2023-2024学年河南省濮阳市高二下学期期末学业质量监测数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省濮阳市高二下学期期末学业质量监测数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知随机变量X～N(90,102)，则P(X≥80)≈( )
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤ξ≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤ξ≤μ+3σ)=0.9973．
A. 0.97725B. 0.84135C. 0.7786D. 0.34135
2.已知函数f(x)=f′(2)x2−1x−1，则f′(2)=( )
A. 25B. 14C. −13D. −3
3.已知(ax+1 x)8的展开式中第6项的系数为56，则实数a=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
4.已知随机变量X的分布列为
设Y=3X−2，则E(Y)=( )
A. 12B. 16C. −16D. −12
5.某博物馆新增包括A，B在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且A，B都是清朝的.现将这些文物摆成一排，要求A，B必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同摆法种数为( )
A. 1440B. 2160C. 2880D. 3050
6.已知随机变量X～B(3,p)，若12≤p<1，则P(X≥32)的取值范围是( )
A. (14,34)B. [12,1)C. (18,12]D. [18,1)
7.2024年5月15日是全国低碳日，5月13−19日是全国节能宣传周.现有5位工作人员要到3个社区进行节能宣传，要求每个社区至少派1位工作人员，且每位工作人员只去1个社区，则不同的分派方法种数为( )
A. 92B. 108C. 124D. 150
8.已知a>0，不等式xex−ax≥alnx恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. [1,e]B. (0,1e]C. (0,e]D. (1e,1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药.为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子(其中一部分用该药做了处理)进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8.未填写完整的2×2列联表如下，则( )
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
A. 这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒
B. 这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒
C. χ2的观测值约为13.428
D. 根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为该新药有效
10.现有包括小王、小李在内的5名大四学生准备实习，每名学生从甲、乙、丙3家公司中任选一家公司，则下列结论正确的是( )
A. 共有243种不同的选择方案
B. 若小王、小李都不去甲公司实习，则共有110种不同的选择方案
C. 若小王、小李去不同的公司实习，则共有162种不同的选择方案
D. 若只有1名学生去甲公司实习，乙、丙两公司均有2名学生实习，则共有36种不同的选择方案
11.已知函数f(x)=−ax−b2x2−c3x3(a≠0)的定义域为(0,+∞)，且x=c是f(x)的一个极值点，则下列结论正确的是( )
A. 方程ax2+bx+c=0的判别式Δ>0
B. ac+b=−1
C. 若a<0，则f(x)在区间(c,+∞)上单调递增
D. 若a>0且ac>1，则x=c是f(x)的极小值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为y =0.85x+a，据此模型预测，当x=10时y​的值为______．
13.已知函数f(x)=x22−4lnx在区间(a−1,a+4)上有定义，且在此区间上有极值点，则实数a的取值范围是______．
14.甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同.先从甲、乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(3x+4)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5．
(Ⅰ)求a0−a1+a2−a3+a4−a5的值；
(Ⅱ)求a2+a3+a4+a5的值．
16.(本小题15分)
某植物科学研究所的最新研究表明：某种乔木类植物在沙漠中很难生存，主要原因是沙漠水土流失严重，土壤中的养料和水分相对贫瘠且该乔木类植物根系不发达.实验组调配出含钙、钾两种促进植物根系生长的生长液，将该种乔木类植物的幼苗放置在合适的环境下且每天加入等量的生长液进行培养，并记录前5天该乔木类幼苗的高度y(cm)与天数x的数据，如下表所示：
(Ⅰ)若该实验小组通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程y​=b​x+a​．
(Ⅱ)一般认为当该乔木类幼苗高度不小于45cm时即可移栽到自然条件下进行种植.若在不加生长液的条件下培养，该乔木类幼苗达到移栽标准的最短培养时间一般为18天，利用(Ⅰ)中的回归方程预测加了生长液后最短培养时间比不加生长液时缩短了多少天．
参考公式：在经验回归方程y​=b​x+a​中，b =i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2,a =y−−b x−．
参考数据：i=15xiyi=227．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x[1+(lnx)2]−ax22，a∈R．
(Ⅰ)若a=2，求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)若f(x)在[1,+∞)上单调递减，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率均为23，比赛采用七局四胜制，即率先取得4局胜利的人最终获胜，且该场比赛结束．
