新高考高中数学 题型全归纳 下册

这是一份新高考高中数学 题型全归纳 下册，共299页。试卷主要包含了 直线的倾斜角 θ ， 直线的斜率 k ，1 等内容，欢迎下载使用。
题型 1: 直线的倾斜角与斜率
知识梳理
1. 直线的倾斜角 θ :
(1) 定义: x 轴正方向与直线向上的方 向所成的角叫作这条直线的倾斜角;
(2) 范围: θ∈0∘,180∘ (规定与 x 轴平 行或重合的直线的倾斜角为 0∘ ).
2. 直线的斜率 k :
(1) 公式: k=tanθ=y2−y1x2−x1x1≠x2(θ 为倾斜角).
(2) 当 θ=0 时, k=0 ;
当 θ=π2 时, k 不存在;
当 θ∈0,π2 时, k>0,k 随着 θ 的增大 而增大;
当 θ∈π2,π 时, k0 ,其中 a,b 为圆心, r 为半径;
(2) 一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F= 0D2+E2−4F>0 ,其中圆心为 −D2,−E2 ,半径为 12D2+E2−4F ;
(3) 直径式方程: 以 Ax1,y1 , Bx2,y2 为直径端点的圆的方程为 (x− x1x−x2+y−y1y−y2=0 ;
(4) 参数方程: x−a2+y−b2=r2 r>0 的参数方程为 x=a+rcsθ,y=b+rsinθ(θ 为 参数).
2. 几种特殊圆的标准方程:
(1) 圆心在原点: x2+y2=m2m≠0 ;
(2) 圆过原点: x−a2+y−b2=a2 +b2ab≠0;
(3) 圆心在 x 轴上: x−a2+y2= m2m≠0 ;
(4) 圆心在 y 轴上: x2+y−b2= m2m≠0 ;
(5) 圆心在 x 轴上且过原点: x−a2+ y2=a2a≠0 ;
(6) 圆心在 y 轴上且过原点: x2+ y−b2=b2b≠0; (7) 圆与 x 轴相切: x−a2+y−b2= b2b≠0 ;
(8) 圆与 y 轴相切: x−a2+y−b2= a2a≠0 ;
(9) 圆与两坐标轴相切: x−a2+ y±a2=a2a≠0 .
3. 圆的方程常用求法:
(1)几何法: 根据圆的几何性质求出圆 心和半径;
(2)待定系数法:设出圆的标准方程或 一般方程, 根据条件求出参数.
例题解
例 1 (2016 浙江 10) 已知 a∈R ,方程 a2x2+ a+2y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心 坐标是
例 2 (2016 天津 12) 已知圆 C 的圆心在 x 轴 的正半轴上,点 M0,5 在圆 C 上,且圆心 到直线 2x−y=0 的距离为 455 ,则圆 C 的 方程为
例 3 若直线 3x−4y+12=0 与两坐标轴交点 为 A,B ,则以 AB 为直径的圆的方程 是
A. x2+y2+4x−3y=0
B. x2+y2−4x−3y=0C. x2+y2+4x−3y−4=0
D. x2+y2−4x−3y+8=0
例 4 (2020 全国 II 5) 若过点 2,1 的圆与两 坐标轴都相切,则圆心到直线 2x−y−3=0 的距离为 ( )
A. 55 B. 255 C. 355 D. 455
例 5 (2022 全国甲 14) 设点 M 在直线 2x+y− 1=0 上,点 3,0 和 0,1 均在圆 M 上,则圆 M 的方程为
例 6 (2022 全国乙 14) 过四点 0,0,4,0 , −1,1,4,2 中的三点的一个圆的方程为 .
强化练习
1. 方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a−1=0 表 示圆,则实数 a 的取值范围是
2. (2014 陕西 12) 若圆 C 的半径为 1,其圆心 与点 1,0 关于直线 y=x 对称,则圆 C 的 标准方程为
3. 已知 A3,−2,B−5,4 ,则以 AB 为直径 的圆的方程是 ( )
A. x−12+y+12=25
B. x+12+y−12=25
C. x−12+y+12=100
D. x+12+y−12=100 4. 圆心在 y 轴上且过点 3,1 的圆与 x 轴相 切, 则该圆的方程为
5. (2011 辽宁 13) 已知圆 C 经过两点 A5,1 , B1,3 ,圆心在 x 轴上,则圆 C 的标准方程 为
6. (2015 全国 II 7) 已知三点 A1,0,B0,3 , C2,3 ,则 △ABC 外接圆的圆心到原点 的距离为 ( )
A. 53 B. 213 C. 253 D. 43
题型 9: 圆系方程
知识梳理
圆系方程:
(1) 经过直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+ y2+Dx+Ey+F=0 的交点的圆的方程为 x2 +y2+Dx+Ey+F+λAx+By+C=0;
(2) 过两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+ F1=0 与 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 交点的圆的方程为 x2+y2+D1x+E1y+ F1+λx2+y2+D2x+E2y+F2=0(λ≠ ー1)(注意:此方程不含 C2 );
(3) 在 (2) 中,当 λ=−1 时,方程变为 D1−D2x+E1−E2y+F1−F2=0 . 当 两圆相交时,此方程表示两圆公共弦所在 直线方程;当两圆相切时,此方程表示切点 处的公切线方程.
例题解
例 1 已知经过直线 2x+y+4=0 与圆 x2+y2+ 2x−4y+1=0 的交点,并且经过原点的圆 的方程为
例 2 经过两圆 x2+y2−2x−3=0 与 x2+y2− 4x+2y+3=0 的交点,且圆心在直线 2x− y=0 上的圆的方程为
强化练之
1. 经过点 M2,−2 以及圆 x2+y2−6x=0 与 x2+y2=4 交点的圆的方程为
2. 圆心在直线 x+y=0 上,且过两圆 x2+y2 −2x+10y−24=0 与 x2+y2+2x+2y−8 =0 交点的圆的方程为
题型 10 : 圆中的对称
知识梳理
1. 圆关于直径所在直线成轴对称, 圆 关于圆心成中心对称;
2. 若圆关于某直线对称, 则该直线过 圆心;
3. 若两圆关于某点对称, 则两圆的圆 心关于该点对称,且半径相等;
4. 若两圆关于某直线对称, 则两圆的 圆心关于该直线对称, 且半径相等.
例题解
例 1 (2022 北京 3) 若直线 2x+y−1=0 是圆 x−a2+y2=1 的一条对称轴,则 a=
A. 12 B. −12
C. 1 D. -1
例 2 已知直线 l:x+my+4=0 ,若曲线: x2+ y2+2x−6y+1=0 上存在两点 P,Q 关于 直线 l 对称,则 m 的值为 ( )
A. 2 B. -2
C. 1 D. -1
例 3 已知圆 C1:x+12+y−12=1 ,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x−y−1=0 对称,则圆 C2 的方程为 ( )
A. x−22+y−22=1
B. x+22+y+22=1
C. x+22+y−22=1
D. x−22+y+22=1
强化练习
1. (2015 重庆 8 ) 已知直线 l:x+ay−1=0(a ∈R) 是圆 C:x2+y2−4x−2y+1=0 的对 称轴. 过点 A−4,a 作圆 C 的一条切线,切 点为 B ,则 AB=
A. 2 B. 42
C. 6 D. 210
2. 已知圆 C:x2+y2+2x+ay−3=0 上任意 一点关于直线 l:x−y+2=0 的对称点都在 圆 C 上,则 a=3. 圆 x+22+y2=5 关于点 −1,1 对称的 圆的方程为
题型 11: 点与圆的位置关系
知识梳理
1. 已知点 Mx0,y0 与圆 x−a2+ y−b2=r2( 或 x2+y2+Dx+Ey+F= 0) ,则有:
(1) 点在圆内 ⇔x0−a2+y0−b2< r2或x02+y02+Dx0+Ey0+F r2 或 x02+y02+Dx0+Ey0+F>0 .
2. 注意: 若圆的方程为一般式, 需要注 意限制条件 D2+E2−4F>0 .
例题解析
例 1 圆的方程是 x2+y2+2ax+2y+a−12= 0,若 00 相交于 A,B 两点,且 ∠AOB=120∘ ( O 为坐标原点),则 r=
6. (2020 全国 I 6) 已知圆 x2+y2−6x=0 ,过 点 1,2 的直线被该圆所截得的弦的长度的 最小值为 ( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7. (2008 山东 11) 已知圆的方程为 x2+y2− 6x−8y=0 ,设该圆过点 3,5 的最长弦和 最短弦分别为 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为 ( )
A. 106 B. 206
C. 306 D. 4068. 当直线 l:2m+1x+m+1y−7m−4= 0m∈R 被圆 C:x−12+y−22=25 截 得的弦最短,则 m 的值为
题型 12.3 : 切线问题
知识梳理
1. 过点 P 的切线条数:
(1) P 在圆外: 2 条; (2) P 在圆上: 1 条; (3) P 在圆内: 0 条.
2. 过点 P 的切线方程:
(1) P 在圆外: 设切线斜率为 k ,列点斜 式直线方程,由圆心到切线的距离等于半 径,求出 k ,即可求出切线方程. (注意: 若 仅求出一个 k 值,则有一条切线垂直于 x 轴.)
(2) P 在圆上:
几何法:由切点与圆心的连线与切 线垂直, 求出切线的斜率, 即可求出切线方 程. (注意:若切点与圆心的连线斜率为 0 , 则切线斜率不存在,切线为垂直于 x 轴的 直线.)
(2)公式法:
(i) 过圆 x2+y2=r2 上一点 Px0,y0 的切线方程是 x0x+y0y=r2 ;
(ii) 过圆 x−a2+y−b2=r2 上一 点 Px0,y0 的切线方程是 x0−ax−a+ y0−by−b=r2.
3. 切线长: 过圆外一点 P 作圆 C 的切 线,切线长 =PC2−r2(r 为圆 C 的半 径).
4. 切点弦: 过圆 C 外一点 Px0,y0 引 圆的两条切线,切点分别为 A,B ,则 AB 为 切点弦, 则有: (1) 若圆的方程为 x2+y2=r2 ,则直线 AB 的方程为 x0x+y0y=r2 ;
(2) 若圆的方程为 x−a2+y−b2= r2 ,则直线 AB 的方程为 x0−ax−a+ y0−by−b=r2.
5. 切线最值: 如图,直线 l 与圆 C 相 离,过 l 上一点 P 作圆 C 的两条切线,切点 分别为 A,B . 当 CP⊥l 时,切线长 PA 最 小, ∠APB 最大,四边形 ACBP 面积最小.
例题解
例 1 (2015 重庆 12) 若点 P1,2 在以坐标原 点为圆心的圆上,则该圆在点 P 处的切线方 程为
例 2 过点 P1,2 的直线与圆 x2+y2=1 相 切,且与直线 ax+y−1=0 垂直,则实数 a 的值为 ( )
A. 0 B. −43
C. 0 或 43 D. 43
例 3 (2019 浙江 12) 已知圆 C 的圆心坐标是 0,m ,半径长是 r . 若直线 2x−y+3=0 与 圆 C 相切于点 A−2,−1 ,则 m= r= ..例 4 (2021 天津 12) 若斜率为 3 的直线与 y 轴交于点 A ,与圆 x2+y−12=1 相切于 点 B ,则 AB=
例 5 已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动 点, PA,PB 是圆 x2+y2−2x−2y+1=0 的 两条切线, A,B 是切点, C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值是 ( )
A. 2 B. 2 C. 22 D. 4
例 6 (2013 山东 9 ) 过点 3,1 作圆 x−12+ y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B ,则直 线 AB 的方程为 ( )
A. 2x+y−3=0 B. 2x−y−3=0
C. 4x−y−3=0 D. 4x+y−3=0
例 7 (2023 新高考 I 6) 过点 0,−2 与圆 x2+y2−4x−1=0 相切的两条直线的夹角 为 α ,则 sinα=
A. 1 B. 154 C. 104 D. 64
例 8 (多选题) 已知圆 M:x+12+y2=2 ,直 线 l:x−y−3=0 ,点 P 在直线 l 上运动,直 线 PA,PB 分别与圆 M 切于点 A,B ,则下 列说法正确的是 ( )
A. 四边形 PAMB 的面积最小值为 23
B. PA 最短时,弦 AB 长为 6
C. PA 最短时,弦 AB 所在的直线方程为 x−y−1=0
D. 直线 AB 过定点 −12,−12
强化练习
1. 过点 P3,2 与圆 x−12+y−12=5 相 切的直线方程是
2. (2015 山东 9 ) 一条光线从点 −2,−3 射 出,经 y 轴反射后与圆 x+32+y−22=1 相切, 则反射光线所在直线的斜率为 ( )
A. −53 或 −35 B. −32 或 −23
C. −54 或 −45 D. −43 或 −34
3. (2020 浙江 15) 已知直线 y=kx+bk>0 与圆 x2+y2=1 和圆 x−42+y2=1 均相 切,则 k=
4. (2015 重庆 8 ) 已知直线 l:x+ay−1=0(a ∈R) 是圆 C:x2+y2−4x−2y+1=0 的对 称轴. 过点 A−4,a 作圆 C 的一条切线,切 点为 B ,则 AB=
A. 2 B. 42
C. 6 D. 210
5. 由直线 y=x+1 上的一点向圆 x−32+ y2=1 引切线,则切线长的最小值为 ( )
A. 1 B. 22
C. 7 D. 3
6. 由点 P1,3 引圆 x2+y2=9 的切线,两切 点所在直线方程为7. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2−4x=0 . 若直线 y=kx+1 上存在 一点 P ,使过点 P 所做的圆的两条切线相互 垂直,则实数 k 的取值范围是
8. (2020 全国 I 11) 已知 ⊙M:x2+y2−2x− 2y−2=0 ,直线 l:2x+y+2=0,P 为 l 上的 动点,过点 P 作 ⊙M 的切线 PA,PB ,切点 为 A,B . 当 PM⋅AB 最小时,直线 AB 的方程为 ( )
A. 2x−y−1=0 B. 2x+y−1=0
C. 2x−y+1=0 D. 2x+y+1=0
题型 12.4: 交点问题
知识梳理
1. 直线与完整的圆交点个数问题, 可 通过直线与圆的位置关系求解;
2. 直线与不完整的圆交点个数问题, 可通过数形结合法求解, 本题型主要解决 此类问题.
例题解
例 1 当曲线 y=1+4−x2 与直线 y=k(x− 2) +4 有两个相异交点时,实数 k 的取值范 围是
A. 512,+∞ B. 512,34
C. 0,512 D. 13,34
例 2 若方程 x+m=4−x2 有且只有一个实 数解,则实数 m 的取值范围为
强化练
1. 过点 2,−1 引直线 l 与曲线 y=1−x2 相 交于 A,B 两点,直线 l 的斜率取值范围 是
A. −1,−34 B. −43,−1
C. −1,−34 D. −43,−34
2. 直线 y=x+b 与曲线 x=1−y2 有且仅有 一个公共点,则 b 的取值范围是 ( )
A. {−2,2}
B. {b∣−10 截直线 x+y=0 所得线段的长度是 22 ,则圆 M 与圆 N:x−12+y−12=1 的 位置关系是
B. 相交 C. 外切 D. 相离
例 2 若圆 x2+y2=m2 与圆 x2+y2+6x− 8y−11=0 相切,则实数 m=
例 3 圆 C1:x2+y2+4x−4y+7=0 和圆 C2 : x2+y2−4x−10y+13=0 的公切线有
A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
例 4 (2022 新高考 I 14) 写出与圆 x2+y2=1 和 x−32+y−42=16 都相切的一条直 线的方程: COMPROPATION例 5 已知圆 C1:x2+y2+2x−6y+1=0 ,圆 C2 : x2+y2−4x+2y−11=0 ,则两圆的公共弦 长为
例 6 已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : x−m2+y−m−62=2 与圆 C2 : x+12+y−22=1 交于 A,B 两点. 若 OA=OB ,则实数 m 的值为
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
强化练
1. 已知直线 l:x−3y+1=0 与圆 C:x2+y2 −2x+t=0 相交于 A,B 两点,且 AB= 42 ,则圆 E:x−csθ2+y−sinθ2=1(θ ∈R) 与圆 C 的位置关系是
A. 外切 B. 内切
C. 相交 D. 内切或内含
2. (2014 湖南 6) 若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2 : x2+y2−6x−8y+m=0 外切,则 m= ( )
A. 21 B. 19
C. 9 D. -11
3. 两圆 C1:x2+y2+2x+2y−2=0 和 C2:x2 +y2−4x−2y+1=0 的公切线有
A. 1 条 B. 2 条
C. 3 条 D. 4 条
4. ⊙C1:x2+y2−2y=0 与 ⊙C2:x2+y2− 23x−6=0 的公切线方程为 5. 已知圆 O:x2+y2−10x−10y=0 和圆 C : x2+y2+6x+2y−40=0 相交于 A,B 两 点,则 AB=
6. 若 ⊙O:x2+y2=5 与 ⊙O1:x−m2+y2= 20m∈R 相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 . 题型 14 : 圆的最值问题
知识梳理
1. 圆的最值问题:
(1)圆上点到定点距离最值问题;
(2)圆上点到定直线距离最值问题;
(3)两圆上的点距离最值问题;
(4) 弦长最值问题;
(5)切线最值问题;
(6) y−bx−a,ax+by,x−a2+y−b2 最值问题.
2. 很多最值问题在前面的题型中已经涉 及, 本题型是将最值问题进行汇总练习.
例题解
例 1 已知点 A1,3 ,点 B 在圆 x−22+ y2=1 上运动,则 AB 的取值范围为 一
例 2 (2018 全国 II 6) 直线 x+y+2=0 分别 与 x 轴、 y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆 (x− 2)2+y2=2 上,则 △ABP 面积的取值范围是
A. [2,6] B. [4,8]
C. 2,32 D. 22,32
例 3 若点 P 在圆 C1:x2+y2−8x−4y+11=0 上,点 Q 在圆 C2:x2+y2+4x+2y+1=0 上,则 PQ 的最小值是 ( )
A. 5 B. 1
C. 35−5 D. 35+5
例 4 直线 l:kx−3y+3=0 与圆 C:x−12+ y−32=10 相交所得的弦长的最小值 为
A. 25 B. 5 C. 210 D. 10
例 5 (多选题) 已知圆 O:x2+y2=2 ,直线 l : x+y−4=0,P 为直线 l 上一动点,过点 P 作圆 O 的两条切线 PA,PB,A,B 为切点, 则 ( )
A. 点 P 到圆心的最小距离为 22
B. 线段 PA 长度的最小值为 22
C. PA⋅PB 的最小值为 3
D. 存在点 P ,使得 △PAB 的面积为 3
例 6 (2013 重庆 7) 已知圆 C1:x−22+ y−32=1 ,圆 C2:x−32+y−42=9 , M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点, P 为 x 轴 上的动点,则 PM+PN 的最小值 为
A. 52−4 B. 17−1
C. 6−22 D. 17 例 7 已知实数 x,y 满足方程 x2+y2−4x+ 1=0 .
(1) 求 y+2x−2 的取值范围;
(2) 求 y−x 的最小值;
(3) 求 x2+y2 的最大值和最小值.
例 8 (2021 新高考 I 11) (多选题) 已知点 P
在圆 x−52+y−52=16 上,点 A4,0 , B0,2 ,则
A. 点 P 到直线 AB 的距离小于 10
B. 点 P 到直线 AB 的距离大于 2
C. 当 ∠PBA 最小时, PB=32
D. 当 ∠PBA 最大时, PB=32 COMPROPATION
强化练
1. 圆 x+32+y−12=25 上的点到原点的 最大距离是 ( )
A. 5−10 B. 5+10
C. 10 D. 10
2. (2018 北京 7) 在平面直角坐标系中,记 d 为 点 Pcsθ,sinθ 到直线 x−my−2=0 的距 离,当 θ,m 变化时, d 的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 若点 P 在圆 C1:x2+y2=1 上,点 Q 在圆 C2:x−32+y−42=4 上,则 PQ 的最 小值为
4. (2020 全国 I 6) 已知圆 x2+y2−6x=0 ,过 点 1,2 的直线被该圆所截得的弦的长度的 最小值为 ( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
5. (多选题) 已知圆 M:x+12+y2=2(M 为圆 心),直线 l:x−y−3=0 ,点 P 在直线 l 上运 动,直线 PA,PB 分别与圆 M 切于点 A,B . 则下列说法正确的是 ( )
A. 四边形 PAMB 的面积最小值为 23
B. PA 最短时,弦 AB 的长为 6
C. PA 最短时,弦 AB 所在直线方程为 x− y−1=0
D. 直线 AB 过定点 −12,−12 6. 已知 A0,2 ,点 P 在直线 x+y+2=0 上, 点 Q 在圆 C:x2+y2−4x−2y=0 上,则 PA+PQ 的最小值是
7. 如果实数 x,y 满足 x−32+y2=4 ,则 yx 的 最小值为 ;y−x 的最大值为 ; x2+y2 的最大值为
8. (2020 北京 5 ) 已知半径为 1 的圆经过点 3,4 ,则其圆心到原点的距离的最小值 为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
题型 15 : 轨迹问题
题型 15.1 : 轨迹求法
知识梳理
1. 轨迹方程求法:
(1)直译法:根据题中条件列出方程;
(2)定义法:如果题中条件可转化为动 点到定点距离为定值,即可利用圆的定义 求出方程;
(3) 相关点法: 已知曲线 C1 ,若动点 Px,y 随着曲线 C1 上的动点 P′x0,y0 运动,可用 x,y 表示 x0,y0 ,再将点 P′x0,y0 代入曲线 C1 中,即可得到点 P 的轨迹 方程.
2. 阿氏圆: 到两个定点的距离之比为 常数 λλ≠1 的点的轨迹为圆,这个圆称为 “阿波罗尼斯圆”,简称“阿氏圆”. 求解阿氏 圆方程时, 用直译法求解即可.
例题解
例 1 (2006 四川 8 ) 已知两定点 A−2,0 , B1,0 ,如果动点 P 满足条件 PA= 2PB ,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积 等于 ( )
A. π B. 4π C. 8π D. 9π
例 2 (2020 全国 II 6) 在平面内, A,B 是两个 定点, C 是动点. 若 AC⋅BC=1 ,则点 C 的 轨迹为 ( )
A. 圆 B. 椭圆
C. 抛物线 D. 直线
例 3 (2004 全国 I 15) 由动点 P 向圆 x2+ y2=1 引两条切线 PA,PB ,切点分别为 A , B,∠APB=60∘ ,则动点 P 的轨迹方程 为
例 4 (2014 全国 I 20.1) 已知点 P2,2 ,圆 C:x2+y2−8y=0 ,过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点,则 M 的轨迹方程 为
例 5 已知一个二次函数的图象与 y=x2−1 的图象关于点 M2,0 中心对称,则这个二 次函数的解析式为
例 6 已知线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动, AB=3 ,点 M 是线段 AB 上一点,且 AM=1 ,点 M 随线段 AB 滑动 而运动,则动点 M 的轨迹方程为
强化练习
1. 已知直角坐标系中 A−2,0,B2,0 ,动点 P 满足 PA=2PB ,则点 P 的轨迹方 程是
2. (2007 四川 15) 已知圆 O 的方程是 x2+y2− 2=0 ,圆 O′ 的方程是 x2+y2−8x+10=0 ,由 动点 P 向圆 O 和圆 O′ 所引的切线长相等, 则动点 P 的轨迹方程是
3. 长为 2 的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别 在 x 轴和 y 轴上滑动,则线段 AB 中点的轨 迹方程为
4. 已知过定点 N2,2 的直线 l 与圆 O:x2+y2= 16 相交于 A,B 两点,则 AB 的中点 M 的轨 迹方程为
5. 已知动点 P 在曲线 2x2−y=0 上移动,则 点 A0,−1 与点 P 连线的中点的轨迹方 程是 ( )
A. y=2x2 B. y=8x2
C. y=4x2+12 D. y=4x2−12
6. 已知过点 P1,1 且互相垂直的两条直线 l1 与 l2 分别与 x 轴、 y 轴交于 A,B 两点,则 AB 的中点 M 的轨迹方程为
例题解
例 1 在 △ABC 中,已知 AB=4,AC= 3BC ,则 △ABC 面积的最大值是
A. 23 B. 43 C. 63 D. 83
例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : x2+y2−6x+5=0 ,点 A,B 在圆 C 上,且 AB=23 ,则 OA+OB 的最大值 为
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
例 3 已知 A1,0,P4,2 ,点 A 关于直线 l : m+1x+m−1y−2m=0 的对称点为 B (异于点 A ),则 PB 的最小值为
例 4 (2014 北京 7) 已知圆 C:x−32+ y−42=1 和两点 A−m,0,Bm,0 m>0 . 若圆 C 上存在点 P ,使得 ∠APB= 90∘ ,则 m 的最大值为
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
例 5 设 m∈R ,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx−y−m+3=0 交 于点 Px,y ,则点 P 到坐标原点距离的最 大值为
强化练
1. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A0,−3 ,若圆 C:x−a2+y−a+22=1 上存在一点 M 满足 MA=2MO ,则实数 a 的取值范围 是 2. 已知点 Q 是直线 l:x+y−4=0 上的点,若 过动点 P 向圆 O:x2+y2=1 引两条切线 PA,PB ,切点分别为 A,B,∠APB=90∘ ,则 PQ 的最小值为 ( )
A. 2 B. 22 C. 32 D. 42
3. 在平面直角坐标系中,已知点 A−m,0 , Bm,0 ,点 C 满足 CA⋅CB=8 ,且点 C 到 直线 l:3x+4y+20=0 的最小距离为 1,则 实数 m 的值为
4. 已知在 △ABC 中, ∠C=90∘,A0,0,B6,0 , E7,3 ,则 EC 的取值范围为
A. [2,8] B. [5,8]
C. [2,5] D. [3,5]
5. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1:kx−y +2=0 与直线 l2:x+ky−2=0 相交于点 P ,则当实数 k 变化时,点 P 到直线 x−y− 4=0 的距离的最大值为
题型 16: 韦达定理法
知识梳理
1. 韦达定理法: 韦达定理法主要解决 直线和圆锥曲线相交问题, 是用代数的方 法解决几何问题, 是解决直线与椭圆、双曲 线、抛物线相交问题的常用方法. 在直线与 圆的相交问题中, 主要使用几何法, 个别题 目可以使用韦达定理法求解.
2. 韦达定理法步骤:
(1) 设直线/曲线方程,设交点 Ax1 , y1,Bx2,y2 ,注意斜率是否存在;
(2) 联立: 要留意消 y 还是消 x ;
(3) Δ>0 : 如直线过曲线内部一点,可 以省略;
(4) 韦达定理;
(5) 条件转换;
(6) 验证: 部分题目可以省略.
例题解
例 1 (2015 全国 I 20) 已知过点 A0,1 且斜
率为 k 的直线 l 与圆 C:x−22+y−32=1 交于 M,N 两点.
(1) 求 k 的取值范围;
(2) 若 OM⋅ON=12 ,其中 O 为坐标原点, 求 MN . 例 2 已知过点 M1,0 的直线 l 与圆 C:x2+ y2=4 相交于不同两点 P,Q .
