2023-2024学年广东省江门一中高二（下）第二次段考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省江门一中高二（下）第二次段考数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.2
2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于 ( )
A. 12B. 18C. 24D. 42
3.函数f(x)的导函数f′(x)，满足关系式f(x)=x2+2xf′(2)−lnx，则f′(2)的值为( )
A. −72B. 72C. −92D. 92
4.已知a>0，(2x−1)(x+a)6展开式的各项系数之和为64，则展开式中x3的系数为( )
A. 10或2970B. 10C. 1890D. 2970
5.如图，用M，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统，当M正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知M，A1，A2正常工作的概率依次是12，34，34，已知在系统正常工作的前提下，则只有M和A1正常工作的概率是( )
A. 59B. 34C. 15D. 19
6.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且斜率为 3的直线与双曲线的左右两支分别交于P、Q两点，若|QP|=|QF2|，则双曲线C的离心率为( )
A. 7B. 6C. 13+12D. 13−12
7.函数f(x)=−x3+3x在区间(a2−12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A. (−1, 11)B. (−1,2)C. (−1,2]D. (1,4)
8.现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100m接力赛，其中已确定1人跑第1棒或第4棒，另有2人只能跑第2，3棒，还有1人不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为( )
A. 60B. 56C. 84D. 120
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中不正确的有( )
A. 若a⋅b<0，则〈a,b〉是钝角
B. 若AB+CD=0，则AB与CD一定共线
C. 若AB=CD，则AB与CD为同一线段
D. 非零向量a、b、c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a、b、c必共面
10.已知直线l：y=2x−1经过抛物线C：y2=2px的焦点F，且l与C相交于A，B两点，则下列结论中正确的是( )
A. p=2B. |AB|=52
C. OA⋅OB=−34D. 以AF为直径的圆和抛物线C的准线相切
11.已知函数y=f(x)是奇函数，对于任意的x∈(0,π2]满足f′(x)sinx−f(x)csx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )
A. 3f(−π6)C. f(π4)>− 2f(−π6)D. f(π3)> 3f(π6)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，则P(A−B)= ______，P(B)= ______．
13.直线l：mx−y+1=0截圆x2+y2+4x−6y+4=0的弦为MN，则|MN|的最小值为______．
14.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的13，女生追星的人数占女生人数的23，若有95%的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有______人．
参考数据及公式如下：
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M是PD的中点．
(1)证明：PB/​/平面ACM；
(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的首项为a1=35，且满足an+1=3an2an+1．
(1)求证：数列{1an−1}为等比数列；
(2)设bn=n(1an−1)，记数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn，并证明：23≤Tn<32．
17.(本小题15分)
数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x(百万元)与收益y(百万元)的数据统计如表：
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y=2bx+a的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如表：
其中zi=lg2yi，z−=17i=17zi．
(1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程(系数b​精确到0.1)；
(2)①乙认为样本点分布在直线y=mx+n的周围，并计算得线性回归方程为y =8.25x+3，以及该回归模型的决定系数R乙2=0.893，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？(精确到0.1)
