＝PC2，C(0，3)，
∴(3－1)2＋m2＝1＋(m－3)2，
∴m＝1，∴P(1，1)．
(3)假设存在M点满足条件，作PQ∥BC交y轴于点Q，作MN∥BC交y轴于点N，∵PQ的解析式为y＝－x＋2，∴Q(0，2)，
∵C(0，3)，S△BCM＝S△BCP，∴N(0，4)，∴直线MN的解析式为y＝－x＋4，
由－x2＋2x＋3＝－x＋4，得x＝eq \f(3±\r(5),2)，∴点M的横坐标为eq \f(3＋\r(5),2)或eq \f(3－\r(5),2) .
26．
(1)证明：∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，
∴△FAB≌△GAC(AAS)，∴FB＝CG.
(2)解：CG＝DE＋DF.
证明：连接AD.∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴eq \f(1,2)AB·CG＝eq \f(1,2)AB·DE＋eq \f(1,2)AC·DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE＋DF.
(3)(2)中的猜想仍然成立：CG＝DE＋DF.