(1) 当 PQ=14 时,求直线 l 的方程.
(2) 试问在 x 轴上是否存在点 Tm,0 ,使 PT⋅QT 恒为定值? 若存在,求出 T 的 坐标及该定值; 若不存在, 说明理由.
强化练习
1. 已知曲线方程为 x2+y2−2x−4y+m=0 .
(1) 若此曲线是圆,求 m 的取值范围;
(2) 若 (1) 中的圆与直线 x+2y−4=0 相交 于 M,N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原 点),求 m 的值. 2. 已知过点 M0,2 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:x−12+y2=1 交于 A,B 两点.
(1) 求斜率 k 的取值范围;
(2) O 为坐标原点,求证: 直线 OA 与 OB 的 斜率之和为定值.
第十章 圆雉曲线
第一节 椭圆及其性质
知识梳理
题型 1: 椭圆定义
知识梳理
1. 定义式:
PF1+PF2=2a2a>2c,椭圆,2a=2c,线段F1F2,2ab>0,C 的上顶点为 A ,两个焦点为 F1,F2 ,离心率为 12 . 过 F1 且垂直于 AF2 的 直线与 C 交于 D,E 两点, DE=6 ,则 △ADE 的周长是 题型 2: 椭圆标准方程
知识梳理
1. 标准方程: x2a2+y2b2=1a>b>0 (焦 点在 x 轴上), y2a2+x2b2=1a>b>0 (焦点 在 y 轴上).
2. 一般方程: mx2+ny2=1(m>0,n> 0,m≠n) ,当 m>n>0 时,焦点在 y 轴上; 当 n>m>0 时,焦点在 x 轴上.
例题解
例 1 (2005 广东 5) 若焦点在 x 轴上的椭圆 x22+y2m=1 的离心率为 12 ,则 m=
A. 3 B. 32
C. 83 D. 23
例 2 (2022 全国甲 11) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=
1a>b>0 的离心率为 13,A1,A2 分别为 C 的左、右顶点, B 为 C 的上顶点,若 BA1 . BA2=−1 ,则 C 的方程为
A. x218+y216=1 B. x29+y28=1
C. x23+y22=1 D. x22+y2=1
例 3 (2014 大纲 6) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2= 1a>b>0 的左、右焦点为 F1,F2 ,离心率 为 33 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,若 △AF1B 的周长为 43 ,则 C 的方程 为
A. x23+y22=1 B. x23+y2=1
C. x212+y28=1 D. x212+y24=1
例 4 (2013 大纲 8) 已知 F1−1,0,F21,0 是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且 AB=3 , 则椭圆 C 的方程为 ( )
A. x22+y2=1 B. x23+y22=1
C. x24+y23=1 D. x25+y24=1
强化练
1. 若方程 x2k−2+y25−k=1 表示椭圆,则实数 k 的取值范围是2. (2023 新高考 I 5 ) 设椭圆 C1:x2a2+y2= 1a>1,C2:x24+y2=1 的离心率分别为 e1,e2 . 若 e2=3e1 ,则 a=
A. 233 B. 2
C. 3 D. 6
3. (2011 全国 14) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴 上,离心率为 22 . 过 F1 的直线 l 交 C 于 A , B 两点,且 △ABF2 的周长为 16,那么 C 的 方程为
4. (2012 山东 10) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a> b>0) 的离心率为 32 ,与双曲线 x2−y2=1 的渐近线有四个交点, 以这四个交点为顶点 的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程 为
A. x28+y22=1 B. x212+y26=1
C. x216+y24=1 D. x220+y25=1
题型 3: 椭圆离心率
知识梳理
1. 离心率公式:
e=ca=1−b2a2=F1F2PF1+PF2=
sin∠F1PF2sin∠PF2F1+sin∠PF1F2∈0,1.
2. 离心率两种求解方法:
(1)方法一: 求出 a,b,c ,从而得出离 心率;
(2) 方法二: 根据条件得出 a,b,c 的关 系式, 从而得出离心率.
3. 若椭圆上存在一点 P ,使得 PF1= λPF2λ>0,λ≠1 ,则 e∈λ−1λ+1,1 .
题型 3.1 : 椭圆离心率求值
例题解析
例 1 (2010 广东 7) 若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的 离心率是 ( )
A. 45 B. 35
C. 25 D. 15
例 2 (2018 全国 II 11) 已知 F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点, P 是 C 上的一点. 若 PF1⊥ PF2 ,且 ∠PF2F1=60∘ ,则 C 的离心率 为
A. 1−32 B. 2−3
C. 3−12 D. 3−1
例 3 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上存 在一点 P ,焦点为 F1,F2,∠PF1F2=15∘ , ∠PF2F1=75∘ ,则椭圆 C 的离心率 为例 4 (2022 全国甲 10) 椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a> b>0) 的左顶点为 A ,点 P,Q 均在 C 上,且 关于 y 轴对称. 若直线 AP,AQ 的斜率之积 为 14 ,则 C 的离心率为
A. 32 B. 22 C. 12 D. 13
例 5 (2021 浙江 16) 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a> b>0) ,焦点 F1−c,0,F2c,0c>0 . 若 过 F1 的直线和圆 x−12c2+y2=c2 相切, 与椭圆在第一象限交于点 P ,且 PF2⊥x 轴, 则该直线的斜率是____, 椭圆的离 心率是
例 6 (2018 全国 II 12) 已知 F1,F2 是椭圆 C : x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点, A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 36 的直线 上, △PF1F2 为等腰三角形; ∠F1F2P= 120∘ ,则 C 的离心率为
A. 23 B. 12 C. 13 D. 14
强化练习
1. (2018 全国 I 4) 已知椭圆 C:x2a2+y24=1 的 一个焦点为 2,0 ,则 C 的离心率为
A. 13 B. 12 C. 22 D. 223 2. (2013 全国 II 5) 设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a> b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上 的点, PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30∘ ,则 C 的 离心率为 ( )
A. 36 B. 13 C. 12 D. 33
3. (2013 辽宁 11) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a> b>0) 的左焦点为 F,C 与过原点的直线相 交于 A,B 两点,连接 AF,BF ,若 AB=10 , AF=6,cs∠ABF=45 ,则 C 的离心率 为
A. 35 B. 57 C. 45 D. 67
4. (2017 全国 II 11) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2= 1a>b>0 的左、右顶点分别为 A1,A2 ,且 以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx−ay+ 2ab=0 相切,则 C 的离心率为
A. 63 B. 33 C. 23 D. 13
5. (2009 江苏 13) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, A1,A2,B1,B2 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a> b>0) 的四个顶点, F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T ,线段 OT 与 椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该 椭圆的离心率为
6. (2016 全国 III) 已知 O 为坐标原点, F 是 椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点, A , B 分别为 C 的左、右顶点. P 为 C 上一点, 且 PF⊥x 轴. 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ,与 y 轴交于点 E . 若直线 BM 经 过 OE 的中点,则 C 的离心率为 ( )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 34
题型 3.2 : 椭圆离心率取值范围
例题解
例 1 (2008 江西 7) 已知 F1,F2 是椭圆的两个 焦点,满足 MF1⋅MF2=0 的点 M 总在椭圆 内部, 则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A. 0,1 B. 0,12
C. 0,22 D. 22,1
例 2 (2009 重庆 15) 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b >0) 的左、右焦点分别为 F1−c,0,F2c,0 , 若椭圆上存在一点 P 使 asin∠PF1F2= csin∠PF2F1 ,则该椭圆的离心率的取值范围 为
例 3 椭圆 M:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左右焦 点分别为 F1,F2,P 为椭圆上任一点,且 PF1 . PF2 的最大值的取值范围是 c2,3c2 ,其中 c=a2−b2 ,则椭圆 M 的离心率 e 的取值 范围是 ( )
A. 14,12 B. 12,22
C. 22,1 D. 12,1
例 4 (2021 全国乙 11) 设 B 是椭圆 C:x2a2+y2b2= 1a>b>0 上的顶点,若 C 上的任意一点 P 都满足 PB≤2b ,则 C 的离心率的取值范 围是 ( )
A. 22,1 B. 12,1
C. 0,22 D. 0,12
强化练习
1. 已知 F1,F2 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的 两个焦点,若椭圆上存在一点 P ,使得 S△F1PF2 =3b2 ,则该椭圆的离心率的取值范围 是
2. 椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的两个焦点是 F1,F2,P 为其上一点,且 PF1=2PF2 , 则此椭圆离心率的取值范围是
3. (2015 福建 11) 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a> b>0) 的右焦点为 F ,短轴的一个端点为 M ,直线 l:3x−4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点. 若 AF+BF=4 ,点 M 到直线 l 的距离 不小于 45 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围 是
A. 0,32 B. 0,34
C. 32,1 D. 34,1
4. 已知圆 C1:x2+2cx+y2=0 ,圆 C2:x2−2cx+ y2=0 ,椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0,c>0 , 且 c2=a2−b2 . 若圆 C1,C2 都在椭圆内,则 椭圆离心率的取值范围是 ( )
A. 12,1 B. 0,12
C. 22,1 D. 0,22
题型 4: 椭圆焦点三角形
知识梳理
如图,在焦点 △F1PF2 中,点 Px0,y0 , ∠F1PF2=θ ,则:
1. △F1PF2 周长 l=2a+2c ,若 PF1 与 椭圆交于另一点 Q ,则 △PQF2 周长为 4a .
2. 面积 S△F1PF2=b2tanθ2=12PF1 .
PF2⋅sinθ=c⋅y0,焦点在x轴,c⋅x0,焦点在y轴.
3. 焦半径: PF1=a+ex0,PF2= a−ex0 .
4. 当 P 为短轴顶点时, ∠F1PF2 最大, S△PF1F2 最大, PF1⋅PF2 最大, PF1 . PF2 最小; 当 P 为长轴顶点时, PF1 . PF2 最小, PF1⋅PF2 最大.
5. 焦点三角形问题通常涉及椭圆定义 式、周长、面积、余弦定理、勾股定理、均值 定理等知识.
题型 4.1 : 椭圆焦点三角形周长
例题解
例 1 已知 P 是椭圆 x24+y23=1 上一点, F1,F2 为 椭圆的两焦点,则 △PF1F2 的周长为
例 2 (2006 全国 II 5) 已知 △ABC 的顶点 B,C 在椭圆 x23+y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个 焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上, 则 △ABC 的周长是 ( )
A. 23 B. 6
C. 43 D. 12
强化练习
1. (2008 浙江 13) 已知 F1,F2 为椭圆 x225+y29=1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A , B 两点. 若 F2A+F2B=12 ,则 AB=2. 过椭圆 4x2+y2=1 的一个焦点 F1 的直线 与椭圆交于 A,B 两点,则 A,B 与椭圆的另 一个焦点 F2 构成的 △ABF2 的周长 是
A. 2 B. 4 C. 2 D. 22
题型 4.2: 椭圆焦点三角形中的角
例题解
例 1 (2009 北京 13) 椭圆 x29+y22=1 的焦点 为 F1,F2 ,点 P 在椭圆上. 若 PF1=4 ,则 PF2= ;∠F1PF2 的大小 为
例 2 已知 F1,F2 是椭圆 C:x28+y24=1 的焦 点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数 为
例 3 (2023 全国甲 12) 设 O 为坐标原点, F1,F2 为椭圆 C:x29+y26=1 的两个焦点,点 P 在 C 上, cs∠F1PF2=35 ,则 OP=
A. 135 B. 302 C. 145 D. 352
强化练习
1. 已知椭圆 x23+y24=1 的两个焦点为 F1,F2 , M 是椭圆上一点,且 MF1−MF2=1 , 则 △MF1F2 是 ( ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等边三角形
2. 在焦距为 2c 的椭圆 M:x2a2+y2b2=1(a>b> 0) 中, F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 “ bb>0 的焦点为 F1,F2,P 为椭圆上一点,且 ∠F1PF2=π3 . 若 △F1PF2 的外接圆和内切圆的半径分别 为 R,r ,当 R=4r 时,椭圆的离心率 为
A. 45 B. 23 C. 12 D. 25
强化练习
1. 已知椭圆 x24+y2=1 的两个焦点为 F1,F2 , 点 M 在该椭圆上,且 MF1⋅MF2=0 ,则点 M 到 x 轴的距离为
2. 已知 P 为椭圆 x24+y23=1 上一点, F1,F2 分 别为该椭圆的两个焦点. 若 △F1PF2 的面 积为 3 ,则 PF1⋅PF2=
3. 椭圆 x29+y24=1 的焦点为 F1,F2 ,点 P 为椭 圆上的动点. 当 ∠F1PF2 为钝角时,点 P 的 横坐标的取值范围是
题型 4.4 : 椭圆焦半径
例题解:
例 1 已知椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点分别 为 F1,F2,P 是椭圆上一动点,则 PF1 . PF2 的取值范围为 PF1⋅PF2 的取值范围为 例 2 (2019 全国 III 15) 设 F1,F2 为椭圆 C:x236+ y220=1 的两个焦点, M 为 C 上一点且在第一 象限. 若 △MF1F2 为等腰三角形,则 M 的坐 标为
例 3 已知 P 为椭圆 C:x24+y23=1 上一个动点, F1,F2 是椭圆 C 的左、右焦点, O 为坐标原点, O 到椭圆 C 在点 P 处的切线距离为 d . 若 PF1⋅PF2=247 ,则 d=
强化练
1. 椭圆 x225+y29=1 上一点 P 到两焦点的距离 之积为 m ,则 m 取最大值时,点 P 的坐标 是
A. 532,32 或 −532,32
B. 52,332 或 52,−332
C. 5,0 或 −5,0
D. 0,3 或 0,−3
2. 已知点 P 在椭圆 x225+y29=1 上,它到左焦点 的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标是
3. 已知 F1,F2 为椭圆 x29+y24=1 的两个焦点, P 为椭圆上任意点, P,F1,F2 是一个直角三 角形的三个顶点,且 PF1>PF2 ,则 PF1PF2=
第二节 双曲线及其性质
知识梳理
题型 5 : 双曲线定义
知识梳理
1. 定义式:
PF1−PF2=2a00,b>0
的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过点 F1 的直线 与双曲线 C 的左支相交于点 A ,与双曲线 的右支相交于点 B,O 为坐标原点. 若 2BF2=3AF1 ,且 F1F2=2OB ,则 双曲线 C 的渐近线方程为
例 6 过双曲线 x2−y215=1 的右支上一点 P 分别 向圆 C1:x+42+y2=4 和圆 C2:x−42+y2=1 作切线,切点分别为 M,N ,则 PM2− PN2 的最小值为 ( )
A. 10 B. 13 C. 16 D. 19
强化练习
1. 双曲线 x225−y29=1 上的点到一个焦点的距 离为 12 , 则到另一个焦点的距离为 ( )
A. 22 或 2 B. 7
C. 22 D. 2
2. (2007 湖北 12 ) 过双曲线 x24−y23=1 左焦点 F1 的直线交曲线的左支于 M,N 两点, F2为其右焦点,则 MF2+NF2−MN 的 值为
3. (2009 辽宁 16) 已知 F 是双曲线 x24−y212=1 的左焦点, A1,4,P 是双曲线右支上的动 点,则 PF+PA 的最小值为
4. (2006 江西 11) P 为双曲线 x29−y216=1 的右 支上一点, M,N 分别是圆 x+52+y2=4 和圆 x−52+y2=1 上的点,则 PM− PN 的最大值为 ( )
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
5. (2011 全国 15) 已知 F1,F2 分别为双曲线 C:x29−y227=1 的左、右焦点,点 A∈C ,点 M 的坐标为 2,0,AM 为 ∠F1AF2 的平分线, 则 AF2=
6. 已知 F2,F1 是双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b> 0) 的上、下两个焦点,过 F1 的直线与双曲线 的上、下两支分别交于点 B,A . 若 △ABF2 为等边三角形, 则双曲线的渐近线方程 为
A. y=±2x B. y=±22x
C. y=±6x D. y=±66x
题型 6 : 双曲线标准方程
知识梳理
1. 标准方程: x2a2−y2b2=1a>0,b>0 (焦点在 x 轴上), y2a2−x2b2=1a>0,b>0 (焦点在 y 轴上).
2. 一般方程: mx2+ny2=1mn0>n 时,焦点在 x 轴; 当 n>0>m 时,焦点在 y 轴.
例题解?
例 1 (2016 全国 I 5) 已知方程 x2m2+n− y23m2−n=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点 间的距离为 4,则 n 的取值范围是 ( )
A. −1,3 B. −1,3
C. 0,3 D. 0,3
例 2 (2021 北京 5 ) 双曲线 x2a2−y2b2=1 过点 2,3 ,离心率为 2,则双曲线的解析式 为
A. x23−y2=1 B. x2−y23=1
C. x22−y23=1 D. x23−y22=1
例 3 (2017 全国 III 5) 已知双曲线 C:x2a2−y2b2= 1a>0,b>0 的一条渐近线方程为 y=52x ,且与椭圆 x212+y23=1 有公共焦点,则 C 的方程为 ( )
A. x28−y210=1 B. x24−y25=1
C. x25−y24=1 D. x24−y23=1
例 4 (2020 山东 9) (多选题) 已知曲线 C:mx2+ ny2=1.
A. 若 m>n>0 ,则 C 是椭圆,其焦点在 y 轴上
B. m=n>0 ,则 C 是圆,其半径为 n
C. 若 mn0 ,则 C 是两条直线
例 5 (2023 天津 9 ) 双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0 , b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2 . 过 F2 作 其中一条渐近线的垂线,垂足为 P . 已知 PF2=2 ,直线 PF1 的斜率为 24 ,则双曲 线的方程为 ( )
A. x28−y24=1 B. x24−y28=1
C. x24−y22=1 D. x22−y24=1
强化练习
1. 已知方程 x2k−5−y2k−2=1 表示双曲线,则 k 的取值范围为 2. 对于方程 x24−y2=1 和 x24−y2=λ(λ>0 且 λ≠0) 所表示的双曲线有如下结论: (1)有相 同的顶点; (2)有相同的焦点; (3)有相同的离 心率; (4) 有相同的渐近线, 其中正确的 是
A. (1)(4) B. (2)(4)
C. (3)(4) D. (4)
3. (2015 全国 II 15) 已知双曲线过点 4,3 , 且渐近线方程为 y=±12x ,则该双曲线的 标准方程为
4. (2022 天津 7) 已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0 , b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,抛物线 y2=45x 的准线 l 经过 F1 ,且与双曲线的 一条渐近线交于点 A . 若 ∠F1F2A=π4 ,则 双曲线的标准方程为 ( )
A. x216−y24=1 B. x24−y216=1
C. x24−y2=1 D. x2−y24=1
5. (2016 天津 6 ) 已知双曲线 x24−y2b2=1(b> 0) ,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半 径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A , B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b , 则双曲线的方程为 ( )
A. x24−3y24=1 B. x24−4y23=1
C. x24−y24=1 D. x24−y212=1 COMPROPATION
题型 7: 双曲线离心率
知识梳理
1. 离心率公式: e=ca=1+b2a2= F1F2PF1−PF2=sin∠F1PF2sin∠PF2F1−sin∠PF1F2∈ 1,+∞ .
2. 离心率两种求解方法:
(1)方法一: 求出 a,b,c ,从而得出离 心率;
(2) 方法二: 根据条件得出 a,b,c 的关 系式, 从而得出离心率.
3. 若双曲线上存在一点 P 使得 PF1=λPF2λ>0,λ≠1 ,则 e∈ 1,λ+1λ−1 .
题型7.1:双曲线离心率求值
例题解:
例 1 (2020 全国 II 14) 设双曲线 C:x2a2−y2b2=1 a>0,b>0 的一条渐近线为 y=2x ,则 C 的离心率为
例 2 (2020 全国I15) 已知 F 为双曲线 C:x2a2− y2b2=1a>0,b>0 的右焦点, A 为 C 的右顶 点, B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x 轴. 若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为 例 3 (2021 全国甲 5) 已知 F1,F2 是双曲线 C 的两个焦点, P 为 C 上一点,且 ∠F1PF2=60∘ , PF1=3PF2 ,则 C 的离心率为
A. 72 B. 132 C. 7 D. 13
例 4 (2014 重庆 8 ) 设 F1,F2 分别为双曲线 x2a2− y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点,双曲线上 存在一点 P 使得 PF1+PF2=3b , PF1⋅PF2=94ab ,则该双曲线的离心 率为
A. 43 B. 53 C. 94 D. 3
例 5 (2018 全国 III) 设 F1,F2 是双曲线 C : x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点, O 是 坐标原点. 过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线, 垂足为 P . 若 PF1=6OP ,则 C 的离心 率为
A. 5 B. 2
C. 3 D. 2
例 6 (2023 新高考 I 16) 已知双曲线 C:x2a2− y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1 , F2 . 点 A 在 C 上,点 B 在 y 轴上, F1A⊥ F1B,F2A=−23F2B ,则 C 的离心率 为
强化练习
1. (2019 北京 5) 已知双曲线 x2a2−y2=1a>0 的离心率是 5 ,则 a=
A. 6 B. 4 C. 2 D. 12
2. (2016 全国II11) 已知 F1,F2 是双曲线 E:x2a2− y2b2=1 的左、右焦点,点 M 在 E 上, MF1 与 x 轴垂直, sin∠MF2F1=13 ,则 E 的离心率 为
A. 2 B. 32 C. 3 D. 2
3. (2021 天津 8 ) 已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0 , b>0) 的右焦点与抛物线 y2=2pxp>0 的 焦点重合,抛物线的准线交双曲线于 A,B 两点,交双曲线的渐近线于 C,D 两点. 若 CD=2AB ,则双曲线的离心率 为
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
4. (2017 全国 I 15) 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1 a>0,b>0 的右顶点为 A ,以 A 为圆心, b 为半径作圆 A ,圆 A 与双曲线 C 的一条渐 近线交于 M,N 两点. 若 ∠MAN=60∘ ,则 C 的离心率为
5. (2022 浙江 16) 已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a>
0,b>0) 的左焦点为 F ,过 F 且斜率为 b4a 的 直线交双曲线于点 Ax1,y1 ,交双曲线的渐 近线于点 Bx2,y2 ,且 x10 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点. 若 F1A=AB,F1B⋅F2B=0 ,则 C 的 离心率为 题型7.2:双曲线离心率取值范围
例题解
例 1 (2022 全国甲 15) 记双曲线 C:x2a2−y2b2=1 a>0,b>0 的离心率为 e ,写出满足条件 “直线 y=2x 与 C 无公共点” 的 e 的一个值: .
例 2 设 F1,F2 分别是双曲线 x2a2−y2b2=1(a> 0,b>0) 的左、右焦点,过 F1 作垂直于 x 轴 的直线交双曲线于点 A,B . 若 △ABF2 为锐 角三角形, 则双曲线的离心率的范围 是
例 3 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的 左、右焦点分别为 F1,F2 ,直线 l 经过点 F2 且与该双曲线的右支交于 A,B 两点. 若 △ABF1 的周长为 7a ,则该双曲线离心率的 取值范围是 ( )
A. 1,72 B. 112,7
C. 72,7 D. 72,112例 4 (2008 福建 12) 双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0 , b>0) 的两个焦点为 F1,F2 . 若 P 为其上一 点,且 PF1=2PF2 ,则双曲线离心率的 取值范围为 ( )
A. 1,3 B. (1,3]
C. 3,+∞ D. [3,+∞)
强化练之
1. (2017 全国 II 5) 若 a>1 ,则双曲线 x2a2−y2=1 的离心率的取值范围是 ( )
A. 2,+∞ B. 2,2
C. 1,2 D. 1,2
2. (2006 福建 10) 已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a> 0,b>0) 的右焦点为 F . 若过点 F 且倾斜角 为 60∘ 的直线与双曲线的右支有且只有一个 交点, 则此双曲线离心率的取值范围 是
A. (1,2] B. 1,2
C. [2,+∞) D. 2,+∞
3. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右 焦点分别为 F1,F2 ,点 P 在双曲线的右支 上,且 PF1=4PF2 ,则双曲线离心率的 取值范围是 ( )
A. 53,2 B. 1,53
C. (1,2] D. 53,+∞ 4. (2013 重庆 10 ) 设双曲线 C 的中心为点 O , 若有且只有一对相交于点 O ,所成的角为 60∘ 的直线 A1B1 和 A2B2 ,使 A1B1= A2B2 ,其中 A1,B1 和 A2,B2 分别是这对 直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离 心率的取值范围是 ( )
A. 233,2 B. 233,2
C. 233,+∞ D. 233,+∞
题型 8 : 双曲线渐近线
知识梳理
1. x2a2−y2b2=1 的渐近线为 y=±bax ; y2a2−x2b2=1 的渐近线为 y=±abx .
2. 焦渐距: 焦点到渐近线的距离为 b .
3. 以 y=±bax 为渐近线 (即与双曲线 x2a2−y2b2=1 共渐近线) 的双曲线方程为 x2a2− y2b2=λλ≠0 .
例题解
例 1 (2021 新高考 II 13) 已知双曲线 C:x2a2− y2b2=1a>0,b>0 ,离心率 e=2 ,则双曲线 C 的渐近线方程为例 2 (2021 全国乙 13) 已知双曲线 C:x2m−y2=1 m>0 的一条渐近线为 3x+my=0 ,则 C 的焦距为
例 3 (2018 天津 7) 已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a> 0,b>0) 的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点. 设 A , B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2 ,且 d1+d2=6 ,则双曲线的方程 为
A. x24−y212=1 B. x212−y24=1
C. x23−y29=1 D. x29−y23=1
例 4 (2010 浙江 8) 设 F1,F2 分别为双曲线 x2a2− y2b2=1a>b>0 的左、右焦点. 若在双曲线 右支上存在点 P ,满足 PF2=F1F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴 长, 则该双曲线的渐近线方程为 ( )
A. 3x±4y=0 B. 3x±5y=0
C. 4x±3y=0 D. 5x±4y=0
例 5 (2015 江苏 12) 在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x2−y2=1 右支上的一个动 点. 若点 P 到直线 x−y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 例 6 (2022 上海 11) 已知双曲线 x2a2−y2=1(a> 0) ,任取双曲线右支上两个不相同的点 P1x1,y1,P2x2,y2 ,都有 x1x2−y1y2>0 成 立,则实数 a 的取值范围为
强化练习
1. (2023 全国甲 8 ) 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1 a>0,b>0 的离心率为 5,C 的一条渐近 线与圆 x−22+y−32=1 交于 A,B 两 点,则 AB=
A. 55 B. 255 C. 355 D. 455
2. (2022 北京 12) 已知双曲线 y2+x2m=1 的渐 近线方程为 y=±33x ,则 m=
3. (2018 江苏 8 ) 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点 Fc,0 到一条渐近线的距离为 32c ,则其离 心率的值是
4. (2015 重庆 9 ) 设双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0 , b>0) 的右焦点是 F ,左、右顶点分别是 A1 , A2 ,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点. 若 A1B⊥A2C ,则双曲线的渐近线的 斜率为
A. ±12 B. ±22 C. ±1 D. ±25. (2019 全国 III 10) 双曲线 C:x24−y22=1 的右 焦点为 F ,点 P 在 C 的一条渐近线上, O 为 坐标原点. 若 PO=PF ,则 △PFO 的面 积为
A. 324 B. 322
C. 22 D. 32
6. (2020 全国 II 8 ) 设 O 为坐标原点,直线 x= a 与双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两 条渐近线分别交于 D,E 两点. 若 △ODE 的 面积为 8,则 C 的焦距的最小值为 ( )
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 题型 9:双曲线焦点三角形
知识梳理
如图,在焦点 △F1PF2 中,点 Px0,y0 , ∠F1PF2=θ ,则:
1. 若 PF2 与双曲线交于另一点 Q , PQ=m ,则 △PQF1 周长为 4a+2m ;
2. 面积 S△F1PF2=b2ctθ2=12PF1 .
