高考数学微专题集专题20圆锥曲线的通径及其应用微点1圆锥曲线的通径及其应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题20圆锥曲线的通径及其应用微点1圆锥曲线的通径及其应用(原卷版+解析)，共23页。
微点1圆锥曲线的通径及其应用
【微点综述】
“通径”是圆锥曲线中最基本的一条线段，是过焦点的弦（焦点弦）中最特殊的一条，虽然教材中没有提及这一概念，但一直是高考和竞赛中考查的热点问题之一，备受命题者青睐，发掘“通径”潜在的应用功能很有必要.
一、通径的定义
1.焦点弦
过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦.
2.通径
与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.
二、通径的性质
【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为.
【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.
性质1、性质2的证明：如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为.
对于双曲线，证明过程同椭圆.
对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径.
【性质3】在椭圆和抛物线中，通径是最短的焦点弦.在双曲线中，当，即时，通径为最短的焦点弦；当，即时，实轴为最短的焦点弦.
证明：（1）先证椭圆结论.如图3，椭圆的方程为，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于两点.
若直线的斜率不存在，则即为椭圆的通径，且.
若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得，，
.
综上所述椭圆的焦点弦长以通径最短.
（2）再证双曲线情形.如图4，双曲线的方程为，为椭圆的右焦点，过的直线与双曲线交于两点.
若直线的斜率不存在，则即为双曲线的通径，且.
若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得
，，
若与双曲线的两个交点在双曲线的双支上，如图4，此时易知焦点弦长最短为实轴长.
若双曲线的两个交点在双曲线的右支上，则
.
当，即时，，通径为最短的焦点弦；当，即时，，实轴为最短的焦点弦.
（3）最后证抛物线情形.抛物线方程为，为抛物线的焦点，如图5，过的直线与双曲线交于两点.
若直线的斜率不存在，则即为抛物线的通径，且.
若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得
，
.
显然，抛物线的焦点弦长以通径最短.
综上所述，椭圆、抛物线的焦点弦以通径最短.双曲线的焦点弦，当时，以通径最短；当时，实轴为最短的焦点弦.
【性质4】过圆锥曲线的焦点，作直线交曲线于两点，则半通径长的倒数是的倒数与的倒数的等差中项，即，其中为半通径长.
证明：先证抛物线情形.抛物线方程为，为抛物线的焦点，过的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限.
若直线的斜率不存在，则.
若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得
，
又，
再证椭圆情形.椭圆的方程为，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于两点，不妨设在第一象限.
若直线的斜率不存在，则.
若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得
，，
又，
.
同理可证双曲线的情形.
三、应用举例
例1
1．已知椭圆C：的右顶点为A（1，0），过C的焦点且垂直长轴的弦长为1.求椭圆C的方程.
例2
2．椭圆＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ）
A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍
例3
3．已知椭圆的左、右焦点分别是、，点在椭圆上.若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．或
例4（2023·天津）
4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
例5
5．已知抛物线（）的焦点为双曲线（，）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例6
6．设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、.若为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例7
7．直线过抛物线的焦点，并且与轴垂直.若被抛物线截得的线段长为4，则=_______.
例8
8．设双曲线的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为.求双曲线的方程.
【强化训练】
9．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（ ）
A．B．C．D．
10．已知，是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，为的准线上一点，则的面积为（ ）
A．18B．24C．36D．48
13．设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
A．B．C．2D．3
14．过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于
A．2B．C．D．
15．已知、是双曲线的两个焦点，过作垂直于轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为，则______.
16．椭圆的右焦点为，右准线为，若过点且垂直于轴的弦的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是______．
17．已知F1（－5，0），F2（5，0）是双曲线C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=，则C的方程为________.
(2023广东·高三月考）
18．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，椭圆上任意一点到焦点距离的最大值是最小值的倍，且通径长为（椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆相交于不同的两点，，则的内切圆面积是否存在最大值?若存在，则求出最大值；若不存在，请说明理由.
