黑龙江省大庆中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份黑龙江省大庆中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 已知向量且，则， 函数的最小值为， 若，则等内容，欢迎下载使用。

满分：150分 考试时间：120分钟
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（ ）

A 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
3. 已知向量且，则
A. B. C. D.
4. 在四边形中，，，则该四边形的面积是（ ）
A. 40B. 20C. 10D. 5
5. 函数的最小值为（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 7
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A. 6寸B. 4寸C. 3寸D. 2寸
8. 在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知球O的半径为2cm，平面α截球O产生半径为1cm的圆面，A，B，C，D均在圆面的圆周上，且为正四棱锥，则该棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
二、多选题
11. 设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为（ ）
A. 若α∥β，γ∥β，则α∥γ
B. 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C. 若α∥β，l⊂α，则l∥β
D. 若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n
12. 下列函数是偶函数的是（ ）
A B. C. D.
13. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数具有以下哪些性质（ ）
A. 最大值为，图象关于直线对称
B. 图象关于轴对称
C. 最小正周期
D. 图象关于点成中心对称
14. 已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点O为的重心，则，
B. 若点O为的外心，则
C. 若点O为的垂心，则，
D. 若点O为的内心，则．
第II卷（非选择题）
三、填空题
15. 已知为复数，且，则的最大值为__________．
16. 若向量在向量上的投影向量为，则等于______．
17. 已知棱长均相等的正三棱柱，则异面直线与所成角的余弦值为______．
18. 如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是______.

四、解答题
19. 已知，，且与的夹角为，求：
（1）的值；
（2）与夹角的余弦值.
20. 如图，已知在长方体中，，点E是中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的表面积.
21. 在中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，求的面积．
22. 如图，四边形ABCD是圆柱轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，BC=6．
（1）证明：平面；
（2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B－EPF的体积．
23. 已知的内角所对的边分别为且与垂直.
（1）求大小；
（2）若边上的中线长为，求的面积的最大值.大庆中学2023---2024学年度下学期期中
高一年级数学试题
满分：150分 考试时间：120分钟
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.
【详解】因为，所以.
故选：A
2. 如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（ ）

A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则求解即可.
【详解】
将水平放置的的直观图还原，可知，
由勾股定理有，注意到，
所以三角形是等腰三角形，不是等边三角形，
由大边对大角可知，三角形中最大角的余弦，
即三角形中最大角是锐角，三角形是锐角三角形，不是直角三角形，
综上所述，只有C选项符合题意，
故选：C.
3. 已知向量且，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：首先由向量平行确定向量的坐标，再求向量的模长.
详解：因为，所以，即；
所以；
所以.
点睛：1、本题考查向量共线、向量的坐标运算等知识，意在考查学生的分析、计算能力.
解决本题的关键在于熟练掌握向量平行的坐标表示；
熟记向量坐标的加减运算与向量模长的坐标运算.
4. 在四边形中，，，则该四边形的面积是（ ）
A. 40B. 20C. 10D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，得到，再求得，，即可求出结果.
【详解】因为，，得到，所以，即，
又，，所以该四边形的面积，
故选：C
5. 函数的最小值为（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由可得，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选:D
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，结合诱导公式和二倍角的余弦公式，计算即可得到所求值.
【详解】由于，所以，
故选：B
7. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A. 6寸B. 4寸C. 3寸D. 2寸
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.
【详解】
如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
因为积水深9寸，所以水面半径为寸，
则盆中水的体积为立方寸，
所以平地降雨量等于寸.
故选：C.
8. 在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合正方体的结构特征找到直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案.
【详解】连接，在正方体中，平面，
棱的中点为，则平面，
而平面，故，
则即为直线与平面所成角，
设正方体棱长为2，则，
则，
故，
故选：C
9. 已知球O的半径为2cm，平面α截球O产生半径为1cm的圆面，A，B，C，D均在圆面的圆周上，且为正四棱锥，则该棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出图形根据球的半径和截面圆的半径即可求出，根据四棱锥的体积公式求出体积。
【详解】解：如图，连接，，，则平面α，
,
，
所以正四棱柱的底面边长为，高为，
所以棱锥的体积为。
故选：B
10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
分析】利用三角形的面积公式可求得，由余弦定理可得，利用两角和的正弦公式可求，进而利用正弦函数的性质即可求解其最大值．
【详解】因为的面积为，可得，
又由余弦定理可得，
所以，
因为，则，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为4．
故选：B.
二、多选题
11. 设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为（ ）
A 若α∥β，γ∥β，则α∥γ
B. 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C. 若α∥β，l⊂α，则l∥β
D. 若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n
【答案】ACD
【解析】
【分析】把几何语言转化为文字语言，结合空间想象和有关定理，进行判定即可.
【详解】对：平行于同一个平面的两个平面平行，正确；
对：一个平面内的两条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行.根据面面平行的判定定理，应该还要强调这两条直线相交，故错误；
对：两个平面平行，一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，正确；
对：三个平面两两相交，有三条交线，其中有两条平行，那么另两条也平行.结合三棱柱模型，可知正确.
故选：
12. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性.
先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断与的关系.
【详解】选项A：定义域，关于原点对称，，所以是奇函数；
选项B：由得或，所以的定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数；
选项C：由得定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数；
选项D：定义域，，所以是偶函数.
故选：BD.
13. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数具有以下哪些性质（ ）
A. 最大值为，图象关于直线对称
B. 图象关于轴对称
C. 最小正周期为
D. 图象关于点成中心对称
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数的变换规则求出的解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
则，即的最大值为，
又，所以的图象关于直线对称，故A正确；
由于不是偶函数，故它的图象不关于轴对称，故B错误；
的最小正周期，故C正确；
因为，所以的图象不关于点成中心对称，故D错误，
故选：AC.
14. 已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点O为的重心，则，
B. 若点O为的外心，则
C. 若点O为的垂心，则，
D. 若点O为的内心，则．
【答案】ABD
【解析】
【分析】用向量表示三角形的四心.
【详解】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确；

