2024河南中考数学专题复习第三章 第五节 反比例函数与几何图形结合 课件

这是一份2024河南中考数学专题复习第三章 第五节 反比例函数与几何图形结合 课件，共33页。PPT课件主要包含了考情及趋势分析，①S△OAP，②S△PP1A，③S△PP1A，④S▱P1APB，④S矩形PBOA，例1题图，比例系数k的几何意义，例1题解图，例2题图等内容，欢迎下载使用。

课标要求结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．
命题点1　反比例函数k的几何意义(9年3考)
命题点2　反比例函数与几何图形结合(2017.20)
命题点3　反比例函数与尺规作图结合(2022.18)
命题点4　反比例函数与阴影部分面积计算结合(9年2考)
例1　点P为反比例函数y＝ 图象上一点．(1)下列图形中所表示的面积为1的是______，面积为2的是______，面积为4的是______；(填序号)
如图，在反比例函数y= (k为常数，k≠0)的图象上任取一点P(a，b)，过这一点分别作x轴，y轴的垂线PM，PN与坐标轴围成的矩形PMON的面积为|ab|＝|k|
(2)请你在下列分别再画一个面积为1，2，4的三角形或四边形，要求与(1)中的图形不重复．
(2)作图如解图(答案不唯一)；
反比例函数与几何图形结合的相关计算(9年6考)
例2　已知点P为反比例函数y＝ (k≠0)的图象上一点．(1)若点P的坐标为(2，1)，则该反比例函数的解析式为________；
(2)如图①，连接OP，以OP为边作等边△POQ，边OQ与x轴重合，若k的值为 ，则△POQ的边长为____；
(3)如图②，过点P作菱形ABOP，对角线OA恰好经过y轴，若菱形ABOP的面积为8，则k的值为________；
(4)如图③，若点D是点P关于坐标原点的对称点，且k的值为6.过点D，P分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接PM，PD.则△PMN的面积为________，△PDM的面积为________．
(5)如图④，若k＝2，点P的横坐标为2，点A(0，2)，连接AP，OP，请用无刻度的直尺和圆规作出∠APO的平分线交y轴于点Q，求证：PQ⊥OA.
(5)作图如解图①，PQ即为所求；
证明：∵k＝2，且点P的横坐标为2，∴反比例函数的解析式为y＝ ，P(2，1)，∵O(0，0)，A(0，2)，∴OP＝ ＝ ，AP＝ ＝ ，∴OP＝AP，∵PQ平分∠APO，∴PQ⊥OA；
(6)如图⑤，在(5)条件下，以点A为圆心，OA为半径画弧交OP于点M，连接AM，求阴影部分面积．
(6)点P的坐标为(2，1)，点O的坐标为(0，0)，易得直线OP的解析式为y＝ x，
过点M作MN⊥OA于点N，
设点M的纵坐标为m，∴点M的坐标为(2m，m)，则MN＝2m，AN＝2－m，由题意得：AM＝2，
在Rt△AMN中，(2m)2＋(2－m)2＝22，则m＝0(舍去)或m＝ ，
∴MN＝ ， ∴S△AMO＝ MN·AO＝ ，∵S△APO＝ PQ·AO＝2，∴S△APM＝S△APO－S△AMO＝2－ ＝ .∴阴影部分面积为 .
反比例函数与几何图形结合(9年6考)考情特点：第(1)问一般是已知图象过定点或三角形面积求k，第(2)问或(3)问解题过程常结合k的几何意义．解题策略：1.对于求反比例函数解析式的问题，可通过将几何图形的面积或线段条件转化为函数图象上的点坐标，再用待定系数法求解；
2.涉及与图形面积有关的问题时，注意k的几何意义的运用；3．若题干中已知线段或面积数量关系，通常向坐标轴作垂线，构造全等或相似三角形，利用比例关系，通过表示出函数图象上两个点的坐标求解．求点坐标的方法详见本书 微专题 图形与坐标．
反比例函数k的几何意义9年3考
1. (2021河南18题9分)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y＝ 的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B.
(1)求反比例函数的解析式；
解：(1)将点A(1，2)代入y＝ ，得k＝1×2＝2.∴反比例函数的解析式为y＝ ；
(2)求图中阴影部分的面积．
(2)设点B的坐标为(t，t)，∵反比例函数y＝ 的图象经过点B，∴t＝ ，即t2＝2，∴t＝ (负值已舍去)，∴B( ， ).则小正方形边长为 ，大正方形边长为4，∴S阴影部分＝S大正方形－S小正方形＝42－( )2＝16－8＝8.