专题20 圆锥曲线的通径及其应用 微点1 圆锥曲线的通径及其应用
专题20圆锥曲线的通径及其应用
微点1圆锥曲线的通径及其应用
【微点综述】
“通径”是圆锥曲线中最基本的一条线段，是过焦点的弦（焦点弦）中最特殊的一条，虽然教材中没有提及这一概念，但一直是高考和竞赛中考查的热点问题之一，备受命题者青睐，发掘“通径”潜在的应用功能很有必要.
一、通径的定义
1.焦点弦
过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦.
2.通径
与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.
二、通径的性质
【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为.
【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.
性质1、性质2的证明：如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为.
对于双曲线，证明过程同椭圆.
对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径.
【性质3】在椭圆和抛物线中，通径是最短的焦点弦.在双曲线中，当，即时，通径为最短的焦点弦；当，即时，实轴为最短的焦点弦.
证明：（1）先证椭圆结论.如图3，椭圆的方程为，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于两点.
若直线的斜率不存在，则即为椭圆的通径，且.
若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得，，
.
综上所述椭圆的焦点弦长以通径最短.
（2）再证双曲线情形.如图4，双曲线的方程为，为椭圆的右焦点，过的直线与双曲线交于两点.
若直线的斜率不存在，则即为双曲线的通径，且.
若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得
，，
若与双曲线的两个交点在双曲线的双支上，如图4，此时易知焦点弦长最短为实轴长.
若双曲线的两个交点在双曲线的右支上，则
.
当，即时，，通径为最短的焦点弦；当，即时，，实轴为最短的焦点弦.
（3）最后证抛物线情形.抛物线方程为，为抛物线的焦点，如图5，过的直线与双曲线交于两点.
若直线的斜率不存在，则即为抛物线的通径，且.
若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得
，
.
显然，抛物线的焦点弦长以通径最短.
综上所述，椭圆、抛物线的焦点弦以通径最短.双曲线的焦点弦，当时，以通径最短；当时，实轴为最短的焦点弦.
【性质4】过圆锥曲线的焦点，作直线交曲线于两点，则半通径长的倒数是的倒数与的倒数的等差中项，即，其中为半通径长.
证明：先证抛物线情形.抛物线方程为，为抛物线的焦点，过的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限.
若直线的斜率不存在，则.
若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得
，
又，
再证椭圆情形.椭圆的方程为，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于两点，不妨设在第一象限.
若直线的斜率不存在，则.
若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，代入，消去得
，，
又，
.
同理可证双曲线的情形.
三、应用举例
例1
1．已知椭圆C：的右顶点为A（1，0），过C的焦点且垂直长轴的弦长为1.求椭圆C的方程.
例2
2．椭圆＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ）
A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍
例3
3．已知椭圆的左、右焦点分别是、，点在椭圆上.若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．或
例4（2023·天津）
4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
例5
5．已知抛物线（）的焦点为双曲线（，）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例6
6．设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、.若为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例7
7．直线过抛物线的焦点，并且与轴垂直.若被抛物线截得的线段长为4，则=_______.
例8
8．设双曲线的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为.求双曲线的方程.
【强化训练】
9．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是（ ）
A．B．C．D．
10．已知，是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，为的准线上一点，则的面积为（ ）
A．18B．24C．36D．48
13．设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
A．B．C．2D．3
14．过抛物线(>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于
A．2B．C．D．
15．已知、是双曲线的两个焦点，过作垂直于轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为，则______.
16．椭圆的右焦点为，右准线为，若过点且垂直于轴的弦的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是______．
17．已知F1（－5，0），F2（5，0）是双曲线C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=，则C的方程为________.
(2023广东·高三月考）
18．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，椭圆上任意一点到焦点距离的最大值是最小值的倍，且通径长为（椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆相交于不同的两点，，则的内切圆面积是否存在最大值?若存在，则求出最大值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．
分析：由弦垂直于长轴且过焦点，可设出弦两端点坐标（纵坐标等于半焦距），由顶点得出，从而点的坐标代入椭圆方程求得横坐标表达式，由弦长得，从而得椭圆方程．
【详解】由题意椭圆焦点在轴上，，，
设弦的两端点为，
由得，
所以，，
所以椭圆方程为.
2．A
【解析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.
