河北省沧州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

这是一份河北省沧州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了已知向量，，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

班级________ 姓名________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A．B．4C．0D．4或
2．样本数据11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的第80百分位数是（ ）
A．18B．19C．18.5D．18或19
3．某班级有60名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这60名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为（ ）
A．B．C．D．
4．已知四棱柱的高为3，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）如图所示，其中，，则这个四棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
6．在中，，，P是BN上一点，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
7．河北定州开元寺塔是世界上现存最高的砖木结构古塔（如图），著名古建专家罗哲文誉其为“中华第一塔”．为了测量开元寺塔的高度，一研究小组选取了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A，B，C，分别测得塔顶P点的仰角为，，，且，示意图如图，则该塔高（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正三棱台中，，M，N分别是AB，的中点，则异面直线MN，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立
B．事件A与事件B可能为对立事件
C．若事件A与事件B相互独立，则
D．若事件A与事件B互斥，则
10．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．的最小值为3
C．若，则D．若，则向量在向量上的投影向量的坐标是
11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点P到平面BEF的距离不变
B．平面BEF截该正方体所得的截面面积为5
C．当点P在线段上运动时，始终有平面
D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为________．
13．为了丰富员工的业余生活，某企业举办了有奖答题活动，参加活动的员工依次回答三个问题，不管答对或者答错，三题答完活动结束．规定每位员工只能参加一次活动，且至少答对两道题才能获奖．已知员工甲第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，假设员工甲是否答对每一题相互独立，则员工甲获奖的概率为________．
14．在中，，，，M，N分别为AC，AB上的动点（不包括端点），将沿MN折起，使点A到达点的位置，且平面平面BCMN．若点，B，C，M，N均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知复数，，在复平面内表示的点分别为，，O为坐标原点．
（1）若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值；
（2）若与的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
16．（本小题满分15分）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，．
（1）证明：A，B，C三点共线；
（2）若，，点，B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP，求点P的坐标．
17．（本小题满分15分）某学校高一年级举办了数学竞赛活动，共有1000名学生参加．从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按，，，，的分组作出频率分布直方图，如图所示．
（1）求实数x的值，并估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；
（2）现从，两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7人组成数学学习小组，再从这7人中抽取2人作为组长，求至少一名组长来自的概率．
18．（本小题满分17分）在如图所示的几何体中，，平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，，，点M为AB的中点．
（1）证明：平面ABF；
（2）证明：平面平面ABF；
（3）求直线EM与平面ADE所成角的正弦值．
19．（本小题满分17分）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角A；
（2）若D为BC边上一点，且满足，，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的取值范围．
