2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数−1+2i在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.把2π3弧度化成角度是( )
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘
3.已知向量a=(m,1)，b=(4,−2)，且b=−2a，则m=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
4.已知平面α，β和直线a，b，且α/​/β，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是( )
A. 平行或异面B. 平行C. 异面D. 相交
5.已知csα=−35，且α为第二象限角，则tanα=( )
A. −34B. 34C. −43D. 43
6.已知圆锥的高为8，底面半径为4，其顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )
A. 100πB. 68πC. 52πD. 50π
7.“桂林山水甲天下”，如图，为测量桂林市某公园内一山的高MN，选择公园内某点A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M的仰角∠MAN=45∘，C点的仰角∠CAB=30∘以及∠MAC=75∘，从C点测得∠MCA=60∘，已知山高BC=50m，则山高MN=( )m．
A. 50 2B. 50 3C. 75 2D. 75 3
8.已知圆心角为30∘的扇形AOB的半径为1，点C是AB上的一点，点D是线段OA上的一点，点E、F是线段OB上的两点，且四边形CDEF为矩形，则该矩形的最大面积为( )
A. 2− 3B. 2+ 3C. 1− 32D. 1+ 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1=1+i，z2=1−i，则下列说法正确的有( )
A. z1=z2
B. |z1|=|z2|
C. z1z2=−i
D. 在复平面内z1，z2对应的点关于虚轴对称
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，则( )
A. A=2
B. ω=2
C. φ=−π6
D. 将函数f(x)图象上所有点的横坐标向右平移π3个单位(纵坐标不变)得到的函数图象关于y轴对称
11.如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD−A1B1C1D1内灌进一些水，水是定量的(定体积为V).固定容器底面一边BC于地面上，BC=1，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是( )
A. 水面EFGH所在四边形的面积为定值
B. 没有水的部分始终呈棱柱形
C. 棱A1D1一定与平面EFGH平行
D. 当容器倾斜如图所示时，BE⋅BF=2V(定值)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算(1+i)(2−i)= (其中i为虚数单位)．
13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AB的中点，则直线A1M与CD所成角的余弦值为 ．
14.已知O为△ABC内一点，且4OA+8OB+5OC=0，点M在△OBC内(不含边界)，若AM=λAB+μAC，则λ+μ的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,3)，b=(−2,1)．
(1)求a与b夹角的余弦值;
(2)若a+b与a−kb互相垂直，求实数k的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=3cs(2x+π3).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合．
(3)求f(x)的单调递减区间．
17.(本小题15分)
已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2．
(1)证明：AC1⊥BD．
(2)求三棱锥A−C1BD的体积．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinAcsB+bsinAcsA= 3acsC.
(1)求角C的大小;
(2)若a=3，且AB⋅AC=1，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
如图，已知直线l1/​/l2，A是l1，l2之间的一点，且AE⊥l1于点E，AF⊥l2于点F，AE=m，AF=n (m,n为常数)，点B、C分别为直线l1、l2上的动点，且AB⊥AC，设∠ACF=α．
(1)若α=π3，求△ABC的面积;
(2)当A恰好EF中点时，求△ABC的周长的最小值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由复数−1+2i，
得z在复平面内对应的点的坐标为：(−1,2)，位于第二象限．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解： 2π3弧度=2π3×180°π=120 ∘．
故选D．
3.【答案】B
【解析】解：a=(m,1)，b=(4,−2)，且b=−2a，
所以 (4,−2)=−2(m,1)=(−2m,−2) ，所以 −2m=4 ，解得 m=−2 ．
故选：B
4.【答案】A
【解析】解：∵平面α/​/平面β，
∴平面α与平面β没有公共点
∵a⊂α，b⊂β，
∴直线a，b没有公共点
∴直线a，b的位置关系是平行或异面
5.【答案】C
【解析】解：∵csα=−35，且α是第二象限角，
∴sinα= 1−cs2α=45，
则tanα=sinαcsα=−43，
故选C．
6.【答案】A
【解析】解：∵圆锥的高为ℎ=8，底面圆的半径r=4，顶点与底面的圆周在半径为R的球面上，
∴R2=(ℎ−R)2+r2⇒R2=(8−R)2+16⇒R=5，
故该球的表面积S=4πR2=100π．
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：在直角三角形ABC中，因为∠CAB=30°°，BC=50m，
所以AC=100m，
在三角形AMC中， ∠AMC=180°−75°−60°=45°，
由正弦定理可得AMsin∠ACM=ACsin∠AMC，
则AM=100× 32 22=50 6，
在直角三角形AMN中，
MN=AM×sin∠MAN=50 6× 22=50 3（m）.
