江西省万载二中2023-2024学年高二下学期期末考试数学B卷

这是一份江西省万载二中2023-2024学年高二下学期期末考试数学B卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共40分）
1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．已知，，则是的（ ）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．4B．6C．7D．9
4．已知等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A．62B．50C．40D．22
5．数列的前n项和为，若，则（ ）
A．1B．C．D．
6．在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．2
7．函数的图象如图所示，下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极小值点 B．3是函数的一个极
C．在处的切线的斜率大于0
D．的单减区间为
二、多选题（本大题共18分）
9．已知函数f（x）=（x-a）（x-3）2，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．3
10．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C． D．
11．已知正数x，y满足，则（ ）
A．的最大值为1B．的最大值为2
C．的最小值为2D．的最小值为
三、填空题（本大题共15分）
12．数列的前n项和为，则 .
13．中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 里.
14．已知函数，若曲线在处的切线方程为，则 ．
四、解答题（本大题共77分）
15．（本题13分）设全集为，，.
(1)求A∪（CRB）；
(2)若,,求实数的取值范围．
16．（本题15分）（1）已知，，，求证：；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
17．（本题15分）求下列函数的导函数．
(1)；
(2)；
(3)．
18．（本题17分）已知数列满足，．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若数列满足，，求的前n项和．
19．（本题1分）已知，，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
(3)当时，若满足，求证：.
参考答案：
1．B
【分析】先求出集合，再求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解.
【详解】由图可知：阴影部分表示的集合为.
因为集合，
所以，
则，
所以阴影部分表示的集合的子集个数为.
故选：B.
2．B
【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断.
【详解】由得，
由得，
则是的必要不充分条件.
故选：B.
3．C
【分析】根据等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质即可得解.
【详解】设公差为，
，
，∴，．
故选：C．
4．A
【分析】设数列的公比，由题意列出方程组，求得，由等比数列的求和公式计算即得.
【详解】设数列的公比为，由题意可得，
解得，，则.
故选：A.
5．D
【分析】根据给定的通项公式，利用裂项相法求和即得.
【详解】依题意，，
则，
所以.
故选：D
6．A
【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期，进一步即可求解.
【详解】由题意可得：，
由此可以发现数列的周期是3，
从而.
故选：A.
7．C
【分析】根据题意，分析和的几何意义，结合图象分析可得答案．
【详解】根据题意的几何意义为在点B处切线的斜率，
的几何意义为在点A处切线的斜率，
，其几何意义为割线AB的斜率，
则有．
故选：C
8．D
【分析】根据导函数图象上点的坐标特征，依次判断导函数值的符号，得出原函数的单调性，从而得出极值点情况和切线斜率的正负，一一判断选项即得.
【详解】因，当时，，时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减.
对于A，由上分析知是函数的极大值点，故A错误；
对于B，由上分析知，3不是函数的极值点，故B错误；
对于C，由上分析知，，即在处的切线的斜率小于0，故C错误；
对于D，由上分析知，的单减区间为,故D正确.
故选：D.
9．ABC
【分析】求得导数函数只需即可满足题意.
【详解】
令 ，则或，
当时，即时，在单调递增，单调递减，单调递增，
此时，当x=3时，f（x）有极大值，
则a的取值可以是4,5,6.
故选：ABC.
10．AD
【分析】利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式列方程，整理可得，再由等差中项的性质及通项公式求，即可判断各选项的正误.
【详解】由题设，若的公差和首项分别为，而，
∴，整理得，又公差和首项都不等于0，
∴，故D正确，C错误；
∵，
∴，故A正确，B错误.
故选：AD
11．AD
【分析】A选项，由基本不等式求出；B选项，求出；C选项，在A选项基础上得到；D选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】A选项，正数x，y满足，由基本不等式得，
解得，当且仅当时，等号成立，A正确；
B选项，，故，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为2，B错误；
C选项，由A选项知，，故，
当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为2，C错误；
D选项，由于正数x，y满足，
故，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：AD
12．
【分析】由及递推关系求结果.
【详解】.
故答案为：
13．96
【分析】由等比数列前项和公式即可求解.
【详解】由题意，此人每天走的路程可以构成等比数列，
公比，，
因为，解得，
所以（里）.
故答案为：96.
14．
【分析】利用导函数和切线斜率求出的值，利用解析式和切点坐标求出的值，可得.
【详解】函数，，
若曲线在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率，
则有，解得，
所以．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用集合运算即可求解；
（2）由得到，借助集合的包含关系即可求解.
【详解】（1）全集为R，
，
，
所以
（2），
因为 ，
所以 ，
由题意知 ，
解得
所以实数的取值范围是.
16．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由乘“1”法结合基本不等式即可得证；
（2）由（1）中结论可得，由此转换成解一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）因为，，，
所以，
（当且仅当时等号成立）,
因此有 .
（2）由于，可将x看作（1）中的a，看作（1）中的b，
根据（1）的结论，则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，
所以有成立，解得：.
所以m的取值范围为.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】利用导函数求导法则和复合函数求导法则进行计算.
【详解】（1）
；
（2）；
（3）．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据数列递推公式进行合理变形得出，利用等差数列的定义可判断并求得数列的通项公式；
（2）依题求得，利用裂项相消法即可求得.
【详解】（1）由，可得，
即，即，
故数列是等差数列，其首项为，公差为1，
则，解得；
（2）由可得，
则.
19．(1)极小值为0，无极大值.
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值.
（2）等价于与有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可.
（3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可.
【详解】（1）当时，，定义域为，求导可得，
令，得，
当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以在处取到极小值为0，无极大值.
（2）方程，
当时，显然方程不成立，
所以，则，
方程有两个不等实根，即与有2个交点，
，
当或时，，
在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，在区间上单调递增，
时，当时，取得最小值，，
作出函数的图象，如图所示：
因此与有2个交点时，，
故的取值范围为.
（3）证明：，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
由题意，且，则，.
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，
，
由均值不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数在上单调递增.
由，可得，即，
所以，
又函数在上单调递减，
所以，即得证.