PF2⋅sinθ=c⋅y0,焦点在x轴;c⋅x0,焦点在y轴;
3. 当点 P 在顶点时, PF1+ PF2 最小, PF1⋅PF2 最小,无最大值;
4. △F1PF2 内切圆与坐标轴相切于双 曲线的一个顶点;
5. 焦点三角形问题通常涉及定义式、 周长、面积、余弦定理、勾股定理、均值定理 等知识.
题型 9.1 : 双曲线焦点三角形周长
例题解析
例 (2013 辽宁 15) 已知 F 为双曲线 C:x29−y216=1 的左焦点, P,Q 为 C 上的点. 若 PQ 的长等 于虚轴长的 2 倍,点 A5,0 在线段 PQ 上, 则 △PQF 的周长为
强化练习
已知双曲线的实轴长为 8,直线 MN 过焦点 F1 交双曲线的同一分支于点 M,N ,且 MN=7 ,则 △MNF2 的周长 F2 为另一个 焦点) 为
题型 9.2 : 双曲线焦点三角形中的角
例题解
例 1 (2012 全国 10) 已知 F1,F2 为双曲线 C : x2−y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, PF1=2PF2 ,则 cs∠F1PF2=
A. 14 B. 35 C. 34 D. 45例 2 (2014 大纲 9) 已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1,F2 ,点 A 在 C 上. 若 F1A= 2F2A ,则 cs∠AF2F1=
A. 14 B. 13 C. 24 D. 23
强化练习
双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐 近线与直线 x+2y+1=0 垂直, F1,F2 为 C 的焦点, A 为双曲线上一点. 若 F1A= 2F2A ,则 cs∠AF2F1=
题型 9.3 : 双曲线焦点三角形面积及其应用
例题解析
例 1 (2020 全国 III) 设双曲线 C:x2a2−y2b2=1 a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,离 心率为 5.P 是 C 上一点,且 F1P⊥F2P . 若 △PF1F2 的面积为 4,则 a=
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
例 2 (2010 全国 I ) 已知 F1,F2 为双曲线 C : x2−y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ∠F1PF2=60∘ ,则 PF1⋅PF2=
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
例 3 (2015 全国 I 5) 已知 Mx0,y0 是双曲 线 C:x22−y2=1 上的一点, F1,F2 是 C 上的 两个焦点. 若 MF1⋅MF20,b>0 的 左、右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线右支 上一点, △PF1F2 的内切圆与 x 轴切于点 A. 若 F2A=33b ,则双曲线的离心率 为
A. 2 B. 3 C. 2+1 D. 3
例 2 设 P 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b> 0) 上一点, F1,F2 分别为双曲线 C 的左、右 焦点, PF2⊥F1F2 . 若 △F1PF2 的外接圆半 径是其内切圆半径的 176 倍,则双曲线 C 的离 心率为
A. 2 B. 4 C. 2 或 3 D. 4 或 53
例 3 (多选题) 已知 F1,F2 是双曲线 x2− y24=1 的左、右两个焦点,点 M 是双曲线右 支上的一点,并且 ∠F1MF2=π3,∠F1MF2 的角平分线交 F1F2 于点 A ,则下列说法正 确的是 ( )
A. △F1MF2 的面积为 433
B. MF1⋅MF2=8
C. MA 的长为 85117
D. △F1MF2 的内切圆半径为 2317+5
强化练习
1. 设双曲线 x2a2−y29=1a>0 的左、右焦点分 别为 F1,F2 ,点 M 为双曲线上一点, △MF1F2 的内切圆圆心 I 的横坐标为 -4, 则该双曲线的离心率为 ( )
A. 54 B. 53
C. 43 D. 2
2. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右 焦点分别为 F1,F2 ,直线 l 过 F2 且交双曲 线的右支于 A,B 两点,记 △AF1F2 的内切 圆半径为 r1,△BF1F2 的内切圆半径为 r2 . 若 r1:r2=3:1 ,则直线 l 的斜率为 ( )
A. ±1 B. ±2
C. ±3 D. ±2
3. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的 左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 是双曲线 C 的右支上异于顶点的一个点, △PF1F2 的 内切圆的圆心为 I ,过 F2 作直线 PI 的垂 线,垂足为 M,O 为坐标原点,给出以下结 论: (1) △PF1F2 的内切圆的圆心 I 在直线 x=a 上; (2) OM=a ; (3) 若 ∠F1IF2=θ ,则 △PF1F2 的面积为 −b2tanθ ; (4) △PF1F2 的内 切圆与 x 轴的交点为 c−a,0 . 以上结论中, 所有正确的序号为
题型 10 : 椭圆与双曲线共焦点问题
知识梳理
若椭圆与双曲线共焦点,则有 sin2θ2e12+ cs2θ2e22=1 及 1−csθe12+1+csθe22=2 ,其中 e1,e2 分别为椭圆和双曲线的离心率, θ 为 ∠F1PF2 ,点 P 为两曲线交点. (公式可由 等面积法推导)
例题解
例 1 已知椭圆和双曲线有公共的焦点 F1 , F2,P 是它们的一个交点,且 ∠F1PF2=2π3 , 记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1,e2 ,则 3e12+1e22=
A. 4 B. 23 C. 2 D. 3
例 2 (2013 浙江 9) 如图, F1,F2 是椭圆 C1:x24+ y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点, A,B 分别 是 C1,C2 在第二、第四象限的公共点. 若四 边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率 是
A. 2 B. 3 C. 32 D. 62例 3 (2012 浙江 8 ) 如图,中心均为原点 O 的 双曲线与椭圆有公共焦点, M,N 是双曲线 的两顶点. 若 M,O,N 将椭圆长轴四等分, 则双曲线与椭圆的离心率的比值是 ( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
例 4 (2014 湖北 9) 已知 F1,F2 是椭圆和双曲 线的公共焦点, P 是它们的一个公共点,且 ∠F1PF2=π3 ,则椭圆和双曲线的离心率的 倒数之和的最大值为 ( )
A. 433 B. 233 C. 3 D. 2
强化练习
1. 椭圆 x26+y22=1 和双曲线 x23−y2=1 的公共 焦点为 F1,F2,P 是两曲线的一个交点,则 cs∠F1PF2 的值为
2. 已知 F1,F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 并 且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和双 曲线的离心率, 则有 ( )
A. e12+e22=2 B. e12+e22=4
C. 1e12+1e22=2 D. 1e12+1e22=4
3. (2016 浙江 7) 已知椭圆 C1:x2m2+y2=1(m> 1) 与双曲线 C2:x2n2−y2=1n>0 的焦点重 合, e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率,则
A. m>n 且 e1e2>1
B. m>n 且 e1e20 相交于 A,B 两点, F 为 C 的焦点.
若 FA=2FB ,则 k=
A. 223 B. 13 C. 23 D. 23
强化练习
1. 若点 P 到直线 x=−1 的距离比它到点 2,0 的距离小 1,则点 P 的轨迹为 ( )
A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线 D. 抛物线
2. (2008 辽宁 10 ) 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点 Q0,2 的距离 与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值 为
A. 172 B. 3 C. 5 D. 92
3. 已知点 P 是抛物线 y2=4x 上一点,设 P 到 此抛物线的准线的距离为 d1 ,到直线 x+2y +10=0 的距离为 d2 ,则 d1+d2 的最小值为
A. 5 B. 4
C. 1155 D. 115
4. (2020 北京 7) 设抛物线的顶点为 O ,焦点为 F ,准线为 l.P 是抛物线上异于 O 的一点, 过 P 作 PQ⊥l 于 Q ,则线段 FQ 的垂直平 分线 ( )
A. 经过点 O B. 经过点 P
C. 平行于直线 OP D. 垂直于直线 OP
5. (2010 辽宁 7 ) 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F ,准线为 l,P 为抛物线上一点, PA⊥l,A 为垂足. 如果直线 AF 斜率为 −3 ,那么 PF=
A. 43 B. 8
C. 83 D. 16
6. (2014 全国 I 10) 已知抛物线 C:y2=8x 的 焦点为 F ,准线为 l,P 是 l 上一点, Q 是直 线 PF 与 C 的一个交点. 若 FP=4FQ ,则 QF=
A. 72 B. 52
C. 3 D. 2
7. (2008 四川 12) 已知抛物线 C:y2=8x 的焦 点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上且 AK=2AF ,则 △AFK 的面积 为
A. 4 B. 8
C. 16 D. 32
题型 12:抛物线标准方程
知识梳理
标准方程: y2=2pxp>0,y2=−2px p>0,x2=2pyp>0,x2=−2py p>0 .
例题解
例 1 (2014 安徽 3) 抛物线 y=14x2 的准线方 程是 ( )
A. y=−1 B. y=−2
C. x=−1 D. x=−2
例 2 (2023 天津 12) 过原点的一条直线与圆 C:x+22+y2=3 相切,交曲线 y2=2px p>0 于点 P . 若 OP=8 ,则 p 的值 为
例 3 (2016 全国 I 10) 以抛物线 C 的顶点为圆 心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点. 已知 AB=42,DE=25 ,则 C 的 焦点到准线的距离为 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
例 4 (2014 湖南 15) 如图,正方形 ABCD 和正 方形 DEFG 的边长分别为 a,ba0 经 过 C,F 两点,则 ba=
强化练习
1. (2023 全国乙 13) 已知点 A1,5 在抛物线 C:y2=2px 上,则 A 到 C 的准线的距离为 .
2. (2021 新高考 II 3 ) 抛物线 y2=2pxp>0 的焦点到直线 y=x+1 的距离为 2 ,则 p=
A. 1 B. 2 C. 22 D. 4
3. (2013 江西 14) 抛物线 x2=2pyp>0 的焦 点为 F ,其准线与双曲线 x23−y23=1 相交于 A,B 两点. 若 △ABF 为等边三角形,则 p= .
4. (2013 天津 5 ) 已知双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0 , b>0) 的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p> 0) 的准线分别交于 A,B 两点, O 为坐标原 点. 若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积 为 3 ,则 p 等于 ( )
A. 1 B. 32 C. 2 D. 3
题型 13 : 抛物线焦点相关问题
知识梳理
如图,抛物线 y2=2pxp>0 ,焦点为 F,l 为准线, l 与 x 轴交点为 N,AB 为焦点 弦,直线 AB 的倾斜角为 θθ≠0 ,其中点 Ax1,y1 在 x 轴上方,点 Bx2,y2 在 x 轴 下方. 取 AB 中点 M ,过 A,B,M 分别作 l 的垂线,垂足分别为 A1,B1,M1 ,满足:
1. 焦半径: AF=x1+p2=p1−csθ , BF=x2+p2=p1+csθ,1AF+1BF= 2p .
2. 焦点弦: AB=x1+x2+p=2psin2θ , 当 θ=90∘ 时, AB=2p (通径,最短的焦 点弦).
3. x1x2=p24,y1y2=−p2 .
4. S△AOB=p22sinθ .
5. A,O,B1 三点共线.
6. ∠ANF=∠BNF .
7. 抛物线中的 5 相切问题:
(1) 以 AB 为直径的圆与准线相切,切 点为 M1 ;
(2) 以 A1B1 为直径的圆与 AB 相切, 切点为 F ;
(3) 直线 M1A,M1B 与抛物线相切;
(4) 以 AF 为直径的圆与 y 轴相切,切 点为 OP 中点;
(5) 以 OP 为直径的圆与 AF 相切.
8. 抛物线中的 3 垂直问题:
(1) AM1⊥BM1 ; (2) A1F⊥B1F ; (3) M1F⊥AB .
题型13.1:抛物线焦半径
例题解
例 1 (2022 全国乙 6) 设 F 为抛物线 C:y2= 4x 的焦点,点 A 在 C 上,点 B3,0 . 若 AF=BF ,则 AB=
A. 2 B. 22
C. 3 D. 32
例 2 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ,过 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点. 若 AF=23,BF=2 ,则 p=
A. 1 B. 32
C. 2 D. 52
例 3 (2013 全国 II 10) 设抛物线 C:y2=4x 的 焦点为 F ,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两 点. 若 AF=3BF ,则 l 的方程为 ( )
A. y=x−1 或 y=−x+1
B. y=33x−1 或 y=−33x−1
C. y=3x−1 或 y=−3x−1
D. y=22x−1 或 y=−22x−1
例 4 已知过抛物线 C:y2=4x 焦点的直线交抛 物线 C 于 P,Q 两点,交圆 x2+y2−2x=0 于 M,N 两点,其中 P,M 位于第一象限,则 1PM+4QN 的值不可能为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
强化练习
1. (2020 全国 I 4) 已知 A 为抛物线 C:y2= 2pxp>0 上一点,点 A 到 C 的焦点的距离 为 12,到 y 轴的距离为 9,则 p=
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
2. (2021 新高考 I 14) 已知 O 为坐标原点,抛 物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F,P 为 C 上一点, PF 与 x 轴垂直, Q 为 x 轴上一点, 且 PQ⊥OP . 若 FQ=6 ,则 C 的准线方程 为
3. 过抛物线 y2=x 的焦点 F 的直线 m 的倾斜 角 θ≥π4,m 交抛物线于 A,B 两点,且点 A 在 x 轴上方,则 FA 的取值范围是 ( )
A. 14,1+22 B. 14,1
C. 14,1 D. 12,+∞
4. (2017 山东 15) 在平面直角坐标系 xOy 中, 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右支与焦 点为 F 的抛物线 x2=2pyp>0 交于 A,B 两点. 若 AF+BF=4OF ,则该双曲 线的渐近线方程为
题型 13.2 : 抛物线焦点弦
例题解析
例 1AB 是抛物线 y2=2x 的一条焦点弦,
AB=4 ,则 AB 中点 C 的横坐标是
A. 2 B. 12 C. 32 D. 52例 2 (2020 山东 13) 斜率为 3 的直线过抛物 线 C:y2=4x 的焦点,且与 C 交于 A,B 两 点,则 AB=
例 3 (2017 全国I10) 已知 F 是抛物线 C:y2= 4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,直线 l1 与 C 交于 A,B 两点,直线 l2 与 C 交于 D,E 两点,则 AB+DE 的最小值 为
A. 16 B. 14
C. 12 D. 10
例 4 (2023 新高考 II 10) (多选题) 设 O 为坐
标原点,直线 y=−3x−1 过抛物线 C : y2=2pxp>0 的焦点,且与 C 交于 M,N 两点, l 为 C 的准线,则 ( )
A. p=2
B. MN=83
C. 以 MN 为直径的圆与 l 相切
D. △OMN 为等腰三角形
强化练习
1. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 Ax1,y1,Bx2,y2 两点. 若 x1+x2=10 , 则弦 AB 的长度为 ( )
A. 16 B. 14
C. 12 D. 10 2. (2014 全国 II 10) 设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30∘ 的直线交 C 于 A,B 两点,则 AB=
A. 303 B. 6 C. 12 D. 73
3. (2012 重庆) 过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作 直线交抛物线于 A,B 两点. 若 AB=2512 , AF0 的焦点 F 的直线与 C 交于 A,B 两点,其中 A 在第一 象限,点 Mp,0 . 若 AF=AM , 则 ( )
A. 直线 AB 的斜率为 26
B. OB=OF
C. AB>4OF
D. ∠OAM+∠OBM0 的焦 点 F 作直线交 C 于 A,B 两点,过 A,B 分别 向 C 的准线 l 作垂线,垂足为 A′,B′ . 已知 △AA′F 与 △BB′F 的面积分别为 9 和 1,则 △A′B′F 的面积为
A. 4 B. 6 C. 10 D. 12
强化练习
1. (2012 安徽) 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的 直线交该抛物线于 A,B 两点, O 为坐标原 点. 若 AF=3 ,则 △AOB 的面积为 ( )
A. 22 B. 2 C. 322 D. 22
2. (2013 全国 I 8) O 为坐标原点, F 为抛物线 C:y2=42x 的焦点, P 为 C 上一点. 若 PF=42 ,则 △POF 的面积为
A. 2 B. 22 C. 23 D. 4 3. 设抛物线 y2=8x 的焦点为 F ,过点 M4,0 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物 线的准线相交于 C,BF=4 ,则 △BCF 与 △ACF 的面积之比 S△BCFS△ACF=
A. 34 B. 45 C. 56 D. 25
题型13.4:抛物线中的 5 相切 3 垂直问题
例题解
例 1 (2013 全国II11) 设抛物线 C:y2=2px(p> 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF=5 . 若 以 MF 为直径的圆过点 0,2 ,则 C 的方程 为
A. y2=4x 或 y2=8x
B. y2=2x 或 y2=8x
C. y2=4x 或 y2=16x
D. y2=2x 或 y2=16x
例 2 (2018 全国 II 16) 已知点 M−1,1 和抛 物线 C:y2=4x ,过 C 的焦点且斜率为 k 的 直线与 C 交于 A,B 两点. 若 ∠AMB=90∘ , 则 k=
例 3 过抛物线 y2=2pxp>0 焦点 F 的直线 与抛物线交于 P,Q ,由 P,Q 分别引其准线 的垂线 PH1,QH2 ,垂足分别为 H1,H2 , H1H2 的中点为 M ,记 PF=a,QF=b , 则 MF=例 4 已知 O 为坐标原点,过点 Pa,−1 作两条 直线分别与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A,B , AB 的中点为 M ,下面给出了四个结论:
(1)直线 AB 过定点 0,2 ;
(2) PM 的斜率不存在;
(3) y 轴上存在一点 N ,使得直线 NA 与直线
NB 关于 y 轴对称;
(4) A,B 两点到抛物线准线的距离的倒数和 为定值.
其中正确结论的编号是 ( )
A. (1)(2) B. (2)(3)
C. (2)(3)(4) D. (1)(3)(4)
强化练
1. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A , B 两点. 若点 A,B 在抛物线准线上的射影分 别为 A1,B1 ,则 ∠A1FB1 为
A. 45∘ B. 60∘ C. 90∘ D. 120∘
2. (2013 全国 12) 已知抛物线 C:y2=8x 与点 M−2,2 ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线 与 C 交于 A,B 两点. 若 MA⋅MB=0 ,则 k =
A. 12 B. 22 C. 2 D. 2
3. 已知抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F ,过 点 F 的直线与该抛物线交于 P,Q 两个不同 的点, P,Q 两点在抛物线的准线上的射影 分别为 M,N . 若 MF=43,NF=4 ,则 p=
A. 3 B. 2 C. 23 D. 4 4. 抛物线上任意两点 A,B 处的切线交于点 P ,称 △PAB 为 “阿基米德三角形”,当线段 AB 经过抛物线焦点 F 时, △PAB 具有以下特 征: (1) P 点必在抛物线的准线上; (2) △PAB 为直角三角形,且 PA⊥PB ; (3) PF⊥AB . 若经过抛物线 y2=4x 焦点的一条弦为 AB ,阿基米德三角形为 △PAB ,且点 P 的 纵坐标为 4,则直线 AB 的方程为 ( )
A. x−2y−1=0 B. 2x+y−2=0
C. x+2y−1=0 D. 2x−y−2=0
题型 14: 抛物线中的特殊点 p,0,2p,0
知识梳理
1. 特殊点 p,0 :
若 Q 点坐标为 Qx0,0 ,当 x0≤p 时, 抛物线上到 Q 点的距离最小的点为坐标原 点 O ,最小距离为 x0 ; 当 x0>p 时,抛物 线上到 Q 点的距离最小的点不是原点.
2. 特殊点 2p,0 :
(1)顶点张直角:过 2p,0 的直线交抛 物线 y2=2px 于 A,B 两点,则 ∠AOB= 90∘ ,即 OA⋅OB=0 .
(2)一般情况:过点 m,0 的直线交抛 物线 y2=2px 于 A,B 两点,则 x1x2,y1y2 , OA⋅OB,kOA⋅kOB 均为定值. 当 m=2p 时, ∠AOB 为直角,即 OA⋅OB=0 ; 当 m> 2p 或 m0 交于 D,E 两点. 若 OD⊥OE ,则 C 的焦点坐标 为
A. 14,0 B. 12,0
C. 1,0 D. 2,0
例 2 (2014 四川 10) 已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴 的两侧, OA⋅OB=2 (其中 O 为坐标原点), 则 △ABO 与 △AFO 面积之和的最小值 是
A. 2 B. 3 C. 1728 D. 10 例 3 已知抛物线 C:y2=4x 和点 D2,0 ,直 线 x=ty−2 与抛物线 C 交于不同两点 A , B ,直线 BD 与抛物线 C 交于另一点 E . 给出 下列判断:
(1)直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为 -2 ;
(2) AE//y 轴;
(3)以 BE 为直径的圆与抛物线准线相切.
其中, 所有正确判断的序号是 ( )
A. (1)(2)(3) B. (1)(2)
C. (1)(3) D. (2)(3)
强化练习
1. 过点 Mm,0 的直线 l 与抛物线 y2= 2pxp>0 交于 A,B 两点, ∠AOB 是锐 角,则 m 的取值范围是
2. 直线 l 过抛物线的焦点与抛物线交于 A,B 两点, O 是抛物线的顶点,则 △ABO 的形状 是( )
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定, 与抛物线的开口大小有关
3. 已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在 该抛物线上且位于 x 轴两侧,且 OA⋅OB= 6O为坐标原点 ,则 △ABO 与 △AOF 面 积之和的最小值为 ( )
A. 4 B. 3132
C. 1724 D. 10
第四节 曲线与方程
题型 15 : 轨迹方程
知识梳理
1. 方法: 直译法、定义法、相关点法、参 数法、点差法;
2. 求出方程后,注意 x,y 的范围,通常 x,y 有特殊限制,即所求轨迹是不完整的 曲线;
3. 如果求轨迹方程, 写出方程即可, 如 果求轨迹或是问什么曲线,除了要写出方 程,还要说明是什么曲线(通过语言描述能 写出方程方可).
题型 15.1 : 直译法
例题解析
例 1 (2020 全国 II 6) 在平面内, A,B 是两个 定点, C 是动点. 若 AC⋅BC=1 ,则点 C 的 轨迹为 ( )
A. 圆 B. 椭圆
C. 抛物线 D. 直线
例 2 (2019 全国 II 21.1) 已知点 A−2,0 , B2,0 ,动点 Mx,y 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 −12 . 记 M 的轨迹为曲线 C , 求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线.
强化练习
1. (2023 新高考 I 22.1) 在直角坐标系 xOy 中,点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点 0,12 的距离,记动点 P 的轨迹为 W . 求 W 的 方程.
2. (2012 四川 21.1) 动点 M 与两定点 A−1,0 , B1,0 构成 △MAB ,且直线 MA,MB 的斜 率之积为 4 . 设动点 M 的轨迹为 C ,求轨迹 C 的方程.
题型 15.2 : 定义法
例题解:
例 1 (2011 广东 19.1) 设圆 C 与圆 x+52+ y2=4 外切,与圆 x−52+y2=4 内切,求 C 的圆心轨迹方程.
例 2 (2016 全国 I 20.1) 设圆 x2+y2+2x− 15=0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B1,0 且与 x 轴不重合, l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . 求 E 的轨迹 方程.
强化练习
1. (2011 广东 8 ) 设圆 C 与圆 x2+y−32=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹 为
A. 抛物线 B. 双曲线
C. 椭圆 D. 圆
2. (2013 全国I21.1) 已知圆 M:x+12+y2=1 , 圆 N:x−12+y2=9 ,动圆 P 与圆 M 外切 并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . 求 C 的方程.
题型 15.3 : 相关点法
例题解
例 1 (2017 全国 II 20.1) 设 O 为坐标原点,动 点 M 在椭圆 C:x22+y2=1 上,过 M 作 x 轴 的垂线,垂足为 N ,点 P 满足 NP=2NM . 求点 P 的轨迹方程.例 2 已知线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动, AB=3 ,点 M 是线段 AB 上一点,且 AM=1 ,点 M 随线段 AB 滑动而运动. 求动点 M 的轨迹 E 的方程.
强化练习
1. 已知动点 P 在曲线 2x2−y=0 上移动,则 点 A0,−1 与点 P 连线的中点的轨迹方 程是 ( )
A. y=2x2 B. y=8x2
C. y=4x2+12 D. y=4x2−12
2. 已知过点 P1,1 且互相垂直的两条直线 l1 与 l2 分别与 x 轴、 y 轴交于 A,B 两点,则 AB 的中点 M 的轨迹方程为
题型 15.4: 参数法
例题解
例 1 设椭圆方程为 x2+y24=1 ,过点 M0,1 的直线 l 交椭圆于点 A,B ,点 O 是坐标原 点,点 P 满足 OP=12OA+OB ,求动点 P 的轨迹方程.
例 2 已知 O 为坐标原点, Mx1,y1,Nx2,y2 是椭圆 x24+y22=1 上的点,且 x1x2+2y1y2=0 . 设动点 P 满足 OP=OM+2ON ,求动点 P 的轨迹 C 的方程.
强化练习
1. (2013 全国 II 20.1) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 22 ,在 y 轴上截得线段长为 23 . 求圆心 P 的轨迹方程.
2. 已知双曲线 x22−y2=1 的左、右顶点分别为 A1,A2 ,直线 l:x=p 与双曲线交于点 M , N ,直线 A2M 交直线 A1N 于点 Q . 求点 Q 的轨迹方程.
题型 15.5 : 点差法
例题解
例 1 已知椭圆 C:x22+y2=1 ,斜率为 2 的直 线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,求 A,B 中点 M 的轨迹方程. 例 2 (2016 全国 II 20.2) 已知抛物线 C:y2= 2x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两条直线 l1 , l2 分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P , Q 两点. 若 △PQF 的面积是 △ABF 的面积 的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.
强化练
设 M,N 是椭圆 x216+y212=1 上除长轴的端点 外的任意两点,点 M,N 在直线 x=8 上的 射影分别为 M1,N1 . 点 L 坐标为 3,0 , △M1N1L 与 △MNL 面积之比为 5,求 MN 中点 K 的轨迹方程.
