山东省烟台市中英文学校2023-2024学年高一下学期数学期末模拟三

这是一份山东省烟台市中英文学校2023-2024学年高一下学期数学期末模拟三，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少1个白球，都是红球B．至少个白球，至少个红球
C．至少1个白球，至多个白球D．恰好个白球，恰好个红球
2．如图,直角梯形满足,它是水平放置的平面图形的直观图,则该平面图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．在空间中，有一平面，平面内有一直线，平面外有一点，下列说法正确的是（ ）
A．过点且与平面垂直的直线不止一条
B．过点且与直线垂直的直线有且仅有一条
C．过点的直线与直线的夹角的余弦值有可能为
D．过点的直线与平面的夹角的余弦值不可能为
4．已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则（ ）
A．棱台的高为 B．棱台的表面积为
C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为 D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为
5．世界三大数学猜想分别为：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”. 如今，哥德巴赫猜想仍未解决. 目前最好的成果“”由我国数学家陈景润在1966年取得，即任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数（素数）之和. 若将22拆成两个正整数的和，在拆成的所有和式中任取一个和式，加数全部为素数的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A．B．C．D．
7．在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（ ）
A． B． C．D．
8．在三棱锥中，．若与面所成角的最大值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．
B．若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥．
C．设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32
D．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分
10．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两枚骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法（ ）
A．公平，每个班被选到的概率都为 B．不公平，6班被选到的概率最大
C．不公平，2班和12班被选到的概率最小 D．不公平，7班被选到的概率最大
11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a.则（ ）
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C．勒洛四面体中过三点的截面面积为
D．勒洛四面体的体积
三、填空题
12．某工厂12名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，，则这组数据的第75百分位数是 ．
13．饕餮（tā tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一质点从A点出发跳动五次到达点B，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么质点跳动的路线恰好在饕餮纹上的概率为 .

