[数学]吉林省四平市2023-2024学年高二下学期期中质量监测试题(解析版)

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注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的导函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
2. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 20D. 40
【答案】D
【解析】因为展开式的通项为（且），
所以的展开式中的系数为.
故选：D
3. 某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（ ）
A. 108种B. 90种C. 72种D. 36种
【答案】A
【解析】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有种；
第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有种播出方案，
综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有种不同的播出方案.
故选：A
4. 已知，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若，则的常数项为；
若的二项展开式中存在常数项，
设二项式的通项为，
且存在常数项，则，，为整数，
所以能被4整除.
所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.
故选：A
5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】设，点，则，
由在点处的切线与直线垂直可得，
即，又，.
故选：D
6. 已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，
由可得，或，
① 若，即时，，显然不合题意；
② 若，即时，当或时，，即在和上单调递增；
当，，在上单调递减，
故在处取得极小值，符合题意；
③ 若，即时，当或时，，即在和上单调递增；
当，，在上单调递减，
故在处取得极大值，不符题意.
综上所述，当时，在处取得极小值，故的取值范围是.
故选：A.
7. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
.
故选：B
8. 若函数在区间内存在单调减区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，
当时，，不符合题意；
当时，令，解得，
在区间内存在单调减区间，
，解得.
实数的取值范围是.
故选：.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A. 若A，不相邻，有72种排法B. 若A，不相邻，有48种排法
C. 若A，相邻，有48种排法D. 若A，相邻，有24种排法
【答案】AC
【解析】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻，
则先让，，自由排列，再让A，去插空即可，
则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误；
A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻，
则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可，
则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误.
故选：AC
10. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A. 偶数项的二项式系数之和为32B. 第3项的二项式系数最大
C. 常数项为60D. 有理项的个数为3
【答案】AC
【解析】偶数项的二项式系数之和为，故A正确；
根据二项式，当时的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误
，
令，，∴，故C正确；
为整数时，，故有理项的个数为4，故D错误.
故选：AC．
11. 已知函数,则下列说法正确的是（ ）
A. 有且仅有一个极值点
B. 有且仅有两个极值点
C. 当时，的图象位于轴下方
D. 存在，使得
【答案】AC
【解析】由题意知，,令,,
易得在上单调递减,又,，
所以,使得，
所以当时,，当时,，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以有且仅有一个极值点.故A正确B错误;
当时,，,所以,故C正确;
所以,故D错误.
故选:AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种.
【答案】8
【解析】依题意，可由三名学生依次选修课程，故分三步完成，
由分步乘法计数原理知，不同的选法有（种）.
故答案为：8.
13. 函数的单调减区间为___________.
【答案】
【解析】函数的定义域为，
且，
令，即，解不等式可得，
所以函数单调递减区间为.
故答案：
14. 已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】令，则，所以在上单调递增，
由，得，即，
又在上单调递增，所以，解得.
所以不等式的解集是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. （1）求值：;
（2）解方程：．
解：（1）因为，所以，
原式
；
（2）因为，
所以，
化简可得，同时，
解得.
16. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，
（1）求的值；
（2）求其展开式中所有的有理项．
解：（1）因为，所以，
当为奇数时，此方程无解，
当为偶数时，方程可化为，解得；
（2）由通项公式，
当为整数时，是有理项，
则，
所以有理项为．
17. 为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？
（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
解：（1）两组都是3女2男的情况有（种）：
一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种），
所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案.
（2）视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种，
再排余下两个及丙，有种，而丁和戊的排列有种，
所以不同排列方式的种数是.
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
解：（1）当时，，
，所以，
曲线在处的切线方程为.
（2），
①当时，，所以函数在上单调递增；
②当时，令，则(舍)或，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
③当时，令，则或(舍)，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增；
当时，当时，函数单调递减
当时，函数单调递增；
当时，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增
19. 已知函数，其中.
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）函数的定义域为，，
①当时，解得，解得，
此时函数的减区间为，增区间为，
②当时，解得，解得，
此时函数的增区间为，减区间为；
（2）不等式可化为，
由恒成立，取，有，可得，
又由可化为，
令，有，
令解得，解得
此时函数的减区间为，增区间为，
有，可得，
可得，
下面证明，即证明，
令，有，
令解得，解得，
可得函数的减区间为，增区间为，
有，
可得不等式成立，
所以若恒成立，则实数的取值范围为.