四川省绵阳中学2024届高三下学期三诊模拟考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳中学2024届高三下学期三诊模拟考试数学（理）试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集，集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知m，n为实数，（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则( )
A.0B.1C.2D.4
3．某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图，根据如图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是( )
A.该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致
B.该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致
C.该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差
D.该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差
4．展开式中的常数项是( )
A.-160B.-20C.20D.160
5．a，b为实数，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知和均为等差数列，，，，则数列的前50项的和为( )
A.5000B.5050C.5100D.5150
7．已知函数的图象关于直线对称，则函数的最大值为( )
A.1B.C.2D.
8．“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A，B，C为节点，若研究发现本局游戏只能以A为起点C为终点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为( )
A.6种B.12种C.24种D.30种
9．如图，圆内接四边形中，，，，，.现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何的体积为( )
A.B.C.D.
10．已知函数，的定义域均为R，为偶函数且，，则( )
A.21B.22C.D.
11．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P、Q两点，若三角形面积的最大值为34，则椭圆C的长轴长为( )
A.B.C.D.
12．如图，正方体的棱长为3，点M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且.则下列结论不正确的是.( )
A.若保持.则点M的运动轨迹长度为
B.保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
C.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为
D.当M在点时，三棱锥的外接球表面积为
二、填空题
13．抛物线的焦点到准线的距离为__________.
14．已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影为2，则__________.
15．已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，且，则的最小值是__________.
16．如图所示，在中，已知，，，D，E，F分别在边、、上，且为等边三角形，则面积的最小值是________.
三、解答题
17．记为正项数列的前n项和，已知，，.
（1）求数列的前n项和；
（2）若，求数列的前n项和.
18．2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行.北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是，按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.
（1）若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概率.
（2）设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为，记同学甲获得“优秀学员”的次数为X，试求X的分布列及其数学期望，并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？
19．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点E为棱的中点，O为边的中点.
（1）求证：平面：
（2）若侧面底面，且，，求与平面所成角的正弦值.
20．过拋物线上的点作直线交抛物线于另一点B.
（1）设E的准线与y轴的交点为C，若，求:
（2）过E的焦点F作直线l交E于M，N两点，P为E上异于M，N的任意一点，直线，分别与E的准线相交于Q，R两点，证明:以线段为直径的圆经过y轴上的两个定点.
21．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设函数，当时，若，证明：.
22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线C的普通方程及直线l的极坐标方程；
（2）直线与曲线C和直线l分别交于A，B(A，B均异于点O)两点，求的取值范围.
23．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可得：，则.
故选：A.
2．答案：D
解析：由是关于x的方程的一个根，
则是关于x的方程的一个根，
则，
，
即，，则.
故选：D.
3．答案：D
解析：对于A，B，由折线图可以明显看出，该单位职工一天中作答的平均分和整体正确率均随着作答次数的增加而提高，故A，B不正确；对于C，第二次作答的极差为，第三次作答的极差为，所以该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C不正确；对于D，由折线图可以看出，第三次作答得分的折线图明显比第一次波动小，说明第三次作答得分更加稳定，所以该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差.故D正确.故选D.
4．答案：A
解析：通项公式，令，得.所以，故选A.
5．答案：A
解析：因为，根据对数函数单调性可知成立，所以，即“”是“”的充分条件，取，，此时，但，故“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
6．答案：B
解析：由题设也为等差数列，且公差d为、公差的和，又，，故，
所以前50项和为
.
故选：B.
7．答案：C
解析：
函数的图象关于直线对称，则
故，即，解得，故函数的最大值为.故选：C.
8．答案：C
解析：以A为起点时，三条路线依次连接即可到达B点，共有种选择；
自B连接到C时，在C右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有2种选择，
以A为起点，C为终点时，共有种方法；
同理可知：以C为起点，A为终点时，共有12种方法；
完成该图“一笔画”的方法数为种.
故选：C.
9．答案：D
解析：圆内接四边形中，，，所以，过点C作于点E，所以四边形是直角梯形，是直角三角形；
所以四边形沿
旋转一周，得到的旋转体是圆锥与圆台的组合体，计算
，
，
所以旋转体的体积为
故选：D.
10．答案：C
解析：为偶函数且，则，
故关于点对称，
又，则，
则是以周期为4的周期函数，故关于点对称，
，
则
又，
则
故
故选：C.
