2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）1.3不等式性质与三个一元二次含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）1.3不等式性质与三个一元二次含解析答案，共28页。试卷主要包含了已知，，，则，设，则，若,且，则，设，若，则.，已知，，则的取值范围是，不等式的解集是，则的值是等内容，欢迎下载使用。


1．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则（ ）
A．B．
C．D．
3．若,且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．设，若，则（ ）.
A．B．C．D．
5．已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．不等式的解集是，则的值是（ ）
A．B．C．D．
9．一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
10．若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
12．若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（ ）.
A．B．
C．D．
13．已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
14．已知函数，若，，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
15．已知a、b都是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
16．设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
17．下列各式的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
18．设，，，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
19．下列大小关系正确的有（ ）
A．B．C．D．
20．若，，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
21．已知，，则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．ab的取值范围为D．的取值范围为
22．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．B．关于x的不等式的解集是
C．D．关于x的不等式的解集为或
23．关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．的最大值为
D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是
24．已知关于的方程，则（ ）.
A．当时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是
C．方程有两个不相等的负根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
25．已知且满足，则的取值范围是 .
26．若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 .
27．关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 .
28．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ．
29．若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
30．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
31．若存在，使得，则实数a的取值范围 ．
32．已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 .
33．已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 .
34．求解下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
(6)；
(7)；
(8)；
(9).
35．解下列关于x的不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10).
36．解关于实数的不等式
(1)；
(2)；
(3).
37．已知函数．
(1)解关于的不等式；
(2)若不等式有且仅有唯一整数解，求实数a的取值范围．
38．解下列关于的不等式
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
39．已知函数
(1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围.
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
40．已知函数.
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)当时，
（i）解关于x的不等式；
（i）若存在 ，使得，求实数a的取值范围.
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、多选题
评卷人
得分
三、填空题
评卷人
得分
四、解答题
参考答案：
1．C
【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.
【详解】
所以.
故选：C.
2．C
【分析】先利用对数性质判断的范围，再利用作商法和作差法比较三式的大小即可.
【详解】，
所以，，.
因为，所以；
因为，所以；
因为，
则，所以.
综上，.
故选：C.
3．B
【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解.
【详解】由得，当时，，此时，，故CD错误，
当时，，此时A错误，
综上可知，当时，则成立，故B正确，
故选:B.
4．B
【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得.
【详解】对A，由，则，故，即，故A错误；
对B，由A得，故，故B正确；
对C，由，则，，则，，故，故C错误；
对D，由A得，故，故D错误.
故选：B.
5．C
【分析】利用三角形三边关系列不等式组，结合不等式性质求的取值范围.
【详解】由已知及三角形三边关系得，
所以，则，两式相加得，
所以.
故选：C
6．D
【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可
【详解】由，，
得，即，
，
所以，即，
故选：D
7．B
【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围，
【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2，
则，即，解得；
②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，，
则，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
8．D
【分析】由题意得，，和是方程的根，然后结合方程的根与系数关系即可求解．
【详解】因为不等式的解集是，
所以，和是方程的根，
所以，即，，则．
故选：D．
9．C
【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案.
【详解】由题意知一元二次方程的两根为，
要使得方程有一个正实根和一个负实根，需，
结合选项知，只有，
即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是，
故选：C
10．C
【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】设，
根据已知结合二次函数性质，作图

则有，
解得.
故选：C.
11．D
【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解.
【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根，
当时，方程，
当方程有二个负根时，则有，
当方程有一个负根一个正根时，则有，
综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有，
即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是.
故选：D.
12．B
【分析】利用一元二次函数与一元二次方程之间的关系，需限定，区间两端点处函数值大于0，且对称轴在区间内部，解不等式即可求出结果.
【详解】根据题意可知，一元二次函数在区间内与轴有交点，
所以需满足，解得；
所以可得的取值范围是.
故选：B
13．A
【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出.
【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可.
当时，，最小值为，符合题意；
当时，对称轴，函数在上单调递减，
而适合题意；
当时，对称轴，
则，
所以；
综上的取值范围为.
故选：A.
14．B
【分析】令，根据单调性可求出的取值范围，将转化成在上恒成立，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，所以，
令，
因为恒成立，所以恒成立，亦即恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
故，所以.
故选：B
15．A
【分析】利用不等式性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当时，不等式成立，而当时，满足，不等式不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
16．D
【分析】若可判断A错；由赋值法可判断B，C错；通过分类讨论可验证D正确.
【详解】对A，当时，显然错误，故A错；
对B，当时，则，故B错；
对C，当时，，故C错；
对D，当时，，故；
当时，；
当时，
，所以，，故D正确.