第五节 直线与圆雉曲线(一)
题型 16 : 位置关系
知识梳理
1. 点与圆锥曲线位置关系
将点 Px0,y0 代入曲线标准方程中,根据符号判定,具体规则如下表:
2. 线与圆锥曲线位置关系
直线 l 与曲线的位置关系、判定方法及交点个数如下表:
3. 切线方程及切点弦方程
已知曲线 M:Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 ,直线 l:Ax0x+By0y+Cx0+x2+Dy0+y2+ E=0 ,当 Px0,y0 在曲线上时, l 为 M 的切线方程; 当 Px0,y0 在曲线外时, l 为 M 的切点 弦所在直线方程.圆锥曲线的切线/切点弦方程如下表:
备注: (1) 只需把原方程中的 x2 变为 x0x,y2 变为 y0y,x 变为 x0+x2,y 变为 y0+y2 ; (2) 以上公式解答题不可直接使用, 解答题只能用判别式法或者导数法求切线方程.
例题解
例 1 已知对 k∈R ,直线 y=kx+1 与椭圆 x25+ y2m=1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围是
例 2 (2004 全国 I 8) 设抛物线 y2=8x 的准线 与 x 轴交于点 Q . 若过点 Q 的直线 l 与抛物 线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围 是
A. −12,12 B. [−2,2]
C. [−1,1] D. [−4,4]
例 3 若椭圆 x24+y23=1 的一条切线 l 与抛物 线 y2=4x 交于 A,B 两点, O 为坐标原点, 且 OA⊥OB ,则直线 l 的方程为 ( )
A. x+2y−4=0 B. x+y−4=0
C. x+2y−4=0 或 x−2y−4=0
D. x−y−4=0 或 x+y−4=0
例 4 抛物线 C1:x2=2pyp>0 与双曲线 C2:x2− 3y2=λ 有一个公共焦点 F ,过 C2 上一点 P35,4 向 C1 作两条切线,切点分别为 A,B ,则 AF⋅BF=
A. 32 B. 49
C. 52 D. 68
强化练:
1. 不论 k 取何值,直线 y=kx−2+b 与曲线 x2−y2=1 总有公共点,则实数 b 的取值范 围是
2. (2014 辽宁 10 ) 已知点 A−2,3 在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B ,记 C 的焦点为 F ,则直线 BF 的斜率为 ( )
A. 12 B. 23
C. 34 D. 43
3. (2014 湖北 8 ) 设 a,b 是关于 t 的方程 t2csθ+ tsinθ=0 的两个不等实根,则过 Aa,a2,Bb,b2 两点的直线与双曲线 x2cs2θ−y2sin2θ=1 的公 共点的个数为 ( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
4. (2013 山东 11) 已知抛物线 C1:y=12px2p>0 的焦点与双曲线 C2:x23−y2=1 的右焦点的 连线交 C1 于第一象限的点 M . 若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p= ( )
A. 316 B. 38
C. 233 D. 433
题型 17: 曲线上的点到点或直线的距离问题
知识梳理
1. 方法一: 利用坐标表示距离求解; 2. 方法二: 利用切线求解.
例题解析
例 1 (2021 全国乙 11) 设 B 是椭圆 C:x25+y2=1 的上顶点,点 P 在 C 上,则 PB 的最大值为 ( )
A. 52 B. 6
C. 5 D. 2
例 2 (2014 福建 9) 设 P,Q 分别为 x2+(y− 6)2=2 和椭圆 x210+y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是 ( )
A. 52 B. 46+2
C. 7+2 D. 62
例 3 (2006 全国 I 11) 抛物线 y=−x2 上的点 到直线 4x+3y−8=0 距离的最小值 是( )
A. 43 B. 75 C. 85 D. 3
强化练习
1. (2022 浙江 21.1) 已知椭圆 x212+y2=1 ,点 P0,1 ,则点 P 到椭圆上点的距离的最大 值为
2. (2013 全国 II 20 改编) 点 P 为双曲线 y2− x2=1 上的点. 若点 P 到直线 y=x 的距离 为 22 ,则点 P 的坐标为
3. 已知点 P 为椭圆 x24+y2=1 上任意一点,则 点 P 到直线 x+y−2=0 距离的取值范围 为题型 18 : 中点弦公式及其推广
备注: 以上针对椭圆、双曲线、抛物线的公式只有小题能用, 解答题不可使用. 针对中点 弦问题解答题需用点差法推导, 此方法将在第六节里详细讲解.
知识梳理
题型 18.1 : 中点弦公式
例题解:
例 1 (2013 全国 I 10) 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a>b>0 的右焦点为 F3,0 ,过点 F 的直 线交椭圆于 A,B 两点. 若 AB 的中点坐标 为 1,−1 ,则 E 的方程为
A. x245+y236=1 B. x236+y227=1
C. x227+y218=1 D. x218+y29=1
例 2 (2003 全国 8) 已知双曲线中心在原点且 一个焦点为 F7,0 ,直线 y=x−1 与其相 交于 M,N 两点, MN 中点的横坐标为 −23 , 则此双曲线的方程为 ( )
A. x23−y24=1 B. x24−y23=1
C. x25−y22=1 D. x22−y25=1
例 3 (2010 山东 9) 已知抛物线 y2=2px(p> 0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点. 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2 , 则该抛物线的准线方程为 ( )
A. x=1 B. x=−1
C. x=2 D. x=−2
例 4 (2022 新高考 II 16) 已知直线 l 与椭圆 x26+ y23=1 在第一象限交于 A,B 两点, l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 M,N 两点,且 MA=NB , MN=23 ,则 l 的方程为
强化练习
1. (2014 江西 15) 过点 M1,1 作斜率为 −12 的直线与椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 相交 于 A,B . 若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为
2. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ,被方向 向量为 k=6,6 的直线截得的弦的中点为 4,1 ,则该双曲线离心率的值是
3. (2008 全国 II 15) 已知 F 是抛物线 C:y2= 4x 的焦点, A,B 是 C 上的两个点,线段 AB 的中点为 M2,2 ,则 △ABF 的面积等 于
4. 已知 F1,F2 分别为椭圆 C:x29+y25=1 的 左、右焦点, M 是椭圆 C 上位于第一象限的 一点, MF1=133,A,B 是椭圆 C 上异于 M 的两点,且 △AMB 的重心为 F2 ,则直线 AB 的斜率为 ( )
A. 43 B. 53 C. 2 D. 1
题型 18.2 : 圆锥曲线第三定义
例题解
例 1 (2013 全国 8 ) 椭圆 C:x24+y23=1 的左、 右顶点分别为 A1,A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是 [−2,−1] ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是 ( )
A. 12,34 B. 38,34
C. 12,1 D. 34,1
例 2 (2015 全国 II 11) 已知 A,B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上, △ABM 为等腰 三角形,且顶角为 120∘ ,则 E 的离心率 为
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
例 3 已知点 P 在椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b> 0) 上,点 P 在第一象限,点 P 关于原点 O 的 对称点为 A ,点 P 关于 x 轴的对称点为 Q , 设 PD=34PQ ,直线 AD 与椭圆 C 的另一个 交点为 B ,若 PA⊥PB ,则椭圆 C 的离心率 e=
A. 12 B. 22 C. 32 D. 33
强化练习
1. 在平面直角坐标系中有两个定点 A(−a , 0),Ba,0 和动点 P . 若直线 PA,PB 的斜 率之积为定值 m ,则点 P 的轨迹不可能 是
A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分
C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分
2. 已知 A,B,P 是双曲线 x2a2−y2b2=1 上不同的 三点,且直线 AB 经过坐标原点. 若直线 PA,PB 的斜率乘积 kPA⋅kPB=23 ,则该双 曲线的离心率为
3. 已知椭圆 x24+y2=1 的左、右顶点分别为 M,N,P 为椭圆上任意一点,且直线 PM 的 斜率的取值范围是 12,2 ,直线 PN 的斜率 的取值范围是
题型 19: 坐标代人法解定比分点问题
知识梳理
1. 定比分点坐标公式: 已知点 Ax1,y1 , Bx2,y2 ,若 AP=λPB ,则 P 点坐标为 Px1+λx21+λ,y1+λy21+λ;
2. 注意: 该公式小题可直接使用, 大题 需要推导.
例题解
例 1 (2011 浙江 17) 设 F1,F2 分别为椭圆 x23+ y2=1 的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上. 若 F1A =5F2B ,则点 A 的坐标是
例 2 (2016 四川 8) 设 O 为坐标原点, P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2pxp>0 上任意 一点, M 是线段 PF 上的点,且 PM= 2MF ,则直线 OM 斜率的最大值为
A. 33 B. 23 C. 22 D. 1例 3 (2014 全国 II 20.2) 设 F1,F2 分别是椭 圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N . 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN=5F1N ,求 a,b 的值. 2. 过圆 P:x+12+y2=14 的圆心 P 的直线 与抛物线 C:y2=3x 相交于 A,B 两点,且 PB=3PA ,则点 A 到圆 P 上任意一点的距 离的最大值为
3. (2018 浙江 17) 已知点 P0,1 ,椭圆 x24+ y2=mm>1 上两点 A,B 满足 AP=2PB , 则当 m= 时,点 B 横坐标的绝对 值最大.
题型 20 : 焦点弦比例公式
知识梳理
1. 已知焦点在 x 轴上的圆锥曲线 C , 经过其焦点 F 的直线交曲线于 A,B 两点, 直线 AB 的倾斜角为 θ ,斜率为 k ,且 AF= λFB ,则曲线 C 的离心率 e 满足: ecsθ= λ−1λ+1,e=1+k2λ−1λ+1 . (若交于双曲线 两支,则 ecsθ=λ+1λ−1 ).
2. 已知焦点在 y 轴上的圆锥曲线 C ,经 过其焦点 F 的直线交曲线于 A,B 两点,直线 AB 的倾斜角为 θ ,斜率为 kk≠0 ,且 AF= λFB ,则曲线 C 的离心率 e 满足: esinθ= λ−1λ+1,e=1+1k2λ−1λ+1 . (若交于双曲线 两支,则 esinθ=λ+1λ−1 ).
3. 抛物线离心率 e=1 ,对于抛物线的 焦点弦, 也可以利用焦半径公式求解.
强化练习
1. (2014 安徽 14) 若 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ y2b2=100 , 其渐近线方程为 y=±43x,F 为左焦点,过 F 且倾斜角为 120∘ 的直线交 C 于 A,B 两点 (A 在 x 轴上方). 若 AF=λFB ,则 λ 的值 为
A. 11 B. 111 C. 137 D. 13
例 4 (2019 全国 I 12) 已知椭圆 C 的焦点为 F1−1,0,F21,0 ,过 F2 的直线与 C 交 于 A,B 两点. 若 AF2=2F2B,AB= BF1 ,则 C 的方程为 ( )
A. x22+y2=1 B. x23+y22=1
C. x24+y23=1 D. x25+y24=1
强化练习
1. 过双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点 F 作倾斜角为 60∘ 的直线交双曲线右支于 A,B 两点. 若 AF=7FB ,则双曲线的离心率 为
A. 32 B. 3 C. 2 D. 52
2. (2010 重庆) 已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A,B 满足 AF=3FB ,则弦 AB 的中点到准线的距离为
3. 椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点 分别为 F1,F2 ,过点 F1 的直线交椭圆于 A , B 两点,交 y 轴于点 C . 若 F1,C 是线段 AB 的三等分点, △F2AB 的周长为 45 ,则椭 圆 E 的标准方程为 ( )
A. x25+y24=1 B. x25+y23=1
C. x25+y22=1 D. x25+y2=1
4. 设椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点 分别为 F1,F2 ,过点 F1 的直线与 C 交于点 P,Q . 若 PF2=F1F2 ,且 3PF1= 4QF1 ,则 C 的离心率为
A. 57 B. 35
C. 267 D. 265
第六节 直线与圆雉曲线(二)
知识梳理
思想方法:
(1) 韦达定理法; (2) 点差法; (3) 联立 硬解法; (4) 坐标代入法.
题型 21: 韦达定理法
知识梳理
1. 韦达定理法是解决直线和圆锥曲线 相交问题的通法, 高考圆锥曲线解答题中 至少 80% 的题目可以使用韦达定理法 求解.
2. 韦达定理法步骤:
(1) 设直线/曲线方程,设交点 Ax1,y1 , Bx2,y2 ,注意斜率是否存在.
(2) 联立: 要留意消 y 还是消 x .
(3) Δ>0 : 部分题目可以省略. 双曲线 需考虑联立后的二次项系数不为 0 .
(4) 韦达定理.
(5) 条件转换.
(6)验证:部分题目可以省略.
3. 本节通过几个简单题目来熟悉韦达 定理法的步骤, 更多使用韦达定理法的题 目将在后面的题型中进一步讲解.
例题解析
例 1 (2008 湖北 20) 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1 a>0,b>0 的两个焦点为 F1−2,0 , F22,0 ,点 3,7 在曲线 C 上.
(1) 求双曲线 C 的方程.
(2) 记 O 为坐标原点,过点 Q0,2 的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E,F . 若 △OEF 的面积为 22 ,求直线 l 的方程.例 2 (2022 北京 19) 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a>b>0 的一个顶点为 A0,1 ,焦距为 23 .
(1) 求椭圆 E 的方程;
(2) 过点 P−2,1 作斜率为 k 的直线与椭 圆 E 交于不同的两点 B,C ,直线 AB,AC 分别与 x 轴交于点 M,N . 当 MN=2 时,求 k 的值.
强化练
1. (2016 上海 21) 双曲线 x2−y2b2=1b>0 的 左、右焦点分别为 F1,F2 ,直线 l 过 F2 且与 双曲线交于 A,B 两点.
(1) 若 l 的倾斜角为 π2,△F1AB 是等边三角 形,求双曲线的渐近线方程;
(2) 设 b=3 ,若 l 的斜率存在,且 AB= 4,求 l 的斜率.2. (2014 全国 I 20) 已知点 A0,−2 ,椭圆 E : x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32,F 是 椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 233,O 为 坐标原点.
(1) 求 E 的方程;
(2) 设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两 点,当 △OPQ 的面积最大时,求 l 的 方程.
题型 22: 点差法
知识梳理
1. 适用题型: 中点弦问题
2. 步骤:
(1) 点: 设曲线上两点 Ax1,y1 , Bx2,y2 ,并代入曲线中.
(2)差: 作差化简.
(3) 注意: (1) 中点坐标需在曲线内方有 意义, 通常以此确定参数范围; (2)斜率是否 存在.
3. 说明:
(1) 高考中中点弦问题在小题大题中 均有考查, 小题可以直接用中点弦公式, 大 题可以用点差法也可以用韦达定理法;
(2)点差法可以求解轨迹方程问题, 此 类问题已在第四节中讲过, 本节不再说明.
例题解
例 1 (2015 全国 II 20) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a>b>0 的离心率为 22 ,点 2,2 在 C上.
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A,B ,线段 AB 的中点为 M . 证明: 直线 OM 的斜率与直线 l 的 斜率的乘积为定值.
例 2 (2018 全国 III 20.1) 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C:x24+y23=1 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M1,mm>0 . 证明: k< −12 .
强化练习
1. (2013 全国 II 20.1) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦 点 F 作直线 x+y−3=0 交 M 于 A,B 两 点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 12 . 求 M 的方程.2. (2015 陕西 20) 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b >0) 的半焦距为 c ,原点 O 到经过两点 (c , 0),0,b 的直线的距离为 12c .
(1) 求椭圆 E 的离心率;
(2) 如图, AB 是圆 M:x+22+y−12= 52 的一条直径. 若椭圆 E 经过 A,B 两 点,求椭圆 E 的方程.
题型 23 : 联立硬解法
知识梳理
圆锥曲线解答题多为直线与曲线相交 问题,一般情况下,交点坐标比较难解,所 以通常使用设而不求的方法, 比如韦达定 理法、点差法等. 但如果坐标比较好解, 比 如直线过原点、直线过曲线上一定点等问 题, 此时交点坐标比较容易解出来, 我们便 可以直接把坐标解出来, 这种方法即为联 立硬解法.
例题解析
例 1 (2014 陕西 20) 如图,曲线 C 由上半椭圆 C1:y2a2+x2b2=1a>b>0,y≥0 和部分抛物线 C2:y=−x2+1y≤0 连接而成, C1,C2 的公共 点为 A,B ,其中 C1 的离心率为 32 .
(1) 求 a,b 的值;
(2) 过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于 P,Q (均异于点 A,B ). 若 AP⊥AQ ,求直线 l 的方程.
例 2 (2023 天津 18) 设椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>
0) 的左、右顶点分别为 A1,A2 ,右焦点为 F , A1F=3,A2F=1 .
(1) 求椭圆方程和其离心率 e ;
(2) 已知点 P 是椭圆上一动点 (不与端点重 合),直线 A2P 交 y 轴于点 Q . 若 △A1PQ 的面积是 △A2FP 面积的 2 倍, 求直线 A2P 的方程. 例 3 (2018 天津 19) 设椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b> 0) 的左焦点为 F ,上顶点为 B . 已知椭圆的 离心率为 53 ,点 A 的坐标为 b,0 ,且 FB⋅AB=62 .
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设直线 l:y=kxk>0 与椭圆在第一象 限的交点为 P ,且 l 与直线 AB 交于点 Q . 若 AQPQ=524sin∠AOQ(O 为原 点),求 k 的值.
强化练习
1. (2018 天津 19) 设椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的右顶点为 A ,上顶点为 B . 已知椭圆的离 心率为 53,AB=13 .
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设直线 l:y=kxkb>0 的左焦点为 F ,上顶点为 B . 已知椭圆的短 轴长为 4,离心率为 55 .
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设点 P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下 顶点,点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点, 点 N 在 y 轴的负半轴上. 若 ON= OF ( O 为原点),且 OP⊥MN ,求直线 PB 的斜率.
题型 24 : 坐标代人法
知识梳理
1. 坐标代入法是指不联立直线与曲 线, 直接用点的坐标 (坐标满足曲线方程) 求解问题的方法;
2. 本专题部分题目除了用坐标代入法 外, 也可用韦达定理法求解.
例题解析
例 1 (2016 北京 19) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a>b>0 的离心率为 32,Aa,0,B0,b , O0,0,△OAB 的面积为 1 .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴 交于点 M ,直线 PB 与 x 轴交于点 N . 求 证: AN⋅BM 为定值.例 2 (2014 天津 18) 设椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b> 0) 的左、右焦点为 F1,F2 ,右顶点为 A ,上顶 点为 B . 已知 AB=32F1F2 .
(1) 求椭圆的离心率;
(2) 设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线 段 PB 为直径的圆经过点 F1 ,经过原点 O 的直线 l 与该圆相切. 求直线 l 的 斜率. 例 3 (2010 重庆 21) 已知以原点 O 为中心, F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e=52.
(1) 求双曲线 C 的标准方程及渐近线方程;
(2) 如图,已知过点 Mx1,y1 的直线 l1:x1x+ 4y1y=4 与过点 Nx2,y2 (其中 x1≠ x2 的直线 l2:x2x+4y2y=4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与两条渐近线 分别交于 G,H 两点,求 △OGH 的面积.
强化练习
1. (2014 北京 19) 已知椭圆 C:x2+2y2=4 .
(1) 求椭圆 C 的离心率;
(2) 设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB ,求线段 AB 长度的最小值. 2. (2020 全国 II 21) 已知椭圆 C:x225+y2m2=1 0b>0 的离 心率为 22 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3 左准线方程为 x=−a2c .
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C . 若 PC=2AB ,求直线 AB 的方程.
例 3 (2021 新高考 I 21) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F1−17,0,F217,0 ,点 M 满足 MF1−MF2=2 . 记 M 的轨迹为 C . (1) 求 C 的方程;
(2) 设点 T 在直线 x=12 上,过 T 的两条直 线分别交 C 于 A,B 两点和 P,Q 两点, 且 TA⋅TB=TP⋅TQ ,求直 线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.
强化练习
1. (2016 上海 21) 双曲线 x2−y2b2=1b>0 的 左、右焦点分别为 F1,F2 ,直线 l 过 F2 且与 双曲线交于 A,B 两点.
(1) 若 l 的倾斜角为 π2,△F1AB 是等边三角 形,求双曲线的渐近线方程;
(2) 设 b=3 ,若 l 的斜率存在,且 AB= 4,求 l 的斜率. 2. (2016 四川 20) 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>
0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角 形的三个顶点,点 P3,12 在椭圆 E 上.
(1) 求椭圆 E 的方程;
(2) 设不过原点 O 且斜率为 12 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B ,线段 AB 的中点 为 M ,直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D ,证明: MA⋅MB=MC⋅MD .3. (2021 新高考 II 20) 已知椭圆 C 的方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0 ,右焦点为 F2,0 , 且离心率为 63 .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 设 M,N 是椭圆 C 上的两点,直线 MN 与曲线 x2+y2=b2x>0 相切. 证明: M,N,F 三点共线的充要条件是 MN=3.
题型 26:面积问题
知识梳理
1. 三角形面积: S=12× 底 × 高 = 12absinC ,在解析几何题目中,通常将一个三角 形分成两个三角形,此时 S=12my2−y1/ 12mx2−x1 ,其中 m 为两个三角形的公 共底边, y2−y1,x2−x1 为铅垂高和水 平宽; 2. 菱形/对角线垂直的四边形面积: S=12× 对角线 × 对角线;
3. 平行四边形面积: S= 底 × 高,或看 成两个三角形;
4. 说明: 本专题主要讲解求面积问题 以及已知面积求参数问题, 求面积最值问 题将在后面的题型中进行讲解.
例题解
例 1 (2012 北京 19) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a>b>0 的一个长轴顶点为 A2,0 ,离心 率为 22 ,直线 y=kx−1 与椭圆 C 交于不 同的两点 M,N .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 当 △AMN 的面积为 103 时,求 k 的值.例 2 (2022 天津 19) 椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b> 0) 的右焦点为 F ,右顶点为 A ,上顶点为 B , 且满足 BFAB=32 .
(1) 求椭圆的离心率 e ;
(2) 直线 l 与椭圆有唯一公共点 M ,与 y 轴 相交于 NN异于M . 记 O 为坐标原 点,若 OM=ON ,且 △OMN 的面积 为 3 ,求椭圆的标准方程. 例 3 (2022 新高考 I 21) 已知点 A2,1 在双 曲线 C:x2a2−y2a2−1=1a>1 上,直线 l 交 C 于 P,Q 两点,直线 AP,AQ 的斜率之和 为 0 .
(1) 求 l 的斜率;
(2) 若 tan∠PAQ=22 ,求 △PAQ 的面积.
强化练习
1. (2008 湖北 20 ) 已知双曲线 C:x2a2−y2b2= 1a>0,b>0 的两个焦点为 F1−2,0 , F22,0 ,点 3,7 在曲线 C 上.
(1) 求双曲线 C 的方程;
(2) 记 O 为坐标原点,过点 Q0,2 的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E,F ,若 △OEF 的面积为 22 ,求直线 l 的 方程. 2. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 0,1 ,过右焦点 F 且不与 x 轴重合的动直 线 l 交椭圆于 A,C 两点,当动直线 l 的斜率 为 2 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 255 .
(1) 求椭圆的方程;
(2) 过 F 的另一直线交椭圆于 B,D 两点,且 AC⊥BD ,当四边形 ABCD 的面积 S= 169 时,求直线 l 的方程.3. (2014 四川 20) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>
0) 的左焦点为 F−2,0 ,离心率为 63 .
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 设 O 为坐标原点, T 为直线 x=−3 上 一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P , Q . 当四边形 OPTQ 是平行四边形时,求 四边形 OPTQ 的面积.
题型 27: 对称问题
知识梳理
对称问题可以用韦达定理法求解也可 以用点差法求解.
例题解析
例 1 (2015 浙江 19.1) 已知椭圆 x22+y2=1 上 两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+12 对 称. 求实数 m 的取值范围.
例 2 (2016 江苏 22) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x−y−2=0 ,抛物线 C : y2=2pxp>0 .
(1) 若直线 l 过抛物线 C 的焦点,求抛物线 C 的方程.
(2) 已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的 相异两点 P 和 Q .
(1)求证: 线段 PQ 上的中点坐标为 (2− p,−p) ;
(2)求 p 的取值范围.
强化练习
1. 已知椭圆方程为 C:x24+y23=1 ,若椭圆上存 在不同的两点关于直线 l:y=4x+m 对称, 求 m 的取值范围.
2. 抛物线 C:y=−x2+3 上存在关于直线 l : x+y=0 对称的相异两点 A,B ,求 AB 的值.
题型 28 : 向量斜率问题
知识梳理
1. 常见问题: 垂直问题、角的问题、三 点共线问题、比例问题 (比例问题属于非对 称韦达定理, 将在后面的题型中进行讲 解);
2. 当使用斜率解题时, 需考虑斜率是 否存在.
题型 28.1 : 用向量或斜率解决垂直问题
例题解
例 1 (2017 全国 I 20) 设 A,B 为曲线 C:y= x24 上两点, A 与 B 的横坐标之和为 4 .
(1) 求直线 AB 的斜率;
(2) 设 M 为曲线 C 上一点, C 在 M 处的切线 与直线 AB 平行,且 AM⊥BM ,求直线 AB 的方程. 例 2 (2016 上海 21) 双曲线 x2−y2b2=1b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,直线 l 过 F2 且 与双曲线交于 A,B 两点.
(1) 若 l 的倾斜角为 π2,△F1AB 是等边三角 形,求双曲线的渐近线方程;
(2) 设 b=3 ,若 l 的斜率存在,且 F1A+ F1B⋅AB=0 ,求 l 的斜率.
强化练:
1. (2017 全国 II 20) 已知抛物线 C:y2=2x ,过 点 2,0 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.
(1) 证明: 坐标原点 O 在圆 M 上;
(2) 设圆 M 过点 P4,−2 ,求直线 l 与圆 M 的方程. 2. (2020 天津 18) 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>
0) 的一个顶点为 A0,−3 ,右焦点为 F ,且 OA=OF ,其中 O 为原点.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 已知点 C 满足 3OC=OF ,点 B 在椭圆 上 ( B 异于椭圆的顶点),直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P ,且 P 为线段 AB 的中点. 求直线 AB 的方程.
题型 28.2 : 用向量或斜率解决角的问题
例题解:
例 1 (2018 全国 I 19) 设椭圆 C:x22+y2=1 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,点 M 的坐标为 2,0 .
(1) 当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程;
(2) 设 O 为坐标原点,证明: ∠OMA=∠OMB . 例 2 (2015 湖南 20) 已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2:y2a2+x2b2=1(a>b> 0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦的长为 26 .
(1) 求 C2 的方程.
(2) 过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两 点,与 C2 相交于 C,D 两点,且 AC 与 BD 同向.
(1)若 AC=BD ,求直线 l 的斜率;
(2)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点 为 M ,证明: 直线 l 绕点 F 旋转时, △MFD 总是钝角三角形.
强化练习
1. (2015 全国 I 20) 在直角坐标系 xOy 中,曲 线 C:y=x24 与直线 l:y=kx+aa>0 交于 M,N 两点,
(1) 当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的 切线方程;
(2) y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时, 总有 ∠OPM=∠OPN ? 说明理由. 2. (2015 福建 18) 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b> 0) 过点 0,2 ,且离心率为 e=22 .
(1) 求椭圆 E 的方程;
(2) 设直线 l:x=my−1m∈R 交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G−94,0 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明 理由.
题型 28.3 : 用向量或斜率解决三点共线问题
例题解:
例 1 (2010 大纲 21) 已知抛物线 C:y2=4x 的 焦点为 F ,过点 K−1,0 的直线 l 与 C 相 交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点 为 D .