附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，…，(un,vn)，其线性回归直线v​=b​u+a​的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b =i=1n(ui−u−)(vi−v−)i=1n(ui−u−)2=i=1nuivi−nuv−i=1nui2−nu−2，a =v−−b u−，决定系数：R2=1−i=1n(vi−v )2i=1n(vi−v−)2.参考数据：lg25≈2.3．
18.(本小题17分)
2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC−801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70,100])，其质量指标等级划分如表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如表(1试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6)．
19.(本小题17分)
定义：若函数f(x)图象上恰好存在相异的两点P，Q满足曲线y=f(x)在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线y=f(x)的“双重切点”，直线PQ为曲线y=f(x)的“双重切线”．
(1)直线y=2x是否为曲线f(x)=x3+1x的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数g(x)=ex−2e,x≤0,lnx,x>0,求曲线y=g(x)的“双重切线”的方程；
(3)已知函数ℎ(x)=sinx，直线PQ为曲线y=ℎ(x)的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值为k1，k2…，kn，若k1>k2>ki(i=3,4,5,…,n)，证明：k1k2<158．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.B
5.C
6.C
7.C
8.A
9.ACD
10.BC
11.CD
0.5
13.2
14.30
15.(1)证明：连接BD交AC于点N，连接MN，
因为四边形ABCD为正方形，且AC∩BD=N，∴N为BD的中点，
又因为M为PD的中点，∴MN/​/PB，
∵PB⊄平面ACM，MN⊂平面ACM，∴PB/​/平面ACM；
(2)解：设PA=AB=2，∵PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD为正方形，
以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A(0,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、M(0,1,1)，
AC=(2,2,0)，AM=(0,1,1)，DC=(2,0,0)，
设平面ACM的法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅AC=2x+2y=0n⋅AM=y+z=0，令y=−1，可得x=z=1，则n=(1,−1,1)，
cs=n⋅DC|n|⋅|DC|=2 3×2= 33，
因此，直线CD与平面ACM所成角的正弦值为 33．
16.证明：(1)由an+1=3an2an+1，得1an+1=2an+13an=23+13an，
∴1an+1−1=13an−13=13(1an−1)，
又a1=35，∴1a1−1=23，
∴数列{1an−1}是以23为首项，13为公比的等比数列．
(2)由(1)知，1an−1=23⋅(13)n−1=23n，
∴bn=2n3n，
∴Tn=231+432+633+…+2(n−1)3n−1+2n3n①，
13Tn= 232+433+634+…+2(n−1)3n+2n3n+1②，
①−②得：23Tn=231+232+233+…+23n−1+23n−2n3n+1=2⋅13(1−13n)1−13−2n3n+1=1−2n+33n+1，
∴Tn=32(1−2n+33n+1)，
∴Tn=32(1−2n+33n+1)<32(1−0)=32，
又∵bn=2n3n>0, ∴{Tn}为递增数列，
∴Tn≥b1=23，
故23≤Tn<32．
17.解：(1)将y=2bx+a两边取对数得：lg2y=bx+a，令z=lg2y，则z =b x+a ，
∵x−=1+2+3+4+5+6+77=4，∴b =i=17xizi−7x−z−i=17xi2−7x−2=149−7×5×4140−7×42≈0.3，
∴a =z−−b x−=5−0.3×4=3.8，
∴回归方程为z =0.3x+3.8，即y =20.3x+3.8；
(2)①甲建立的回归模型的R2=1−i=17(yi−y )2i=17(yi−y−)2=1−1302134≈0.939>R乙2=0.893．
∴甲建立的回归模型拟合效果更好．
②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好．
设20.3x+3.8≥100，解得：0.3x+3.8≥lg2100=2+2lg25，解得：x≥9.3．
∴科技投入的费用至少要9.3百万元，下一年的收益才能达到1亿．
18.解：(1)设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得，
1件产品为废品的概率为P=5(0.04+0.02)=0.3，
则P(A)=1−C33(0.3)3=1−0.027=0.973，
(2)由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，
