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猜想05 概率初步（常考必刷30题9种题型专项训练）-九年级上学期数学期末考点大串讲（人教版）
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这是一份猜想05 概率初步（常考必刷30题9种题型专项训练）-九年级上学期数学期末考点大串讲（人教版），文件包含猜想05概率初步常考必刷30题9种题型专项训练原卷版docx、猜想05概率初步常考必刷30题9种题型专项训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
A．刻舟求剑
B．两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递
C．水溶解金属
D．受精卵发生了基因突变
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意；
B、两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递，是必然事件，符合题意；
C、水溶解金属，是不可能事件，不符合题意；
D、受精卵发生了基因突变，是随机事件，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二．可能性的大小（共2小题）
2．（2022秋•惠安县期末）口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小是（ ）
A．B．C．D．
【分析】计算出取得黄球的概率即可．
【解答】解：取得黄球的概率＝＝，
所以随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小．
故选：A．
【点评】本题考查了可能性的大小：通过比较概率的大小确定可能性的大小．
3．（2022秋•宜阳县期末）甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着100个红球、40个黑球和5个白球．三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已经各自搅匀，从袋中任取1个球，如果你想取出一个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？请说明理由．
【分析】直接求出概率比较即可．
【解答】解：从乙袋中取出一个球是黑球的机会大．
原因如下：从甲袋中取出一个球是黑球的概率是；
从乙袋中取出一个球是黑球的概率是．
∵，
∴从乙袋中取出一个球是黑球的机会大．
【点评】此题考查可能性的大小，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．
三．概率的意义（共2小题）
4．（2022秋•新乡期末）下列说法正确的是（ ）
A．若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口必遇到红灯
B．某篮球运动员2次罚球，投中一个，则可断定他罚球命中的概率一定为50%
C．“明天我市会下雨”是随机事件
D．若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票一定会中奖
【分析】根据概率的定义进行判断．
【解答】解：A、若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口不一定遇到红灯，故本选项错误；
B、某篮球运动员2次罚球，投中一个，这是一个随机事件，但不能断定他罚球命中的概率一定为50%，故本选项错误；
C、明天我市会下雨是随机事件，故本选项正确；
D、某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，故该选项错误；
故选：C．
【点评】考查了概率的意义．正确理解概率的含义是解决本题的关键．
5．（2023春•清苑区期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
【分析】根据概率的意义，结合具体的问题情境综合进行判断即可．
【解答】解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，就是经过大量重复的实验，抛一枚均匀硬币正面朝上的频率越稳定在左右，因此，
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因此选项A不符合题意；
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于，这种说法是正确的，因此选项B不符合题意；
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项C不符合题意；
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查频率与概率，理解概率的意义，掌握频率与概率的关系是正确判断的前提．
四．概率公式（共5小题）
6．（2023秋•瑞安市期末）如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】列出所有等可能结果，从所有结果中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：从A口进入，出口有B、C、D三种情况，其中从C口出的只有1种结果，
∴从B、C、D三个出口中恰好在C出口出来的概率为，
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，找到所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
7．（2022秋•合川区期末）在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，共5个球，
∴取出红球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
8．（2022秋•青羊区期末）一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是 ．
【分析】计算出数字的总共组合有几种，其中只有一种能打开．利用概率公式进行求解即可．
【解答】解：因为密码由四个数字组成，如百位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则个位上的数字即有可能是0﹣9中的一个，要试10次，同样，假设十位上的数字是1，则个位上的数字即有可能是0﹣9中的一个，也要试10次，依此类推，要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，所以一次就能打开该锁的概率是；
故答案为：．
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