沧州市2023—2024学年第二学期期末教学质量监测
高一数学参考答案
1．B 解析：复数为纯虚数．所以，解得，故选B．
2．C 解析：共10个数．已经从小到大排列好，，则第80百分位数是第8个和第9个数的平均数．即18.5．故选C．
3．A 解析：总体有60个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为，故选A．
4．D 解析：由于直观图的面积为．所以四边形ABCD的面积为，所以四棱柱的体积是，故选D．
5．A 解析：由正弦定理可得，化简可得，即，由正弦定理可得，即．所以或．即或，所以这个三角形是等腰三角形或直角三角形，故选A．
6．C 解析：，，且，，B，N三点共线，，即，，
所以．故选C．
7．D 解析：设，由在点A，B，C处分别测得塔顶P点的仰角为，，，则，，，在，中，由余弦定理知，，因为A，B，C三点共线．所以，则．解得，故选D．
8．C 解析：如图所示，连接MC，，取MC的中点P，连接，PB，在正三棱台中，设，由M，N分别是AB，的中点易知．，且，所以四边形是平行四边形．所以，即为异面直线MN，所成角（或其补角），在梯形中，MN为梯形的高，易知，，，即，，在中，易知．所以，即异面直线MN，所成角的余弦值为．故选C．
9．ACD 解析：对于A，根据相互独立事件的定义易知正确；对于B，对立事件的概率和为1，但．故B错误；对于C，根据相互独立事件的定义，，故C正确；对于D．事件A与事件B互斥，则，故D正确，故选ACD．
10．BD 解析：对于A，由，．得．由，得．解得，故A错误；对于B．．因此．故B正确；对于C．因为．所以，即，故C错误；对于D，向量在向量上的投影向量为．故D正确．故选BD．
11．ACD 解析：对于A．易知，平面BEF，平面BEF．所以平面BEF，点P在线段上，所以点P到平面BEF的距离不变，故A正确；对于B，如图1，连接，，易知，．平面BEF截该正方体所得的截面为平面，，．所以易知四边形的面积为，故B错误；对于C．如图2，连接，，易知平面平面．又因为平面．所以始终有平面．故C正确；对于D，如图3．连接，把平面沿展开到平面所在平面，如图4，连接交于点P，此时取得最小值，即最小值为，在中，，．由余弦定理得，，故D正确，故选ACD．
图1图2图3图4
12． 解析：由题意可得，，所以复数的共轭复数为．
13． 解析：员工甲答对两题的概率为．员工甲答对三题的概率为．所以员工获奖的概率为．
14． 解析：显然M不与A重合，由点，B，C，M，N地在球O的球面上，得B，C，M，N四点共圆，则．又为直角三角形．AB为斜边，则有，如图，将翻折后，，，又平面平面BCMN，平面平面，平面，平面BCMN，于是平面BCMN，平面，显然，BM的中点D，E分别为，四边形BCMN外接圆圆心，则平面，平面BCMN．因此，．取NM的中点F．连接DF，EF，则有，．所以四边形EFDO为平行四边形．设且，，．设球O的半径R．则，当时，，所以球O表面积的最小值为．
15．解：（1），因为复数在复平面内对应的点在直线上，
所以，解得．
所以．
所以．
（2），，
因为与的夹角为锐角，则且两向量不同向，
所以，
即，即，解得或，
当两向量共线且同向时，设且，
即，，所以，解得，，
所以，
综上，实数m的取值范围为．
16．解：（1）因为，所以．
所以A，B，C三点共线．
（2）设点P的坐标为，则，，
因为B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP．所以，
即，解得，
所以点P的坐标为．
17．解：（1）在频率分布直方图中，，解得，
结合频率分布直方图，估计该校高一年级本次数学竞赛成绩的众数为75分，
落在的频率为0.16，的频率为0.3，的频率为0.4．则中位数落在内，设中位数为y，则，解得，即中位数为71分，
平均数为（分）
（2）按比例分配的分层随机抽样方法．中抽取的人数为，中抽取的人数为．
记来自的5人和来自的2人分别为，，，，，，，
则所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个，满足题意的有11个，
由古典概型知，至少一名组长来自的概率为．
18．解：（1）因为，平面ABCD，所以平面ABCD，
因为平面ABCD，所以，
因为是等边三角形，点M为AB的中点，所以，
又，BF，平面ABF，所以平而ABF．
（2）如图，取AF的中点N，连接EN，MN，
因为M，N分别为AB，AF的中点，所以，，又因为，，所以，．所以四边形EDMN为平行四边形，所以，
由（1）知平面ABF．所以平面ABF，
因为平面AEF．所以平面平面ABF．
（3）因为平面ABCD，平而ADE，所以平面平面ADE．
又平面平面．
过点M作AD的垂线，重足为Q，即，所以平面ADE，连接EQ．
所以是直线EM与平面ADE所成的角．
易知点Q为AD上靠近点A的四等分点．
在中，，则，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，所以在中，．
因为平面ADE，平面ADE，所以，
在中，，
所以直线EM与平而ADE所成角的正弦值为．
19．解：（1）由余弦定理，等式左边，
因为．所以，所以等式左边．
所以，化简得，
由正弦定理得，
因为，所以，
代入上式化简得．
因为．所以．所以，
即，因为，所以．
（2）（ⅰ），所以AD是的平分线，
由（1）知，，所以，
在中，，
即，
化简得，则．
（ⅱ）在中，由正弦定理得．
即，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以．
因为．所以，所以，
所以的取值范围为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
D
A
C
D
C
ACD
BD
ACD