高考数学微专题集专题18圆锥曲线中的张角问题微点1椭圆的两焦点(长轴两端点)最大张角问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题18圆锥曲线中的张角问题微点1椭圆的两焦点(长轴两端点)最大张角问题(原卷版+解析)，共23页。
微点1 椭圆的两焦点（长轴两端点）最大张角问题
【微点综述】
在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如下．
一、常用结论
【结论1】如图1，已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则当点为椭圆短轴的端点时，最大．
分析：，而在为减函数，只要求的最小值，又知，，利用余弦定理可得．
证明：如图1，由已知：，，∴（当时取等号），
由余弦定理得：
（当时取等号），∴当时，的值最小，∵，∴此时最大，即点P为椭圆短轴的端点时最大，此时离心率．
【结论2】如图2，已知为椭圆长轴上的两个顶点，为椭圆上任意一点，则当点为椭圆短轴的端点时，最大．
分析：当最大时，一定是钝角，而在上是增函数，利用点的坐标，表示出，再求的最大值．
证明：如图，不妨设（，），则，，，
∴，，
则，
又，∴，∵，，∴当时，取得最大值，此时最大，∴当点为椭圆短轴的端点时，最大．
二、应用举例
例1．
1．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得，求椭圆离心率的取值范围．
例2．(2023赣州期中）
2．已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例3．
3．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A．B．C．D．
例4．
4．已知椭圆，长轴两端点为A，B，如果椭圆上存在点P使得∠APB=120°，求这个椭圆的离心率的取值范围．
例5．(2023课标1，文12）
5．(2023新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A．B．
C．D．
例6．（2023·全国）
6．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【强化训练】
(2023山东高三专题练习）
7．设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.
A．B．C．D．
(2023哈尔滨市·黑龙江实验中学高二期中）
8．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
(2023福建永春五中高三期中）
9．已知，是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得，则该椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
(2023安徽淮南市）
10．设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023甘肃兰州市·兰州一中）
11．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023江西南昌市·南昌二中高二月考）
12．设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
(2023山东枣庄市·高三二模）
13．设、是椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是
A．B．
C．D．
(2023江苏南通市·海门中学高二期中）
14．已知椭圆C：的焦点，在x轴上，若椭圆上存在一点P，使得，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
(2023宜宾市叙州区第二中学校）
15．已知F1，F2分别是椭圆的左､右焦点，椭圆C上不存在点P使，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023全国高三专题练习）
16．已知，为椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．已知P为椭圆上一点，是焦点，取最大值时的余弦值为，则此椭圆的离心率为_______．
18．已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为___________.
19．若P是椭圆上任意一点，、是焦点，则的最大值为______．
20．已知椭圆C的方程为离心率，，分别为左焦点和右顶点，点在椭圆上，若为锐角，则实数的取值范围是______．
21．焦点在轴x上的椭圆方程为，，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点B，使得，那么实数a的取值范围是______．
22．已知焦点在x轴上的椭圆，，是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，求b的取值范围．
23．椭圆的焦点为、，点P为其上动点，当为钝角时，求点P横坐标的取值范围.
专题18 圆锥曲线中的张角问题 微点1 椭圆的两焦点（长轴两端点）最大张角问题
专题18 圆锥曲线中的张角问题
微点1 椭圆的两焦点（长轴两端点）最大张角问题
【微点综述】
在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如下．
一、常用结论
【结论1】如图1，已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，则当点为椭圆短轴的端点时，最大．
分析：，而在为减函数，只要求的最小值，又知，，利用余弦定理可得．
证明：如图1，由已知：，，∴（当时取等号），
由余弦定理得：
（当时取等号），∴当时，的值最小，∵，∴此时最大，即点P为椭圆短轴的端点时最大，此时离心率．
【结论2】如图2，已知为椭圆长轴上的两个顶点，为椭圆上任意一点，则当点为椭圆短轴的端点时，最大．
分析：当最大时，一定是钝角，而在上是增函数，利用点的坐标，表示出，再求的最大值．
证明：如图，不妨设（，），则，，，
∴，，
则，
又，∴，∵，，∴当时，取得最大值，此时最大，∴当点为椭圆短轴的端点时，最大．
二、应用举例
例1．
1．已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得，求椭圆离心率的取值范围．
例2．(2023赣州期中）
2．已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例3．
3．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A．B．C．D．
例4．
4．已知椭圆，长轴两端点为A，B，如果椭圆上存在点P使得∠APB=120°，求这个椭圆的离心率的取值范围．
例5．(2023课标1，文12）
5．(2023新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A．B．
C．D．
例6．（2023·全国）
6．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【强化训练】
(2023山东高三专题练习）
7．设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.