9．（2022秋•朝阳区期末）如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 4 个．
【分析】先根据题意得出指针指向红色的概率是，再根据有12个等分区，结合概率公式即可求出答案．
【解答】解：12×＝4（个）．
故涂上红色的小扇形有4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查了概率公式，掌握概率公式的求法即概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键，是一道常考题型．
10．（2022秋•延边州期末）一个批发商从某服装制造公司购进了50包型号为L的衬衫，由于包装工人的疏忽，在包裹中混进了型号为M的衬衫，每一包中混入的M号衬衫数见下表：
一位零售商从50包中任意选取了一包，求下列事件的概率：
（1）包中没有混入的M号衬衫；
（2）包中混入的M号衬衫数不超过7；
（3）包中混入的M号衬衫数超过10．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：（1）没有混入的M号衬衫的包数是7包，所以P（没有混入的M号衬衫）＝；
（2）混入的M号衬衫数不超过7的包数是40包，所以P（混入的M号衬衫数不超过7）＝；
（3）混入的M号衬衫数超过10的包数是3包，所以P（混入的M号衬衫数超过10）＝．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．根据概率公式分别计算即可．
五．几何概率（共4小题）
11．（2022秋•仙桃校级期末）如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先设每个正六边形的面积为x，则阴影部分的面积是4x，得出整个图形的面积是7x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：先设每个正六边形的面积为x，
则阴影部分的面积是4x，得出整个图形的面积是7x，
则这个点取在阴影部分的概率是＝．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
12．（2022秋•潼南区期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，
则它最终停留在黑砖上的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
13．（2022秋•江阴市期末）一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是 ．
【分析】设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9，阴影区域的面积3，然后根据概率的定义计算即可．
【解答】解：设每小格的面积为1，
∴整个方砖的面积为9，
阴影区域的面积为3，
∴最终停在阴影区域上的概率为：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率＝．
14．（2022秋•城厢区校级期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且∠EOF＝90°，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是 ．
【分析】米粒落在图中阴影部分的概率就是阴影部分的面积同正方形总面积的比．
【解答】解：设正方形为ABCD，故点O作OH⊥BC于点H，作OG⊥AB于点G，
∵∠EOG+∠GOF＝90°，∠GOF+∠FOH＝90°，
∴∠EOG＝∠HOF，
∵∠OGE＝∠OHF＝90°，OH＝OG，
∴△OGE≌△OHF（AAS），
∴S△OGE＝S△OHF，
∴S阴影＝S正方形OGBH＝S正方形ABCD，
在正方形中，满足点E、F分别在正方形的边上（此处采用极限思想），且∠EOF＝90°的图形如图所示：
因此EOF的面积是正方形总面积的，因此米粒落在图中阴影部分的概率是．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比，证明三角形全等是本题解题的关键．
六．列表法与树状图法（共3小题）
15．（2022秋•高青县期末）为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出如图所示的树状图，已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球，其中取出的球是一个红球和一个白球的结果共有（ ）种．
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用题中的树状图找出一个红球和一个白球的结果数即可．
【解答】解：树状图为：
共有6种等可能的结果，其中取出的球是一个红球和一个白球的结果共有2种．
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
16．（2022秋•温州期末）如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果，
所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为，
故选：D．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（2022秋•大名县校级期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，树状图如下，
由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是＝，
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
七．游戏公平性（共5小题）
18．（2022秋•灵宝市期末）甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 不公平 的．（填“公平”或“不公平”）
【分析】根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答．
【解答】解：∵骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为＝；
骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为＝；
故游戏规则对甲有利．
故答案为：不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（2022秋•丰南区校级期末）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张后，小亮再从剩下的卡片中抽取一张．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜．