故选：D
17．AC
【分析】对于选项A,B:由指数函数与幂函数的增长差异即可判断；对于选项C: 要判断与的大小，只需比较的大小即可；对于选项D:利用作商法，借助对数运算及基本不等式判断与1比较大小即可.
【详解】对于选项A,B:由指数函数与幂函数可知：
当时，有，因为，所以,故选项A正确；
当时，有，因为，所以,故选项B错误；
对于选项C: 要判断与的大小，只需比较的大小，
因为，所以，即,故选项C正确;
对于选项D:因为，
所以
所以，即.故选项D错误.
故选：AC.
18．AB
【分析】根据换底公式，结合基本不等式与作商法判断即可.
【详解】因为，，，
又，
，
故，，所以，.
故选：AB
19．BD
【解析】结合指数函数和幂函数的性质可判断选项A、B，利用作差法可判断选项C，利用作商法可判断选项D，进而可得正确答案.
【详解】由指数函数和幂函数可知，当时，
因为，所以，选项A不正确；
因为，所以，故选项B正确；
因为，所以，即
所以，所以，故选项C不正确；
因为，，
所以，
所以，故选项D正确，
故选：BD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟悉指数函数和幂函数，记住同一直角坐标系中它们的图象，当时，另外代数式比较大小可以用作差法与0比较大小，同号的可以利用作商法与1比较大小，变形的过程很灵活，属于常考题型.
20．ABD
【分析】直接利用不等式的性质判断ABC，作差法判断D．
【详解】对A, ，，由不等式性质易知 ，故A正确；
对B, ，,则，故B正确；
对C, ，，由不等式性质易知，故C错误；
对D, 若，则, 故D正确.
故选：ABD.
21．AC
【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案;
【详解】解：因为，，
所以，，，
所以，的取值范围为，的取值范围为，
故A选项正确，B选项错误；
因为，，
所以，，，，
所以，ab的取值范围为，的取值范围为
故C选项正确，D选项错误.
故选：AC
22．ABD
【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD.
【详解】由关于x的不等式的解集为或，
知和3是方程的两个实根，且，故A正确；
根据根与系数的关系知：，
所以，
选项B：不等式化简为，解得：，
即不等式的解集是，故B正确；
选项C：由于，故，故C不正确；
选项D：不等式化简为：，
解得：或，故D正确；
故选：ABD.
23．ACD
【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据二次函数零点分布即可求解D.
【详解】不等式的解集为或，
故和是方程的两个根，
所以，解得，故A正确，
对于B，可变为，解得或，故B错误，
对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，C正确，
对于D，的不等式可变为，
记由于，故0是的一个整数解，
由于对称轴，要使不等式解集中仅有两个整数，则，故，故D正确，
故选：ACD
24．BC
【分析】对于A选项：利用一元二次方程的判别式即可判断；对于B选项：利用一元二次方程无实数根的条件和充分条件的性质即可判断；对于C,D选项：利用判别式以及韦达定理即可判断;
【详解】对于A选项：当时，，此时，
此时方程没有实数根，故A选项错误；
对于B选项：方程无实数根的充要条件是，即，
所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B选项正确；
对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得：，故C选项正确;
对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得：，故D选项错误;
故选：BC.
25．
【分析】利用待定系数法得到，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【详解】设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故答案为：.
26．
【分析】分、、三种情况讨论，当时得到，即可求出的取值范围.
【详解】①当时，解得，不符合题意；
故，关于的不等式，即，
②当时，不等式即，解得或，
即它的解集为，不满足题意；
③当时，不等式即，
由于，当且仅当时取等号，故它的解集为，，
由题意，即，解得或，
则实数的取值范围为.
故答案为：
27．
【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围.
【详解】设，开口向上，
由题意知，
即，解得，
所以．
故答案为：．
28．
【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得.
【详解】令函数，依题意，的两个不等实根满足，
而函数图象开口向上，因此，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
29．
【分析】分和两种情况讨论即可得解.
【详解】①当时，不等式恒成立，所以符合要求；
②当时，题意等价于，即，解得，
综上可知.
故答案为：.
30．
【分析】求出在的最大值，然后可得关于a的不等式，解出即可.
【详解】设，则在的最大值为4，
因为关于的不等式在上有解，
即，解得，
故答案为：.
31．
【分析】根据给定的不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值即得.
【详解】当时，，显然，当且仅当取等号，
由存在，使得，得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
32．
【分析】设，结合题意，得到，即可求解.
【详解】设，
因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
33．
【分析】讨论二次项系数结合判别式列不等式求解即可.
【详解】由题意知当时，符合题意；
当时，则
则实数的取值范围是.
故答案为：.
34．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法求解即可；
（3）利用绝对值不等式的解法求解即可；
（4）（5）利用分式不等式的解法求解即可；
（6）（7）利用一元二次不等式的解法求解即可；
（8）（9）利用分式不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由可得，解得或，
故原不等式的解集为.
