2024贵阳一中高二下学期6月月考试题数学含解析

这是一份2024贵阳一中高二下学期6月月考试题数学含解析，共22页。试卷主要包含了 的展开式中的系数是， 已知在中，角所对的边分别为， 已知，则， 下列说法正确的是， 已知函数，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚，
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知命题，则命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2. 曲线在处切线倾斜角为（ ）
A. 0B. C. D.
3. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）
A 斗B. 斗C. 斗D. 斗
4. 的展开式中的系数是（ ）
A 48B. -48C. 72D. -72
5. 小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（ ）种.
A. 48B. 72C. 216D. 432
6. 已知在中，角所对的边分别为.内角为等差数列，若边上的中线长为，且的面积为，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 已知点在函数图象上，点在直线上，记，则（ ）
A. 当取最小值时，点的横坐标为
B. 当取最小时，点的横坐标为1
C. 当取最小值时，点的横坐标为
D. 当取最小时，点的横坐标为
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 设已知随机变量满足，则
B. 若，则
C. 若，设，则
D. 若事件相互独立且，则
10. 已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 对于任意，函数在定义域上是单调递减函数
B. 对于任意，函数存在最小值
C. 存在，使得对于任意都有恒成立
D. 存在，使得在定义域上有两个零点
11. 已知为两个随机事件，分别为其对立事件，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用表示选到男生的人数，则的概率是__________.
13. 若，则______.（用数字作答）
14. 已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为__________.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.
（1）求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
（2）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
（3）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.
16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为6的正三角形，是的重心，.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
17. 中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且.
（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上市民人数；
（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望.
18. 已知圆：的圆心为椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，为的中点，为坐标原点，分别过作椭圆的切线，两切线相交于点.
（i）求证：三点共线；
（ii）当不与轴垂直时，求的最小值.
19. 设是函数的导函数，若可导，则称函数的导函数为的二阶导函数，记为.若有变号零点，则称点为曲线的“拐点”.
（1）研究发现，任意三次函数，曲线都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，求函数的解析式，并讨论的单调性；
（2）已知函数.
（i）求曲线的“拐点”；
（ii）若，求证：.
高二数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚，
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知命题，则命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题的否定是.
故选：B.
2. 曲线在处切线的倾斜角为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求解.
【详解】解：因为，
所以曲线在处的切线的斜率为，
结合直线倾斜角范围及斜率与倾斜角关系知：切线倾斜角为，
故选：D.
3. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）
A. 斗B. 斗C. 斗D. 斗
【答案】C
【解析】
【分析】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，根据题意，列出方程，即可求解.
【详解】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，
由题意得，所以，所以马主人应赔偿斗.
故选：C.
4. 的展开式中的系数是（ ）
A. 48B. -48C. 72D. -72
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用二项式定理得展开式，结合多项式展开式的形式，即可求解.
【详解】由题意，多项式的展开式中，的系数等于.
故选：A.
5. 小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（ ）种.
A. 48B. 72C. 216D. 432
【答案】D
【解析】
【分析】利用相邻问题中的捆绑法可求出结果.
【详解】先将个将军俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，
将个骑兵俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，
将个跪射俑捆在一起当一个元素使用，有种捆法，
再将所得个元素作全排，有种排法，所以不同的排法共有种.
故选：D.
6. 已知在中，角所对的边分别为.内角为等差数列，若边上的中线长为，且的面积为，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出B，根据平行四边形法则得，两边平方得到一个关于，的方程，再根据面积公式得到，的另一个方程，最后由余弦定理计算出.
【详解】因为内角成等差数列，所以,即，
设中点为，所以，由题意，，
所以，即，
又因为，所以，，
由余弦定理，，所以.
故选：A.
7. 已知点在函数的图象上，点在直线上，记，则（ ）
A. 当取最小值时，点的横坐标为
B. 当取最小时，点的横坐标为1
C. 当取最小值时，点的横坐标为
D. 当取最小时，点的横坐标为
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性，作出函数的图象，然后利用数形结合知函数在点处的切线平行于直线，然后利用导数的几何意义求得切点坐标，再利用垂直关系求得直线PQ方程，与直线联立求解交点即可.
【详解】，则，令得，
令得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
作出函数函数的图象，
如图：
由题意，当最小时，函数在点处的切线平行于直线，
过点作直线的垂线，垂足即为点.设的坐标为，
因为，所以，解得，即点的坐标为，
所以过点，且与直线垂直的直线方程为，
联立方程解得的坐标为.
故选：D.
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合对数的运算性质和函数的单调性，即可求解.
【详解】令函数，可得，所以函数在上单调递增，
又因为，
因为，所以，即.
故选：C.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 设已知随机变量满足，则
B. 若，则
C. 若，设，则
D. 若事件相互独立且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据期望的性质，可判定A正确；结合二项分布方差的公式，可判定B错误；根据正态分布曲线的对称性，可得判定C正确；根据条件概率的计算公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，由，所以，所以B错误；
对于C中，由，所以，所以C正确；
对于D中，因为相互独立，所以，
且，所以D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 对于任意，函数在定义域上是单调递减函数
B. 对于任意，函数存在最小值
C. 存在，使得对于任意都有恒成立
D. 存在，使得在定义域上有两个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】A.利用导数法判断；C.由时，判断；B.利用导数法判断；D.利用导数法判断.
【详解】因为，所以.
当时，，函数在上单调递增，A错误；
又因为当时，，C错误；
当时，显然在上单调递增，且当时，，当时，，
所以存在，使得函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数有最小值，B正确；
又因为当时，当时，，当时，，
所以只需函数的最小值小于0，函数就有两个零点，D正确，
故选：BD.
11. 已知为两个随机事件，分别为其对立事件，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据事件和概率加法公式，全概率，条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行逐一的分析判断即可．
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，所以，解得，故C正确；
对于D，因为，所以，又因为，
所以，解得，故D正确.
故选：BCD.
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用表示选到男生的人数，则的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合，即可求解.
【详解】由题意，某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，
随机变量男生人数的可能取值为，则.
故答案为：.
13. 若，则______.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法，分别令，令，代入求解即可.
【详解】令，可得；
令，可得；
两式相减除以2，得.
故答案为：
14. 已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，利用导数求得为增函数，把不等式转化为，得到，列出不等式组，即可求解.
【详解】令，则，所以增函数，
不等式可变形为，
因为，所以不等式等价于，
所以，解得，所以不等式的解集为.
故答案为：.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.
（1）求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
（2）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
（3）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）法一：结合排列组合数运算利用古典概型概率公式求解即可；法二：利用条件概率公式求解即可.
（2）利用全概率概率公式求解即可.
（3）利用条件概率公式求解即可.
【小问1详解】
记“选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题”为事件，“选手甲第2次抽到“函数与导数”试题”为事件，
法一：.
法二：由概率乘法公式可得.
【小问2详解】
由全概率公式可得.
【小问3详解】
由条件概率公式可得.
16. 如图，在三棱柱中，底面是边长为6正三角形，是的重心，.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用全等思想来证明等腰，然后可得中线就是垂线，从而可证明线面垂直到线线垂直，再证明线面垂直即可；
（2）利用空间向量法来求解二面角的余弦值，再求出正弦值即可.
【小问1详解】
证明：如图，连接并延长交于点，