（1）请用列表法或树状图等方法求小明获胜的概率；
（2）你认为该游戏对双方是否公平？请说明理由．
【分析】（1）将所有可能的情况在图中表示出来即可；
（2）计算出和为奇数与和为偶数的概率，即可得到游戏是否公平．
【解答】解：（1）列表如下：
由上表可知，所有等可能的结果共有6种．
（2）∵共有6种等可能的情况数，其中和为奇数的有4种，和为偶数的有2种，
P（和为奇数）＝＝，P（和为偶数）＝＝，
∵＞，
∴这个游戏规则对双方是不公平的．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
20．（2022秋•息县期末）2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：
甲口袋（不透明）装有编号为1，2，3的三个小球，乙口袋（不透明）装有编号为1，2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【分析】先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小明获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．
【解答】解：根据题意列表如下：
∴共有12种等可能的结果，其中两球编号之和为偶数的有6种结果，两球编号之和为奇数的有6种结果，
则小明获胜的概率是，小雪获胜的概率是，
∵＝，
∴这个游戏对双方公平．
【点评】本题考查列表法，游戏公平性，解题的关键是正确列出所有可能的结果．
21．（2022秋•秦皇岛期末）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
（1）求所抽查学生读课外书册数的平均数；
（2）随后又补查了另外几人，得知其中1人读了4册，其余几人最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多又补查了 5 人．
（3）老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，如图，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学，你认为这个游戏公平吗？为什么？
【分析】（1）先求出读5册书是人数，再求加权平均数；
（2）先求原来的中位数，再求最多补查人数；
（3）先分别他们的概率，再作比较．
【解答】解：（1）抽查的总人数为：6÷0.25＝24（人），
∴读5册的学生有：24﹣5﹣6﹣4＝9（人），
∴所抽查学生读课外书册数的平均数为：×（4×5+5×9+6×6+4×7）＝5.375（本）；
（2）原来的中位数为：5，
6+9＝15﹣10＝4，4+1＝5，
故答案为：5；
（3）不公平；
理由：借给七年级同学的概率为：，
借给八年级同学的概率为：1﹣＝，
∵≠，
故游戏不公平．
【点评】本题考查了游戏的公平性，掌握有关统计和概率知识是解题的关键．
22．（2023春•丰城市校级期末）小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用树状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）根据（1）求得哥哥去的概率，比较概率的大小，即可知游戏规则是否公平．
【解答】解：（1）画树状图得：
一共有16种结果，每种结果出现的可能性相同．
和为偶数的概率为＝，
所以小莉去上海看世博会的概率为；
（2）由（1）列表的结果可知：小莉去的概率为，哥哥去的概率为，所以游戏不公平，对哥哥有利．
游戏规则改为：将1，2，3，4四张牌给小莉，将5，6，7，8四张牌给哥哥，则游戏是公平的．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
八．利用频率估计概率（共6小题）
23．（2022秋•龙泉驿区期末）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3B．5C．10D．12
【分析】用红球的个数除以红球频率的稳定值即可．
【解答】解：由题意知，m的值约为3÷0.3＝10，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
24．（2022秋•沈河区期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，则红球的个数为（ ）
A．11B．14C．17D．20
【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解答】解：设红球的个数为x个，根据题意得：
∴＝0.15，
解得：x＝17，
经检验x＝17是原方程的解，
则红球的个数为17个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
25．（2023春•兰州期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.60 ；
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 0.6 ，摸到黑球的概率是 0.4 ；（精确到0.1）
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【分析】（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．
（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．
（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
【解答】解：（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60，
故答案为：0.60；
（2）因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
所以摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.6，0.4；
（3）因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球有30×0.6＝18个，黑球有30×0.4＝12个．
【点评】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．
26．（2022秋•广阳区校级期末）如图所示为某商场的一个可以自由转动的转盘，商场规定顾客购物满100元即可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，如表是活动进行中的统计数据：
根据以上信息，解析下列问题：
（1）请估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是 0.6 ；（精确到0.1）