故选B.
8.【答案】C
【解析】解：如图所示：设∠BOC=α0°<α<30°，
则DE=CF=OCsinα=sinα，OF=OCcsα=csα，
因为OE=DEtan∠AOB=sinαtan30°= 3sinα，所以EF=OF−OE=csα− 3sinα，
于是矩形CDEF的面积S=EF·DE=(csα− 3sinα)sinα=csαsinα− 3sin2α
=12sin2α− 3×1−cs2α2=12sin2α+ 32cs2α− 32=sin2α+60°− 32，
因为0°<α<30°，
所以当且仅当2α+60°=90°，即α=15°时，矩形CDEF的面积S取得最大值1− 32．
故选C．
9.【答案】AB
【解析】解：对于选项A，
z1=1−i=z2，故选项A正确；
对于选项B，
|z1|= 1+1= 2，
|z2|= 1+(−1)2= 2，
所以|z1|=|z2|，故选项B正确；
对于选项C，
z1z2=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，故选项C错误；
对于选项D，
在复平面内z1对应的点为Z1(1,1)，
z2对应的点为Z2(1,−1)，
点Z1,Z2关于实轴对称，故选项D错误．
故选：AB．
10.【答案】AC
【解析】解：根据函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，
可得A=2， 34×2πω= 5π9− π18，∴ω=3，故A正确，B错误；
∵图象过点 (π18,0)，可得3× π18+φ= kπ，k∈Z，
即φ=− π6+kπ，k∈Z，∵ |φ|<π2
∴φ=− π6，故C正确；
由此可得函数解析式为f(x)=2sin(3x−π6)，
将函数f(x)图象上所有点的横坐标向右平移π3个单位(纵坐标不变)得到函数y=2sin[3(x−π3)−π6]=2sin(3x−π−π6)=−2sin(3x−π6)的图像，
所得图象不关于y轴对称，故D错误．
故选AC．
11.【答案】BCD
【解析】解：依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形，
对于A：水面 EFGH 是矩形，线段 FG 的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段 EF 长逐渐增大，则水面 EFGH 所在四边形的面积逐渐增大，故A错误；
对于B：依题意， BC// 水面 EFGH ，而平面 BCC1B1∩ 平面 EFGH=FG ， BC⊂ 平面 BCC1B1 ，则 BC//FG ，同理 BC//EH ，而 BC//AD ， BC=FG=EH=AD ，又 BC⊥ 平面 ABB1A1 ，平面 ABB1A1// 平面 CDD1C1 ，因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故B正确；
对于C：因为 A1D1//BC//FG ， FG⊂ 平面 EFGH ， A1D1⊄ 平面 EFGH ，因此 A1D1// 平面 EFGH ，即棱 A1D1 总是与水面所在的平面平行，故C正确；
对于D :当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为 BC ，体积为 V ，又 S▵BEF=12BE⋅BF ， V=S▵BEF⋅BC ，所以 BE⋅BF=2VBC =2V，故D正确．
故选BCD．
12.【答案】3+i
【解析】解：(1+i)(2−i)=2+1+2i−i=3+i．
故答案为：3+i．
13.【答案】 55
【解析】解：如图，
由正方体的性质可得AB/​/CD，
所以可得∠A1MA(或其补角)为异面直线A1M与CD所成角．
不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则AM=1，A1M= 5，
∴cs∠A1MA=AMA1M=1 5= 55．
∴异面直线A1M与CD所成角的余弦值为 55．
故答案为 55．
14.【答案】(1317,1)
【解析】解：因为O满足4OA+8OB+5OC=0，所以4OA+8(OB−OA)+5(OC−OA)=−13OA，
所以AO=817AB+517AC，
因为M在ΔOBC内(不含边界)，且当M与O重合时，λ+μ最小，此时
AM=λAB+μAC=817AB+517AC ，
所以λ=817,μ=517，即λ+μ=1317．
当M与B(或C)重合时，λ+μ最大，此时AM=AB或AC 所以λ=1,μ=0(或λ=0,μ=1)，即λ+μ=1，
