2024河南中考数学复习 16～21题解答题组特训四 (含答案)

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(时间：60分钟 分值：55分)
16. (10分)(1)计算：2－1－(－6)0＋eq \r(4)；
(2)先化简，再求值：(x－y)(x＋y)＋(y－4)2＋x(y－x)，其中x＝eq \f(1,2)，y＝2.
17. (9分)为了践行“五自”德育(即行为自律，生活自理，学习自主，交往自信，健体自觉)，提高学生的整体素质，某校组织了“五自”知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布，王老师做了以下工作：①从七、八年级中各随机抽取了20名学生作为调查对象；②整理数据并绘制了如下的扇形统计图和频数分布直方图；③收集这40名同学的竞赛成绩；④结合统计图分析数据并得出结论．
下面给出了部分信息：
七年级抽取学生在C组的数据为6，6，6；
八年级抽取学生在C组的数据为6，7，7，7，7.
(竞赛成绩均为整数，满分10分，成绩得分用x表示，共分成4组：A：2≤x＜4；B：4≤x＜6；C：6≤x＜8；D：8≤x≤10)
eq \a\vs4\al(七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图) eq \a\vs4\al(八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图)

图① 图②
第17题图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请对王老师的工作步骤正确排序________；
(2)综合上图中的统计量，请从中位数的角度说明你认为哪个年级的总体水平更好，并说明理由；
(3)若该校八年级共有400名学生参与竞赛，请估计八年级所有学生竞赛成绩不低于6分的人数．
18. (9分)已知：如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB＝3.
(1)若反比例函数图象的一个分支恰好经过点A，求反比例函数的解析式；
(2)若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A′的位置，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
第18题图
19. (9分)数学社团的同学运用自己所学的知识进行区间测速，他们将观测点设在距金水大道50米的点P处，如图所示，直线l表示金水大道．这时一辆小汽车由金水大道上的A处向B处匀速行驶，用时2秒．经测量点A在点P的南偏西30°方向上，点B在点P的南偏西53°方向上．
(1)求A，B之间的路程；(精确到0.1米)
(2)请判断此车是否超过了金水大道60千米/时的限制速度？(参考数据sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，eq \r(3)≈1.732)