（2）现有若干个除颜色外都相同的白球和黑球，根据（1）的结论，在保证获得纸巾和免洗洗手液概率不变的情况下，请你设计一个可行的摸球抽奖规则，详细说明步骤；
（3）小明和小亮都购买了超过100元的商品，均获得一次转动转盘的机会，根据（2）中设计的规则，利用画树状图或列表的方法求两人都获得纸巾的概率．
【分析】（1）利用频率估计概率，用转动转盘1000次的频率去估计概率；
（2）利用概率公式设计一个摸球游戏规则，使摸到白球的概率为0.6，摸到黑球的概率为0.4即可；
（3）画树状图展示所有25种等可能的结果数，找出两人都获得纸巾的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率约是0.6（精确到0.1）；
故答案为：0.6；
（2）摸球抽奖规则：把3个白球和2个黑球放入一个不透明的袋子（5个球除颜色外都相同），顾客购物满100元即可获得一次摸球的机会，当摸到白球时奖品为纸巾，摸到黑球时奖品为免洗洗手液；
（3）画树状图为：
共有25种等可能的结果数，其中两人都获得纸巾的结果数为9，
所以两人都获得纸巾的概率为．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了列表法与树状图法．
27．（2022秋•邯郸期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是试验进行中的统计数据．
（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 0.25 （精确到0.01），该袋子中的黑球有 1 个；
（2）该学习小组成员从该袋中随机摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的2个球的颜色不同的概率．
【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可，根据概率公式可求得黑球的个数；
（2）根据画树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.25，
估计摸到黑球的概率为0.25，设黑球有a个，则，
解得：a＝1，
故答案为：0.25，1；
（2）树状图如图；
共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种，
∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为．
【点评】本题考查了用频率估计概率、用树状图求概率，会用树状图列出所有可能的结果是解题关键．
28．（2022秋•西丰县期末）一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球4只，它们除颜色外，其他都相同，小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回不断重复实验，将多次实验结果画出如下频率统计图．
（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 0.75 （精确到0.01），从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是 ；
（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．
【分析】（1）当试验次数达到1500次时，摸到白球的频率接近于0.75，据此可得答案；
（2）用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案．
【解答】解：（1）由折线统计图知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，
从箱子中摸一次球，摸到红球的概率为1﹣0.75＝0.25＝，
故答案为：0.75、；
（2）由（1）知，袋中白球的个数约为4×0.75＝3，红球的个数为4﹣3＝1，
列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中摸到一个红球一个白球的有6种结果，
∴摸到一个红球一个白球的概率为＝．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法．
九．模拟试验（共2小题）
29．（2022秋•大渡口区校级期末）某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P＝，则下列说法正确的是（ ）
A．P一定等于0.5
B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5
D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近
【分析】根据频率和概率的关系直接判断即可．
【解答】解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查频率和概率的关系，熟练掌握频率和概率的关系是解题的关键．
30．（2023春•芝罘区期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，其中黑球有5个．将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系如图所示，经分析可以推断盒子里白球有 20个 ．
【分析】根据频率估计概率得出摸到黑球的近似概率，再得出摸到白球的概率．
【解答】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2，
∵黑球有5个，所以总数为：＝25，
∴摸出白球的概率约为0.8，
∴白球的个数＝0.8×25＝20（个），
故答案为：20个．
【点评】本题主要考查用频率估计概率，正确理解概率的定义是解题关键．
声明：试题解析著M号衬衫数
0
1
4
5
7
9
10
11
包数
7
3
10
15
5
4
3
3
小明
小亮
1
2
3
1
2+1＝3
3+1＝4
2
1+2＝3
3+2＝5
3
1+3＝4
2+3＝5
4
1
2
3
1
（1，4）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，4）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，4）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
转动转盘的次数
50
100
200
500
800
1000
2000
5000
落在“纸巾”区的次数
22
71
109
312
473
612
1193
3004
摸球的次数n
10
100
200
500
1000
摸到黑球的次数m
3
26
51
126
251
摸到黑球的频率
0.3
0.26
0.255
0.252
0.251
白
白
白
红
白
（白，白）