(1) 证明: 点 F 在直线 BD 上;
(2) 设 FA⋅FB=89 ,求 △BDK 的内切圆 M 的方程. 例 2 (2018 北京 20) 已知椭圆 M:x2a2+y2b2= 1a>b>0 的离心率为 63 ,焦距为 22 . 斜 率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交 点 A,B .
(1) 求椭圆 M 的方程;
(2) 若 k=1 ,求 AB 的最大值;
(3) 设 P−2,0 ,直线 PA 与椭圆 M 的另一 个交点为 C ,直线 PB 与椭圆 M 的另一 个交点为 D . 若 C,D 和点 Q−74,14 共 线,求 k 的值.
强化练习
1. (2001 广东 21) 已知椭圆 x22+y2=1 ,直线 l : x=2 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A,B 两点,点 C 在 l 上,且 BC//x 轴,求证: 直线 AC 经过线段 EF 的中点. 2. (2012 北京 19) 已知曲线 C:5−mx2+ m−2y2=8m∈R.
(1) 若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围;
(2) 设 m=4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B (点 A 位于点 B 的上方),直线 y=kx+ 4 与曲线 C 交于不同的两点 M,N ,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G . 求证: A,G , N 三点共线.
题型 29:范围最值问题
知识梳理
1. 解法突破: 将所求的量转化为某一 变量的函数, 将问题转化为求函数最值 问题.
2. 具体方法:
(1)分式函数: 分离常数法, 分离后通 常变为对勾函数、反比例函数、二次函数 等,其中对勾函数较为常见,需要用到均值 不等式;(2)二次函数: 对称轴法;
(3)高次函数: 导数法.
3. 注意:
(1)注意函数自变量的取值范围;
(2) 由于函数形式较为复杂, 通常需要 换元进行化简.
例题解
例 1 (2014 全国 I 20) 已知点 A0,−2 ,椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32,F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 233,O 为坐标原点.
(1) 求 E 的方程;
(2) 设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两 点,当 △OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 例 2 (2012 浙江 21) 如图,椭圆 C:x2a2+y2b2= 1a>b>0 的离心率为 12 ,其左焦点到点 P2,1 的距离为 10 ,不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 求 △ABP 的面积取最大时直线 l 的 方程.
例 3 (2017 山东 21) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>0,b>0 的 离心率为 22 ,椭圆 C 截直线 y=1 所得线段 的长度为 22 .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 动直线 l:y=kx+mm≠0 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M . 点 N 是 M 关 于 O 的对称点, ⊙N 的半径为 NO . 设 D 为 AB 的中点, DE,DF 与 ⊙N 分别相 切于点 E,F ,求 ∠EDF 的最小值.
例 4 (2023 全国甲 20) 已知直线 x−2y+1= 0 与抛物线 C:y2=2pxp>0 交于 A,B 两 点, AB=415 .
(1) 求 p 的值;
(2) 设 F 为 C 的焦点, M,N 为 C 上两点,且 FM⋅FN=0 ,求 △MFN 面积的最 小值.
强化练习
1. (2016 全国 I 20) 设圆 x2+y2+2x−15=0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B1,0 且与 x 轴 不重合, l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E .
(1) 证明 EA+EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程;
(2) 设点 E 的轨迹为曲线 C1 ,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线 与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 2. (2014 四川 20) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b> 0) 的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的 一个端点构成正三角形.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 设 F 为椭圆 C 的左焦点, T 为直线 x=−3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线 交椭圆 C 于点 P,Q .
(i) 证明: OT 平分线段 PQ (其中 O 为 坐标原点);
(ii) 当 TFPQ 最小时,求点 T 的坐标.3. (2021 全国乙 21) 已知抛物线 C:x2=2py(p> 0) 的焦点为 F ,且 F 与圆 M:x2+y+42=1 上点的距离的最小值为 4 .
(1) 求 p 的值;
(2) 若点 P 在 M 上, PA,PB 是 C 的两条切 线, A,B 是切点,求 △PAB 面积的最 大值. 4. (2019 全国 II 21) 已知点 A−2,0,B(2 , 0) ,动点 Mx,y 满足直线 AM 与 BM 的斜 率之积为 −12 . 记 M 的轨迹为曲线 C .
(1) 求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线.
(2) 过坐标原点的直线交 C 于 P,Q 两点,点 P 在第一象限, PE⊥x 轴,垂足为 E ,连 接 QE 并延长交 C 于点 G .
(i) 证明: △PQG 是直角三角形;
(ii) 求 △PQG 面积的最大值.
题型 30 : 定值问题
知识梳理
1. 题型分类
(1)求定值/证明是定值;
(2)证明点在定直线上,通常证明该点 横坐标或纵坐标为定值;
(3) 已知定值求参数.
2. 定值模型:
(1) 若圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物 线) 上一定点 P 与曲线上两动点 A,B 满足 直线 PA 与直线 PB 的斜率互为相反数, 则直线 AB 的斜率为定值;
(2) 直线交椭圆于 A,B 两点,若 OA⊥ OB ,则 Rt △AOB 斜边 AB 上的高 h 为定 值,同时 1OA2+1OB2 为定值;
(3) 过圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物 线) 焦点 F 的直线交圆锥曲线于 A,B 两点 (双曲线需同一支),则 1AF+1BF 为 定值.
3. 注意:
圆锥曲线中定值定点类模型有很多, 无需一一背诵, 只需了解常见模型, 掌握这 类问题的解题思想和方法,至于具体结论 无需死记硬背.
例题解:
例 1 (2015 陕西 20) 如图,椭圆 E:x2a2+y2b2= 1a>b>0 经过点 A0,−1 ,且离心率 为 22 .
(1) 求椭圆 E 的方程;
(2) 经过点 1,1 ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P,Q (均异于点 A ),证 明: 直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2 .
例 2 已知 F 是抛物线 C:x2=4y 的焦点, Ax1,y1,Bx2,y2 为抛物线 C 上不同的 两点, l1,l2 分别是抛物线 C 在点 A,B 处的 切线, Px0,y0 是 l1,l2 的交点.
(1) 当直线 AB 经过焦点 F 时,求证: 点 P 在 定直线上;
(2) 若 PF=2 ,求 AF⋅BF 的值. 例 3 已知椭圆 y2a2+x2b2=1a>b>0 过点 32,3 , 离心率为 12 .
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 过椭圆的上顶点作直线 l 交抛物线 x2= 2y 于 A,B 两点, O 为原点.
(1)求证: OA⊥OB ;
(2)设 OA,OB 分别与椭圆相交于 C,D 两 点,过原点 O 作直线 CD 的垂线 OH ,垂 足为 H ,证明: OH 为定值.例 4 (2015 四川 20) 如图,椭圆 E:x2a2+y2b2= 1a>b>0 的离心率是 22 ,点 P0,1 在短 轴 CD 上,且 PC⋅PD=−1 .
(1) 求椭圆 E 的方程.
(2) 设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭 圆交于 A,B 两点. 是否存在常数 λ ,使得 OA⋅OB+λPA⋅PB 为定值? 若存在, 求 λ 的值; 若不存在,请说明理由.
强化练习
1. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 过点 A1,32 ,且离心率 e 为 12 .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) E,F 是椭圆上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这 个定值.2. (2023 全国乙 20) 已知椭圆 C:y2a2+x2b2= 1a>b>0 的离心率为 53 ,点 A−2,0 在 C 上.
(1) 求 C 的方程;
(2) 过点 −2,3 的直线交 C 于 P,Q 两点, 直线 AP,AQ 与 y 轴的交点分别为 M , N ,证明: 线段 MN 的中点为定点. 3. (2018 北京 19) 已知抛物线 C:y2=2px 经 过点 P1,2 . 过点 Q0,1 的直线 l 与抛物 线 C 有两个不同的交点 A,B ,且直线 PA 交 y 轴于 M ,直线 PB 交 y 轴于 N .
(1) 求直线 l 的斜率的取值范围;
(2) 设 O 为原点, QM=λQO,QN=μQO , 求证: 1λ+1μ 为定值.4. (2014 江西 20) 如图,已知抛物线 C:x2= 4y ,过点 M0,2 任作一直线与 C 相交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D ( O 为坐标原点).
(1) 证明: 动点 D 在定直线上;
(2) 作 C 的任意一条切线 l (不含 x 轴) 与直 线 y=2 相交于点 N1 ,与 (1) 中的定直线 相交于点 N2 ,证明: MN22−MN12 为定值, 并求此定值.
题型 31 : 定点问题
知识梳理
1. 思想方法:
(1)硬求直线方程: 表示出直线方程后, 若直线过定点,将直线方程变为 f1x,y+ λf2x,y=0 ( λ 为参数),解方程组
f1x,y=0,f2x,y=0, 即得定点坐标;
(2) 由特殊到一般: 从特殊入手, 求出 定点,或者先确定定点特征(比如根据曲线 对称性,先初步判定定点是否在坐标轴 上), 再进行求解.
2. 定点模型:
(1) 张直角模型: 若 A,B,C 在圆锥曲 线 (椭圆、双曲线、抛物线) 上,已知点 C 坐 标且 ∠C=90∘ ,则斜边 AB 所在的直线过 定点;
(2) P 是坐标轴上异于圆锥曲线 C 的 顶点的一定点,直线 l 交 C 于 A,B 两点, 若满足 kPA+kPB=0 ,则 l 过定点.
3. 注意:
圆锥曲线中定值定点类模型有很多, 无需一一背诵,只需了解常见模型,掌握这 类问题的解题思想和方法,至于具体结论 无需死记硬背.
例题解?
例 1 (2017 全国 I 20) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2= 1a>b>0 ,四点 P11,1,P20,1 , P3−1,32,P41,32 中恰有三点在椭圆 C上.
(1) 求 C 的方程;
(2) 设直线 l 不经过点 P2 且与 C 相交于 A , B 两点. 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率 的和为 -1,证明: l 过定点. 例 2 (2012 福建 19) 如图,椭圆 E:x2a2+y2b2= 1a>b>0 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,离 心率 e=12 . 过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两 点,且 △ABF2 的周长为 8 .
(1) 求椭圆 E 的方程.
(2) 设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只 有一个公共点 P ,且与直线 x=4 相交于 点 Q . 试探究: 在坐标平面内是否存在定 点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ? 若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说 明理由.
例 3 (2019 全国 II 21) 已知曲线 C:y=x22,D 为直线 y=−12 上的动点,过 D 作 C 的两条 切线,切点分别为 A,B .
(1) 证明: 直线 AB 过定点.
(2) 若以 E0,52 为圆心的圆与直线 AB 相 切,且切点为线段 AB 的中点,求该圆的 方程. 例 4 (2020 山东 22) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2= 1a>b>0 的离心率为 22 ,且过点 A2,1 .
(1) 求 C 的方程;
(2) 点 M,N 在 C 上,且 AM⊥AN,AD⊥ MN,D 为垂足. 证明: 存在定点 Q ,使得 DQ 为定值.
强化练习
1. 已知点 F1,0 ,直线 m:x=−1 ,动直线 n 垂直 m 交于点 M,MF 的垂直平分线交直 线 n 于点 N ,设点 N 的轨迹为 C .
(1) 求曲线 C 的方程;
(2) 已知经过定点 R2,0 且斜率存在的动 直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 P,Q , 点 P′ 为点 P 关于 x 轴的对称点,求证: 直线 P′Q 过定点,并求出定点的坐标. 2. (2019 北京 19) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>
0) 的右焦点为 1,0 ,且经过点 A0,1 .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 设 O 为原点,直线 l:y=kx+tt≠±1 与椭圆 C 交于两个不同点 P,Q ,直线 AP 与 x 轴交于点 M ,直线 AQ 与 x 轴 交于点 N . 若 OM⋅ON=2 ,求证: 直线 l 经过定点.3. (2015 四川 20) 如图,椭圆 E:x2a2+y2b2= 1a>b>0 的离心率是 22 ,过点 P0,1 的 动直线 l 与椭圆交于 A,B 两点. 当直线 l 平 行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截的线段长为 22 .
(1) 求椭圆 E 的方程.
(2) 在平面直角坐标系中,是否存在与点 P 不同的定点 Q ,使得 QAQB=PAPB 恒成 立? 若存在,求出 Q 点的坐标,若不存 在, 说明理由.
4. (2020 全国 I 21) 已知 A,B 分别为椭圆 E : x2a2+y2=1a>1 的左、右顶点, G 为 E 的上 顶点, AG⋅GB=8.P 为直线 x=6 上的动 点, PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 E 的另 一交点为 D .
(1) 求 E 的方程;
(2) 证明: 直线 CD 过定点.
题型 32 : 非对称韦达定理
知识梳理
非对称韦达定理的三种形式:
(1) x1x2 型: 可以通过 x1x2+x2x1=x12+x22x1x2 进 行化简. 也可结合韦达定理硬解参数.
(2) λx1+μx2=m 型: 将 λx1+μx2=m 变型为 x1+ax2+a=b 的形式,再通过 x1+ax2+a+ x2+ax1+a=b+1b 进行化简. 也可结合韦达定 理硬解参数.
(3) mx1x2+λx1mx1x2+μx2 型: 将 x1x2 替换成 x1+ x2 进行化简.
例题解?
例 1 (2019 全国 I 19) 已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F ,斜率为 32 的直线 l 与 C 的交点 为 A,B ,与 x 轴的交点为 P .
(1) 若 AF+BF=4 ,求 l 的方程;
(2) 若 AP=3PB ,求 AB . 例 2 抛物线 C:y2=2pxp>0 的准线方程为 x=−1 .
(1) 求抛物线的标准方程;
(2) 过定点 P2,1 的直线 l 与抛物线 C 交 于 A,B 两点,且 AP=17PB ,求直线 l 的 斜率.例 3 在平面直角坐标系 xOy 中, A,B 分别为 椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右顶点和上 顶点, △OAB 的面积为 3 ,且椭圆 C 的离心 率为 12 .
(1) 求椭圆 C 的方程.
(2) 设斜率不为 0 的直线 l 经过椭圆的右焦 点 F ,且与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,过 M 作直线 x=4 的垂线,垂足为 Q . 试问: 直线 QN 是否过定点? 若过定点, 请求出定点的坐标; 若不过定点, 请说明 理由. 例 4 (2023 新高考 II 21) 已知双曲线 C 中心 为坐标原点,左焦点为 −25,0 ,离心率 为 5 .
(1) 求 C 的方程;
(2) 记 C 的左、右顶点分别为 A1,A2 ,过点 −4,0 的直线与 C 的左支交于 M,N 两点, M 在第二象限,直线 MA1 与 NA2 交于点 P ,证明: 点 P 在定直线上.
强化练习
1. (2010 辽宁 20) 设 F1,F2 分别为椭圆 C:x2a2+ y2b2=1a>b>0 的左、右焦点,过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜 角为 60∘,F1 到直线 l 的距离为 23 .
(1) 求椭圆 C 的焦距;
(2) 如果 AF2=2F2B ,求椭圆 C 的方程. 2. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的一个焦 点为 2,0 ,离心率为 63 .
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 过点 P0,2 的直线与椭圆 C 交于点 Q , R ,且 PQb>0 过定点
P2,2 ,且离心率为 22 .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 记椭圆 C 的上、下顶点分别为 A,B ,过 点 0,4 斜率为 k 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,证明: 直线 BM 与 AN 的交 点 G 在定直线上,并求出该定直线的 方程.
第一节 等差数列
等差数列知识图表
知识梳理
(2) 若 bn 为等差数列,且 S99−T99=99 ,求 d 的值.
题型 1 : 等差数列基本运算
例题解
例 1 (2019 全国 II 14) 记 Sn 为等差数列 an
的前 n 项和. 若 a3=5,a7=13 ,则 S10= .
例 2 (2023 全国甲 5) 记 Sn 为等差数列 an
的前 n 项和. 若 a2+a6=10,a4a8=45 ,则 S5= ( )
A. 25 B. 22
C. 20 D. 15
例 3 (2019 全国 III) 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和. 若 a1≠0,a2=3a1 ,则 S10S5=
例 4 (2022 全国乙 13) 记 Sn 为等差数列 an
的前 n 项和. 若 2S3=3S2+6 ,则公差 d= .
例 5 (2023 新高考 I 20) 设等差数列 an 的公 差为 d ,且 d>1 . 令 bn=n2+nan ,记 Sn,Tn 分 别为数列 an,bn 的前 n 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a3,S3+T3=21 ,求 an 的 通项公式;
强化练习
1. (2018 北京 9 ) 设 an 是等差数列,且 a1= 3,a2+a5=36 ,则 an 的通项公式为 .
2. (2020 全国 II 14) 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和. 若 a1=−2,a2+a6=2 ,则 S10=3. (2012 江西 12) 设数列 an,bn 都是等差 数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21 ,则 a5+ b5=
4. (2018 全国 I 4) 设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项 和,若 3S3=S2+S4,a1=2 ,则 a5 =
A. -12 B. -10
C. 10 D. 12
5. (2021 新高考 II 17) 记 Sn 是公差不为 0 的等 差数列 an 的前 n 项和,若 a3=S5,a2a4=S4 .
(1) 求数列 an 的通项公式 an ;
(2) 求使 Sn>an 成立的 n 的最小值.
题型 2: 等差数列性质应用
题型 2.1 : 等差中项性质
知识梳理
若数列 an 为等差数列,其前 n 项和 为 Sn ,则有:
(1) 若 m+n=p+q=2w ,则 am+an= ap+aq=2aw;
(2) S2n−1=2n−1an .
例题解析
例 1 (2015 广东 10) 在等差数列 an 中,若 a3+ a4+a5+a6+a7=25 ,则 a2+a8=
例 2 (2013 广东 12) 在等差数列 an 中,已知 a3+a8=10 ,则 3a5+a7=
例 3 (2019 江苏 8 ) 已知数列 ann∈N* 是 等差数列, Sn 是其前 n 项和. 若 a2a5+a8= 0,S9=27 ,则 S8 的值是 例 4 (2009 全国 II 14) 设等差数列 an 的前 n
项和为 Sn ,若 a5=5a3 ,则 S9S5=
强化练之
1. (2011 重庆 11 ) 在等差数列 an 中, a3+
a7=37 ,则 a2+a4+a6+a8=2. (2010 全国 II 6) 如果等差数列 an 中, a3+ a4+a5=12 ,那么 a1+a2+⋯+a7=
A. 14 B. 21
C. 28 D. 35
3. (2016 全国 I 3) 已知等差数列 an 前 9 项的 和为 27,a10=8 ,则 a100=
A. 100 B. 99
C. 98 D. 97
4. (2004 福建 5) 设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和,若 a5a3=59 ,则 S9S5=
A. 1 B. -1
C. 2 D. 12
题型 2.2 : 等差数列和比与项比问题
知识梳理
1. 若 an,bn 为等差数列,其前 n 项 和分别为 Sn,Tn ,则有:
(1) anbn=S2n−1T2n−1 ;
(2) 已知 SnTn=An+BCn+D ,求 anbm 的值时,可 令 Sn=knAn+B,Tn=knCn+D ,进 而求出 an,bm . (由于 anbm 为比值,可令 k=1 简化计算)
例题解:
例 1 等差数列 an,bn 的前 n 项和分别为 Sn ,
Tn ,若 SnTn=3n−12n+3 ,则 a6b6=
例 2 等差数列 an,bn 的前 n 项和分别为 Sn ,
Tn ,若 S2n+1Tn=2n+1n+4 ,则 a10b5=
例 3 已知等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分 别为 Sn,Tn ,且满足 SnTn=2n+13n+2 ,则 a6b4= ( )
A. 32 B. 23 C. 1314 D. 1
强化练习
1. 设 Sn,Tn 分别为等差数列 an,bn 的前 n 项和,且 SnTn=3n+24n+5 ,则 a3b3=
2. 两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别 为 An,Bn ,且 AnBn=7n+45n+3 ,则使得 anbn 为整数 的 n 的个数是 ( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
3. 设 Sn,Tn 分别为等差数列 an,bn 的前 n 项和,且 SnTn=3n+24n+5 ,则 a1+a4b3=
题型 2.3 : 等差数列片段和问题
知识梳理
若等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,公 差为 d ,则 Sn,S2n−Sn,S3n−S2n,⋯ 成等差 数列,公差为 n2d .
例题解
例 1 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S4= 8,S8=20 ,则 a13+a14+a15+a16=
A. 12 B. 8 C. 20 D. 16 例 2 (2006 全国 II 11) 设 Sn 是等差数列 an
的前 n 项和,若 S3S6=13 ,则 S6S12=
A. 310 B. 13 C. 18 D. 19
强化练
1. 等差数列 an 的前 n 项和记为 Sn ,若 S3= 4,S9=16 ,则 S6=
2. 等差数列 an 的前 n 项和记为 Sn ,若 S4S8= 15 ,则 S8S16=
题型 2.4: 数列 Snn 问题
知识梳类
若等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,公 差为 d ,则 Snn 为等差数列,公差为 d2 .
例题解
例 1 等差数列 an 中, a1=2016 ,其前 n 项和 为 Sn ,若 2017S2016−2016S2017=2016× 2017,则 S2016 的值等于 ( )
A. 2018 B. 2017
C. 2016 D. 2015
例 2 (2013 全国 I 7) 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,Sm−1=−2,Sm=0,Sm+1=3 ,则 m=
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
强化练
1. 等差数列 an 中, Sn 是其前 n 项和, a1= −9,S99−S77=2 ,则 S10=
A. 0 B. -9
C. 10 D. -10
2. (2023 新高考 I 7) 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和,设甲: an 为等差数列; 乙: Snn 为等 差数列, 则 ( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件
题型 2.5 : 等差数列函数性质
知识梳理
1. 等差数列的单调性
(1) 通过 d 判定,当 d>0 时, an 为递 增数列; 当 d0 的 等差数列 an 的四个命题:
p1 : 数列 an 是递增数列;
p2 : 数列 nan 是递增数列;
p3 : 数列 ann 是递增数列;
p4 : 数列 an+3nd 是递增数列.
其中的真命题是 ( ) A. p1,p2 B. p3,p4
C. p2,p3 D. p1,p4
例 2 (2022 北京 6 ) 设 an 是公差不为 0 的无 穷等差数列,则 “ an 为递增数列” 是 “存在正 整数 N0 ,当 n>N0 时, an>0 的” ( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
例 3 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn , a1>0,S5=S12 ,则当 n= 最大.
例 4 (2014 江西 13) 在等差数列 an 中, a1=7 ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,当且仅当 n=8 时 Sn 取最大值,则 d 的取值范围 为
例 5 设 an 是等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 S5S8 . 则下列四个结论中正 确的有
(1) dS5 ; (4) S6 与 S7 均为 Sn 的最大值.例 6 (2018 全国 II 17) 记 Sn 为等差数列 an
的前 n 项和,已知 a1=−7,S3=−15 .
(1) 求 an 的通项公式;
(2) 求 Sn ,并求 Sn 的最小值.
强化练习
1. (2014 辽宁 8 ) 设等差数列 an 的公差为 d , 若数列 2a1an 为递减数列,则
A. d0
C. a1d0
2. (2014 北京 12) 若等差数列 an 满足 a7+a8+ a9>0,a7+a100 的最大的 n 为 15 ; (3)若 S15>0 , S160 的等比数 列 an 的前 n 项和为 Sn . 若 S2=3a2+2 , S4=3a4+2 ,则 q=
强化练习
1. (2019 全国 I 14) 记 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和. 若 a1=13,a42=a6 ,则 S5=
2. (2015 全国 II 9) 已知等比数列 an 满足 a1=14,a3a5=4a4−1 ,则 a2=
A. 2 B. 1
C. 12 D. 189. (2018 全国 III) 等比数列 an 中, a1=1 , a5=4a3.
(1) 求 an 的通项公式;
(2) 记 Sn 为 an 的前 n 项和. 若 Sm=63 ,求 m 的值.
10. (2020 山东 18) 已知公比大于 1 的等比数 列 an 满足 a2+a4=20,a3=8 .
(1) 求 an 的通项公式;
(2) 记 bm 为 an 在区间 (0,m]m∈N* 中 的项的个数,求数列 bm 的前 100 项 和 S100 .
题型 4: 等比数列性质应用
题型 4.1 : 等比中项性质
知识梳理
若数列 an 为等比数列,其前 n 项积 为 An ,则有:
(1) 若 m+n=p+q=2w ,则 am⋅an= ap⋅aq=aw2;
(2) A2n−1=an2n−1 .
例题解
例 1 (2010 北京 2) 在等比数列 an 中, a1= 1,公比 q≠1 . 若 am=a1a2a3a4a5 ,则 m= ( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 例 2 (2014 广东 13) 若等比数列 an 的各项
均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5 ,则 lna1+ lna2+⋯+lna20=
例 3 (2012 全国 5) 已知 an 为等比数列, a4+ a7=2,a5a6=−8 ,则 a1+a10=
A. 7 B. 5 C. -5 D. -7
强化练习
1. (2012 广东 12) 若等比数列 an 满足 a2a4= 12 ,则 a1a32a5=
2. (2014 广东 13) 等比数列 an 的各项均为正 数,且 a1a5=4 ,则 lg2a1+lg2a2+lg2a3+ lg2a4+lg2a5=3. (2015 安徽 14) 已知数列 an 是递增的等比 数列, a1+a4=9,a2a3=8 ,则数列 an 的前 n 项和等于
题型 4.2 : 等比数列片段和问题
知识梳理
若等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,公 比为 q ,则 Sn,S2n−Sn,S3n−S2n,⋯ 成等比 数列,公比为 qn (当 q=−1 时, n 不为 偶数).
例题解
例 1 (2021 全国甲 9) 记 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和. 若 S2=4,S4=6 ,则 S6= ( )
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
例 2 (2023 新高考 II 8 ) 记 Sn 为等比数列 an
的前 n 项和,若 S4=−5,S6=21S2 ,则 S8= ( )
A. 120 B. 85 C. -85 D. -120
强化练之
1. (2009 辽宁 6 ) 设等比数列 an 的前 n 项和 为 Sn ,若 S6S3=3 ,则 S9S6 等于 ( )
A. 2 B. 73
C. 83 D. 3 2. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 S4= 2,S12=14 ,则 S8=
题型 4.3 : 等比数列函数性质
知识梳理
等比数列的单调性
当 a1>0,q>1 或 a10 ,若对任意的 x∈0,+∞ ,不 等式 emx−lnxm≥0 恒成立,则 m 的最小值 为
A. 1e B. 12e C. 2e D. e3
例 2 当 x>0 时,不等式 exx+alnx+e2≥ax 恒 成立,则实数 a 的取值范围为 例 3 已知函数 fx=xex−1 .
(1) 求函数 fx 的单调区间;
(2) 若 x>0 ,证明: lnx+1x>fx .例 4 (2020 山东 21) 已知函数 fx=aex−1− lnx+lna .
(1) 当 a=e 时,求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线与两坐标轴围成的 三角形的面积;
(2) 若 fx≥1 ,求 a 的取值范围.
强化练:
1. 已知 x∈0,1e ,关于 x 的不等式 ax3eax+ 2lnx≤0 恒成立,则实数 a 的最大值为 .
