2022年清华大学强基校测数学真题试卷含答案

这是一份2022年清华大学强基校测数学真题试卷含答案，共9页。
2. a2+b2+c2+d2+e2=1, 求 a−b+b−c+c−d+d−e+e−a 的最大值
3. 已知复数 z 满足 z=1, 求 z−2z+12 的最大值
4. 在复平面内, 复数 z1 终点在 1+i 和 1+ai 表示两点连成的线段上移动, z2=1, 若 z=z1+z2 在复平面上表示的点围成的面积为 π+4, 则 a 的可能值为（）
5. 已知一个空间几何体三视图如下, 都为中点最大边长为 2 , 求这个几何体可能的体积
A. 236
B. 133
C.3
D. 4
6. 对于 x∈R,fx 满足 fx+f1−x=1,fx=2fx5, 且对于 0≤x1≤x2≤1, 恒有 fx1≤fx2, 则 f12022= .
7. 用蓝色和红色给一排 10 个方格染色, 则不超过 (忘记是不超过还是不少于) 三个相邻块 颜色相同的方法种数为
A. 504
B. 505
C.506
D.507
8. 对于三个正整数 a,b,c, 有 a+b,b+c,c+a 为三个连续正整数, 则 a2+b2+c2 最小值为 .
9. 已知 a2+ab+b2=3, 求 a2+b2−ab 的最大值和最小值 .
10. limn→∞k=1n1nsin2k−1π2n= .
11. 曲线 C:x2−y23=16x2y2
A. 曲线 C 仅过 0,0 一个整点
B. 曲线 C 上的点距原点最大距离为 2
C.曲线 C 围成的图形面积大于 4π
D. 曲线 C 为轴对称图形
12. 任意四边形 ABCD,AC=a,BD=b, 则 AD+BCAB+DC= （用a,b 表示)
13. 已知 ax+by=1,ax2+by2=2,ax3+by3=7,ax4+by4=18, 则 ax5+by5= .
2022 年清华大学强基计划校测数学试卷答案
1. 若 x&y&z=x&y+z,x&x=0, 求 2000&2022
【解析】新定义题型
由于变量的任意性, 不妨带入 x=2000y=2022,于是有z=2022
2000&2022&2022=2000&0=2000&2022+2022
即 2000&0=2000&2022+2022 1.1
再代入 x=2000y=2000,则有z=2000
2000&2000&2000=2000&0=2000&2000+2000=2000
即 2000&0=2000 1.2
由 1.1,1.2 知
2000&2022+2022=2000
因此, 2000&2022=−22.
2. a2+b2+c2+d2+e2=1, 求 a−b+b−c+c−d+d−e+e−a 的最大值.
【解析】不等式问题 袁逸凡解答
对于 a−b≤a+b, 其取等条件为 a、b 异号或至少其中一个为 0 , 不妨设 a≥0, 则b≤0, 同理可得 b−c≤b+c,c−d≤c+d⋯
当以上不等式都取等时, 则有
a≥0, b≤0, c≥0, d≤0, e≥0
令 a≥e, 于是有
a−b+b−c+c−d+d−e+e−a=2a−2b+2c−2d=2a+b+c+d
因为 a+b+c+d4≤a2+b2+c2+d24, 所以有
2a+b+c+d≤4a2+b2+c2+d2=41−e2≤4
因此, a−b+b−c+c−d+d−e+e−a 的最大值为 4 . 当 a=0,b=d=−12,c=e=12 时取等.
3. 已知复数 z=1, 求 z−2z+12 的最大值.
【解析】复数的性质
已知 z1⋅z2=z1⋅z2,z2=z⋅z, 则
z−2z+12=z−2z+12=z−2⋅z−2z+1z+1=5−2z+zz+z+2
设 T=5−2z+zz+z+2
令 z+z=t, 则 T=5−2tt+2=5−2tt+2t+2
≤5−2t+t+2+t+233
=33
当且仅当 t=1,z=12±32i 时取等;
4. 在复平面内, 复数 z1 终点在 1+i 和 1+ai 表示两点连成的线段上移动, z2=1, 若
z=z1+z2 在复平面上表示的点围成的面积为 π+4, 则 a 的可能值为 .
【解析】复数的轨迹
设 z1=1+ti, 则 1≤t≤aa>1,z2=csθ+isinθ,∴
z=1+csθ+t+sinθi=x+yi
因此有
x−12+y−t2=1, 1≤t≤a
如下图所示, 则 z 在复平面上围成的面积即为粉色区域, 即
S=2a−1+π=π+4
解得 a=3.
同理当 a