选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线，
则，同理，
，故B正确；

选项C：当时，则为的垂心，，重合，此时，故C错误；

选项D：若点O为的内心，在的平分线上，
则，故D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题
15. 已知为复数，且，则的最大值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】设，由复数模的计算公式可解.
【详解】设，由于，所以，
则，
由于，所以的最大值为.
故答案为：2
16. 若向量在向量上的投影向量为，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.
【详解】向量在向量上的投影向量为，
所以.
故答案为：.
17. 已知棱长均相等的正三棱柱，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，交于点，取的中点，连接，则，则为异面直线所成的角或其补角,解三角形即可.
【详解】如图1，连接，交于点，取的中点，连接，
则，则为异面直线所成的角或其补角，不妨令，
则在三角形中，，，
由余弦定理可知：，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：
18. 如图，从正四面体4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是______.

【答案】
【解析】
【分析】求出原正四面体外接球的半径，从而可求出多面体外接球的球心到底面的距离，求出多面面体的棱长，即可求出其外接球的半径，从而可求出外接球的表面积.
【详解】由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的，设原正四面体的棱长为，
则其表面积为，由图易知该多面体与原正四面体相比较，
表面积少了8个边长为的正三角形的面积，
所以该多面体的表面积为，所以.
如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心，

由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上，
，.
设球的半径为，在中，，所以，
在中，，所以，
所以，解得，所以，
所以该多面体外接球的表面积.
故答案为：.
四、解答题
19. 已知，，且与的夹角为，求：
（1）的值；
（2）与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，由此可得；
（2）根据向量夹角公式直接求解即可.
【小问1详解】
，
，.
【小问2详解】
，
.
20. 如图，已知在长方体中，，点E是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的表面积.
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【解析】
【分析】（1）连接交于点O，连接，可证，从而可证平面.
（2）先求三棱锥各面的面积，由此可求三棱锥的表面积.
【小问1详解】
连接交于点O，连接，
∵点E是的中点，点O是的中点
∴为的中位线，故.
又平面，平面，
∴平面.
【小问2详解】
在长方体中，均直角三角形，
又，
所以的面积分别为1，1，.
而在中，，
故等腰底边上的高，
得的面积为，
所以三棱锥的表面积为.
21. 在中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理与两角和的正弦公式计算即可得；
（2）借助余弦定理与面积公式计算即可得.
【小问1详解】
由，以及正弦定理可得：，
即，
即，
又在中，，所以，
又，所以，
【小问2详解】
由余弦定理，
得，因为，所以，
所以面积．
22. 如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，BC=6．
（1）证明：平面；
（2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B－EPF的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）是定值
【解析】
【分析】（1）根据圆的性质得到，根据圆柱的性质得到，然后根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据平面EPF得到AB与平面EPF所成角为，然后根据线面角得到，，最后根据锥体的体积公式求体积即可.
【小问1详解】
连接AF，
∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AB为圆O的直径，∴，
又EF是圆柱的母线，∴平面ABF，
∵平面ABF，∴，
又∵，，平面，∴平面ADEF，
又∵P是线段AD的中点，∴平面ADEF即为平面EPF，∴平面EPF.
【小问2详解】
由（1）知平面EPF，∴BF为三棱锥B－EPF的高，且AF为AB在平面EPF内的射影，
∴AB与平面EPF所成角为，由已知，AB=4，BC=6，
∴，，，
∴.
23. 已知的内角所对的边分别为且与垂直.
（1）求大小；
（2）若边上的中线长为，求的面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用垂直的向量表示进行化简，再根据正弦定理结合条件即可得到结果；
（2）利用余弦定理与边上的中线有进行化简，在利用基本不等式即可得到结果.
【小问1详解】
因为，垂直，
所以.
由正弦定理，得，因为，
所以，，
所以.
【小问2详解】
设边上的中线为，
在中，由余弦定理得：，
即①.
在和中，，
所以，
即，，，
化简得，
代入①式得，，
由基本不等式，
∴，当且仅当取到“”；
所以的面积最大值为.