2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二下学期6月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二下学期6月期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量X服从二项分布B3,23，则DX=( )
A. 29B. 13C. 49D. 23
2.已知变量x与y的回归直线方程为y=3x−1，变量y与z负相关，则( )
A. x与y负相关，x与z负相关B. x与y正相关，x与z正相关
C. x与y负相关，x与z正相关D. x与y正相关，x与z负相关
3.设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是( )
A. fx−1−1B. fx−1+1C. fx+1−1D. fx+1+1
4.已知函数f(x)=sinx+f′(0)e2x，则f(0)=( )
A. 1B. −12C. 2D. −1
5.某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学.若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有( )
A. 18种B. 30种C. 42种D. 60种
6.有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象如图所示，则f(9)=( )
A. −1B. 1C. − 3D. 3
8.已知fx=alnx+12x2(a>0)，若对任意两个不等的正实数x1,x2，都有fx1−fx2x1−x2>1恒成立，则a的取值范围是( )
A. 14,+∞B. 14,+∞C. 0,14D. 0,14
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A、B是一个随机试验中的两个事件，若P(B)=34，P(A|B)=13，P(A+B)=23，则下列选项一定正确的是( )
A. P(AB)=14B. P(AB)=18C. P(A)=16D. P(A)=14
10.设X∼Nμ1,σ12,Y∼Nμ2,σ22，这两个正态曲线如图所示.则( )
A. μ1>μ2B. σ1<σ2
C. PX≥μ2>PX≥μ1D. PY≤σ111.已知函数fx=x3−x+1，则( )
A. fx有两个极值点B. fx有一个零点
C. 点0,1是曲线y=fx的对称中心D. 直线y=2x是曲线y=fx的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.x2+2yx2−y7的展开式中x4y6的系数为 (用数字作答)
13.已知函数f(x)=x3−x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处
切线也是曲线y=g(x)的切线．则a的值是
14.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718⋯为自然对数的底数，k、b为常数).若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是 小时．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx=lnx+mx．
(1)若m=2，求曲线y=fx在x=1处的切线方程；
(2)求函数fx在1,e上的单调区间和最小值．
16.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知csA=23，sinB= 5csC．
(1)求tanC的值；
(2)若a= 2，求△ABC的面积．
17.(本小题12分)
某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为12，乙答对第一、二、三题的概率分别为35，25，25，且甲、乙每次答对与否互不影响．
(1)求甲的累计得分X的分布列和期望；
(2)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD，PA=PD=AD=AB=2，BD=BC=CD=2 3，E为PC的中点．
(1)证明：直线BE//平面PAD；
(2)若平面PBD⊥平面ABCD，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：(单位：只)
(1)依据α=0.1的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；
(2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.D
5.B
6.B
7.D
8.A
9.AC
10.BD
11.ABC
12.−35
13.3
14.24
15.(1)
当m=2时，fx=lnx+2x，则f′x=1x−2x2，
故f′1=1−2=−1，f1=ln1+21=2，
故切线方程为y−2=−x−1，即x+y−3=0，
(2)
f′x=1x−mx2=x−mx2且x∈1,e，
当m≤1时，f′x≥0，fx的单调增区间为1,e，fxmin=f1=m；
当1当10，
所以fx的单调减区间为1,m，单调增区间为m,e，fxmin=fm=1+lnm；
当m≥e时，f′x≤0，所以fx的单调减区间为1,e，fxmin=fe=1+me

16.解(1)因为0得sinA= 1−cs2A= 53，
又sinB=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)
所以 5csC=sinAcsC+csAsinC= 53csC+23sinC，
整理得 5csC=sinC，
所以tanC= 5，
(2)由tanC= 5，得sinC= 5 6，csC=1 6，
于是sinB= 5csC= 5 6，
由a= 2及正弦定理asinA=csinC，得c= 3．
设△ABC的面积为S，则S=12acsinB= 52．
17.(1)
由题意知：甲累计得分X的可能取值有：0,30,40,60,70,100，
所以PX=0=123=18，
PX=30=12×C21×122=14，
PX=40=12×122=18，
PX=60=12×122=18，
PX=70=12×C21×122=14，
PX=100=123=18，
∴X的分布列为：
EX=0×18+30×14+40×18+60×18+70×14+100×18=50．
(2)
法一：根据题意得：得分不低于70分即可获奖，
由(1)知：甲获奖的概率为18+14=38，
乙获奖的概率为：35×C21×25×35+35×25×25=48125，
乙只得70分的概率为：35×C21×25×35=36125，
所以甲、乙两人同时获奖的概率为：38×48125=18125，
甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为：18×36125=9250，
所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为：925018125=14．
法二：已知得分不低于70分才可获奖，即甲、乙的得分应为70或100，共计4种情况，其中，甲比乙高的情况，只有甲获得100分，乙获得70分时一种情况，故概率为：14．

18.(1)
取CD的中点M，连接EM，BM，
因为BD=BC=CD=2 3，所以BM⊥CD．
因为AD=AB=2，BD=2 3，所以∠ADB=∠ABD=30∘，∠ADC=90∘，BM//AD．
又因为BM⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BM//平面PAD
因为E为PC的中点，M为CD的中点，所以EM//PD．
又因为EM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EM//平面PAD
又因为EM∩BM=M，PD∩DA=D，所以平面BEM//平面PAD．
而BE⊂平面BEM，故BE//平面PAD．
(2)
因为平面PBD⊥平面ABCD，连接AC交BD于点O，连PO，由对称性知，O为BD中点，且AC⊥BD．
如图，以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，OB的方向为y轴正方向，过点O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则D0,− 3,0，B0, 3,0，C3,0,0，A−1,0,0．
设P0,a,b，则PA2=1+a2+b2=4，PD2=a+ 32+b2=4，得a=− 33，b=2 63，P0,− 33,2 63．
设平面PCD的一个法向量为n=x,y,z，
由于DC=3, 3,0，DP=0,2 33,2 63，
则n⋅DC=0,n⋅DP=0,得3x− 3y=0,2 3y+2 6z=0.
令y=− 6，得x= 2，z= 3，故n= 2,− 6, 3，
设直线AB与平面PCD所成角为θ，由于AB=1, 3,0，
则sinθ=AB⋅nABn= 2−3 22× 11= 2211，
故直线AB与平面PCD所成角的正弦值为 2211．

19.(1)
解：零假设为H0:药物M对预防疾病A无效果，
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2=100×30×10−15×45275×25×45×55=10033≈3.030>2.706，
根据小概率值α=0.1的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为药物M对预防疾病A有效果．
(2)
解：设A表示药物N的治愈率，B1表示对未服用过药物M，B2表示服用过药物M，
由题意可得PB1=1525=0.6，PB2=1025=0.4，
且PAB1=0.5，PAB2=0.75，
PA=PB1×PAB1+PB2×PAB2=0.6×0.5+0.4×0.75=0.6，
药物N的治愈率P=0.6=35，
则X∼B3,35，所以PX=0=C30253=8125，
PX=1=C31351252=36125，PX=2=C32352251=54125，
PX=3=C33353=27125，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
EX=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95．
药物M
疾病A
未患病
患病
合计
未服用
30
15
45
服用
45
10
55
合计
75
25
100
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
30
40
60
70
100
P
18
14
18
18
14
18
X
0
1
2
3
P
8125
36125
54125
27125