第19题图
20. (9分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点D是OA的中点，DE⊥AC交CB的延长线于点E，交AB于点F，点G为DE上一点，且BG与⊙O相切．
(1)求证：BG＝GF；
(2)若BC＝eq \f(3,4)AB，AD＝4，求BG的长．
第20题图
21. (9分)为解决多少天购买一次材料才能使平均每天支付的总费用最小的问题，某同学进行了研究，发现每x天购买一次材料与平均每天支付的总费用y元存在函数关系y＝5x＋eq \f(180,x)＋355，他发现已有的数学模型不能解决这个问题，想到了用函数图象的方法解决．
(1)计算得到x与y的部分对应值如下表，请补全表格；
(2)如图，在平面直角坐标系中，描点、连线；
第21题图
(3)结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论；
(4)根据函数图象判断，每几天购买一次材料，平均每天支付的总费用最少．
参考答案与解析
16. 解：(1)原式＝ eq \f(1,2) －1＋2
＝ eq \f(3,2) ；
(2)原式＝x2－y2＋y2－8y＋16＋xy－x2
＝xy－8y＋16.
当x＝ eq \f(1,2) ，y＝2时，原式＝1－16＋16＝1.
17. 解：(1)①③②④.
(2)八年级的总体水平更好．理由如下：
∵七年级C组人数对应的百分比为 eq \f(3,20) ×100%＝15%，
∴七年级A，B两组人数之和为20×(1－45%－15%)＝8(人).
∵中位数为第10，11个数据的平均数，而第10，11个数据均在C组，分别为6，6，
∴七年级学生竞赛成绩的中位数为6.
∵八年级A，B两组共有20－5－9＝6(人)，
∴中位数为C组第4，5个数据的平均数，而第4，5个数据分别为7，7，
∴八年级学生竞赛成绩的中位数为7.
∵7＞6，
∴八年级的总体水平更好．
(3) eq \f(9＋5,20) ×400＝280(人).
答：估计该校八年级所有学生竞赛成绩不低于6分的人数为280人．
18. 解：(1)在Rt△OBA中，∠AOB＝30°，AB＝3，tan ∠AOB＝ eq \f(AB,OB) ，
∴OB＝ eq \f(AB,tan ∠AOB) ＝ eq \f(3,tan 30°) ＝3 eq \r(3) ，
∴A(3，3 eq \r(3) ).
设反比例函数解析式为y＝ eq \f(k,x) (k≠0)，
∴3 eq \r(3) ＝ eq \f(k,3) ，k＝9 eq \r(3) ，
∴反比例函数解析式为y＝ eq \f(9\r(3),x) .
(2)在Rt△OBA中，AB＝3，OB＝3 eq \r(3) ，∠ABO＝90°，
∴OA＝ eq \r(AB2＋OB2) ＝6.
∵∠AOA′＝90°－∠AOB＝60°，
∴S扇形AOA′＝ eq \f(60,360) πOA2＝6π.
在Rt△OCD中，∠DOC＝45°，OC＝OB＝3 eq \r(3) ，
∴OD＝OC·cs ∠DOC＝3 eq \r(3) × eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(3\r(6),2) ，
∴S阴影＝S扇形AOA′－S△DOC＝6π－ eq \f(1,2) OD2＝6π－ eq \f(27,4) .
答：图中阴影部分的面积为6π－ eq \f(27,4) .
19. 解：(1)如解图，过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，
在Rt△APC中，∵∠ACP＝90°，∠PAC＝30°，PC＝50米，
∴AC＝ eq \r(3) PC＝50 eq \r(3) (米).
在Rt△PBC中，∵∠PCB＝90°，∠BPC＝37°，PC＝50米，
∴BC＝PC·tan 37°≈50×0.75＝37.5(米)，
∴AB＝AC－BC＝50 eq \r(3) －37.5≈49.1(米).
答：A，B之间的路程约为49.1米．
(2)此车超过了金水大道每小时60千米的限制速度，理由如下：
∵AB≈49.1(米)，∴此车的速度为 eq \f(49.1,2) ＝24.55(米/秒)，
又60千米/时＝ eq \f(50,3) 米/秒，
而24.55米/秒> eq \f(50,3) 米/秒，
∴此车超过了金水大道每小时60千米的限制速度．
第19题解图
20. (1)证明：如解图，连接OB，
∵BG为⊙O的切线，
∴∠OBG＝90°，
∴∠OBA＋∠GBF＝90°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OAB＋∠GBF＝90°.
∵DE⊥OA，
∴∠ADF＝90°，
∴∠OAB＋∠AFD＝90°，
∴∠GBF＝∠AFD.
又∵∠AFD＝∠GFB，
∴∠GFB＝∠GBF，∴BG＝GF；
第20题解图
(2)解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°.
∵BC＝ eq \f(3,4) AB，AD＝4，
∴tan A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(3,4) ＝ eq \f(DF,AD) ，
∴DF＝3.
在Rt△ADF中，AF＝ eq \r(AD2＋DF2) ＝5.
∵点D是OA的中点，
∴AD＝OD.
∵AD＝4，∴OA＝8，
∴AC＝16.
设BC＝3x，AB＝4x，
则AC＝5x，
∴5x＝16，
解得x＝ eq \f(16,5) ，
∴AB＝4x＝ eq \f(64,5) ，
∴BF＝AB－AF＝ eq \f(39,5) .
∵∠ABE＝90°，∠BFE＝∠DFA，
∴∠E＝∠OAB，
∴sin E＝sin ∠OAB＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(3,5) ＝ eq \f(BF,EF) ，
∴EF＝13.
∵∠ABE＝∠OBG＝90°，
∴∠EBG＋∠GBF＝∠GBF＋∠OBA，
∴∠EBG＝∠ABO.
∵∠OBA＝∠OAB，∠E＝∠OAB，
∴∠E＝∠EBG，
∴BG＝EG.
由(1)知BG＝GF，
∴BG＝ eq \f(1,2) EF＝ eq \f(13,2) .
21. 解：(1)416.0，415.0；
(2)在平面直角坐标系中，描点、连线如解图；
第21题解图
(3)当x6时，y随x的增大而增大；(答案不唯一，合理即可)
(4)结合(2)中解图图象可知，每6天购买一次材料，平均每天支付的总费用最少.
x/天
…
2
3
5
6
y/元
…
455.0
430.0
____
____
x/天
7
8
9
10
…
y/元
415.7
417.5
420.0
423.0
…