【详解】由＝1可知，，所以，
所以F1(－3，0)，F2(3，0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(3，b)，
把P(3，b)代入椭圆＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，进而可设P(3，b)是解题关键.
3．C
分析：分析可知必为锐角，则或是直角顶点，将代入椭圆方程，即可得解.
【详解】在椭圆中，，，，
将代入椭圆方程可得，可得，
所以，当或是直角顶点时，点到轴的距离为；
设，，则，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，故必为锐角.
综上所述，点到轴的距离为.
故选：C.
4．A
分析：设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
5．B
分析：结合抛物线和双曲线的性质，得到交点坐标，将坐标代入到双曲线中，得到关于的一元二次方程，即可解出离心率.
【详解】由题意，，因为两曲线交点的连线过点，所以连线垂直于轴，
则其中一个交点坐标为，即为，
代入到双曲线方程中，得，
则，，，，
解得，所以B正确.
故选：B
6．B
分析：分析可知、关于轴对称，求出、，根据题意可得出，可得出关于、的齐次等式，即可求得该双曲线的离心率.
【详解】不妨设点、，则、，
所以，
，同理可得，
由题意可得，即，所以，，
因此，双曲线关于轴对称，故点、关于轴对称，
将代入双曲线方程可得，解得，则，
由双曲线的定义可得
因为为等边三角形，则，即，则，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
7．4
【详解】因抛物线与抛物线具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，
故可用标准方程替换一般方程求解，而值不变.
由通径长公式得.
8．
分析：由离心率和双曲线的通径长列方程组求得后得双曲线方程．
【详解】解：由题意，得从而，
因此，所求的双曲线方程为.
9．B
分析：根据双曲线的通径长公式计算．
【详解】由已知，双曲线的通径长，
故选：B.
10．C
分析：设椭圆方程为，将点代入椭圆求出，利用建立方程，即可求出.
【详解】由题意，设椭圆方程为，
将代入椭圆方程得，由此求得，
所以，
又，，可解得，，
所以椭圆C的方程为.
故选：C.
【椭圆】本题考查椭圆标准方程的求法，属于基础题.
11．C
分析：根据条件可得与，进而可得，，的关系，可得解.
【详解】由已知得，
设点，由轴，
则，代入双曲线方程可得，
即，
又，所以，
即，
整理可得，
故，
解得或（舍），
故选：C.
12．C
【详解】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），
则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=-∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，
又∵AB⊥x轴
∴|AB|=2p=12
∴p=6
又∵点P在准线上
∴DP=（ +|- |）=p=6
∴S△ABP=（DP•AB）= ×6×12=36
故选:C．
13．B
【详解】通径|AB|=得，选B
14．C
分析：设PQ直线方程是则x1，x2是方程的两根，借助韦达定理即可得到的值．
【详解】抛物线转化成标准方程：，
焦点坐标，准线方程为，
设过的直线方程为，
，整理得．
设，，，
由韦达定理可知：，，
，
，
根据抛物线性质可知，，，
，
的值为，

故选：C．
【点睛】涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
15．
【详解】求出，利用双曲线的定义可求得.
分析：在双曲线中，，，则，
不妨设点为该双曲线的左焦点，将代入双曲线的方程可得，解得，
所以，，由双曲线的定义可得.
故答案为：.
16．
【详解】.
17．
分析：由题意， 设双曲线，然后根据题意列出关于的方程组，求出，从而可求出C的方程.
【详解】由题意， 设双曲线，
根据题意得，解得
因此，所求的双曲线方程为.
故答案为：
18．(1)
(2)
分析：（1）根据椭圆中距离的最值关系以及通径长度可得椭圆方程；
（2）由已知得当取最大值时，圆面积最大，又，设直线方程，联立方程求最值.
（1）
解： 由已知得，得，所以，又椭圆通径长为，所以，解得，，，椭圆方程为；
（2）
解：由已知可得内切圆半径，当取最大值时，圆面积最大，故当取最大值时，圆面积最大，
由已知可得直线斜率一定存在，设直线方程为，
联立，得，恒成立，
，，
所以，
设，则，当且仅当时取等，
此时，，
即内切圆面积的最大值为
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．