14．在三棱锥中，，且分别是的中点，，则三棱锥外接球的表面积为 ，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 .
四、解答题
15．树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
(1)补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；
(2)如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；
(3)若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．
16．已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．
(1)平面平面，证明：．
(2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积．
17．口袋里装有4个大小相同的小球．，其中两个标有数字1，两个标有数字2．
(1)第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．当为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
(2)第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为．求大于2的概率．
18．设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）．
（1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；
（2）若，求第三次取出为白球的概率；
（3）对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率．
19．如图，在三棱台中，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值．
期末模拟三7.6参考答案：
1．D【详解】从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，对于A中，至少1个白球，都是红球是对立事件，所以A错误；对于B中，至少个白球，至少个红球能同时发生，不是互斥事件，所以B错误；对于C中，至少1个白球，至多个白球能同时发生，不是互斥事件，所以C错误；
对于D中，恰好个白球，恰好个红球不能同时发生，是互斥事件，
且这两个事件可能都不发生，故不是对立事件，所以D正确.故选：D.
2．C【详解】由题意,,由可得,由,可得,所以,
而，所以，结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形还原成平面图形，如图所示：由勾股定理可得，所以满足题意的平面图形的周长是.故选:C.
3．D【详解】过点且与平面垂直的直线有且只有一条，故A错误；过点且与直线垂直的直线有无数条，故B错误；两条直线的夹角范围在，所以其余弦值不能是负数，故C错误；直线与平面的夹角范围在，所以其余弦值不能是负数，故D正确.故选：D
4．B【详解】A选项，将正三棱台补形为正三棱锥，过点作⊥平面，交平面于点，故即为棱台的高，因为上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，
所以，故正三棱锥为正四面体，取的中点，连接，则三点共线，且⊥，⊥，，，由勾股定理得，由相似可知，棱台的高为三棱锥的高的一半，即，A错误；B选项，，，其中等腰梯形与等腰梯形，等腰梯形的面积相等，均等于，
故棱台的表面积为，B正确；C选项，为棱台的侧棱与底面所成角的平面角，其中，C错误；D选项，即为棱台的侧面与底面所成二面角的平面角，故，D错误.故选：B
5．D【详解】将22拆成两个正整数的和有：1和21、2和20、3和19、4和18、5和17、6和16、
7和15、8和14、9和13、10和12、11和11，共11种拆法，其中加数全为素数的有3和19、5和17、11和11，共3种，所以所求的概率为.故选：D
6．B【详解】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 故选B.
7．C【详解】由题可知，四边形是矩形，，所以初始状态时直线与直线所成的角为，已知矩形中，，， ，
翻折过程中，如下图，因为，所以，则与平面不垂直，因为，，所以异面直线与不垂直，
翻折过程中，当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，如下图：因为矩形中，,，， ，所以，同理，所以，即异面直线与所成角的临界值为,所以异面直线与所成角的范围为；故选：C
8．C【详解】取中点分别为O，D，E，连，过D作于G，连，由，则，又，则，又平面，平面，，所以平面，又平面，则，又平面，平面，，则平面．又，故与面所成角与与面所成角相等，所以为所求线面角，设，则，，
故 ，
令，则，因为，所以，当且仅当时取等号．所以.故选：C
9．ACD【详解】对于A，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的；对于B，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，所以不正确；对于C，设样本数据的均值为，则，方差为，则，所以新样本的均值为，方差为，故C正确；对于D，由题意，可得高一年级抽取的样本量为×450＝90，高二年级抽取的样本量为×350＝70.高一和高二数学竞赛的平均分约为×80＋×90＝84.375(分)，故D正确.故选：ACD.
10．CD【详解】设i班被选到的概率为则，，，，，，故AB错误，CD正确.故选：CD.
11．AD【详解】由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值，故A正确；勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心，由题意得该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接，易知，，三点共线，设正四面体的外接球半径为，
由题意得：，解得，，，
由题意得，故B错误；勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图，则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，即，故C错误；
对于D，勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间，正四面体底面面积为，底面所在圆的半径为，
正四面体的高为，正四面体的体积，设正四面体的外接球半径为，则由题意得：
，解得，正四面体的外接球的体积为，
勒洛四面体的体积满足，故D正确．故选：AD．
12．【详解】这组数据按从小到大的顺序排列为．
因为，所以这组数据的第75百分位数是．故答案为：
13．/0.1【详解】质点从点出发跳动五次到达点，每次向右或向下跳一个单位长度，基本事件总数有：右右下下下，右下右下下，右下下右下，右下下下右，下右右下下，下右下右下，下右下下右，下下下右右，下下右右下，下下右下右，共10种，其中恰好是沿着饕餮纹的路线到达的情况有1种，右右下下下，所以恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为．故答案为：
14． 【详解】如图，，且，故，
可得，则，取中点，连接，则，又，面，可得面又面，则，又分别是的中点，连接，则//由题意得，故，，又，面，故面，又，则，可得，则两两垂直，
故以作长方体，如图所示，则该长方体外接球即为所求三棱锥的外接球，连接，其中点为所求外接球的球心，设其半径为，
可得，故，解得，而，
设该三棱锥内切球半径为，球心为，连接，
则，可得，
故，而，，，易知是的中点，由，得，故得，
而由勾股定理得，则，故可将一式化为，
解得，而半径比为，故答案为：；
15．(1)补全频率分布直方图见解析；估计众数为.(2)(3)
【详解】（1）组的频率为：.所以补全频率分布直方图为：因为组对应的小矩形最高，所以估计本次知识竞赛成绩的众数为.
（2）由频率分布直方图得分数不低于分的频率为：
.所以这名参赛同学中估计进入复赛的人数为：.
（3）从第一组，第二组和第六组三组同学中分层抽取人，因为第一、二、六组的频率之比为，所以第一组抽取人，第二组抽取人，第六组抽取人.设这人分别为：，从这6人中任选2人的抽法有：
基本事件总数，
所抽取的人成绩之差的绝对值小于包含的基本事件有：基本事件个数个数.
所以所抽取的人成绩之差的绝对值小于的概率为.
16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面平面，
所以平面，平面，又因为平面平面，所以．
（2）过点作的垂线，垂足为，则，因为平面，所以平面，
所以直线与平面的夹角为，又，设，
则，所以，所以，所以M为CD中点，E为PC中点，因为平面，所以平面，所以，又因为，，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为，故
17．(1)(2)【详解】（1）记第一次取到小球上的数字为，第二次取到小球上的数字为，样本空间为，则，因为放回口袋里后第二次再任意取一球，则有：
可知：，所以当时，其发生的概率最大，最大为.
记第一次取到小球上的数字为，第二次取到小球上的数字为，样本空间为则，因为不再放回口袋里，第二次再任意取一球，则有：
可知：，
所以大于2的概率.
18．（1）；（2）；（3）．
【详解】解：（1）时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续取出三个球（每个取后不放回）．第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
∴第三次取出为白球的概率．
（2）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，从而第三次取出的是白球的种数为：
，则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
．
（3）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，从而第三次取出的是白球的种数为：
，则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
．
19．(1)证明见解析(2)
【详解】（1）取中点为，连接,
∵，，所以,故,由三角形内角和可得,
故，
又∵,平面,为相交直线，
∴平面，平面,∴
又∵,即,平面,
∴平面，AC在平面ABC内，∴平面平面
（2）由（1）知直线与平面所成角为，
∴，由于,∴
设平面和平面的交线为，
由于平面，平面，所以，
过点作于G，
又（1）知平面平面，且两平面的交线为，平面,
∴平面，平面，所以，
且,
再过点作于，连接，
平面，所以平面，
平面,故，
∵即为所求角,
,
∵

1
1
2
2
1
2
2
3
3
1
2
2
3
3
2
3
3
4
4
2
3
3
4
4
1
1
2
2
1
╱
2
3
3
1
2
╱
3
3
2
3
3
╱
4
2
3
3
4
╱