(Ⅰ)求前3局乙恰有2局获胜的概率；
(Ⅱ)求到比赛结束时共比了5局的概率；
(Ⅲ)若乙在前4局中已胜3局，求还需比2局或3局才能结束比赛的概率．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=aln(x+1)−19x3(a∈R)．
(Ⅰ)若f(x)在区间(−1,0)上单调递增，求a的取值范围；
(Ⅱ)若a>0，函数ℎ(x)=[f(x)+19x3]sinx，且ℎ(x)在[0,π2]上的最大值为ln(1+π2)，证明：方程ℎ(x)=12在[0,π]上恰有两个不相等的实数根．
参考数据：ln(1+π2)≈0.944．
答案
1.B
2.C
3.D
4.A
5.C
6.B
7.D
8.C
9.AD
10.AC
11.ABD

13.[1,3)
14.27．
15.解：(Ⅰ)(3x+4)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5，
令x=−2，得a0−a1+a2−a3+a4−a5=(−6+4)5=−32；
(Ⅱ)令x=0，得a0+a1+a2+a3+a4+a5=(0+4)5=1024；
令x=−1，得a0=1；
又因为(3x+4)5=[3(x+1)+1]5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5，
故a1=C51×3=15，
所以a2+a3+a4+a5=1024−1−15=1008．
16.解：(I)由题意可得x−=15(1+2+3+4+5)=3，y−=15(7+10+12+16+20)=13，
i=15xi2=12+22+32+42+52=55，
∴b =i=15xiyi−5x−y−i=15xi2−5x−2=227−5×3×1355−5×32=3210=3.2，a =y−−b x−=13−3.2×3=3.4，
y =3.2x+3.4；
(II)由(I)知，当y =45时，x=45−，18−13=5，
故加了生长液后最短培养时间比不加生长液时缩短了5天．
17.解：(Ⅰ)a=2，f(x)=x[1+(lnx)2]−x2=x(lnx)2+x−x2，
则f′(x)=(lnx)2+2lnx+1−2x=(lnx+1)2−2x，
∴f′(1)=−1，又f(1)=0，
故f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=−(x−1)，即x+y−1=0；
(Ⅱ)由题可知f′(x)=(lnx+1)2−ax，
若f(x)在[1,+∞)上单调递减，则f′(x)=(lnx+1)2−ax≤0，
即(lnx+1)2≤ax在[1,+∞)上恒成立，
∴a≥(lnx+1)2x在[1,+∞)上恒成立，
设ℎ(x)=(lnx+1)2x，则ℎ′(x)=1−(lnx)2x2，
令ℎ′(x)=0，得x=1e(舍)或x=e，
当x∈[1,e)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x∈(e,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
∴ℎ(x)在[1,+∞)上的最大值为ℎ(e)=4e，
故a的取值范围为[4e,+∞)．
18.解：(Ⅰ)每局比赛乙获胜的概率均为13，
故前3局乙恰有2局获胜的概率为C32(13)2×23=29．
(2)第一种情况，比赛结束时恰好打了5局且甲获胜，
则概率为C43(23)3×13×23=64243，
第二种情况，比赛结束时恰好打了5局且乙获胜，
则概率为C43(13)3×23×13=8243，
∴比赛结束时共比了5局的概率为64243+8243=827．
(3)乙在前4局中已胜3局，概率为23×13=29，
还需3局才能结束比赛，可能最终甲获胜，也可能最终乙获胜，
若最终甲获胜，则第5，6，7局甲获胜，概率为(23)3=827，
若最终乙获胜，则第5，6局甲获胜，第7局乙获胜，概率为(23)2×13=427，
综上，若乙在前4局中已胜3局，还需比2局或3局才能结束比赛的概率为29+827+427=23．
19.解：(Ⅰ)若f(x)在区间(−1,0)上单调递增，f′(x)=ax+1−13x2≥0在(−1,0)上恒成立，
即a≥13x3+13x2在区间(−1,0)上恒成立，
设g(x)=13x3+13x2，则g′(x)=x2+23x，
令x2+23x=0，得x=0(舍)或x=−23，
当x∈(−1,−23)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(−23,0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
∴g(x)max=g(−23)=481，
故a的取值范围是[481,+∞)；
证明：(Ⅱ)由题可知ℎ(x)=asinxln(x+1)(x>−1)，
当x∈[0,π2]时，∵a>0，∴ℎ′(x)=a[sinxx+1+csxln(x+1)]≥0，
则ℎ(x)在[0,π2]上单调递增，ℎ(x)max=ℎ(π2)=aln(1+π2)=ln(1+π2)，
∴a=1，ℎ(x)=sinxln(x+1)，
令m(x)=ℎ(x)−12=sinxln(x+1)−12，则m(x)在[0,π2]上单调递增，
∵m(0)=−12<0，m(π2)=ln(1+π2)−12=0.944−12>0，
∴m(x)在[0,π2]上存在唯一的零点，
当x∈[π2,π]时，m′(x)=sinxx+1+csxln(x+1)，
令n(x)=m′(x)，则n′(x)=2(x+1)csx−[1+(x+1)2ln(x+1)]sinx(x+1)2，当x∈[π2,π]时，有csx≤0，sinx≥0，则n′(x)≤0，
m′(x)在[π2,π]上单调递减，
又m′(π2)=11+π2>0,m′(π)=−ln(π+1)<0，
∴m′(x)在[π2,π]上存在唯一的零点x0，
x∈[π2,x0)时，m′(x)>m′(x0)=0，
∴m(x)在[π2,x0)上单调递增，则m(x)>m(π2)>0，即m(x)在[π2,x0)上无零点，
当x∈(x0,π]时，m′(x)∴m(x)在(x0,π]上单调递减，又m(x0)>0,m(π)=−12<0，
∴m(x)在(x0,π]上有且仅有一个零点．
综上，方程ℎ(x)=12在[0,π]上恰有两个不相等的实数根．
X
0
1
2
P
13
12
m
抗病虫害
不抗病虫害
合计
种子经过该药处理
60
种子未经过该药处理
14
合计
100
α
0.1
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
6.635
7.879
10.828
x
1
2
3
4
5
y
3
4.5
4.8
6.4
6.3
x(天)
1
2
3
4
5
y(cm)
7
10
12
16
20