（白，白）
（红，白）
白
（白，白）
（白，白）
（红，白）
白
（白，白）
（白，白）
（红，白）
红
（白，红）
（白，红）
（白，红）
A．刻舟求剑
B．两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递
C．水溶解金属
D．受精卵发生了基因突变
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意；
B、两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递，是必然事件，符合题意；
C、水溶解金属，是不可能事件，不符合题意；
D、受精卵发生了基因突变，是随机事件，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二．可能性的大小（共2小题）
2．（2022秋•惠安县期末）口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小是（ ）
A．B．C．D．
【分析】计算出取得黄球的概率即可．
【解答】解：取得黄球的概率＝＝，
所以随机从口袋中任取一只球，取得黄球的可能性的大小．
故选：A．
【点评】本题考查了可能性的大小：通过比较概率的大小确定可能性的大小．
3．（2022秋•宜阳县期末）甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着100个红球、40个黑球和5个白球．三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已经各自搅匀，从袋中任取1个球，如果你想取出一个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？请说明理由．
【分析】直接求出概率比较即可．
【解答】解：从乙袋中取出一个球是黑球的机会大．
原因如下：从甲袋中取出一个球是黑球的概率是；
从乙袋中取出一个球是黑球的概率是．
∵，
∴从乙袋中取出一个球是黑球的机会大．
【点评】此题考查可能性的大小，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．
三．概率的意义（共2小题）
4．（2022秋•新乡期末）下列说法正确的是（ ）
A．若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口必遇到红灯
B．某篮球运动员2次罚球，投中一个，则可断定他罚球命中的概率一定为50%
C．“明天我市会下雨”是随机事件
D．若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票一定会中奖
【分析】根据概率的定义进行判断．
【解答】解：A、若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口不一定遇到红灯，故本选项错误；
B、某篮球运动员2次罚球，投中一个，这是一个随机事件，但不能断定他罚球命中的概率一定为50%，故本选项错误；
C、明天我市会下雨是随机事件，故本选项正确；
D、某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，故该选项错误；
故选：C．
【点评】考查了概率的意义．正确理解概率的含义是解决本题的关键．
5．（2023春•清苑区期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
【分析】根据概率的意义，结合具体的问题情境综合进行判断即可．
【解答】解：抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，就是经过大量重复的实验，抛一枚均匀硬币正面朝上的频率越稳定在左右，因此，
A．通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，因此选项A不符合题意；
B．大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于，这种说法是正确的，因此选项B不符合题意；
C．连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项C不符合题意；
D．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查频率与概率，理解概率的意义，掌握频率与概率的关系是正确判断的前提．
四．概率公式（共5小题）
6．（2023秋•瑞安市期末）如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】列出所有等可能结果，从所有结果中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：从A口进入，出口有B、C、D三种情况，其中从C口出的只有1种结果，
∴从B、C、D三个出口中恰好在C出口出来的概率为，
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，找到所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
7．（2022秋•合川区期末）在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，共5个球，
∴取出红球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
8．（2022秋•青羊区期末）一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是 ．
【分析】计算出数字的总共组合有几种，其中只有一种能打开．利用概率公式进行求解即可．
【解答】解：因为密码由四个数字组成，如百位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则个位上的数字即有可能是0﹣9中的一个，要试10次，同样，假设十位上的数字是1，则个位上的数字即有可能是0﹣9中的一个，也要试10次，依此类推，要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，所以一次就能打开该锁的概率是；
故答案为：．
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
9．（2022秋•朝阳区期末）如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 4 个．
【分析】先根据题意得出指针指向红色的概率是，再根据有12个等分区，结合概率公式即可求出答案．
【解答】解：12×＝4（个）．
故涂上红色的小扇形有4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查了概率公式，掌握概率公式的求法即概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键，是一道常考题型．