11．答案：C
解析：椭圆C的蒙日圆的半径为.
因为，所以为蒙日圆的直径，
所以，所以
.
因为，
当时，等号成立，
所以面积的最大值为：.
由面积的最大值为34，得，得，
故椭圆C的长轴长为.
故选：C
12．答案：C
解析：对于A，过点P作平面，以Q为圆心，为半径在平面内作圆交于点E，则即为点M的运动轨迹，
，，，，，
的长为，则A正确；
对于B，平面，平面，，
，平面，平面，，
平面，
平面，，
同理可证，
平面，，平面，
平面，
找上的点H，使得，找上的点G，使得，连接，，，
，，
平面，平面，平面.
，平面，平面，
平面.
平面，平面，
，
平面平面，平面，在上找一点F使得，连接，，，，，
F，P，G，H四点共面，平面，点M的轨迹为线段，，则B正确；
将平面和平面沿展开在同一平面上，从点A到点P的最短路程为，则，则C错误；
分别以，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设三棱锥的外接球的球心为
，则，
即，解得，
三棱锥的外接球半径
，
三棱锥的外接球表面积为
，则D正确；
故选：C.
13．答案：
解析：抛物线化成标准方程，可得
抛物线的开口向上，且，可得.
抛物线的焦点坐标为，准线方程为：
因此抛物线的焦点到准线的距离是
故答案为：
14．答案：
解析：设非零向量，的夹角为，，向量在向量方向上的投影为2，
，，，
故答案为：.
15．答案：
解析：作函数与图像如下：
存在四个不相等的实根，，，，且，
则，，且，
则，即，得，
则
当且仅当时，即，时，等号成立，
即的最小值是.
故答案为：.
16．答案：
解析：不妨设的边长为a，.在中，.因为，所以在中，可得，
根据正弦定理可得，所以，
所以，其中，
当时，a取得最小值，
面积的最小值为
故答案为：.
17．答案：（1）；；
（2）；，.
解析：（1）时，，，
，
数列是等差数列，首项为1，公差为1，
为正项数列的前n项和，.
（2）时，，时，也满足上式，
.
.
时，数列的前n项和
；
时，
数列的前n项利.
，.
18．答案：（1）；
（2）能获得吉祥物
解析：（1）由题可知，抽取的9名大学生中，6名男生，3名女生，
则选出的3名学生中至少有一名女生的概率.
（2）由题可知，X所有可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，
可以X的分布列：
所以，即能获得吉祥物.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：取线段的中点F，连，
在中，E，F分别为，的中点，
且，
又底面是菱形，且O为的中点，
且，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面.
（2）在平面内过点O作，由已知可证得且平面，故分别以、、所在线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，
则，，，
设平面的一个法向量，
可得，
不妨取，，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）点在E上，，解得，
E的方程为，
E的准线方程为，
，，
，，，
直线的方程为，即，
联立，消去y得，
解得，或，
将代入抛物线方程得，即，.
（2）证明：设点，，
设直线l的方程为，代入，
得，，
则，.
设点，则，
直线的方程为，
令，得，.同理得.
设以线段为直径的圆与y铀的交点为，
则，，
，，即，
，
解得或.
故以线段为直径的圆经过y轴上的两个定点和.
21．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）当时，，
所以由导数的几何意义可得，，
所以在处的切线方程为.
（2）证明：当时，，，
令，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以任意，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以在R上单调递增，且，
又，不妨令，
令，，
令，，，
所以在上单调递增，所以，
所以函数在上单调递增，所，
所以当吋，，时，，
即，又，
所以，因为在R上单调递增，
所以，所以.
22．答案：（1）；；
（2）
解析：（1）由参数方程为（为参数）.
得
所以曲线C的普通方程为.
由普通方程为，而，
所以直线l的极坐标方程为
即
（2）曲线C的极坐标方程为，
直线l的极坐标方程为
即
，
则的取值范围为
23．答案：（1）；
（2）
解析：（1）当时，，
由解得，综合得；
当时，，
由解得，综合得；
当时，，
由船得，综合得.
所以的解集是.
（2）的解集包含，
当时，恒成立
原式可变为，即，
，即在上恒成立，
显然当时，取得最小值10，
即m的取值范围是.
X
0
1
2
3
4
P