2. 设函数 fx=xex−ax+lnx ,若 fx≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( )
A. 0,e B. [0,1]
C. (−∞,e] D. [e,+∞) 3. 已知函数 fx=xeax .
(1) 求函数 fx 的极值;
(2) 当 a=1 时,若 fx−lnx−bx≥1 恒成 立,求实数 b 的取值范围.
4. 已知函数 fx=lnx−ex+ea−1x+ aa∈R .
(1) 当 a=0 时,证明: fx+21 . 例 2 (2016 山东 20) 已知 fx=ax−lnx+ 2x−1x2,a∈R .
(1) 讨论 fx 的单调性;
(2) 当 a=1 时,证明 fx>f′x+32 对于 任意的 x∈[1,2] 成立.
强化练之
1. 已知函数 fx=x+1ex .
(1) 求函数 fx 的最大值;
(2) 设 gx=1−x−xlnxfx ,证明: 对 任意 x>0,gx2x0 ”解题模板如下:
(1) 欲证 x1+x2>2x0 ,只需证 x2> 2x0−x1 ;
(2) 结合 fx 的单调性,只需证 fx2> f2x0−x1或< ;
(3) 结合 fx1=fx2 ,只需证 fx1> f2x0−x1 (或 f2x0−x1 (或く),得证.
4. 解法二 (比值或差值换元): 令 t=x2x1 或 t=x2−x1 ,变成单变量问题进行求解. 常会涉及对数平均不等式 a+b2> b−alnb−lna>ab (注意: 对数平均不等式在 解答题中不可直接使用, 需要用比值换元 的方法证明, 证明过程参考例题). 题型 28 : 双变量问题
知识梳理
1. 双变量问题解题思想: 消元思想, 即 双变量变为单变量.
2. 题型分类:
(1) 极值点偏移;
(2)切线夹;
(3) 同构转化;
(4) 双极值点问题.
例题解
例 1 (2020 天津 21.2 改) 已知函数 fx= ex−ax 有两个零点 x1,x2 ,求证: x1+x2>2 .
例 2 已知函数 fx=lnx−ax 有两个零点 x1,x2 ,求证: x1⋅x2>e2 . 例 3 设函数 fx=12x2−a−1x−alnx .
(1) 讨论 fx 的单调性;
(2) 若 fx=b 有两个不相等的实数根 x1< x2 ,求证: f′x1+x22>0 .
例 4 (2022 全国甲 21) 已知函数 fx=exx−
lnx+x−a .
(1) 若 fx≥0 ,求 a 的取值范围;
(2) 证明: 若 fx 有两个零点 x1,x2 ,则 x1⋅ x20 有两个零点 x1,x2 . 证明: x1+x21 .
(1) 讨论函数 fx 的单调性;
(2) 求证: 若 a−1 .
题型 28.4 : 双极值点问题
知识梳理
方法: 通过韦达定理进行消元, 转化为 关于 x1/x2/a 的函数.
例题解析
例 1 已知函数 fx=ln1x−ax2+xa>0 .
(1) 若 fx 是定义域上的单调函数,求 a 的 取值范围;
(2) 若 fx 在定义域上有两个极值点 x1 , x2 ,证明: fx1+fx2>3−2ln2 . 例 2 (2018 全国 I 21) 已知函数 fx=1x− x+alnx .
(1) 讨论 fx 的单调性;
(2) 若 fx 存在两个极值点 x1,x2 ,证明:
fx1−fx2x1−x20 ,求 a 的取值范围. 3. 已知函数 fx=x2−mx+2lnxm∈R .
(1) 若 fx 在其定义域内单调递增,求实数 m 的取值范围;
(2) 若 4lnn+1 ;
(2) 证明: 12+13+⋯+1n+10 时,若关于 x 的不等式 fx≥0 恒成立,求 a 的取值范围;
(2) 当 n∈N* 时,证明: n2n+4lnn+1.
题型 30 : 三角函数与导数
知识梳理
含三角的导数问题解法:
(1) 直接法: 与解决其他函数的方法 相同;
(2) 放缩法: 可利用 x≥sinxx≥0 或 者 −1≤sinx≤1 进行放缩,变成不含三角 的函数;
(3) 分段讨论: 即把定义域分成若干个 区间段分别讨论.
例题解析
例 1 (2019 全国I20) 已知函数 fx=2sinx− xcsx−x,f′x 为 fx 的导数.
(1) 证明: f′x 在区间 0,π 存在唯一零点;
(2) 若 x∈[0,π] 时, fx≥ax ,求 a 的取值 范围. 例 2 已知函数 fx=2lnx+1+sinx+1 .
(1) 证明: 当 x≥0 时, fx≤3x+1 ;
(2) 证明: 当 x>−1 时, fx−5π4 时, fx≥0 ;
(2) 若 gx≥2+ax ,求 a .
第十三章 计数原理
第一节 排列组合
知识梳理
1. 基本计数原理:
(1) 分类加法计数原理: 完成一件事, 如果有 n 类办法,且: 第一类办法中有 m1 种不同的方法,第二类办法中有 m2 种不同 的方法……第 n 类办法中有 mn 种不同的方 法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+⋯+ mn 种不同的方法;
(2) 分步乘法计数原理: 完成一件事, 如果需要分成 n 个步骤,且: 做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同 的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=m1×m2×⋯× mn 种不同的方法.
2. 排列:
(1)排列概念: 从 n 个不同对象中,任 取 mm≤n 个对象,按照一定的顺序排成 一列,称为从 n 个不同对象中取出 m 个对 象的一个排列. 特别地, m=n 时的排列称 为全排列;
(2) 排列数: 从 n 个不同对象中取 出 m 个对象的所有排列的个数,称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的排列数,用 符号 Anm 表示,其中 m,n∈N* ,且 m≤n ; (3) 排列数公式: Anm=nn−1n−2⋯ n−m+1 ;
(4) 阶乘: Ann=n×n−1×⋯×2× 1,等式右边可简写为 n ! (读作 n 的阶 乘),即 Ann=n! ,则有 Anm=n!n−m! . 规定 0!=1, An0=1 .
3. 组合:
(1) 组合概念: 从 n 个不同对象中取出 mm≤n 个对象并成一组,称为从 n 个不 同对象中取出 m 个对象的一个组合;
(2) 组合数: 从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有组合的个数,称为从 n 个不同 对象中取出 m 个对象的组合数,用符号 Cnm 表示,其中 m,n∈N* ,且 m≤n ;
(3)组合数公式:
Cnm=Anm Amm=nn−1n−2⋯n−m+1m×m−1×⋯×2×1 =n!n−m!m!;
(4) 组合数性质: Cn0=Cnn=1,Cnm= Cnn−m,Cn+1m+1=Cnm+Cnm+1 (口诀: n 降 m 降不 降).
4. 方法总结:
(1) 特殊优先法: 解决特元特位问题;
(2) 捆绑法: 解决相邻问题;
(3)插空法: 解决不相邻问题;
(4) 除序法: 解决相同、定序、平均分组 问题;
(5) 挡板法: 解决无差异分组分配 问题;
(6)排除法:解决正面求解复杂问题;
(7) 列举法: 解决情况少且规律不强问题.
题型 1:排列组合的定义及公式
例题解
例 1 (1) A63=
(3) 2 A85+7 A84 A88−A95=
例 21C52=
(2) 7C63−4C74=
(3) C55+C65+C75+C85+C95=
例 3 某校举行排球赛, 每两个队赛一场, 有 8 个球队参加,共需比赛_场.
例 4 考生甲填报某高校专业意向, 打算从 5 个专业中挑选 3 个, 分别作为第一、第二、第 三志愿,则不同的填法有
A. 10 种 B. 60 种
C. 125 种 D. 243 种
例 5 将 6 名同学排成两排, 每排 3 人, 则不同 的排法的种数为 ( )
A. 36 B. 120 C. 720 D. 144
强化练习
1. (1) A53=
(3) 3 A65−A642 A64−A63=
2. (1) C62=
(2) C106−C73⋅A33=
(3) C73+C74+C85+C96=
3. 从 7 人中选出 3 人参加座谈会, 则不同的选 法有 ( )
A. 210 种 B. 42 种
C. 35 种 D. 6 种
4. 将 2 位新同学分到 4 个班中的 2 个班, 分法 种数为 ( )
A. 4 B. 12
C. 6 D. 24
5. (2015 广东 12) 某高三毕业班有 40 人, 同学 之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那 么全班共写了条毕业留言.
题型 2: 分类与分步
知识梳理
1. 分类加法计数原理: 完成一件事, 如 果有 n 类办法,且: 第一类办法中有 m1 种 不同的方法,第二类办法中有 m2 种不同的 方法……第 n 类办法中有 mn 种不同的方 法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+⋯+ mn 种不同的方法.
2. 分步乘法计数原理: 完成一件事, 如 果需要分成 n 个步骤,且: 做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方 法……做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么 完成这件事共有 N=m1×m2×⋯×mn 种 不同的方法.
例题解
例 1 (2014 大纲 5) 有 6 名男医生、 5 名女医 生, 从中选出 2 名男医生、 1 名女医生组成 一个医疗小组,则不同的选法共有
A. 60 种 B. 70 种
C. 75 种 D. 150 种
例 2 (2012 全国 2) 将 2 名教师、 4 名学生分成 2 个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社会 实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生 组成, 不同的安排方案共有 ( )
A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种
例 3 (2016 全国 II 5) 如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位 于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明 到老年公寓可以选择的最短路径条数 为
A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 例 4 (2023 新高考 I 13) 某学校开设了 4 门体 育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从 这 8 门课中选修 2 门或 3 门课, 并且每类选 修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有 种. (用数字作答)
例 5 (2023 全国甲 9)现有 5 名志愿者报名参 加公益活动, 在某一星期的星期六、星期日 两天, 每天从这 5 人中安排 2 人参加公益活 动, 则恰有 1 人在这两天都参加的不同安排 方式共有 ( )
A. 120 种 B. 60 种
C. 30 种 D. 20 种
例 6 一次演唱会上共有 10 名演员, 其中 8 人 能唱歌, 5 人能跳舞, 现要演出一个 2 人唱 歌、 2 人伴舞的节目, 选派方法有 种.
强化练习
1. 现有 10 名教师, 其中男教师 6 名, 女教师 4 名. 现要从中选出男、女教师各 2 名去参加 会议,则不同的选法有_种.
2. (2017 天津 14) 用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字, 且至多有一个数字是偶数 的四位数, 这样的四位数一共有 个.
3. (2009 全国 I 5) 甲组有 5 名男同学, 3 名女 同学; 乙组有 6 名男同学, 2 名女同学. 若从 甲、乙两组中各选出 2 名同学, 则选出的 4人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 ( )
A. 150 种 B. 180 种
C. 300 种 D. 345 种
4. (2023 全国乙 7) 甲、乙两位同学从 6 种课外 读物中各自选读 2 种, 则这两人选读的课外 读物中恰有 1 种相同的选法共有 ( )
A. 30 种 B. 60 种
C. 120 种 D. 240 种
5. 将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所 示的 16 个小方格内, 每个小方格内至多填 1 个字母, 若使各字母既不同行也不同列, 则不同的填法共有_种.
6. 某篮球队共 10 名队员, 其中 4 名只会打前 锋, 另 4 名只能打后卫, 其余 2 名是全面手, 现派 5 名队员上场, 要求 3 人是前锋, 2 人 是后卫, 有 种选派方法.
题型 3: 可重复问题
知识梳理
将 m 个不同的元素没有限制地放在 n 个位置上,不同的排列方法有 nm 种.
例题解:
例 14 件物品放人 3 个抽屉中, 共有 种不同放法. 例 25 名运动员参加射击、游泳、长跑三项比 赛, 各设一名冠军, 则三个冠军获得者的结 果有 种.
例 3 (2014 浙江 14) 在 8 张奖券中有一、二、 三等奖各 1 张, 其余 5 张无奖. 将这 8 张奖 券分配给 4 个人, 每人 2 张, 不同的获奖情 况有 种.
强化练习
1. 有 5 个不同的科研小课题, 有 3 个学习兴趣 小组报名参加, 每组限报一项, 则不同的安 排方法有_种.
2. 5 名学生从 3 项体育项目中选择参赛, 若每 一名学生只能参加一项, 则不同的参赛方法 有 种.
3. (2011 北京 12) 用数字 2,3 组成四位数, 且 数字 2,3 至少都出现一次, 这样的四位数共 有 个.
题型 4: 特元特位问题 (特殊优先法)
知识梳理
特元特位问题, 即涉及特殊元素或特 殊位置的问题, 有以下三种方法:
(1)元素优先法: 先排特殊元素, 再排 普通元素;
(2)位置优先法:先排特殊位置, 再排 普通位置;
(3)排除法: 先不考虑限制条件, 求出结 果, 再减去不符合要求的情况的数量.
例题解
例 1 (2012 大纲 7) 6 名选手依次演讲, 其中选 手甲不在第一个也不在最后一个演讲, 则不 同的演讲次序共有 ( )
A. 240 种 B. 360 种
C. 480 种 D. 720 种
例 2 由 0,1,2,3,4,5,6 这 7 个数字可组成无 重复数字的四位偶数的个数为
例 3 某次志愿者活动需要从 6 名同学中选出 4 人负责 A,B,C,D 四项工作 (每人负责一 项),若甲、乙均不能负责 D 项工作,则不同 的选择方案有 ( )
A. 240 种 B. 144 种
C. 96 种 D. 300 种
例 4 (2014 四川 6) 6 个人从左至右排成一行, 最左端只能排甲或乙, 最右端不能排甲, 则 不同的排法共有 ( )
A. 192 种 B. 216 种
C. 240 种 D. 288 种
例 5 (2018 浙江 16) 从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6 中任取 2 个数字,一共 可以组成______个没有重复数字的四 位数.
例 65 个人站成一排, 其中甲不站排头, 乙不 站排尾,则不同的排法有_种. 例 7 (2010 湖北 8 ) 现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动, 每 人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之 一, 每项工作至少有一人参加. 甲、乙不会开 车但能从事其他三项工作, 丙、丁、戊都能胜 任四项工作, 则不同安排方案的种数 是
A. 152 B. 126
C. 90 D. 54
强化练
1. 5 个人排队, 甲、乙均不站在两端, 则不同的 排法有_____ 种.
2. (2016 四川 4) 用数字 1,2,3,4,5 构成没有 重复数字的五位数, 其中奇数的个数为 ( )
A. 24 B. 48
C. 60 D. 72
3. 有语文、数学、外语、物理、化学、生物 6 门课 程, 从中选 4 门安排在上午的 4 节课中, 其 中化学不排在第四节, 不同的安排方法有 种.
4. (2010 山东 8 ) 某台小型晚会由 6 个节目组 成, 演出顺序有如下要求: 节目甲必须排在 前两位、节目乙不能排在第一位, 节目丙必 须排在最后一位, 该台晚会节目演出顺序的 编排方案共有 ( )
A. 36 种 B. 42 种
C. 48 种 D. 54 种5. 有 4 名优秀学生 A,B,C,D 全被保送到甲、 乙、丙 3 所学校, 每所学校至少去一名, 且 A 生不去甲校,则不同的保送方案有
A. 24 种 B. 30 种
C. 36 种 D. 48 种
6. 5 个人排成一排, 其中甲、乙两人至少有一 人站在两端的排法种数为 ( )
A. A33 B. 4 A33
C. A55−A32 A33 D. A22 A33+A21 A31 A33
7. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共 5 名教师去 3 个 边远学校支教, 每学校至少 1 人, 其中甲和乙 必须在同一学校, 甲和丙一定在不同学校, 则 不同的选派方案共有 种.
题型 5 : 相邻问题 (捆绑法)
知识梳理
捆绑法: n 个不同的元素排成一列,其 中有 m 个元素相邻,先将 m 个相邻元素捆 在一起进行排列,有 Amm 种排法. 将这 m 个 相邻元素看成一个新元素,与剩下的 (n− m) 个元素进行排列,有 An−m+1n−m+1 种排法. 由 分步乘法计数原理,共有 Amm An−m+1n−m+1 种不同 的排法.
例题解析
例 17 个人排队, 甲、乙相邻, 丙、丁相邻, 不 同的排法有_种. 例 2 (2022 新高考I5) 甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学 站成一排参加文艺汇演, 若甲不站在两端, 丙 和丁相邻, 则不同的排列方式共有 ( )
A. 12 种 B. 24 种
C. 36 种 D. 48 种
例 3 包括甲、乙、丙三人在内的 6 个人站成一 排, 则甲与乙、丙都相邻且乙不站两端的排 法有 ( )
A. 32 种 B. 36 种
C. 42 种 D. 48 种
例 4 把编号为 1,2,3,4,5,6,7 的 7 张电影票 分给甲、乙、丙、丁、戊五个人, 每人至少分一 张, 至多分两张, 且分得的两张票必须是连 号, 那么不同分法的种数为
例 5 一排 8 个车位, 停 5 辆不同的车, 每个车 位至多停 1 辆车. 不停车的 3 个空位相邻的 停法有_种.
强化练习
1. 7 个人排队, 甲、乙、丙相邻且都不在两端, 不同的排法有_种.
2. (2012 辽宁 5 ) 一排 9 个座位坐了 3 个三口 之家, 若每家人坐在一起, 则不同的坐法有 ( ) 种
A. 3×3 ! B. 3×3!3
C. 3!4 D. 9!3. 7 名同学站成一排照毕业留念照, 其中甲必 须站在正中间,并且乙、丙两位同学要站在 一起, 则不同的排法有 ( )
A. 240 种 B. 192 种
C. 120 种 D. 96 种
4. 某岗位安排 3 名职工从周一到周五值班, 每 天只安排一名职工值班, 每人至少安排一 天, 至多安排两天, 且这两天必须相邻, 那么 不同的安排方法有 ( )
A. 10 种 B. 12 种
C. 18 种 D. 36 种
5. 一排 8 个车位, 停 5 辆不同的车, 每个车位 至多停 1 辆车. 停车的 5 个车位相邻的停法 有 种.
题型 6 : 不相邻问题 (插空法)
知识梳
插空法: n 个不同的元素排成一列,其 中有 m 个元素不相邻,先排没有要求的 n−m 个元素,有 An−mn−m 种排法. 这 n−m 个元素形成了 n−m+1 个空位,将 m 个 不相邻的元素插在空位上,有 An−m+1m 种排 法. 由分步乘法计数原理,共有 An−mn−m An−m+1m 种不同的排法.
例题解
例 1 一台晚会的节目由 3 个舞蹈、 2 个相声和 2 个独唱组成, 舞蹈节目不能连续出场, 则 节目的出场顺序有_种. 例 2 (2014 辽宁 6) 6 把椅子摆成一排, 3 人随 机就座, 任何两人不相邻的坐法种数 为
A. 144 B. 120 C. 72 D. 24
例 37 个人排成一排, 其中甲、乙、丙三人相邻, 丁、戊两人不能相邻的排法有_种.
例 4 (2008 安徽 12) 12 名同学合影, 站成前排 4 人后排 8 人, 现摄影师要从后排 8 人抽 2 人调到前排, 若其他人的相对顺序不变, 则 不同的调整方式的种数是
例 5 (2014 北京 13) 把 5 件不同产品摆成一排, 若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻, 则不同的排法有_种.
强化练习
1. (2013 大纲 14) 6 人排成一行, 其中甲、乙两人 不相邻的不同的排法共有_____种.
2. 楼道里有 12 盏相同的灯, 为了节约用电, 需 关掉 3 盏不相邻的灯, 则关灯方案有 ( )
A. 72 种 B. 84 种
C. 120 种 D. 168 种
3. 7 个人排成一排, 甲、乙两人相邻且都不与 丙相邻, 不同的排法有_种.4. 7 人站成两排队列, 前排 3 人, 后排 4 人, 现 将甲、乙、丙三人加人队列, 前排加一人, 后 排加两人, 其他人保持相对位置不变, 则不 同的加人方法的种数为 ( )
A. 120 B. 240
C. 360 D. 480
5. (2014 重庆 9 ) 某次联欢会要安排 3 个歌舞 类节目、 2 个小品类节目和 1 个相声类节目 的演出顺序, 则同类节目不相邻的排法种数 是
A. 72 B. 120
C. 144 D. 3
题型 7: 相同与定序问题 (除序法)
知识梳理
1. 对于求解 “ n 个元素排成一列,其中 有 m 个元素相同或顺序固定的排法”的问 题, 常用以下两种方法:
(1) 除序法: 先假设 m 个元素不同或 顺序不固定,则有 Ann 种排法. 其中这 m 个 元素之间排了 Amm 次,但这部分不需要排 列,故实际的排法种数为 Ann Amm .
(2) 直接选排: 先将 n−m 个不同的 元素排在 n 个位置上,有 Ann−m 种排法,再 将 m 个相同或顺序固定的元素放在剩余 的空位上,有 1 种排法, 根据分步乘法计数 原理,共有 Ann−m 种不同的排法.
2. 说明: 本节主要使用除序法求解.
例题解:
例 1 (2006 江苏 13) 今有 2 个红球, 3 个黄球, 4 个白球, 同色球不加以区分, 将这 9 个球 排成一列有 种不同的方法.
例 2 (2011 全国 II 7) 某同学有同样的画册 2 本, 同样的集邮册 3 本, 从中选出 4 本赠送 给 4 位朋友, 每位朋友 1 本, 则不同的赠送 方法共有 ( )
A. 4 种 B. 10 种 C. 18 种 D. 20 种
例 3 (2006 湖北 14) 某工程队有 6 项工程需 要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成 后进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进 行, 又工程丁必须在工程丙完成后立即进 行, 那么安排这 6 项工程的不同排法种数是 .
例 4 (2013 浙江 14) 将 A,B,C,D,E,F 六个 字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不 同的排法共有_种.
强化练
1. 计算机通常使用若干个数字 0 和 1 排成一 列来表示一个物理信号, 现有 4 个 “ 0 ” 和 4 个“ 1 ”排成一列, 那么用这 8 个数字排成一 列能表示的物理信号的个数是 ( )
A. 140 B. 110 C. 70 D. 602. 一个 6×6 的表格,放有 3 辆完全相同的红 车和 3 辆完全相同的黑车, 每辆车占 1 格, 每行每列只有 1 辆车, 放法种数为 ( )
A. 720 B. 20
C. 518400 D. 14400
3. 2 名教师和 3 名学生站成一排, 教师随意 站, 学生按身高从高到低排列, 不同排法种 数为
4. 元宵节灯展后, 如图悬挂有 6 盏不同的花灯 需要取下, 每次取 1 盛, 共有 种不 同取法.
题型 8 : 差异分组分配问题
知识梳理
差异分组分配问题有以下三种情况:
(1)平均分组分配: 选完已排序(如:6 本不同的书平均分给甲、乙、丙三人, 有 C62C42C22 种排法);
(2)不平均分组分配: 选完未排序(如: 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人, 其中一 个人分 1 本, 一个人分 2 本, 一个人分 3 本,有 C61C52C33 A33 种排法);
(3)部分平均分组分配: 选完部分排序 (如:6 本不同的书分给甲、乙、丙三人,其 中一个人分 4 本, 另外两个人各分 1 本, 有 C64C21C11 A22 A33 种排法,也可直接 C64 A33 ).
例题解
例 1 (2020 山东 3) 6 名同学到甲、乙、丙三个 场馆做志愿者, 每名同学只去 1 个场馆, 甲 场馆安排 1 名, 乙场馆安排 2 名, 丙场馆安 排 3 名, 则不同的安排方法共有 ( )
A. 120 种 B. 90 种
C. 60 种 D. 30 种
例 2 (2012 全国 2) 将 2 名教师、 4 名学生分成 2 个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社会 实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生 组成, 不同的安排方案共有 ( )
A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种
例 3 (2021 全国乙 6) 将 5 名北京冬奥会志愿 者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训,每名志愿者只分配到 1 个 项目, 每个项目至少分配 1 名志愿者, 则不 同的分配方案共有 ( )
A. 60 种 B. 120 种
C. 240 种 D. 480 种
例 4 (2010 江西 14) 将 6 位志愿者分成 4 组, 其中两个组各 2 人, 另两个组各 1 人, 分赴 世博会的 4 个不同场馆服务, 不同的分配方 案有 种.
例 5 某高校数学系博士研究生 5 人, 现每人 可以从《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙 子算经》《缀术》这五部著作中任意选择一部 进行课题研究, 则恰有两部没有任何人选择 的情况有_种.
强化练
1. (2010 全国 II 9 ) 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放人 3 个不同的信封中, 若每个信封 放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放人同一信 封, 则不同的方法共有 ( )
A. 12 种 B. 18 种
C. 36 种 D. 54 种
2. 将某师范大学 4 名大学四年级学生分成 2 人一组,安排到 A 城市的甲、乙两所中学进 行实习, 并选择张老师或李老师作为指导教 师, 则不同的实习安排方案共有 ( )
A. 24 种 B. 12 种
C. 6 种 D. 10 种
3. (2020 全国 II 14) 4 名同学到 3 个小区参加 垃圾分类宣传活动, 每名同学只去 1 个小 区, 每个小区至少安排 1 名同学, 则不同的 安排方法共有 种.
4. 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班 实习, 每班至少 1 名, 最多 2 名, 则不同的分 配方案有 ( )
A. 30 种 B. 90 种
C. 180 种 D. 270 种
5. 5 名志愿者到 3 个不同的地方参加义务植 树, 则每个地方至少有一名志愿者的方案共 有 种.
题型 9: 无差异分组分配问题 (挡板法)
知识梳理
挡板法: 无差异分组分配问题使用挡 板法, 有以下两种情况:
(1) 对于“将 n 个相同的物品分给 m 个 人,每人至少分一个物品”的问题,可将 n 个物品排成一排,中间共有 n−1 个空隙, 将 m−1 块板插入空隙中 (板不能相邻), 即可将 n 个物品分成 m 份,按顺序分给 m 个人即可,共有 Cn−1m−1 种分法;
(2) 对于“将 n 个相同的物品分给 m 个 人,可以有人不分”的问题,可先额外增加 m 个物品,即可变成“将 m+n 个相同的物 品分给 m 个人,每人至少分一个物品”的问 题,由 (1) 可知,共有 Cm+n−1m−1 种分法.
例题解析
例 1 教育局将 11 个夏令营指标分配给 8 所 学校, 每校至少获得 1 个指标的分配方法共 有 种.
例 26 本相同的书分给甲、乙、丙三人, 只需 把书分完即可, 不需要每人都分到, 不同的 分法有 种.
例 3 有 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子,将 20 个 相同的小球放人这 4 个盒子中, 要求每个盒 内的球数不少于它的编号数, 不同的放法有 种.
强化练
1. 有 10 级台阶,一次每步跨上一级、二级或三 级, 共 7 步走完, 则不同的走法种数 是
2. 将 10 个相同的球分给 3 位同学, 只需把球 分完即可,不需要每人都分到,不同的分法 有 种.
3. 将 8 本相同的书分给甲、乙、丙三人, 每人至 少两本, 分法有 种.