连接，
是的重心，是的中点，
又底面是正三角形，.
在与中，为公共边，
，，，
又平面平面，
平面，又平面，.
正的边长为6，，，
又，
在中，由余弦定理可得，，
，.
又平面平面，
平面.
【小问2详解】
如图，过作面，建立空间直角坐标系，

则，故，
设平面的法向量，则，令，解得，则.
设平面的法向量，则，令，解得，则.
设二面角的大小为，则，
,，即二面角的正弦值为.
17. 中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且.
（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；
（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）200人.
（2）分布列见解析，0.6
【解析】
【分析】（1）由变量近似服从正态分布，求得，进而得到问卷成绩在80分以上的市民人数；
（2）根据题意，得到随机变变量，结合对立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得数学期望.
【小问1详解】
解：因为随机变量近似服从正态分布，且，
所以，所以，
所以估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数为200人.
【小问2详解】
解：由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为，且，
所以随机变量的分布列为，
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的均值为.
18. 已知圆：的圆心为椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，为的中点，为坐标原点，分别过作椭圆的切线，两切线相交于点.
（i）求证：三点共线；
（ii）当不与轴垂直时，求的最小值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得，，即可求解椭圆方程；
（2）（i）分斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，韦达定理求出的坐标，利用判别式法求出切线方程，进而求得的坐标为，即可证明三点共线；
（ii）利用距离公式和弦长公式分别求出，即可求解.
【小问1详解】
由圆：即可得：圆心，所以，
又离心率，所以，所以，
所以椭圆标准方程为.
【小问2详解】
（i）①当斜率不存在时，轴，
由椭圆的对称性可知，均在轴上，所以三点共线.
②当斜率存在时，设的方程为，且，
联立方程组可得：，
则，点的坐标为，
所以所在的直线的方程为，
先证：椭圆上一点处的切线方程为，
当切线斜率存在时，设过点的切线方程为，
联立方程，整理得，
由可得，所以
由韦达定理可知，即，
把代入中，得，
所以，化简得．
当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式．
综上，椭圆上一点的切线方程为.
所以椭圆在处的切线方程为，
联立方程组解得点的坐标为，
，故三点共线.
（ii）由（i）可知，，
又三点共线，所以，所以，
即点化简得，
所以，，
所以
，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
【点睛】关键点睛：解决第二问的关键是证明过椭椭圆上一点处的切线方程为，属较难题.
19. 设是函数的导函数，若可导，则称函数的导函数为的二阶导函数，记为.若有变号零点，则称点为曲线的“拐点”.
（1）研究发现，任意三次函数，曲线都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，求函数的解析式，并讨论的单调性；
（2）已知函数.
（i）求曲线的“拐点”；
（ii）若，求证：
【答案】（1），函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“拐点”的定义，对函数求导列式求解，利用导数研究函数的单调性即可求解，
（2）（ⅰ）根据“拐点”的定义，对函数求导，利用二阶导函数的异号零点得出结果；
（ⅱ）由（i）可得函数在上单调递增，将要证的不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，再根据函数的单调性得到关于的不等式，即可证明.
【小问1详解】
，，，
又函数的图象的对称中心为，即拐点为，
解得，
，，
函数在上为正，在上为负，在上为正，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
（i），
，.
显然，在上单调递增，且，
是的变号零点，
又，
曲线的拐点是.
（ii）由（i）可得，当时，单调递减；
当时，单调递增；
，
函数在上单调递增，不妨设.
要证，即证，即证，
又，即证，即证
令，则，
，
函数在上单调递增，又，
函数在上单调递减，在上单调递增.
得证，即成立.
【点睛】方法点睛：处理此类双变量问题有两个策略：
一是转化，即从已知条件入手，寻找双变量所满足的不等式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式；
二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解.0
1
2
3
0.512
0.384
0096
0.008