m∈[85,90)的频率为0.08×5=0.4，
m∈[90,95)的频率为0.04×5=0.2，
m∈[95,100]的频率为0.02×5=0.1，
∴利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，
m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100]的有1件，
从这7件产品中，任取3件，质量指标值m∈[90,95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C53C73=27，
P(X=1)=C21C52C73=47，
P(X=2)=C22C51C73=17，
∴X的分布列为：
E(X)=0×27+1×47+2×17=67．
(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系与表所示(1∴每件产品的平均利润：
ℎt=−0.5et+0.8t+0.6t+0.8t+0.3t=−0.5et+2.5t，(1则ℎ′t=−0.5et+2.5，
令ℎ′t=−0.5et+2.5=0，解得t=ln5，
∴当t∈(1,ln5)时，ℎ′t>0，函数ℎt=−0.5et+2.5t单调递增，
当t∈(ln5,4)时，ℎ′t<0，函数ℎt=−0.5et+2.5t单调递减，
∴当t=ln5时，ℎt取最大值为ℎln5=−0.5eln5+2.5×ln5≈1.5，
∴生产该产品能够实现盈利，当t=ln5≈1.6时，每件产品的平均利润达到最大．
19.解：(1)f(x)=x3+1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
求导得f′(x)=3x2−1x2，直线y=2x的斜率为2，
令f′(x)=3x2−1x2=2，解得x=±1，
不妨设切点P(−1,−2)，Q(1,2)，
则点P处的切线方程为y+2=2(x+1)，即y=2x，
点Q处的切线方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，
所以直线y=2x是曲线f(x)=x3+1x的“双重切线”．
(2)函数g(x)=ex−2e,x≤0lnx,x>0，求导得g′(x)=ex,x≤01x,x>0，
显然函数y=ex在(−∞,0)上单调递增，函数y=1x在(0,+∞)上单调递减，
设切点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则存在x1<0则在点P处的切线方程为y−(ex1−2e)=ex1(x−x1)，
在点Q处的切线方程为y−lnx2=1x2(x−x2)，
因此ex1=1x2ex1−ex1x1−2e=lnx2−1，消去x2可得ex1−x1ex1+x1−2e+1=0，
k(x)=ex−xex+x−2e+1(x<0)，
求导得k′(x)=ex−(1+x)ex+1=−xex+1>0，
则函数k(x)在(−∞,0)上单调递增，又k(−1)=0，
函数k(x)的零点为−1，因此x1=−1，x2=e，
所以曲线y=g(x)的“双重切线”的方程为y=xe；
(3)设k1对应的切点为(t1,sint1)，(S1,sinS1)，t1k2对应的切点为(t2,sint2)，(S2,sinS2)，t2由(sinx)′=csx，得k1=cst1=csS1，k2=cst2=csS2，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑t1+S1=2π，t2+s2=4π，其中t1，t2∈(−π2,0)，
由k1>k2及余弦函数在(−π2,0)上递增知，−π2则k1=sins1−sint1S1−t1=sin(2π−t1)−sint1(2π−t1)−t1=−2sint12π−2t1=−sint1π−t1，
k2=sins2−sint2s2−t2=sin(4π−t2)−sint2(4π−t2)−t2=−2sint24π−2t2=−sint22π−t2，
因此k1k2=sint1sint2⋅2π−t2π−t1，又k1=cst1=−sint1π−t1，k2=cst2=−sint22π−t2，
则sint1=(t1−π)cst1⇔tant1−t1+π=0，同理tant2−t2+2π=0，
令F(x)=tanx−x+π(−π20．
则F(x)在(−π2,0)上单调递增，显然F(−π3)>0，且F(x)函数y=tanx+3π2在(−π2,0)上的值域为(−∞,3π2)，
即函数F(x)在(−π2,0)上存在零点，则有−π2由tant2−t2+2π=0，同理可得−π2因此−π2所以k1k2=sint1sint2⋅2π−t2π−t1<2π−t2π−t1<2π+π2π+π3=158，即k1k2<158． P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
科技投入x
1
2
3
4
5
6
7
收益y
19
20
22
31
40
50
70
z−
i=17xi2
i=17xiyi
i=17xizi
i=17(yi−y−)2
i=17(yi−y )2
5
140
1239
149
2134
130
质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,100]
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,100]
利润y(元)
6t
8t
4t
2t
−53et
X
0
1
2
P
27
47
17
质量指标值m
90≤m≤100
85≤m<90
80≤m<85
75≤m<80
70≤m<75
利润y(元)
−53et
2t
4t
8t
6t
P
0.3
0.4
0.15
0.1
0.05