A．B．C．D．
(2023哈尔滨市·黑龙江实验中学高二期中）
8．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
(2023福建永春五中高三期中）
9．已知，是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得，则该椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
(2023安徽淮南市）
10．设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023甘肃兰州市·兰州一中）
11．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023江西南昌市·南昌二中高二月考）
12．设是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
(2023山东枣庄市·高三二模）
13．设、是椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是
A．B．
C．D．
(2023江苏南通市·海门中学高二期中）
14．已知椭圆C：的焦点，在x轴上，若椭圆上存在一点P，使得，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
(2023宜宾市叙州区第二中学校）
15．已知F1，F2分别是椭圆的左､右焦点，椭圆C上不存在点P使，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
(2023全国高三专题练习）
16．已知，为椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．已知P为椭圆上一点，是焦点，取最大值时的余弦值为，则此椭圆的离心率为_______．
18．已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为___________.
19．若P是椭圆上任意一点，、是焦点，则的最大值为______．
20．已知椭圆C的方程为离心率，，分别为左焦点和右顶点，点在椭圆上，若为锐角，则实数的取值范围是______．
21．焦点在轴x上的椭圆方程为，，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点B，使得，那么实数a的取值范围是______．
22．已知焦点在x轴上的椭圆，，是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，求b的取值范围．
23．椭圆的焦点为、，点P为其上动点，当为钝角时，求点P横坐标的取值范围.
参考答案：
1．
分析：根据结论列出不等式即可得到离心率的取值范围.
【详解】方法1：由结论1知：当点为椭圆短轴的端点时，最大，
因此要最大角，即，即，也就是，
解不等式，得，故椭圆的离心率．
方法2：此时离心率，故椭圆的离心率．
2．A
分析：首先考虑通径上有四个点满足题意，然后根据以为直径的圆与椭圆无交点得到关于，，的不等式，通过不等式求解椭圆离心率即可.
【详解】方法一：当轴时，有两个点满足为直角三角形；
同理当轴时，有两个点满足为直角三角形．
∵使为直角三角形的点有且只有4个，
∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴，
∴，∴，又，解得.
方法二：由题意为直角三角形的点有且只有4个，根据椭圆的几何性质可知，当点落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，可得此时,
又，故.
故选：A．
3．C
【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C．
【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为 ．所以由得，由关系求离心率的范围．
4．
分析：点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则的最大值大于等于即可，即当为短轴端点时，即可，再结合离心率公式，即可求解．
【详解】点，是长轴的两个端点，
若椭圆上存在点，使得，则的最大值大于等于即可，
即当为短轴端点时，即可，
，
，
又，
该椭圆的离心率的取值范围是．
5．A
【详解】当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故的取值范围为，选A．
点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．
6．B
分析：利用结论建立不等式即可求解.
【详解】根据题意作图如下：
由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，最大，
要满足椭圆C上存在点（）使得，则，
∴，即：，整理得：，
又，∴得到：，∴，
∴椭圆离心率的取值范围为，
故选:B．
7．C
【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.
【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.
8．D
分析：中，设设 ，，则根据余弦定理写出，解得，根据条件可知 ，求离心率的范围.
【详解】设 ，，
若椭圆上存在点使得，
，
，

即 ，
，
即，

.
故选D
【点睛】本题考查椭圆的几何性质与应用，涉及余弦定理，以及不等式关系的建立，意在考查转化思想和计算能力.
9．B
【详解】根据椭圆的对称性，若椭圆上存在点使得，三角
形OBF中， ，所以 即
，因为椭圆的离心率小于1，所以选B．
10．C
分析：根据题意设坐标，根据结合椭圆方程求出，代入离心率公式求解即可.
【详解】设，，，则、，
所以，因为，所以，
由点P在椭圆上可得，则，
解得，所以，
故选：C.
11．C
分析：点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，可得b≥c，利用离心率计算公式即可得出．
【详解】∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．
已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，
可得a2﹣c2≥c2，可得：a．
∴
故选C．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).
12．A
分析：分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，设为椭圆短轴端点，由题意，，利用三角函数列出不等式即可得解.
