2023-2024学年上海外国语大学附属大境中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海外国语大学附属大境中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数是偶函数的是( )
A. y=sinxB. y=csxC. y=x3D. y=2x
2.下列关于排列数Pnm−1和组合数Cnm−1的计算中正确的是( )
A. Pnm−1=n!(m−1)!B. Pnm−1=n!(n−m−1)!
C. Cnm−1=n!(m−1)!(n−m+1)!D. Cnm−1=n!(m−1)!(n−m−1)!
3.函数f(x)=x，g(x)=x2−x+2.若存在x1，x2，…，xn∈[0,92]，使得f(x1)+f(x2)+…+f(xn−1)+g(xn)=g(x1)+g(x2)+…+g(xn−1)+f(xn)，则n的最大值是( )
A. 11B. 13C. 14D. 18
4.已知函数f(x)=3x1+3x，设xi(i=1,2,3)为实数，且x1+x2+x3=0，给出下列结论：
①若x1⋅x2⋅x3>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)0)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．
(1)求展开式中含x−1的项；
(2)求系数最大的项．
19.(本小题12分)
如图，已知定圆C：x2+(y−3)2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A(−1,0)的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．
(Ⅰ)当l与m垂直时，求证：l过圆心C；
(Ⅱ)当|PQ|=2 3时，求直线l的方程；
(Ⅲ)设t=AM⋅AN，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．
20.(本小题14分)
定义如果函数y=f(x)和y=g(x)的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=f(x)和y=g(x)具有C关系．
(1)判断函数f(x)=lg2(8x2)和g(x)=lg12x是否具有C关系；
(2)若函数f(x)=a x−1和g(x)=−x−1不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)=xex和g(x)=msinx(m0)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1；
故Cn4⋅24=10⋅Cn2⋅22，解得n=8；
所以Tr+1=C8r⋅( x)8−r⋅(2x2)r=C8r⋅2r⋅x8−5r2，
令8−5r2=−1，解得r=2；
故T3=C82⋅22⋅x−1=112x−1．
(2)系数的最大项满足C8r⋅2r≥C8r−1⋅2r−1 C8r⋅2r≥C8r+1⋅2r+1 ，(0≤r≤8,n∈N+)，解得5≤r≤6；
股故数的最大项为：T6=1792x−172和T7=1792x−11．
19.解：(Ⅰ)由已知km=−13，故kl=3，
所以直线l的方程为y=3(x+1)．
将圆心C(0,3)代入方程易知l过圆心C.(3分)
(Ⅱ)当直线l与x轴垂直时，易知x=−1符合题意；(4分)
当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1)，由于|PQ|=2 3，
所以|CM|=1.由|CM|=|−k+3| k2+1=1，解得k=43．
故直线l的方程为x=−1或4x−3y+4=0.(8分)
(Ⅲ)当l与x轴垂直时，易得M(−1,3)，N(−1,−53)，
又A(−1,0)则AM=(0,3)，AN=(0,−53)，故AM⋅AN=−5.即t=−5.(10分)
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)，代入圆的方程得(1+k2)x2+(2k2−6k)x+k2−6k+5=0．
则xM=x1+x22=−k2+3k1+k2，yM=k(xM+1)=3k2+k1+k2，
即M(−k2+3k1+k2,3k2+k1+k2)，AM=(3k+11+k2,3k2+k1+k2)．
又由y=k(x+1)x+3y+6=0得N(−3k−61+3k,−5k1+3k)，
则AN=(−51+3k,−5k1+3k)．
故t=AM⋅AN=−15k−5(1+k2)(1+3k)+−5k(3k2+k)(1+k2)(1+3k)=−5(1+3k)(1+k2)(1+3k)(1+k2)=−5．
综上，t的值为定值，且t=−5.(14分)
另解一：连接CA，延长交m于点R，由(Ⅰ)知AR⊥m.又CM⊥l于M，
故△ANR∽△AMC.于是有|AM|⋅|AN|=|AC|⋅|AR|．
由|AC|= 10,|AR|=5 10，得|AM|⋅|AN|=5．
故t=AM⋅AN=−|AM|⋅|AN|=−5.(14分)
另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由(Ⅰ)知AC⊥m，又CM⊥l，
所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，
由相交弦定理得t=AM⋅AN=−|AM|⋅|AN|=−|AC|⋅|AB|=−5.(14分)
20.解：(1)由已知得lg2(8x2)=−lg12xx>0，化简得lg2x=−3，
解得x=18，故此时函数y=f(x)和y=g(x)具有C关系；
(2)由已知得a x−1=x+1在[1,+∞)上无解，
x=1显然不满足上式，故a=x+1 x−1= x−1+2 x−1≥2 x−1⋅2 x−1=2 2(当且仅当x=3时取等号)，
故a0，故此时ℎ′(x)>0，
当x∈(0,π4]时，易知x→0时，φ(x)→0，
此时φ′(x)=sinx+x(sinx+csx)>0，故φ(x)在(0,π4)上递增，故φ(x)>0在(0,π4)上恒成立，
即ℎ′(x)>0在(0,π)上恒成立，故ℎ(x)在(0,π)单调递增，
而x→0limxexsinx=x→0limex=1，且x→π时，ℎ(x)→+∞，
故ℎ(x)>1，即−m>1，解得m