（2）由可得，解得，
故原不等式的解集为.
（3）由可得，即，解得，
故原不等式的解集为.
（4）等价于，解得，
故原不等式的解集为.
（5）由可得，等价于，
解得，故原不等式的解集为.
（6）由，得，解得，
故不等式的解集为.
（7）由，得，即，
解得或，故不等式的解集为.
（8）由，得，即，解得，
故不等式的解集为.
（9）由，得，解得或，
故不等式的解集为.
35．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）（2）两题用一元二次不等式解法即可求解；
（3）（4）（10）三题用解分式方程的解法即可求解；
（5）（8）用解绝对值不等式的解法即可求解；
（6）（7）（9）解高阶不等式用穿针引线法可以求解；
【详解】（1）由，得，即，
所以，所以不等式的解集为.
（2）原不等式可化为或，
所以解集为{或}.
（3）由题得
由可得：或，又，
则得或，即不等式的解集为.
（4）由，得，
所以，解得或，
所以不等式的解集为.
（5）当，即时，，得，此时，，
当，即时，，得，此时，，
综上所述，，即不等式的解集为.
（6）原不等式可化为或，
即或．
由图可知，原不等式的解集为或．
（7）原不等式可化为，即，
即或，即或．
由图可知，原不等式的解集为或.
（8），令，则，原不等式为：，即，
由，则或，即.
（9）对于，
当时，，原不等式等价于，
等价于，解得或，即；
当时，，原不等式成立，所以是原不等式的一个解；
综上，原不等式的解集为.
（10）对于，变形为，即，与同解，
，即.
36．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）因式分解，比较两根大小，分别求出不等式解集；
（2）根据系数进行分类讨论，分别解出不等式解集；
（3）用根的判别式进行分类讨论，分别求出不等式解集．
【详解】（1）易知方程的，
由得，解得，
当时，的解集为，
当时，的解集为，
当时，的解集为．
（2）不等式可化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，不等式化为，其解集为；
当时，不等式化为，
（ⅰ）当，即时，不等式的解集为；
（ⅱ）当，即时，不等式的解集为；
（ⅲ）当，即时，不等式的解集为.
（3）对方程 ，
当时，即时不等式的解集为；
当时，即或时的根为，，
不等式的解集为；
综上，时不等式的解集为，或时不等式的解集为.
37．(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）由题得，再对进行分类讨论，利用一元二次不等式的解法，即可求出结果；
（2）结合（1）中结果，得出符合条件的解集为，再结合条件，即可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以当时，解得；
当时，解得或；
当时，解得；
当时，不等式无解；
当时，解得；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（2）由（1）知，当时不符合题意；
当时，解集为，则，解得，
所以．
38．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】（1）分，和讨论即可；
（2）计算得，分和或讨论即可；
（3）因式分解得，分 ，和讨论即可；
（4）分，两大类讨论即可.
【详解】（1）由，可得或，则：
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
（2）由对应函数开口向上，且，
当，即时，恒成立，原不等式解集为；
当，即或时，由，可得，
所以原不等式解集为；
综上，解集为；
或解集为.
（3）由得或.
当，即时，不等式解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为．
综上：时，不等式解集为；
时，解集为；
时，解集为．
（4）①当时，；∴.
②当时，由得或，
（i）当即时，，
（ⅱ）当即时，，
（ⅲ）当即时，，
综上，当时，所求不等式的解集为.
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为.
39．(1)
(2)
【分析】（1）利用二次函数的性质，建立不等式即可求出结果；
（2）根据题意得，当时，恒成立，构造函数，将问题转化为即可求解.
【详解】（1）函数的对称轴为，
又函数在上是单调函数，
或，解得或，
∴实数a的取值范围为；.
（2）当，时，恒成立，即恒成立，
令，恒成立，
函数的对称轴，
，
故m的范围为.
40．(1)
(2)（i）答案见解析； （i i）
【分析】（1）根据题意，转化为得到和是方程的两个实数根据，列出方程组，即可求解；
（2）（i）由，求得，把不等式，转化为，分类讨论，即可求得不等式的解集；
（i i）由（i）中不等式的解集，结合存在，使得，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，因为不等式的解集为，
可得和是方程的两个实数根据，
则，解得.
（2）解：（i）由函数，
因为，可得，即，
所以，
由不等式，即，
当时，即时，解得或；
当时，即时，即为 解得；
当时，即时，解得或，
综上可得，当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（i i）由（i）知，当时，不等式解集为，
若存在，使得，则满足，解得；
当时，不等式的解集为，
此时不存在，使得；
当时，不等式的解集为，
此时不存在，使得，
综上可得，实数的取值范围为.