【详解】①时，上存在点满足，
设为椭圆短轴端点，
当位于短轴的端点时，取最大值，
要使椭圆上存在点满足则，，
，解得；
②当椭圆的焦点在轴上时，，同理可得；
的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查了椭圆性质和三角函数的综合应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
13．A
【详解】 根据椭圆的性质可知，当点在短轴的端点时，此时角最大，
要使得椭圆上存在点满足，则，即，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以实数的取值范围是，故选A.
点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中根据根据椭圆的性质得到当点在短轴的端点时角最大，要使得椭圆上存在点满足，则，即，进而得到不等关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合法的应用.
14．C
分析：由焦点在轴得一范围，再由短轴顶点对两焦点张角最大又得一关系．从而可求得结论．
【详解】∵椭圆焦点在轴，∴，，
是椭圆上的点，当是椭圆短轴顶点时，最大，由题意（为短轴顶点），
所以，．
综上所述，．
故选：C．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质．注意椭圆的性质：是椭圆的焦点，是椭圆上的点，当是椭圆短轴顶点时，最大．
15．D
分析：根据题意得到恒成立，得到，计算得到答案.
【详解】椭圆C上不存在点P使，即恒成立
当在短轴顶点时最大，即，即
故选：D
【点睛】本题考查了椭圆的离心率，确定角度最大的点是解题的关键.
16．C
分析：讨论焦点的位置，然后利用焦点三角形顶点的位置和已知条件可找到m的取值范围.
【详解】当焦点在轴上时，，，，
当为上下顶点时，最大，
因为坐标，，，所以，
即，解得；
当焦点在轴上时，，，，
当为左右顶点时，最大，因为，，，
所以，即，解得，
故选：C.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质，考查的核心素养是数学运算、分类讨论思想.
17．
分析：先利用余弦定理和基本不等式判断时取最大值，余弦值最小为，解得，再利用计算离心率即可.
【详解】依题意，，
当取最大值时，即最小，即的最小值为.
而，
而，当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，即，
故.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求椭圆离心率常见方法：
（1）直接法：由a，c直接计算离心率；
（2）构建齐次式：利用已知条件和椭圆的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用和转化成关于的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.
18．
分析：利用椭圆的定义结合余弦定理可求得，再利用公式可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】由椭圆的定义可得，
由余弦定理可得
，
因为的最大值为，则，可得，
因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
19．##
分析：先根据椭圆的方程得到，进而利用椭圆的基本性质确定最大角的位置，即可得到答案
【详解】解：根据椭圆的方程可知：，∴，，，
方法1：由椭圆的对称性可知，的最大时，P在短轴端点，
此时，所以是正三角形，
∴的最大值为；
方法2：在中，，
所以令，则，
所以即，
则（当且仅当即时，等号成立），
又因为，所以的最大值为
故答案为：
20．
分析：利用离心率先求出，然后把点参数化，得到，进而利用为锐角，得到，最后得到实数的取值范围
【详解】∵椭圆C的标准方程为，∴，
又∵椭圆C的离心率，∴，则，若点在椭圆上，
则，（为参数），则，，
若为锐角，则，
即，，又由时，与同向，，
故，，即实数的取值范围是
故答案为：
21．
分析：利用椭圆和圆有交点的结论可列出不等式或者直接利用结论即可解决.
【详解】方法1：∵焦点在x轴上的椭圆方程为，
∴，，
若椭圆上存在点B，使得，则以线段为直径的圆与椭圆有交点，
即有，即，，又，故a的取值范围是．
方法2：此时离心率．
故答案为:.
22．
分析：先证明一个结论若B为椭圆的短轴端，则，然后利用结论，题中椭圆上存在一点P ，当其运动到B点取得最值即可求解.
【详解】解：由题意得：
先证明一个结论：若B为椭圆的短轴端，则
记
设，
又
当且仅当时等号成立，即
由上述结论可知，当点P为椭圆短轴的端点时，最大，
若此时，则有：
又
∴，
∵椭圆越扁，这样的点一定存在
∴b的取值范围为：．
故b的取值范围为
23．
分析：当为直角时，作以原点为圆心，为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x的取值范围即为所求点P横坐标的取值范围.
【详解】的焦点为、，
如图所示：
以原点为圆心，为半径作圆与椭圆相交于A、B、C、D四点，
此时、、、都为直角，
所以当角的顶点P在圆内部的椭圆弧上时，为钝角，
由，解得.
因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，
所以点P横坐标的取值范围是.