利用反比例函数计算出点B坐标，再计算出一个象限中阴影部分面积，再利用正方形和反比例函数的对称性可得阴影部分面积．
反比例函数与几何图形结合2021.20
2. (2021河南20题9分)如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点A(m，3)和B(3，1)．
(1)填空：一次函数的解析式为__________，反比例函数的解析式为________；
【解法提示】将点B(3，1)分别代入y＝－x＋b与y＝ (x>0)，解得b＝4，k＝3，则一次函数的解析式为y＝－x＋4，反比例函数的解析式为y＝ (x＞0).
(2)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围．
(2)把点A(m，3)代入y＝ ，得3＝ ，∴m＝1，∴点A的坐标为(1，3).设点P的坐标为(a，－a＋4)(1≤a≤3)，
则S＝ OD·PD＝ a(－a＋4)＝－ (a－2)2＋2，∵－ ＜0，∴当a＝2时，S有最大值，此时S＝2；
由二次函数的性质得，当a＝1或a＝3时，S有最小值，此时S＝－ (1－2)2＋2＝ ， ∴S的取值范围是 ≤S≤2.
2．1 变设问——求两函数交点与原点形成的三角形的面积如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于点A(m，3)和B(3，1)．连接OA，OB，求S△OAB；
解：将点B(3，1)分别代入y＝－x＋b与y＝ (x>0)，解得b＝4，k＝3，
则一次函数的解析式为y＝－x＋4，反比例函数的解析式为y＝ (x＞0).
把点A(m，3)代入y＝ ，得3＝ ，∴m＝1，
∴点A的坐标为(1，3).
过点A作AC⊥y轴于点C，
过点B作BD⊥x轴于点D，交CA的延长线于点E，易得四边形OCED为正方形，
∴S△OAB＝S正方形OCED－S△ACO－S△OBD－S△ABE，
即S△OAB＝3×3－ ×1×3－ ×3×1－ ×2×2＝4；
2．2 变设问——证明线段相等如图，一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于A(m，3)，B(3，1)两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D.证明：BC＝AD.
证明：将点B(3，1)分别代入y＝－x＋b与y＝ (x>0)，解得 b＝4， k＝3，
把点A(m，3)代入y＝ ，得3＝ ，∴m＝1，
∴点A的坐标为(1，3).∵C(0，4)，D(4，0)，∴OC＝OD＝4，∵点A(1，3)，B(3，1)，∴AC＝ ＝ ，BD＝ ＝ ，∴AC＝BD，∵BC＝AC＋AB，AD＝BD＋AB，∴BC＝AD.
反比例函数与尺规作图结合2022.18
3. (2022河南18题9分)如图，反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点A(2，4)和点B，点B在点A的下方，AC平分∠OAB，交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(1)解：∵反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点A(2，4)，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的表达式为y＝ ；(4分)
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)
(3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交于点D，连接CD. 求证：CD∥AB.
(2)解：如解图，直线m即为所求；(6分)
(3)证明：如解图，∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC.∵AC的垂直平分线交OA于点D，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB.(9分)
3．1 变设问——证明特殊四边形若(2)中所作的垂直平分线恰好过点B，且交线段OA于点D，连接CD，CB.求证：四边形ABCD为菱形．
证明：如解图，记AC的垂直平分线交AC于点E，∵AC的垂直平分线恰好过点B，交OA于点D，
∴AD＝CD，AB＝BC，∠AED＝∠AEB＝90°，
∵AC平分∠OAB，∴∠DAE＝∠BAE，
在△ADE和△ABE中，
∴△ADE≌△ABE(ASA)，∴AD＝AB，∴AD＝CD＝AB＝BC， ∴四边形ABCD为菱形．
反比例函数与阴影部分面积计算结合2023.19
4. (2023河南19题9分)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y＝ 图象上的点A( ，1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作 ，连接BF.
解：(1)∵反比例函数y＝ 图象经过点A( ，1)，∴k＝ ×1＝ ；(3分)
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
连接AC，交x轴于点M，(4分)
∵四边形AOCD是菱形，∴AC⊥OD，M是AC中点，∵A( ，1)，∴AM＝1，OM＝ ，AC＝2AM＝2，在Rt△OMA中，OA＝ ＝ ＝2，(5分)∴OA＝OC＝AC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴扇形AOC的半径为2，圆心角度数为60°；(7分)
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
(3) － π .(9分)
【解法提示】由(2)可得∠AOC＝60°，OA＝2，∵四边形OBEF为菱形，点E在x轴上，∴S△OBF＝S△OBE，∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，∴S△OBE＝ ，∴S阴影＝S△OBF＋S菱形OADC－S扇形AOC＝ ＋2 － ＝3 － .