高考数学微专题集第01节导数与三角函数交汇问题初探(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集第01节导数与三角函数交汇问题初探(原卷版+解析)，共15页。试卷主要包含了已知函数f的导数等内容，欢迎下载使用。
2019年全国卷Ⅰ理科和文科第20题均考查与三角函数交会的导数问题，让人眼前一亮．这类试题可谓别出心裁，由于三角函数的独特性，当表达式中含有三角函数时，无论怎么求导，导函数仍含有三角函数，这就是解题的难点．
题型一：三角函数与多项式函数组合
例1已知函数．
（1）若在区间不单调，求a的取值范围；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
解析（1）由已知，得，当时，．
当时，恒成立，在上单调递增，不符合题意；
当时，恒成立，在上单调递减，不符合题意；
当时，由，可得，则存在，使得．此时，在上单调递减，在上单调递增，即在不单调．
综上，a的取值范围为．
（2）由（1）知，当时，，即当时，，从而．
令，则．
当时，，则在上单调递减，，满足题意．
当时，设，则当时，，从而在上单调递减，于是，下面分情况讨论．
当时，，即，则在上单调递增，，不满足题意．
当时，一定存在，使得，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，不满足题意．
综上，a的取值范围是．
点评本题第（1）问利用导数研究函数的单调性，由于导函数中含有参数，所以需要对参数进行讨论，根据，得到对a讨论的分界点，下面的求解就不难了．第（2）问充分地利用当时，这个不等式，从而有，在进行放缩变形的同时，实现“超越式”到“非超越式”的转化，突破了难点．一般地，当时，要充分利用“”这个不等式．
题型二：三角函数与对数型函数组合
例2已知函数为的导数．证明：有且仅有2个零点．
解析，由（1）知在有唯一极大值点．
当时，在单调递增，而，所以当时，，
故在单调递减，又，从而是在的唯一零点．
当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，
而，所以存在，使得，且当时，；
当时，．故在单调递增，在单调递减．
又，所以当时，．
从而在没有零点．
当时，，所以在单调递减，
而，所以在有唯一零点．
当时，，所以，从而在没有零点．
综上，有且仅有2个零点．
名师点评：利用导数确定函数零点问间题的解题思路是对函数求导，研究函数单调性、极值，得到函数的大致图象，再利用数形结合得到零点个数，本题求导后发现函数有一个零点，再考虑三角函数在各个区间的不同符号，从而不能直接把看成一个整体来研究，要把它分成与两个部分，再逐个区间分析，使导函数在的零点全部解出，从而破解了本题的难点．由于三角函数在各象限符号的变化及周期性，研究三角函数的零点问题常用逐个区间分析法．
题型三：三角函数与指数型函数组合
例3已知函数，当时，，求a的取值范围．
解析当时，，符合题意．
当时，设函数与的图象在点处有公切线（其中），
则则，此时，故．
当时，设函数与的图象在点处有公切线（其中），
同理可得．
综上，a的取值范围为．
名师点评：本题若直接研究函数的单调性及最值，较难求解．因此要把问题转化为函数的图象在的图象上方，进而对a进行讨论，考虑的有界性及图象特征，研究两个函数图象的公切线，从而得到a的最值，求得范围．一般地，两个函数的图象分别被某条直线隔离，这种图形特征与不等式恒成立问题有着非常密切的联系，若直接证明比较复杂，可以利用导数的几何意义得到曲线的切线方程，对欲证式子进行放缩，再利用不等式的传递性进行证明．
例4已知函数．
（1）求的单调递减区间：
（2）记，若，试讨论在上的零点个数（参考数据：）．
解析：（1）的单调递减区间为．
（2）由已知，所以．
令，则．
因为，所以当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减．
又．
当，即时，，则存在，使得，所以当时，；
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，所以．又，
则由零点存在性定理可得，此时在上仅有1个零点．
若时，，又在上单调递增，在上单调递减，
而，所以存在，使得，
且当和时，；当时，，
则在和上单调递减，在上单调递增．
因为，所以．因为，所以．
又因为，由零点存在性定理可得，在和内各有1个零点，即此时在上有2个零点．
综上所述，当时，在上仅有1个零点；当时，在上有2个零点．
名师点评本题难点在于研究函数的零点，故先求导研究其单调性，由于一阶导函数比较复杂，故求二阶导函数，通过研究图象的大致特征，确定参数a的分界点，再结合零点存在性定理分析，突破了本题的难点．
题型四：三角函数与对数型、指数型函数组合
例5已知函数．若函数，求证：函数存在极小值．
解析依题意，，令，则；
而，可知当时，，
故函数在上单调递增，当时，；
当时，函数单调递增，而．
又因为，
故存在，使得，所以存在，使得，
即函数单调递增；
所以当时，，则函数在单调递减，在单调递增，
所以时，函数有极小值．
名师点评根据三角函数的有界性，易知，，本题第（1）问即利用这个性质，判断出，从而轻松获解．一般地，研究函数单调性或判断导函数的符号时，必须关注三角函数的有界性，以便于判断符号．本题第（2）问先构造函数，由逐个区间分析法易得当时，，从而，进而研究在的符号，显然，直观感知当时，，但如何取函数在的零点是一个难点，这里仍需关注三角函数的有界性，取一个接近的数，如取可得，从而突破了本题的难点．
题型五：多个三角函数与其他函数组合
1．已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
第01节 导数与三角函数交汇问题初探
第一节 导数与三角函数交汇问题初探
2019年全国卷Ⅰ理科和文科第20题均考查与三角函数交会的导数问题，让人眼前一亮．这类试题可谓别出心裁，由于三角函数的独特性，当表达式中含有三角函数时，无论怎么求导，导函数仍含有三角函数，这就是解题的难点．
题型一：三角函数与多项式函数组合
例1已知函数．