10．（2022秋•延边州期末）一个批发商从某服装制造公司购进了50包型号为L的衬衫，由于包装工人的疏忽，在包裹中混进了型号为M的衬衫，每一包中混入的M号衬衫数见下表：
一位零售商从50包中任意选取了一包，求下列事件的概率：
（1）包中没有混入的M号衬衫；
（2）包中混入的M号衬衫数不超过7；
（3）包中混入的M号衬衫数超过10．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：（1）没有混入的M号衬衫的包数是7包，所以P（没有混入的M号衬衫）＝；
（2）混入的M号衬衫数不超过7的包数是40包，所以P（混入的M号衬衫数不超过7）＝；
（3）混入的M号衬衫数超过10的包数是3包，所以P（混入的M号衬衫数超过10）＝．
【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．根据概率公式分别计算即可．
五．几何概率（共4小题）
11．（2022秋•仙桃校级期末）如图，是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先设每个正六边形的面积为x，则阴影部分的面积是4x，得出整个图形的面积是7x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：先设每个正六边形的面积为x，
则阴影部分的面积是4x，得出整个图形的面积是7x，
则这个点取在阴影部分的概率是＝．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
12．（2022秋•潼南区期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，
则它最终停留在黑砖上的概率是．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
13．（2022秋•江阴市期末）一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是 ．
【分析】设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9，阴影区域的面积3，然后根据概率的定义计算即可．
【解答】解：设每小格的面积为1，
∴整个方砖的面积为9，
阴影区域的面积为3，
∴最终停在阴影区域上的概率为：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率＝．
14．（2022秋•城厢区校级期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且∠EOF＝90°，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是 ．
【分析】米粒落在图中阴影部分的概率就是阴影部分的面积同正方形总面积的比．
【解答】解：设正方形为ABCD，故点O作OH⊥BC于点H，作OG⊥AB于点G，
∵∠EOG+∠GOF＝90°，∠GOF+∠FOH＝90°，
∴∠EOG＝∠HOF，
∵∠OGE＝∠OHF＝90°，OH＝OG，
∴△OGE≌△OHF（AAS），
∴S△OGE＝S△OHF，
∴S阴影＝S正方形OGBH＝S正方形ABCD，
在正方形中，满足点E、F分别在正方形的边上（此处采用极限思想），且∠EOF＝90°的图形如图所示：
因此EOF的面积是正方形总面积的，因此米粒落在图中阴影部分的概率是．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比，证明三角形全等是本题解题的关键．
六．列表法与树状图法（共3小题）
15．（2022秋•高青县期末）为解决“在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球”的问题，小明画出如图所示的树状图，已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球，其中取出的球是一个红球和一个白球的结果共有（ ）种．
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用题中的树状图找出一个红球和一个白球的结果数即可．
【解答】解：树状图为：
共有6种等可能的结果，其中取出的球是一个红球和一个白球的结果共有2种．
故选：B．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
16．（2022秋•温州期末）如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果，
所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为，
故选：D．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（2022秋•大名县校级期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，树状图如下，
由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是＝，
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
七．游戏公平性（共5小题）
18．（2022秋•灵宝市期末）甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 不公平 的．（填“公平”或“不公平”）
【分析】根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答．
【解答】解：∵骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为＝；
骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为＝；
故游戏规则对甲有利．
故答案为：不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（2022秋•丰南区校级期末）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张后，小亮再从剩下的卡片中抽取一张．计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数则小明胜，和为偶数则小亮胜．
（1）请用列表法或树状图等方法求小明获胜的概率；
（2）你认为该游戏对双方是否公平？请说明理由．
【分析】（1）将所有可能的情况在图中表示出来即可；
（2）计算出和为奇数与和为偶数的概率，即可得到游戏是否公平．
【解答】解：（1）列表如下：
由上表可知，所有等可能的结果共有6种．
（2）∵共有6种等可能的情况数，其中和为奇数的有4种，和为偶数的有2种，
P（和为奇数）＝＝，P（和为偶数）＝＝，
∵＞，