题型 10 : 正面求解复杂问题 (排除法)
知识梳理
1. 排除法: 针对“正面求解复杂问题”, 我们可以使用排除法, 即先不考虑限制条 件,求出结果,再减去不符合要求的情况的 数量.
2. “至多至少问题”“限制条件较多问 题” 常使用排除法.
例题解
例 1 (2018 全国 I 15) 从 2 位女生、 4 位男生 中选 3 人参加科技比赛, 且至少有 1 位女生 人选,则不同的选法共有_种.
例 2 (2017 浙江 16) 从 6 男 2 女共 8 名学生 中选出队长 1 人, 副队长 1 人, 普通队员 2 人组成 4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有_种不同的选法. 例 3 (2015 上海 8) 在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中, 选取 5 人参加义务献血, 要求 男、女教师都有, 则不同的选取方式的种数 为
例 4 (2013 山东 10 ) 用 0,1,⋯,9 十个数字, 可以组成有重复数字的三位数的个数 为
A. 243 B. 252
C. 261 D. 279
例 5 某学校组织学生外出踏青, 4 位男生和 3 位女生站成一排合影留念, 男生甲和乙要求 站在一起, 3 位女生不全站在一起, 则不同 的站法种数是 ( )
A. 964 B. 1080
C. 1152 D. 1296
强化练习
1. (2010 全国 I 15) 某学校开设 A 类选修课 3 门, B 类选修课 4 门,一位同学从中选 3 门, 若要求 2 类课程中至少选一门, 则不同的选 法共有_种.
2. 5 个人排成一排, 其中甲、乙两人至少有一 人站在两端的排法种数为 ( )
A. A33 B. 4 A33
C. A55−A32 A33 D. A22 A33+A21 A31 A33
3. 从 4 名男生和 3 名女生选出 4 人担任全运 会志愿者, 若选出的 4 人中既有男生又有女 生, 则不同的选法共有_种.4. (2014 浙江 14) 在 8 张奖券中有一、二、三等 奖各 1 张, 其余 5 张无奖. 将这 8 张奖券分 配给 4 个人, 每人 2 张, 不同的获奖情况 有 种.
5. (2009 湖北 5 ) 将甲、乙、丙、丁四名同学分到 三个不同的班,每个班至少分到一名学生, 且甲、乙两名学生不能分到同一个班, 则不 同分法的种数为 ( )
A. 18 B. 24
C. 30 D. 36
题型 11: 情况少且规律不强问题 (列举法)
知识梳理
列举法: 对于“情况少且规律不强问 题”,可以使用列举法,即把所有情况(或部 分情况) 一一列举出来, 列举时可借助图 表.
例题解:
例 1 将编号为 1,2,3,4,5,6 的六个小球放人 编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子,每个盒子 放一个小球, 若有且只有三个盒子的编号与 放人的小球编号相同, 则不同的放法种数 是
A. 40 B. 60
C. 80 D. 100
例 2 有 4 名同学在同一天参加“身高与体重” “立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项 目的测试, 每位同学测试两个项目, 分别在 上午和下午, 且每人上午和下午测试的项目 不能相同. 若上午不测“握力”, 下午不测“台 阶”, 其余项目上午、下午都各测试一人, 则 不同的安排方式的种数为 ( )
A. 264 B. 72
C. 266 D. 274
强化练
1. (2012 大纲 11) 将字母 a,a,b,b,c,c 排成三 行两列, 要求每行的字母互不相同, 每列的 字母也互不相同, 则不同的排列方法共 有( )
A. 12 种 B. 18 种
C. 24 种 D. 36 种
2. (2013 福建 5) 满足 a,b∈{−1,0,1,2} ,且关 于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有 序数对 a,b 的个数为
A. 14 B. 13
C. 12 D. 10
题型 12 : 涂色问题
知识梳理
涂色问题有以下两种方法:
(1)直接法:针对结构简单问题,可以 依次涂色;
(2)分类讨论法: 针对结构复杂问题, 可以任意选取两块不相邻的区域, 讨论其 是否同色, 然后依次涂色.
例题解
例 1 (2007 天津 16) 用 6 种不同的颜色给图 中的 4 个格子涂色, 每个格子涂 1 种颜色, 要 求最多使用 3 种颜色, 且相邻的两个格子颜色 不同,则不同的涂色方法共有种.
例 2 (2008 全国 I 12) 如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花可供选 种, 要求在每块地里种 1 种花, 且相邻的 2 块地种不同的花, 则不同的种法总数 为
A. 96 B. 84
C. 60 D. 48
例 3 (2003 全国 15) 如图所示,一个地区分为 5 个行政区域, 现给地图染色, 要求相邻区域不 得使用同一种颜色. 现有 4 种颜色可供选择, 则不同的染色方法共有_____种.
强化练习
1. (2003 河南 16) 将 3 种作物种植在如图所示 的 5 块试验田里, 每块种植一种作物且相邻 的试验田不能种植同一作物, 不同的种植方 法共有_种.
2. 用 6 种不同的颜色把图中 A,B,C,D 四块 区域分开, 若相邻区域不能涂同一颜色, 则 不同的涂法共有_种.
3. 用 5 种不同的颜料给 4 块区域 A,B,C,D 涂色, 要求共边两块区域颜色互异, 则不同 的涂法共有_____种.
题型 13: 数字问题
知识梳理
数字问题是比较常见的问题,涉及多 种方法,这些方法在之前的题型中均已讲 过, 本节是将数字问题进行汇总练习, 部分 题目在之前已做过.
例题解
例 利用 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字解下列问题.
(1) 可组成多少个四位密码?
(2) 可组成多少个无重复数字的四位密码?
(3) 可组成多少个四位数?
(4) 可组成多少个无重复数字的四位数?
(5) 可组成多少个有重复数字的四位数?
(6) 可组成多少个无重复数字的四位奇数?
(7) 可组成多少个无重复数字的四位偶数?
(8) 可组成多少个无重复数字且能被 5 整 除的四位数?
(9) 可组成多少个无重复数字且各位数字 之和为偶数的四位数?
(10) 可组成多少个无重复数字且比 4210 大的四位数?
(11) 组成的无重复数字的四位数中, 按从 小到大的顺序, 第 75 个数是多少?
强化练
1. 由 0,1,2,3,4,5,6 这七个数字可组成无重 复数字的四位偶数的个数为
2. (2013 山东 10 ) 用 0,1,⋯,9 十个数字,可以 组成有重复数字的三位数的个数为 ( )
A. 243 B. 252 C. 261 D. 279
3. (2017 天津 14) 用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字, 且至多有一个数字是偶数 的四位数, 这样的四位数一共有 个.
4. (2018 浙江 16) 从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数 字,从 0,2,4,6 中任取 2 个数字,一共可以 组成 个没有重复数字的四位数.
5. (2022 上海 9 ) 用数字 1,2,3,4 组成没有重 复数字的四位数, 则这些四位数中比 2134 大的四位数的个数为
题型 14 : 站排问题
知识梳理
站排问题是比较常见的问题,涉及多 种方法,这些方法在之前的题型中均已讲 过,本节是将站排问题进行汇总练习,部分 题目在之前已做过.
例题解
例 6 个人排队,按如下要求各有多少种不同排 队方法.
(1) 甲不站两端;
(2) 甲、乙两人站正中间, 丙、丁两人不站 两端;
(3) 甲不站排头, 乙不站排尾;
(4) 甲、乙、丙相邻;
(5) 甲、乙相邻, 且丙、丁相邻;
(6) 甲、乙之间间隔两人;
(7) 甲、乙、丙两两不相邻;
(8) 甲、乙、丙相邻, 丁、戊不相邻;
(9) 甲、乙相邻, 且甲、乙都不与丙相邻;
(10) 6 人中 3 男 3 女同性别不相邻;
(11) 6 人中 2 个大人, 4 个小孩, 要求每个 大人右边相邻的必是小孩;
(12) 在已经排好的 6 人中, 再插人 2 人;
(13) 6 人分成前后两排, 第一排 2 人, 第二 排 4 人;
(14) 甲不在左端且不在乙的右侧任何 位置;
(15) 6 人中 2 名教师随意站, 4 名学生由左 至右按身高从高到低排列.
强化练习
1. 将 6 名同学排成两排, 每排 3 人, 则不同的 排法的种数为 ( )
A. 36 B. 120 C. 720 D. 144
2. 5 个人站成一排, 其中甲不站排头, 乙不站 排尾, 则不同的排法有_种.
3. (2014 四川 6) 六个人从左至右排成一行, 最 左端只能排甲或乙, 最右端不能排甲, 则不 同的排法共有 ( )
A. 192 种 B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种
4. (2022 新高考 II 5) 甲、乙、丙、丁、戊 5 名同 学站成一排参加文艺汇演, 若甲不站在两端, 丙和丁相邻,则不同的排列方式共有
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
5. 7 个人排成一排, 其中甲、乙、丙三人相邻, 丁、戊两人不能相邻的排法有_种.
6. (2008 安徽 12) 12 名同学合影, 站成前排 4 人后排 8 人, 现摄影师要从后排 8 人抽 2 人 调到前排, 若其他人的相对顺序不变, 则不 同的调整方式的种数是
7. 2 名男同学和 3 名女同学排成一排,要求女同 学相对顺序一定, 不同排法种数为
8. 某学校组织学生外出踏青, 4 名男生和 3 名 女生站成一排合影留念, 男生甲和乙要求站 在一起, 3 名女生不全站在一起, 则不同的 站法种数是 ( )
A. 964 B. 1080 C. 1152 D. 1296
第二节 二项式定理
知识梳理
1. 二项式定理 ( n∈N+ 且 k=0,1 , 2,⋯,n) :
(1) 二项式定理: a+bn=Cn0an+ Cn1an−1b1+Cn2an−2b2+⋯+Cnkan−kbk+⋯+ Cnnbn ;
(2) 二项展开式: 等式右边的式子称为 a+bn 的二项展开式,共有 n+1 项;
(3) 二项式系数: Cnk 称为二项展开式 中第 k+1 项的二项式系数;
(4)通项公式: 展开式中的第 k+1 项 表示为 Tk+1=Cnkan−kbk ,称为二项展开式 的通项公式.
2. 二项式系数的性质:
(1) Cn0=Cnn=1,Cnm=Cnn−m,Cn+1m+1= Cnm+Cnm+1 (口诀: n 降 m 降不降);
(2)二项式系数最大值: 当 n 为偶数 时, Cnn2 最大,当 n 为奇数时, Cnn−12=Cnn+12 最大;
(3) 二项式系数和: Cn0+Cn1+Cn2+⋯+ Cnn=2n ,其中 Cn0+Cn2+⋯=Cn1+Cn3+⋯= 2n−1 .
3. 系数问题: 对于求 fx=a0+a1x+ a2x2+⋯+anxn 的系数问题,采用赋值法, 有如下结论:
(1) 常数项: a0=f0 ;
(2) 系数和: a0+a1+a2+⋯+an=f1 ; (3) 系数差: a0−a1+a2−⋯+ −1nan=f−1 ;
(4) 奇数项 (偶次幂项) 系数和: a0+a2+ a4+⋯=f1+f−12;
(5) 偶数项 (奇次幂项) 系数和: a1+a3+ a5+⋯=f1−f−12.
题型 15 : 二项展开式的特定项与特定项系数
知识梳理
1. 通项公式法为求解“特定项与特定 项系数”问题的通法;
2. 注意: 求常数项时, 若分母没有变 量,则使用赋值法,令变量为 0 即可.
例题解:
例 1 (2023 天津 11) 在 2x3−1x6 的展开式 中, x2 项的系数为
例 2 (2018 天津 10) 在 x−12x5 的展开式 中, x2 的系数为
例 3 (2014 大纲 13) xy−yx8 的展开式中 x2y2 的系数为例 4 (2019 浙江 13) 在二项式 2+x9 展开 式中, 常数项是
例 5 (2021 北京 11) x3−1x4 的展开式中常 数项是
例 6 二项式 x−3x9 展开式中的有理项为
例 7 (2013 辽宁 7) 使 3x+1xxnn∈N* 的 展开式中含有常数项的最小的 n 为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
例 8 (2016 山东 12) 若 ax2+1x5 的展开式 中 x5 的系数是 -80,则实数 a=
例 9 已知 2x−37=a0+a1x−1+a2x−12+⋯+ a7x−17 ,则 a2=
例 101+x5+1+x6+1+x7 的展开式 中 x4 的系数为 ( )
A. 50 B. 55
C. 45 D. 60
强化练习
1. (2018 全国 III 5) x2+2x5 的展开式中 x4 的系数为 ( )
A. 10 B. 20
C. 40 D. 80
2. (2015 重庆 12) x3+12x5 的展开式中 x8 的系数是
3. (2014 湖南 4) 12x−2y5 的展开式中 x2y3 的系数是 ( )
A. -20 B. -5
C. 5 D. 20
4. (2020 全国 III) x2+2x6 的展开式中常 数项是
5. (2022 天津 11) x+3x25 的展开式中的常 数项为
6. 二项式 3x−123x10 展开式中有理项有 项.
7. (2017 山东 11) 已知 1+3xn 的展开式中 含有 x2 项的系数是 54,则 n=
8. (2015 湖南 6) 已知 x−ax5 的展开式中含 x32 的项的系数为 30,则 a=
A. 3 B. −3
C. 6 D. -6
9. 已知 1+x10=a0+a11−x+a21−x2+⋯+ a101−x10 ,则 a8 等于
A. -1 B. 5
C. 90 D. 180
10. 1+x2+1+x3+⋯+1+x9 的展开 式中 x2 的系数是 ( )
A. 60 B. 80
C. 84 D. 120
题型 16:二项式定理的逆用
知识梳理
二项式定理: a+bn=Cn0an+Cn1an−1b1+ Cn2an−2b2+⋯+Cnkan−kbk+⋯+Cnnbn(n∈ N+ .
例题解?
例 1S=x−14+4x−13+6x−12+ 4x−3 ,则 S 等于 ( )
A. x4 B. x4+1
C. x−24 D. x4+4
例 2Cn1+3Cn2+9Cn3+⋯+3n−1Cnn=
强化练
1. 1+2Cn1+4Cn2+⋯+2nCnn=
2. Cn1+Cn2⋅6+Cn3⋅62+⋯+Cnn⋅6n−1= .
题型 17:二项式乘积问题
例题解
例 1 (2019 全国 II 4) 1+2x21+x4 的展
开式中 x3 的系数为 ( )
A. 12 B. 16
C. 20 D. 24
例 2 (2017 全国 II 4) x+y2x−y5 的展开 式中 x3y3 的系数为 ( )
A. -80 B. -40
C. 40 D. 80
例 3 (2022 新高考 I 13) 1−yxx+y8 的 展开式中 x2y6 的系数为
例 4 (2008 江西 8) 1+3x61+14x10 展开 式中的常数项为 ( )
A. 1 B. 46
C. 4245 D. 4246
强化练习
1. (2017 全国 I 6) 1+1x21+x6 的展开式 中的 x2 系数为 ( )
A. 15 B. 20 C. 30 D. 35
2. (2014 全国 I 13) x−yx+y8 的展开式 中 x2y7 的系数为
3. (2020 全国 I 8) x+y2xx+y5 的展开式 中 x3y3 的系数为 ( )
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
4. (2017 浙江 13) 已知多项式 x+13x+22= x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ,则 a4= ,a5= . .
题型 18:三项式问题
知识梳理
三项式问题解法:
(1) 公式法: 三项式 a+b+cn= a+b+c⋅a+b+c⋅⋯⋅a+b+c⏟n 的
展开式中,含有 axbyczx+y+z=n 的项 为 CnxaxCn−xybyCzzcz ;
(2) 三项变两项: 对于能配方的三项 式, 可以先配方变成二项式再进行求解.
例题解
例 1 (2015 全国 I 10) x2+x+y5 的展开式 中, x5y2 的系数为
A. 10 B. 20
C. 30 D. 60
例 2 (2015 上海 11) 在 1+x+1x201510 的展开 式中, x2 项的系数为
例 3x2+2x−25 展开式中, x2 项的系数为 .
例 4 (2005 湖北 14) x2+1x+25 的展开式 中的常数项为
强化练习
1. x2+2x−y5 的展开式中, x3y3 的系数为 .
2. 1−x+1x20239 的展开式中 x3 项的系数为 -
3. x2−x−25 展开式中, x2 项的系数为4. x+1x−25 展开式中 x2 的系数为
A. 120 B. -120
C. -45 D. 45
题型 19:二项式系数最值问题
知识梳理
1. 二项式系数: Cnk 称为二项展开式中 第 k+1 项的二项式系数.
2. 二项式系数最大值: 当 n 为偶数时, Cnn2 最大; 当 n 为奇数时, Cnn−12=Cnn+12 最大.
例题解
例 1 在 x2−13xn 的展开式中,只有第 5 项的 二项式系数最大, 则其常数项是
例 2 (2013 全国I9) 设 m 为正整数, x+y2m 展 开式的二项式系数的最大值为 a , x+y2m+1 展开式的二项式系数的最大值为 b ,若 13a=7b ,则 m=
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
强化练习
1. 若二项式 3x2−2xn 的展开式中仅有 第 6 项的二项式系数最大, 则其常数项 是
2. 已知 12+2xn ,其中 n>7 . 若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数 列, 则展开式中二项式系数最大项的系数是
题型 20: 系数最值问题
知识梳理
夹逼法:求系数最值问题,可使用夹逼 法. 若系数同号,写出第 k+1 项的系数, 使其大于等于 (或小于等于) 相邻两项的系 数, 列出不等式求解即可.
例题解
例 1 在 x−y5 的展开式中,系数最大项为 ; 系数最小项为
例 2 在 12+2x6 的展开式中,系数最大项为 -
强化练:
1. 在 1−x4n+1 的展开式中,系数最大的项是
A. 第 2n 项
B. 第 2n+1 项
C. 第 2n 项和第 2n+1 项
D. 第 2n+2 项
2. 在 1+2x6 的展开式中,系数最大项 为
题型 21:二项式系数和问题
知识梳理
1. 二项式系数和: Cn0+Cn1+Cn2+⋯+ Cnn=2n;
2. 奇数项的二项式系数和等于偶数项 的二项式系数和,即 Cn0+Cn2+⋯=Cn1+ Cn3+⋯=2n−1.
例题解
例 1 (2016 上海 8) 在 3x−2xn 的二项式中,所 有项的二项式系数之和为 256 , 则常数项等 于
例 2 (2015 湖北 3 ) 已知 1+xn 的展开式中 第 4 项与第 8 项的二项式系数相等, 则奇数 项的二项式系数和为 ( )
A. 212 B. 211 C. 210 D. 29
强化练之
1. 若 x2+1xn 的二项展开式中,所有项的二项 式系数和为 64 , 则常数项为
2. 在二项式 1−2xn 的展开式中,偶数项的 二项式系数之和为 128 , 则展开式的中间项 的系数为
题型 22: 系数和及其变型问题 (赋值法)
知识梳理
系数问题: 对于求 fx=a0+a1x+ a2x2+⋯anxn 的系数问题,采用赋值法,有 如下结论:
(1) 常数项: a0=f0 ;
(2) 系数和: a0+a1+a2+⋯+an=f1 ;
(3) 系数差: a0−a1+a2−⋯+ −1nan=f−1 ;
(4) 奇数项 (偶次幂项) 系数和: a0+a2+ a4+⋯=f1+f−12;
(5) 偶数项 (奇次幂项) 系数和: a1+a3+ a5+⋯=f1−f−12.
例题解
例 1 (2007 江西 4) 已知 x+33xn 展开式中, 各项系数的和与各项二项式系数的和之 比为 64,则 n 等于 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
例 2 (2022 浙江 12) 已知多项式 x+2 . x−14=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+ a5x5 ,则 a2= .
例 3 已知 2x−y5=a0x5+a1x4y+a2x3y2+⋯+ a5y5 ,则 a0+a1+⋯+a5=
例 4 (2022 北京 8) 若 2x−14=a4x4+a3x3+ a2x2+a1x+a0 ,则 a0+a2+a4=
A. 40 B. 41
C. -40 D. -41
例 5 (2015 全国 II 15) a+x1+x4 的展开 式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= .​
例 6 若 1−x2017=a0+a1x+1+⋯+ a2017x+12017,x∈R ,则 a1⋅3+a2⋅32+⋯+ a2017⋅32017 的值为
A. −1−22017 B. −1+22017
C. 1−22017 D. 1+22017
例 7 若 1−2x2013=a0+a1x+⋯+a2013x2013 ,则 a122+a223+⋯+a201322014 的值为 A. 1 B. 0
C. −12 D. -1
例 8 已知 2x−39=a0+a1x−1+a2x−12+ a3x−13+⋯+a9x−19 ,则 a1+2a2+ 3a3+⋯+9a9=
强化练
1. (2021 上海 7) 已知 1+xn 的展开式中,唯 有 x3 的系数最大,则 1+xn 的系数和为 .
2. (2021 浙江 13) 已知多项式 x−13+ x+14=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 ,则 a1= , a2+a3+a4=
3. 已知 1−2x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+ a5x5 ,则 a0+a1+⋯+a5=
4. (2020 浙江 12) 二项展开式 1+2x5=a0+ a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ,则 a4= , a1+a3+a5=
5. 在二项式 x−2y6 的展开式中,设二项式 系数和为 A ,各项系数和为 B,x 的奇次幂 项的系数和为 C ,则 ABC=
A. −1691 B. 1691C. −9116 D. 9116
6. (2007 江西 5 ) 设 x2+12x+19=a0+ a1x+2+a2x+22+⋯+a11x+211, 则 a0+a1+a2+⋯+a11 的值为 ( )
A. -2 B. -1
C. 1 D. 2
7. 若 1−2x2009=a0+a1x1+a2x2+⋯+a2009x2009 x∈R ,则 a12+a222+⋯+a200922009 的值 为
8. 已知 1−2x7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7 , 则 a1+2a2+⋯+7a7=
题型 23 : 整除及余数问题
例题解:
例 1 (2012 湖北 5 ) 设 a∈Z ,且 0≤a≤13 ,若 512012+a 能被 13 整除,则 a=
A. 0 B. 1
C. 11 D. 12
例 291992 除以 100 的余数是
强化练
1. 设 a∈Z ,且 0≤a≤64 ,若 32n+2−8n+a 能被 64 整除,则 a=
2. 10110 除以 99 的余数是
第一节 统 计
题型 1: 随机抽样
知识梳理
1. 随机抽样:
(1) 简单随机抽样: 当总体中的个体之 间差异程度较小且总体中个体数量较少 时, 可从总体中完全随机地抽取个体, 这个 方法称为简单随机抽样. 常见的简单随机 抽样方法有抽签法、随机数表法.
(2)分层抽样: 总体可以分成有明显差 异的、互不重叠的几部分时，每一部分可称 为层,在各层中按层在总体中所占比例进行 随机抽样, 这个方法称为分层抽样.
2. 说明: 不论选择哪种抽样方法, 总体 中的每一个个体被抽取的概率均相等.
例题解
例 1 (2013 江西 4) 总体由编号为 01,02,⋯ , 19,20 的 20 个个体组成. 利用下面的随机 数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表 第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到 右依次选取两个数字, 则选出来的第 5 个个 体的编号为 ( )
A. 08 B. 07 C. 02 D. 01 例 2 (2014 湖北 11) 甲、乙两套设备生产的同 类型产品共 4800 件,采用分层抽样的方法从 中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测. 若样本中有 50 件产品由甲设备生产, 则乙 设备生产的产品总数为_件.
例 3 (2017 江苏 3 ) 某工厂生产甲、乙、丙、丁 四种不同型号的产品, 产量分别为 200,400 , 300,100 件. 为检验产品的质量, 现用分层 抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件 进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取 件.
强化练习
1. 某学校为了调查学生的学习情况, 在每班中 随机抽取 5 名学生进行调查, 若一班有 50 名 学生, 将每一名学生从 01 到 50 进行编号, 请 从下面的随机数表的第 1 行第 5,6 列 (下表 为随机数表的前 2 行) 开始由左到右依次选 取两个数字, 则抽取的第五个编号为 ( )
A. 63 B. 43
C. 07 D. 022. (2015 福建 13) 某校高一年级有 900 名学 生, 其中女生 400 名. 按男、女比例用分层抽 样的方法, 从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本, 则应抽取的男生人数是
3. (2014 重庆 3 ) 某中学有高中生 3500 人, 初 中生 1500 人, 为了解学生的学习情况, 用分 层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量 为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为
A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 题型 2: 数据的数字特征
知识梳理
1. 平均数 (均值) 、加权平均数:
(1) 平均数: x1,x2,⋯,xn 的平均数 x= 1nx1+x2+⋯+xn=1ni=1nxi;
(2) 加权平均数: 一组数中含有 n 个数值 x1,x2,⋯,xn ,其出现的频率分别为 p1,p2,⋯ , pn ,则这组数的平均数 x=x1p1+x2p2+⋯+ xnpn ,即为加权平均数;
(3) 若 x1,x2,⋯,xn 的平均数为 x ,则 ax1+b,ax2+b,⋯,axn+b 的平均数为 ax+b .
2. 众数: 一组数中出现次数最多的称 为这组数的众数, 众数可能不唯一.
3. 中位数、百分位数:
(1) 中位数: 一组数从小到大排列, 中 间的数或者中间两个数的平均数, 叫作这 组数的中位数. (2) 百分位数 ( p% 分位数): 设一组数 按照从小到大排列后为 x1,x2,⋯,xn ,计算 i=np% 的值,如果 i 不是整数,设 i0 为大 于 i 的最小整数,取 xi0 为 p% 分位数; 如果 i 是整数,取 xi+xi+12 为 p% 分位数. 特别 的,0 分位数是 x1,100% 分位数是 xn,50% 分位数是中位数.
4. 方差、标准差:
(1) 方差: s2=1nx1−x2+x2−x2+⋯+ xn−x2=1ni=1nxi−x2=1ni=1nxi2−nx2;
(2) 标准差: 方差的算术平方根为标 准差;
(3) 若 x1,x2,⋯,xn 的方差为 s2 ,则 ax1+b,ax2+b,⋯,axn+b 的方差为 a2s2 ;
(4)可用方差和标准差来描述一组数 的离散程度.
5. 极差:
(1) 一组数中最大值减去最小值所得 的差即为极差;
(2) 可用极差来描述一组数的离散 程度.