因为M在ΔOBC内且不含边界所以取开区间，即λ+μ∈(1317,1)．
15.【答案】解：解：(1)由a=(1,3)，b=(−2,1)，得a⋅b=1×(−2)+3×1=−2+3=1，
|a|= 12+32= 10，b= (−2)2+12= 5，
cs⟨a，b⟩=a|a|||b|=1 10⋅ 5= 210．
(2)若向量a+b与a−kb互相垂直，
则(a+b)⋅(a−kb)=a2−kb2+(1−k)a⋅b=10−5k+1−k=0
解得k=116．
【解析】
(1)根据向量的夹角公式，向量数量积的坐标运算，向量的模即可求解；
(2)根据向量垂直的性质，向量数量积的坐标运算建立方程即可求解．
本题考查向量的夹角公式，向量数量积的坐标运算，向量的模，向量垂直的性质，属基础题．
16.【答案】解：(1)T=2π2=π，故f(x)的最小正周期为π．
(2)当2x+π3=2kπ，k∈Z时，x=−π6+kπ，k∈Z，cs(2x+π3)=1，得f(x)max=3，即f(x)最大值为3．
(3)由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，k∈Z得−π6+kπ≤x≤kπ+π3，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间是[−π6+kπ,kπ+π3]，k∈Z.
【解析】
(1)利用T=2π|ω|即可求出；
(2)令2x+π3=2kπ，k∈Z，即可求出；
(3)令2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，k∈Z，即可解得．
17.【答案】(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BD⊥AC，
∵C1C⊥平面ABD，BD⊂平面ABD，∴C1C⊥BD．
又∵C1C∩AC=C，C1C、AC⊂平面ACC1，
∴BD⊥平面ACC1，又AC1⊂平面ACC1，
∴AC1⊥BD．
(2)解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，易知C1C⊥平面ABD，
∴VA−C1BD=VC1−ABD=13SΔABD⋅CC1=13⋅12⋅AD⋅AB⋅CC1=13×12×2×2×2=43．
【解析】
(1)证得BD⊥平面ACC1即可；
(3)利用VA−C1BD=VC1−ABD=13SΔABD⋅CC1，即可求出结果．
18.【答案】解：(1)因为asinAcsB+bsinAcsA= 3acsC，
又asinA=bsinB，
所以asinAcsB+asinBcsA= 3acsC，
即sinAcsB+sinBcsA= 3csC，
所以sinC= 3csC，即tanC= 3．
因为0(2)因为BA⋅AC=bccs(π−A)
=−bccsA=−1，即bccsA=1，
因为a2=b2+c2−2bccsA，所以b2+c2=9+2bccsA=11， ①
因为c2=a2+b2−2abcsC，所以b2−c2=3b−9， ②
联立 ① ②可得2b2−3b−2=0，解得b=2(舍值负去)，
故△ABC的面积为12absinC=12×3×2× 32=3 32．
【解析】
(1)利用正弦定理和两角和三角公式化简已知条件得tanC，从而求得C；
(2)由已知条件可得bccsA=1，利用余弦定理求得b，从而求得三角形面积12absinC.
19.【答案】解：(1)由题意，易得∠BAE=α=π3，∵AE⊥l1，AF⊥l2，且AE=m，AF=n，
∴AB=mcsπ3=2m，AC=nsinπ3=2 33n，
又∵AB⊥AC，∴SΔABC=12AB⋅AC=12×2m×2 33n=2 33mn；
(2)由题意有m=n>0，AB=msinα，AC=mcsα，BC= m2sin2α+m2cs2α=m 1sin2α+1cs2α=msinαcsα，
所以△ABC的周长f(α)=m(1sinα+1csα+1sinαcsα)=m(sinα+csα+1sinαcsα)，其中α∈(0,π2)，
设t=sinα+csα，则t=sinα+csα= 2sin(α+π4)∈(1, 2]，
所以sinαcsα=t2−12，所以y=m⋅t+1t2−12=2mt−1，t∈(1, 2]，
于是当t= 2时，f(α)min=2m 2−1=2m( 2+1)，
因此，周长的最小值为2m( 2+1)．
【解析】
(1)利用三角函数的定义即可求出AB，AC，即可求出面积；
(2)首先求出AB=msinα，AC=mcsα，BC=msinαcsα，再求周长即可．