（1）若在区间不单调，求a的取值范围；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
解析（1）由已知，得，当时，．
当时，恒成立，在上单调递增，不符合题意；
当时，恒成立，在上单调递减，不符合题意；
当时，由，可得，则存在，使得．此时，在上单调递减，在上单调递增，即在不单调．
综上，a的取值范围为．
（2）由（1）知，当时，，即当时，，从而．
令，则．
当时，，则在上单调递减，，满足题意．
当时，设，则当时，，从而在上单调递减，于是，下面分情况讨论．
当时，，即，则在上单调递增，，不满足题意．
当时，一定存在，使得，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，不满足题意．
综上，a的取值范围是．
点评本题第（1）问利用导数研究函数的单调性，由于导函数中含有参数，所以需要对参数进行讨论，根据，得到对a讨论的分界点，下面的求解就不难了．第（2）问充分地利用当时，这个不等式，从而有，在进行放缩变形的同时，实现“超越式”到“非超越式”的转化，突破了难点．一般地，当时，要充分利用“”这个不等式．
题型二：三角函数与对数型函数组合
例2已知函数为的导数．证明：有且仅有2个零点．
解析，由（1）知在有唯一极大值点．
当时，在单调递增，而，所以当时，，
故在单调递减，又，从而是在的唯一零点．
当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，
而，所以存在，使得，且当时，；
当时，．故在单调递增，在单调递减．
又，所以当时，．
从而在没有零点．
当时，，所以在单调递减，
而，所以在有唯一零点．
当时，，所以，从而在没有零点．
综上，有且仅有2个零点．
名师点评：利用导数确定函数零点问间题的解题思路是对函数求导，研究函数单调性、极值，得到函数的大致图象，再利用数形结合得到零点个数，本题求导后发现函数有一个零点，再考虑三角函数在各个区间的不同符号，从而不能直接把看成一个整体来研究，要把它分成与两个部分，再逐个区间分析，使导函数在的零点全部解出，从而破解了本题的难点．由于三角函数在各象限符号的变化及周期性，研究三角函数的零点问题常用逐个区间分析法．
题型三：三角函数与指数型函数组合
例3已知函数，当时，，求a的取值范围．
解析当时，，符合题意．
当时，设函数与的图象在点处有公切线（其中），
则则，此时，故．
当时，设函数与的图象在点处有公切线（其中），
同理可得．
综上，a的取值范围为．
名师点评：本题若直接研究函数的单调性及最值，较难求解．因此要把问题转化为函数的图象在的图象上方，进而对a进行讨论，考虑的有界性及图象特征，研究两个函数图象的公切线，从而得到a的最值，求得范围．一般地，两个函数的图象分别被某条直线隔离，这种图形特征与不等式恒成立问题有着非常密切的联系，若直接证明比较复杂，可以利用导数的几何意义得到曲线的切线方程，对欲证式子进行放缩，再利用不等式的传递性进行证明．
例4已知函数．
（1）求的单调递减区间：
（2）记，若，试讨论在上的零点个数（参考数据：）．
解析：（1）的单调递减区间为．
（2）由已知，所以．
令，则．
因为，所以当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减．
又．
当，即时，，则存在，使得，所以当时，；
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，所以．又，
则由零点存在性定理可得，此时在上仅有1个零点．
若时，，又在上单调递增，在上单调递减，
而，所以存在，使得，
且当和时，；当时，，
则在和上单调递减，在上单调递增．
因为，所以．因为，所以．
又因为，由零点存在性定理可得，在和内各有1个零点，即此时在上有2个零点．
综上所述，当时，在上仅有1个零点；当时，在上有2个零点．
名师点评本题难点在于研究函数的零点，故先求导研究其单调性，由于一阶导函数比较复杂，故求二阶导函数，通过研究图象的大致特征，确定参数a的分界点，再结合零点存在性定理分析，突破了本题的难点．
题型四：三角函数与对数型、指数型函数组合
例5已知函数．若函数，求证：函数存在极小值．
解析依题意，，令，则；
而，可知当时，，
故函数在上单调递增，当时，；
当时，函数单调递增，而．
又因为，
故存在，使得，所以存在，使得，
即函数单调递增；
所以当时，，则函数在单调递减，在单调递增，
所以时，函数有极小值．
名师点评根据三角函数的有界性，易知，，本题第（1）问即利用这个性质，判断出，从而轻松获解．一般地，研究函数单调性或判断导函数的符号时，必须关注三角函数的有界性，以便于判断符号．本题第（2）问先构造函数，由逐个区间分析法易得当时，，从而，进而研究在的符号，显然，直观感知当时，，但如何取函数在的零点是一个难点，这里仍需关注三角函数的有界性，取一个接近的数，如取可得，从而突破了本题的难点．
题型五：多个三角函数与其他函数组合
1．已知函数f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
参考答案：
1．（1）见解析；
（2）.
分析：（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.
【详解】（1）
令，则
当时，令，解得：
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减
又，，
即当时，，此时无零点，即无零点
，使得
又在上单调递减 为，即在上的唯一零点
综上所述：在区间存在唯一零点
（2）若时，，即恒成立
令
则，
由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减
且，，
，
①当时，，即在上恒成立
在上单调递增
，即，此时恒成立
②当时，，，
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，即恒成立
③当时，，
，使得
在上单调递减，在上单调递增
时，，可知不恒成立
④当时，
在上单调递减
可知不恒成立
综上所述：
【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.