∴这个游戏规则对双方是不公平的．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
20．（2022秋•息县期末）2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．在学校组织的航天知识竞赛中，小明和小雪均获得了一等奖，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得．游戏规则如下：
甲口袋（不透明）装有编号为1，2，3的三个小球，乙口袋（不透明）装有编号为1，2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜；若两球编号之和为奇数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【分析】先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小明获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．
【解答】解：根据题意列表如下：
∴共有12种等可能的结果，其中两球编号之和为偶数的有6种结果，两球编号之和为奇数的有6种结果，
则小明获胜的概率是，小雪获胜的概率是，
∵＝，
∴这个游戏对双方公平．
【点评】本题考查列表法，游戏公平性，解题的关键是正确列出所有可能的结果．
21．（2022秋•秦皇岛期末）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
（1）求所抽查学生读课外书册数的平均数；
（2）随后又补查了另外几人，得知其中1人读了4册，其余几人最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多又补查了 5 人．
（3）老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，如图，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学，你认为这个游戏公平吗？为什么？
【分析】（1）先求出读5册书是人数，再求加权平均数；
（2）先求原来的中位数，再求最多补查人数；
（3）先分别他们的概率，再作比较．
【解答】解：（1）抽查的总人数为：6÷0.25＝24（人），
∴读5册的学生有：24﹣5﹣6﹣4＝9（人），
∴所抽查学生读课外书册数的平均数为：×（4×5+5×9+6×6+4×7）＝5.375（本）；
（2）原来的中位数为：5，
6+9＝15﹣10＝4，4+1＝5，
故答案为：5；
（3）不公平；
理由：借给七年级同学的概率为：，
借给八年级同学的概率为：1﹣＝，
∵≠，
故游戏不公平．
【点评】本题考查了游戏的公平性，掌握有关统计和概率知识是解题的关键．
22．（2023春•丰城市校级期末）小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用树状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）根据（1）求得哥哥去的概率，比较概率的大小，即可知游戏规则是否公平．
【解答】解：（1）画树状图得：
一共有16种结果，每种结果出现的可能性相同．
和为偶数的概率为＝，
所以小莉去上海看世博会的概率为；
（2）由（1）列表的结果可知：小莉去的概率为，哥哥去的概率为，所以游戏不公平，对哥哥有利．
游戏规则改为：将1，2，3，4四张牌给小莉，将5，6，7，8四张牌给哥哥，则游戏是公平的．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
八．利用频率估计概率（共6小题）
23．（2022秋•龙泉驿区期末）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3B．5C．10D．12
【分析】用红球的个数除以红球频率的稳定值即可．
【解答】解：由题意知，m的值约为3÷0.3＝10，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
24．（2022秋•沈河区期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，则红球的个数为（ ）
A．11B．14C．17D．20
【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【解答】解：设红球的个数为x个，根据题意得：
∴＝0.15，
解得：x＝17，
经检验x＝17是原方程的解，
则红球的个数为17个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
25．（2023春•兰州期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.60 ；
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 0.6 ，摸到黑球的概率是 0.4 ；（精确到0.1）
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【分析】（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．
（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．
（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
【解答】解：（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60，
故答案为：0.60；
（2）因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
所以摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.6，0.4；
（3）因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球有30×0.6＝18个，黑球有30×0.4＝12个．
【点评】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．
26．（2022秋•广阳区校级期末）如图所示为某商场的一个可以自由转动的转盘，商场规定顾客购物满100元即可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品，如表是活动进行中的统计数据：
根据以上信息，解析下列问题：
（1）请估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率是 0.6 ；（精确到0.1）
（2）现有若干个除颜色外都相同的白球和黑球，根据（1）的结论，在保证获得纸巾和免洗洗手液概率不变的情况下，请你设计一个可行的摸球抽奖规则，详细说明步骤；