例题解
例 1 (2015 广东 12) 已知样本数据 x1,x2,⋯,xn 的均值 x=5 ,则样本数据 2x1+1,2x2+1,⋯ , 2xn+1 的均值为例 2 (2019 全国 II 13) 我国高铁发展迅速, 技 术先进. 经统计, 在经停某站的高铁列车中, 有 10 个车次的正点率为 0.97 , 有 20 个车次 的正点率为 0.98 , 有 10 个车次的正点率为 0.99 , 则经停该站高铁列车所有车次的平均 正点率的估计值为
例 31,2,2,3,4,4,5,6 这八个数字的众数为
例 4 已知在某次考试中 8 名同学的数学成绩为 90,88,93,76,84,96,75,87 ,则成绩的 30% 分 位数为 ,50% 分位数为
例 5 (2016 江苏 4) 已知一组数据 4.7,4.8,5.1 , 5.4,5.5 , 则该组数据的方差是
例 6 (2015 安徽 6) 若样本数据 x1,x2,⋯,x10 的标准差为 8,则数据 2x1−1,2x2−1,⋯ , 2x10−1 的标准差为
A. 8 B. 15 C. 16 D. 32
例 7 (2020 全国 II 3 ) 在一组样本数据中, 1 ,
2,3,4 出现的频率分别为 p1,p2,p3,p4 ,且 i=14pi=1 ,则下面四种情形中,对应样本的标 准差最大的一组是 ( )
A. p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B. p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C. p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D. p1=p4=0.3,p2=p3=0.2 例 8 (2023 新高考 I 9) (多选题) 有一组样本 数据 x1,x2,⋯,x6 ,其中 x1 是最小值, x6 是 最大值, 则 ( )
A. x2,x3,x4,x5 的平均数等于 x1,x2,⋯,x6 的平均数
B. x2,x3,x4,x5 的中位数等于 x1,x2,⋯,x6 的中位数
C. x2,x3,x4,x5 的标准差不小于 x1,x2,⋯ , x6 的标准差
D. x2,x3,x4,x5 的极差不大于 x1,x2,⋯ , x6 的极差
例 9 (2017 全国 I 19) 为了监控某种零件的 一条生产线的生产过程,检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其 尺寸 (单位: cm ). 下面是检验员在一天内依 次抽取的 16 个零件的尺寸:
经计算得 x=116i=116xi=9.97,s= 116i=116xi−x2=116i=116xi2−16x2≈ 0.212,其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺 寸, i=1,2,⋯,16 .
一天内抽取零件中, 如果出现了尺寸在 x−3s,x+3s 之外的零件,就认为这条生 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(1) 从这一天抽检的结果看, 是否需对当天 的生产过程进行检查?
(2) 在 x−3s,x+3s 之外的数据称为离群 值, 试剔除离群值, 估计这条生产线当天 生产的零件尺寸的均值与标准差. (精确 到 0.01 ) (附: 0.008≈0.09 )
强化练
1. (2020 江苏 3 ) 已知一组数据 4,2a,3−a,5 , 6 的平均数为 4,则 a 的值是
2. (2014 福建 20.1) 下表为某城市 5 个行政区 人口占该城市人口比例及人均 GDP:
则该城市人均 GDP 为_____(美元).
3. (2023 上海 9) 国内生产总值 (GDP) 是衡量 一个国家或地区经济状况和发展水平的重 要指标. 根据统计数据显示, 某市在 2020 年 间经济高质量增长, GDP 稳定增长, 第一季 度和第四季度的 GDP 分别为 232 亿元和 241 亿元, 且四个季度的 GDP 逐季度增长, 中位数与平均数相等, 则该市 2020 年的 GDP 总额为 亿元.
4. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的 25% 分位数为 , 60% 分位数为
5. (2019 江苏 5 ) 已知一组数据 6,7,8,8,9,10 , 则该组数据的方差是6. (2020 全国 III3) 设一组样本数据 x1,x2,⋯ , xn 的方差为 0.01,则数据 10x1,10x2,⋯ , 10xn 的方差为 ( )
A. 0.01 B. 0.1
C. 1 D. 10
7. (2021 新高考 II 9) (多选题) 下列统计量中, 能度量样本 x1,x2,⋯,xn 的离散程度的 是
A. 样本 x1,x2,⋯,xn 的标准差
B. 样本 x1,x2,⋯,xn 的中位数
C. 样本 x1,x2,⋯,xn 的极差
D. 样本 x1,x2,⋯,xn 的平均数
8. (2021 新高考 I 9) (多选题) 有一组样本数 据 x1,x2,⋯,xn ,由这组数据得到新样本数 据 y1,y2,⋯,yn ,其中 yi=xi+c(i=1,2,⋯ , n),c 为非零常数,则
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样本数据的样本极差相同
9. (2023 全国乙 17) 某厂为比较甲、乙两种工 艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行 10 次配对试验,每次配对试验选用材质相同的 两个橡胶产品, 随机地选其中一个用甲工艺 处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的 橡胶产品的伸缩率, 甲、乙两种工艺处理后 的橡胶产品的伸缩率分别记为 xi,yi(i=1 , 2,⋯,10) . 试验结果如下:
记 zi=xi−yii=1,2,⋯,10 ,记 z1,z2,⋯,z10 的样本平均数为 z ,样本方差为 s2 .
(1) 求 z,s2 ;
(2) 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率 较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是 否有显著提高. (若 z≥2s210 ,则认为甲 工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工 艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提 高, 否则不认为有显著提高)
题型 3: 统计图表
知识梳理
1. 常用的统计图表: 频数分布直方图, 频率分布直方图, 茎叶图, 柱形图, 折线图, 扇形图.
2. 注意: 在频率分布直方图中, 纵轴表 示频率,单个矩形面积 = 组距 ×频率组距= 频 率, 各矩形的面积之和等于 1 .
例题解
例 1 (2022 天津 4) 为研究某药品的疗效, 选 取若干名志愿者进行临床试验, 所有志愿者 的舒张压数据 (单位: kPa ) 的分组区间为 [12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17] , 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组, 第二组, ⋯⋯ ,第五组,下图是根据试验数据 制成的频率分布直方图. 已知第一组与第二 组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人, 则第三组中有疗效的人数为 ( )
A. 8 B. 12 C. 16 D. 18
例 2 (2015 湖北 14) 某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统 计, 发现消费金额 (单位: 万元) 都在区间 COMPROPATION [0.3,0.9] 内,其频率分布直方图如图所示.
(1) 直方图中的 a=
(2) 在这些购物者中,消费金额在区间 [0.5,0.9] 内的购物者的人数为
例 3 (2022 全国乙 4) 分别统计了甲、乙两位 同学 16 周的各周课外体育运动时长 (单位: h), 得如图茎叶图:
则下列结论中错误的是( )
A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位 数为 7.4
B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均 数大于 8
C. 甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概 率的估计值大于 0.4
D. 乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概 率的估计值大于 0.6
例 4 (2017 全国 III 3) 某城市为了解游客人数 的变化规律, 提高旅游服务质量, 收集并整 理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接 待游客量 (单位: 万人) 的数据, 绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是 ( )
A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7 , 8 月
D. 各年 1 月至 6 月接待游客量相对于 7 月 至 12 月, 波动性更小, 变化比较平稳
例 5 (2015 全国 II 3) 根据下面给出的 2004 年 至 2013 年我国二氧化硫排放量 (单位: 万 吨) 柱形图. 以下结论不正确的是 ( )
A. 逐年比较, 2008 年减少二氧化硫排放量 的效果最显著
B. 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减 少趋势
D. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与 年份正相关
例 6 (2018 全国 I 3) 某地区经过一年的新农 村建设, 农村的经济收人增加了一倍, 实现 翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收人 变化情况, 统计了该地区新农村建设前后农 村的经济收人构成比例, 得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是( )
A. 新农村建设后, 种植收人减少
B. 新农村建设后, 其他收人增加了一倍以上
C. 新农村建设后, 养殖收人增加了一倍
D. 新农村建设后, 养殖收人与第三产业收 人的总和超过了经济收人的一半
强化练习
1. (2021 天津 4) 从某网络平台推荐的影视作 品中抽取 400 部, 统计其评分数据, 将所得 400 个评分数据分为 8 组: [66,70) , [70,74),⋯,[94,98) ,并整理得到如下的频 率分布直方图,则评分在区间 [82,86) 内的 影视作品数量是 ( )
A. 20 B. 40 C. 64 D. 802. (2010 北京 11) 从某小学随机抽取 100 名同 学, 将他们的身高 (单位: 厘米) 数据绘制成 频率分布直方图 (如图). 由图中数据可知 a= .
要从身高在 [120,130),[130,140),[140,150] 三组内的学生中, 用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在 [140,150] 内的学生中选取的人数应为
3. (2017 山东 8 ) 如图所示的茎叶图记录了甲、 乙两组各 5 名工人某日的产量数据 (单位: 件). 若这两组数据的中位数相等, 且平均值 也相等,则 x 和 y 的值分别为 ( )
A. 3,5 B. 5,5
C. 3,7 D. 5,7
4. (2022 全国甲 2) 某社区通过公益讲座以普 及社区居民的垃圾分类知识. 为了解讲座效 果, 随机抽取 10 位社区居民, 让他们在讲座 前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷, 这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答 题的正确率如图:
则( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小 于 70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大 于 85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于 讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲 座前正确率的极差
5. (2016 全国 III 4) 某旅游城市为向游客介绍 本地的气温情况, 绘制了一年中月平均最高 气温和平均最低气温的雷达图. 图中 A 点 表示十月的平均最高气温约为 15∘C,B 点表 示四月的平均最低气温约为 5∘C . 下面叙述 不正确的是 ( )
一一平均最低气温 —– 平均最高气温
A. 各月的平均最低气温都在 0∘C 以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D. 平均最高气温高于 20∘C 的月份有 5 个
6. (2014 广东 6 ) 已知某地区中小学生人数和 近视情况分别如图 1 和图 2 所示, 为了解该 地区中小学生的近视形成原因, 用分层抽样 的方法抽取 2% 的学生进行调查,则样本容 量和抽取的高中生近视人数分别为 ( )
图1
图2
A. 200,20 B. 100,20
C. 200,10 D. 100,10
题型 4: 样本估计总体
知识梳理
1. 由样本的分布估计总体的分布.
2. 由样本的数字特征估计总体的数字 特征: 在频率分布直方图中, 每个矩形底边 中点值分别为 x1,x2,⋯,xn ,每个矩形面积 (频率) 分别为 f1,f2,⋯,fn ,则有:
(1) 平均数的估计值为 x=x1f1+ x2f2+⋯+xnfn;
(2) 方差的估计值为 s2=x1−x2f1+ x2−x2f2+⋯+xn−x2fn;
(3)中位数的估计值为左右面积都为 0.5 时对应的横坐标;
(4) 众数的估计值为最高矩形底边中 点的横坐标.
3. 若条件给出的是频数分布表, 可以 参考第 2 条的方法估计总体的数字特征.
例题解
例 1 (2017 北京 17) 某大学艺术专业 400 名 学生参加某次测评, 根据男女学生人数比 例, 使用分层抽样的方法随机抽取了 100 名 学生, 记录他们的分数, 将数据分成 7 组: [20,30),[30,40),⋯,[80,90) ,并整理得到 如下频率分布直方图:
(1) 从总体的 400 名学生中随机抽取一人， 估计其分数小于 70 的概率.
(2) 已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人, 试估计总体中分数在区间 [40,50) 内的 人数.
(3) 已知样本中有一半男生的分数不小于 70 , 且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等. 试估计总体中男生和女生人数 的比例. (2) 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位 于区间 [20,70) 的概率.
例 2 (2022 新高考 II 19) 在某地区进行流行 病学调查, 随机调查了 100 位某种疾病患者 的年龄, 得到如下的样本数据的频率分布直 方图.
(1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄; (同一组中的数据用该区间的中点值为 代表)例 3 (2015 广东 17) 某城市 100 户居民的月平 均用电量 (单位: 度), 以 [160,180), [180, 200), [200,220),[220,240),[240,260) , [260,280),[280,300] 分组的频率分布直方 图如图.
(1) 求直方图中 x 的值.
(2) 求月平均用电量的众数和中位数.
(3) 在月平均用电量为 [220,240),[240,260) , [260,280),[280,300] 的四组用户中,用 分层抽样的方法抽取 11 户居民, 则月平 均用电量在 [220,240) 的用户中应抽取 多少户? 例 4 (2016 四川 16) 我国是世界上严重缺水 的国家, 某市政府为了鼓励居民节约用水, 计划调整居民生活用水收费方案, 拟确定一 个合理的月用水量标准 x (吨),一位居民的 月用水量不超过 x 的部分按平价收费,超出 x 的部分按议价收费. 为了了解居民用水情 况, 通过抽样, 获得了某年 100 位居民每人 的月均用水量 (单位: 吨), 将数据按照 [0,0.5),[0.5,1),⋯,[4,4.5) 分成 9 组,制 成了如图所示的频率分布直方图.
(1) 求直方图中 a 的值;
(2) 设该市有 30 万居民, 估计全市居民中月 均用水量不低于 3 吨的人数, 并说明 理由;
(3) 若该市政府希望使 85% 的居民每月的 用水量不超过标准 x (吨),估计 x 的值, 并说明理由.
例 5 (2023 新高考 II 19) 某研究小组经过研 究发现某种疾病的患病者与未患病者的某 项医学指标有明显差异, 经过大量调查, 得 到如下的患病者和未患病者该指标的频率 分布直方图:
未患病者
利用该指标制定一个检测标准, 需要确定临 界值 c ,将该指标大于 c 的人判定为阳性,小 于或等于 c 的人判定为阴性,此检测标准的 漏诊率是将患病者判定为阴性的概率, 记为 pc ; 误诊率是将未患病者判定为阳性的概 率,记为 qc . 假设数据在组内均匀分布,以 事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1) 当漏诊率 pc=0.5% 时,求临界值 c 和 误诊率 qc ;
(2) 设函数 fc=pc+qc . 当 c∈ [95,105] ,求 fc 的解析式,并求 fc 在区间 [95,105] 的最小值. 例 6 (2014 全国 II 19) 某市为了考核甲、乙两 部门的工作情况, 随机访问了 50 位市民. 根 据这 50 位市民对这两部门的评价 (评分越 高表明市民的评价越高), 绘制茎叶图如下:
(1) 分别估计该市的市民对甲、乙部门评分 的中位数;
(2) 分别估计该市的市民对甲、乙部门的评 分高于 90 的概率;
(3) 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两 部门的评价.
强化练习
1. (2015 安徽 17) 某企业为了解下属某部门对 本企业职工的服务情况, 随机访问 50 名职 工, 根据这 50 名职工对该部门的评分, 绘制 频率分布直方图 (如图所示), 其中样本数据 分组区间为 [40,50),[50,60),⋯,[80,90) , [90,100] .
(1) 求频率分布图中 a 的值;
(2) 估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率;
(3) 从评分在 [40,60) 的受访职工中,随机抽 取 2 人,求此 2 人评分都在 [40,50) 的 概率.
2. (2019 全国 III) 为了解甲、乙两种离子在 小鼠体内的残留程度, 进行如下试验: 将 200 只小鼠随机分成 A, B 两组, 每组 100 只,其中 A 组小鼠给服甲离子溶液, B 组小 鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体 积相同、摩尔浓度相同. 经过一段时间后用 某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子 的百分比. 根据试验数据分别得到如图直 方图:
甲离子残留百分比直方图
乙离子残留百分比直方图
记 C 为事件: “乙离子残留在体内的百分比 不低于 5.5 ”,根据直方图得到 PC 的估计 值为 0.70 .
(1) 求乙离子残留百分比直方图中 a,b 的值;
(2) 分别估计甲、乙离子残留百分比的平均 值. (同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表)3. (2020 全国 III 18) 某学生兴趣小组随机调查 了某市 100 天中每天的空气质量等级和当 天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表 (单位: 天):
(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率;
(2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估 计值. (同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表) 4. (2016 四川 16) 我国是世界上严重缺水的国 家, 某市为了制定合理的节水方案, 对居民 用水情况进行了调查, 通过抽样, 获得了某 年 100 位居民每人的月均用水量 (单位: 吨),将数据按照 [0,0.5),[0.5,1),⋯ , [4,4.5] 分成 9 组,制成了如图所示的频率 分布直方图.
(1) 求直方图中的 a 值.
(2) 设该市有 30 万居民, 估计全市居民中月 均用水量不低于 3 吨的人数. 说明理由.
(3) 估计居民月均用水量的中位数.5. (2016 北京 17) 某市居民用水拟实行阶梯水 价,每人月用水量中不超过 w 立方米的部 分按 4 元/立方米收费,超出 w 立方米的部 分按 10 元/立方米收费, 从该市随机调查了 10000 位居民, 获得了他们某月的用水量数 据, 整理得到如下频率分布直方图:
(1) 如果 w 为整数,那么根据此次调查,为 使 80% 以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米, w 至少定为多少?
(2) 假设同组中的每个数据用该组区间的右 端点值代替,当 w=3 时,估计该市居民 该月的人均水费. 6. (2018 全国 III 18.1) 某工厂为提高生产效 率, 开展技术创新活动, 提出了完成某项生 产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生 产方式的效率, 选取 40 名工人, 将他们随机 分成两组, 每组 20 人. 第一组工人用第一种 生产方式,第二组工人用第二种生产方式. 根据工人完成生产任务的工作时间 (单位: min) 绘制了如下茎叶图:
根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高? 并说明理由.
题型 5 : 相关性检验
知识梳理
1. 两变量的关系:
(1) 确定关系: 一个变量确定后, 另一 个变量确定;
(2)没关系:两个变量互不影响;
(3) 相关关系: 两变量之间有一定关 系, 但没有达到相互决定的程度.
2. 相关性判定方法:
(1)通过散点图判定;
(2) 线性相关关系可以通过样本相关 系数 r 判定.
3. 样本的相关系数 r :
r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2=
i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2( 此公式前半
部分题目会提供, 后半部分需自行推导).
4. 样本的相关系数 r 的性质:
(1) r≤1 .
(2) r>0 为正相关, r0
B. a>0,bp1>0 . 记该棋手连胜两盘 的概率为 p ,则 ( )
A. p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B. 该棋手在第二盘与甲比赛, p 最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛, p 最大
D. 该棋手在第二盘与丙比赛, p 最大
4. (2016 山东 19.1) 甲、乙两人组成“星队”参 加猜成语活动, 每轮活动由甲、乙各猜一个 成语, 在一轮活动中, 如果两人都猜对, 则 “星队”得 3 分; 如果只有一个人猜对, 则“星 队”得 1 分; 如果两人都没猜对, 则 “星队” 得0 分. 已知甲每轮猜对的概率是 34 ,乙每轮 猜对的概率是 23 ; 每轮活动中甲、乙猜对与 否互不影响. 各轮结果亦互不影响. 假设“星 队”参加两轮活动, 求 “星队” 至少猜对 3 个 成语的概率.
5. (2015 全国 II 18) 某公司为了解用户对其产 品的满意度, 从 A, B 两地区分别随机调查 了 20 个用户, 得到用户对产品的满意度评 分如下:
A 地区: 6273819295857464
5376788695669778
88827689
B 地区: 7383625191465373
54766579
(1) 根据两组数据完成两地区用户满意度评 分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度. (不要求计 算出具体值, 得出结论即可)
(2) 根据用户满意度评分, 将用户的满意度 从低到高分为三个等级:
记事件 C: “ A 地区用户的满意度等级高 于 B 地区用户的满意度等级”. 假设两地 区用户的评价结果相互独立, 根据所给 数据, 以事件发生的频率作为相应事件 发生的概率,求 C 的概率.
题型 12 : 条件概率
知识梳理
1. 定义: 当事件 B 发生的概率大于 0 (即 PB>0 ) 时,已知事件 B 发生的条件 下事件 A 发生的概率,称为条件概率,记 作 PA∣B .
2. 条件概率公式:
(1) PA∣B=PA∩BPB ;
(2) 当试验为古典概型时, PA∣B= nA∩BnB ,其中 nA∩B 和 nB 分别表示 事件 A∩B 和 B 包含基本事件个数.
3. 概率公式中的四则运算:
(1) 互斥事件: PA∪B=PA+ PB ;
(2) 对立事件: PA=1−PA ;
(3) 独立事件: PAB=PAPB ;
(4) 条件概率: PA∣B=PA∩BPB .
例题解
例 1 (2014 全国 II 5) 某地区空气质量监测资 料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75 , 连续两天为优良的概率是 0.6 . 已知某 天的空气质量为优良, 则随后一天的空气质 量为优良的概率是 ( )
A. 0.8 B. 0.75
C. 0.6 D. 0.45 例 2 某班有 6 名班干部, 其中 4 名男生, 2 名女生. 从中选出 3 人参加学校组织的社 会实践活动, 在男生甲被选中的情况下, 女 生乙也被选中的概率为 ( )
A. 25 B. 35
C. 12 D. 23
例 3 现有 6 个节目准备参加比赛, 其中 4 个 舞蹈类节目, 2 个语言类节目, 不放回地依 次抽取 2 个节目, 则在第 2 次抽到舞蹈节目 的条件下, 第 1 次抽到舞蹈节目的概率是 -
例 4 (2022 新高考 II 19) 在某地区进行流行 病学调查, 随机调查了 100 位某种疾病患者 的年龄, 得到如下的样本数据的频率分布直 方图.
(1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄; (同一组中的数据用该区间的中点值为 代表)
(2) 估计该地区一位这种疾病患者的年龄位 于区间 [20,70) 的概率;
(3) 已知该地区这种疾病患者的患病率为 0.1% ,该地区年龄位于区间 [40,50) 的 人口占该地区总人口数的 16% ,从该地 区选出一人, 若此人的年龄位于区间 [40,50) ,求此人患这种疾病的概率. (以 样本数据中患者的年龄位于各区间的频 率作为患者的年龄位于该区间的概率,
精确到 0.0001)
强化练习
1. (2022 天津 13) 52 张扑克牌, 没有大小王, 无放回地抽取两次,则两次都抽到 A 的概 率为 ; 已知第一次抽到的是 A ,则 第二次抽取 A 的概率为
2. (2023 全国甲 6) 某地的中学生中有 60% 的 同学爱好滑冰, 50% 的同学爱好滑雪, 70% 的同学爱好滑冰或爱好滑雪. 在该地的中学 生中随机调查一位同学, 若该同学爱好滑 雪, 则该同学也爱好滑冰的概率为 ( )
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4
3. 一盒中装有 5 个产品, 其中有 3 个一等品, 2 个二等品, 从盒中不放回地取出产品, 每次 取 1 个, 共取两次. 已知第二次取到一等品, 则第一次取到二等品的概率是
4. (2016 全国 II 18) 某险种的基本保费为 a (单 位: 元), 继续购买该险种的投保人称为续保 人,续保人的本年度的保费与其上年度的出 险次数的关联如下:
设该险种一续保人一年内出险次数与相应 概率如下:
(1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费 的概率;
(2) 若一续保人本年度的保费高于基本保 费,求其保费比基本保费高出 60% 的 概率;
(3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费 的比值.
题型 13:乘法公式与全概率公式
知识梳理
1. 概率的乘法公式: 由条件概率的定 义,对任意两个事件 A 与 B ,若 PA>0 , 则 PAB=PAPB∣A .
2. 全概率公式: 设 A1,A2,⋯,An 是一 组两两互斥的事件, A1∪A2∪⋯∪An=Ω , 且 PAi>0,i=1,2,⋯,n ,则对任意事件 B⊆Ω ,有 PB=i=1nPAiPB∣Ai .
例题解
例 1 有一批种子的发芽率为 0.9 , 出芽后的幼苗 成活率为 0.8 , 在这批种子中, 随机抽取一粒, 则这粒种子能成长为幼苗的概率为
例 2 设有两箱同一种商品: 第一箱内装 50 件, 其中 10 件优质品; 第二箱内 30 件, 其中 18 件优质品. 现在随意地打开一箱, 然后从 箱中随意取出一件, 则取到优质品的概率为 .
例 31 号箱中有 2 个白球和 4 个红球, 2 号箱 中有 5 个白球和 3 个红球, 现随机地从 1 号 箱中取出一球放人 2 号箱, 然后从 2 号箱中 随机取出一球, 则从 2 号箱中取出红球的概 率是 ( )
A. 1127 B. 1124 C. 1627 D. 38
强化练习
1. 已知某品牌的手机从 1 m 高的地方掉落时, 屏幕第一次未碎的概率为 0.5 , 当第一次未 碎时第二次也未碎的概率为 0.3 , 则手机从 1 m 高的地方掉落两次后屏幕仍未碎的概率 为
2. 某次社会实践活动中, 甲、乙两个班的同学 在一个社区进行民意调查. 参加活动的甲、 乙两班的人数之比为 5:3 ,其中甲班中女 生占 35 ,乙班中女生占 13 ,则该社区居民遇 到一位进行民意调查的同学恰好是女生的 概率为
3. 甲袋中有 2 个白球和 4 个红球, 乙袋中有 1 个白球和 2 个红球. 现在随机地从甲袋中 取出一球放人乙袋, 然后从乙袋中随机地 取出一球, 则取出的球是白球的概率为 .
题型 14: 离散型随机变量的分布列
知识梳理
1. 离散型随机变量: 可能的取值为有 限个或可以一一列举的随机变量, 称为离 散型随机变量,通常用大写英文字母表示, 例如 X,Y,Z .
2. 离散型随机变量的分布列: 设离散型 随机变量 X 的可能取值为 x1,x2,⋯,xn ,称 X 取每一个值 xi 的概率 PX=xi=pi,i=1 , 2,⋯,n 为 X 的概率分布列,简称分布列. 分 布列常用以下表格表示:
3. 离散型随机变量分布列的性质:
(1) pi≥0,i=1,2,⋯,n ;
(2) p1+p2+⋯+pn=1 .
4. 说明: 本题型主要讲解分布列的性 质, 具体问题的分布列求法将在下一个题 型中讲解.
例题解
例 1 若离散型随机变量 X 的概率分布列为
,则 m=
例 2 随机变量 X 的概率分布为 PX=n= ann+1n=1,2,3,4 ,其中 a 是常数,则 P120
y0y=px0+xp>0
曲线
中点弦(垂径定理)
曲线第三定义
相切公式
圆
kOM⋅kAB=−1
kMA⋅kMB=−1
kOM⋅kl=−1
椭圆
kOM⋅kAB=−b2a2=e2−1
kMA⋅kMB=−b2a2=e2−1
kOM⋅kl=−b2a2=e2−1
双曲线
kOM⋅kAB=b2a2=e2−1
kMA⋅kMB=b2a2=e2−1
kOM⋅kl=b2a2=e2−1
无
kOM⋅kAB=b2a2=e2−1
kMA⋅kMB=b2a2=e2−1
抛物线
无
yMkAB=p
yMkl=p
定义式
an+1−an=d 或 an−an−1=dn≥2
通项公式
an=a1+n−1d=am+n−md
求和公式
Sn=na1+an2=na1+nn−12d
等差中项
若 a,b,c 成等差数列,则 b 为 a 与 c 的等差中项,满足 b=a+c2
(1) an−am=n−md;d=an−amn−m;n=an−a1d+1 .
(2) 若 m+n=p+q=2w ,则 am+an=ap+aq=2aw .
(3) S2n−1=2n−1an .
性质
(4)若 an,bn 为等差数列,其前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则 anL=O2n−1T. (5) Sn,S2n−Sn,S3n−S2n,⋯ 成等差数列,公差为 n2d . (6) 数列 Snn 为等差数列,公差为 d2 . 7) 若 an,bn 均为等差数列,则数列 Aan+B,Aan+Bbn 成等差数列. (8) an,an+m,an+2m,⋯ 成等差数列,其公差为 md . (9)若 Sm=Snm≠n ,则 Sm+n=0 . (10)当 d>0 时,数列 an 为递增数列; 当 d