（3）小明和小亮都购买了超过100元的商品，均获得一次转动转盘的机会，根据（2）中设计的规则，利用画树状图或列表的方法求两人都获得纸巾的概率．
【分析】（1）利用频率估计概率，用转动转盘1000次的频率去估计概率；
（2）利用概率公式设计一个摸球游戏规则，使摸到白球的概率为0.6，摸到黑球的概率为0.4即可；
（3）画树状图展示所有25种等可能的结果数，找出两人都获得纸巾的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）估计转动该转盘一次，获得纸巾的概率约是0.6（精确到0.1）；
故答案为：0.6；
（2）摸球抽奖规则：把3个白球和2个黑球放入一个不透明的袋子（5个球除颜色外都相同），顾客购物满100元即可获得一次摸球的机会，当摸到白球时奖品为纸巾，摸到黑球时奖品为免洗洗手液；
（3）画树状图为：
共有25种等可能的结果数，其中两人都获得纸巾的结果数为9，
所以两人都获得纸巾的概率为．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了列表法与树状图法．
27．（2022秋•邯郸期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是试验进行中的统计数据．
（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近 0.25 （精确到0.01），该袋子中的黑球有 1 个；
（2）该学习小组成员从该袋中随机摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的2个球的颜色不同的概率．
【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可，根据概率公式可求得黑球的个数；
（2）根据画树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.25，
估计摸到黑球的概率为0.25，设黑球有a个，则，
解得：a＝1，
故答案为：0.25，1；
（2）树状图如图；
共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种，
∴随机摸出的2个球的颜色不同的概率为．
【点评】本题考查了用频率估计概率、用树状图求概率，会用树状图列出所有可能的结果是解题关键．
28．（2022秋•西丰县期末）一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球4只，它们除颜色外，其他都相同，小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回不断重复实验，将多次实验结果画出如下频率统计图．
（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 0.75 （精确到0.01），从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是 ；
（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．
【分析】（1）当试验次数达到1500次时，摸到白球的频率接近于0.75，据此可得答案；
（2）用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案．
【解答】解：（1）由折线统计图知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，
从箱子中摸一次球，摸到红球的概率为1﹣0.75＝0.25＝，
故答案为：0.75、；
（2）由（1）知，袋中白球的个数约为4×0.75＝3，红球的个数为4﹣3＝1，
列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中摸到一个红球一个白球的有6种结果，
∴摸到一个红球一个白球的概率为＝．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法．
九．模拟试验（共2小题）
29．（2022秋•大渡口区校级期末）某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P＝，则下列说法正确的是（ ）
A．P一定等于0.5
B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5
D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近
【分析】根据频率和概率的关系直接判断即可．
【解答】解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查频率和概率的关系，熟练掌握频率和概率的关系是解题的关键．
30．（2023春•芝罘区期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，其中黑球有5个．将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系如图所示，经分析可以推断盒子里白球有 20个 ．
【分析】根据频率估计概率得出摸到黑球的近似概率，再得出摸到白球的概率．
【解答】解：由图可知，摸出黑球的概率约为0.2，
∵黑球有5个，所以总数为：＝25，
∴摸出白球的概率约为0.8，
∴白球的个数＝0.8×25＝20（个），
故答案为：20个．
【点评】本题主要考查用频率估计概率，正确理解概率的定义是解题关键．
声明：试题解析著M号衬衫数
0
1
4
5
7
9
10
11
包数
7
3
10
15
5
4
3
3
小明
小亮
1
2
3
1
2+1＝3
3+1＝4
2
1+2＝3
3+2＝5
3
1+3＝4
2+3＝5
4
1
2
3
1
（1，4）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，4）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，4）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
转动转盘的次数
50
100
200
500
800
1000
2000
5000
落在“纸巾”区的次数
22
71
109
312
473
612
1193
3004
摸球的次数n
10
100
200
500
1000
摸到黑球的次数m
3
26
51
126
251
摸到黑球的频率
0.3
0.26
0.255
0.252
0.251
白
白
白
红
白
（白，白）
（白，白）
（红，白）
白
（白，白）
（白，白）
（红，白）
白
（白，白）
（白，白）
（红，白）
红
（白，红）
（白，红）
（白，红）
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