广东省深圳实验、湛江一中、珠海一中三校2024届高三上学期12月联考数学试卷

这是一份广东省深圳实验、湛江一中、珠海一中三校2024届高三上学期12月联考数学试卷，共12页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。

数学试题 2023.12
注意事项：
1．本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．
3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．
4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．
5．考试结束后，考生上交答题卡．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，集合，则
A． B． C． D．
2. 若复数满足，则在复平面上所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在梯形中，设，，若，则
A． B． C． D．
4．已知函数，则的最大值为
A． B． C． D．
5．若，则
A． B． C． D．
6．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与其准线交于点，若，则
A． B． C． D．
8．已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：
则下列结论正确的为
A．这位同学成绩的中位数是
B．这位同学成绩的平均数是
C．这位同学成绩的第百分位数是
D．若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变
10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递减 D．的图象与的图象关于对称
11．已知圆，点在圆上，过可作的两条切线，记切点分别为，，则下列结论正确的为
A．当，时，点可是上任意一点
B．当，时，可能等于
C．若存在使得△为等边三角形，则的最小值为
D．若存在使得△的面积为，则可能为
12. 已知点在棱长为的正方体的表面上运动，且四面体的体积恒为，则下列结论正确的为
A．的轨迹长度为
B．四面体的体积最大值为
C．二面角的取值范围为
D．当△的周长最小时，
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设等差数列的前项和为，若，，则公差 ．
14．某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，
若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方
案数为 ．
15．已知奇函数及其导函数的定义域均为，若恒成
立，则 ．
16. 已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，点在的左支上运动且不
与顶点重合，记为△的内心，，若，则的取值范围
为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （10分）
已知为数列的前项和，且满足（）.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 记，求数列的前项和．
18．（12分）
已知△的内角，，的对边分别为，，，且．
(1) 求证：；
(2) 若△的面积为，且，求．
19．（12分）
如图，在三棱锥中，△为等腰直角三角形，，△为等边三角形.
(1) 证明：；
(2) 若直线与平面所成的角为，点在棱上，且，求二面角的大小.
20．（12分）
已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为，，，且每场比赛的胜负均相互独立.
(1) 当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；
(2) 若主办方在决赛的前两场中共投资（千万元），则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资（千万元），则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？
21．（12分）
已知函数，．
(1) 讨论的单调性；
(2) 当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且．
22．（12分）
在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设△的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线．
(1) 求的方程；
(2) 已知点，，，在上，且直线与相交于点，记，的斜率分别为，．
( = 1 \* rman i) 设的中点为，的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，；
( = 2 \* rman ii) 若，当最大时，求四边形的面积．
深圳实验、湛江一中、珠海一中2024届高三三校联考
数学答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共40分）
二、多选题（每小题5分，共20分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 2 14. 36 15. 1 16.
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，18―22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （10分）
解：(1)∵，
∴当时，， ………………………………2分
两式相减得，即 ()，………………………………………3分
当时，，符合上式，………………………………………………………………4分
∴的通项公式为()．…………………………………………………5分
(2)∵， ………………………………………7分
∴， …………………………………………………9分
∴． …………………………………………………………………10分
18．（12分）
解：(1) （方法一）由余弦定理，得，
又∵，∴，………………………………………………1分
∴，………………………………………………………………………………2分
∵ ，……………………………………………3分
∴ ，…………………………………4分
∴， ……………………………………………………………………………5分
又∵，，∴．……………………………………………………………6分
（方法二）由正弦定理，得，………………………………………1分
∴，……………………………………………………………2分
∵，，为△的内角，∴，
∴，………………………………………3分
∴，………………………………………………………4分
即，………………………………………………………………………5分
又∵，，∴．……………………………………………………………6分
（方法一）由(1)可知，……………………………………………………7分
∵，∴，即， ………………………………………………8分
∴，…………………………………………9分
∵，∴ ， ，………………………………10分
记△的面积为，
∴，………………………………………………11分
∴．……………………………………………………………………………………12分
（方法二）由正弦定理，得，即，……………………7分
∵，∴，且，∴，……………………………8分
又∵，∴，∴，
∴，∴，……………………………………9分
∴，…………………………………10分
记△的面积为，
∴，………………………………………………11分
∴．……………………………………………………………………………………12分
19．（12分）
解：(1) 证明：如图，取的中点，连接，， ……………………………1分
∵，∴， ………………………………………………………………2分
∵△为等边三角形，∴， …………………………3分
又∵，平面，
∴平面， ……………………………………4分
又∵平面，
∴. …………………………………………………………………5分
(2)（解法一）由(1)不难知道，在平面内，若过作直线的垂线交于点，则该垂线亦为平面的垂线，故直线在平面内的射影为直线，
∴为直线与平面所成的角，即，……………6分
不妨设，∵，为的中点，∴，
∵△为等边三角形，∴，
在△中，由正弦定理,得，∴，
∴，即，
由(1)知，，且，…………………………………………………………7分
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得，，，，
则有，，………………………………………………………8分
易知为平面的一个法向量，………………………………………………9分
设为平面的一个法向量，
则 即∴
则平面的一个法向量为，…10分
，…………11分
由图可知，二面角为锐角，
∴二面角的余弦值为，∴二面角的大小为. ……………12分
（解法二）过作，垂足为，过作，垂足为，连接，
由(1)不难知道，在平面内，若过作直线的垂线交于点，则该垂线亦为平面的垂线，故直线在平面内的射影为直线，
∴为直线与平面所成的角，即，……………6分
不放设，∵，为的中点，∴，
∵△为等边三角形，∴，
在△中，由正弦定理得，∴，
∴，即.
结合(1)可知，二面角为直二面角， …………………………………………7分
∴平面，又平面，∴,
又，平面，∴平面，又平面，
∴，∴为二面角的平面角. ………………………………8分
∵，，∴，，， ……………………9分
取的中点，连接，则，，
∴，…………………………………………………………………10分
∴， …………………………………………………………………11分
∴二面角的余弦值为，∴二面角的大小为. ……………12分
20．（12分）
解：(1) 记“甲队获得冠军”为事件，“决赛进行三场比赛”为事件，
由题可知， …………………………………………………2分
， ……………………………………………………4分
∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为. …………6分
(2) 设主办方在决赛前两场中共投资（千万元）， 其中，
若需进行第三场比赛，则还可投资（千万元），
记随机变量为决赛的总盈利，则可以取，， …………………………7分
∴，， ………………9分
∴随机变量的分布列为
∴的数学期望， ………………………10分
令，则，…………………………11分
∴当，即时，取得最大值，
∴主办方在决赛的前两场的投资额应为千万元，即万元. ……………………12分
21．（12分）
解：(1) ，……………………………………………………1分
若，由，则时，，单调递增；时，，单调递减；…………………………………………………………………2分
时，令，得或，
若，则或时，，单调递增；时，，单调递减；……………………………………………3分
若，则在上恒成立，在上单调递增；……………………4分
若，则或时，，单调递增；时，，单调递减．……………………………………………5分
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
…………………………………………………6分
(2) 由(1)知，时，在，上单调递增；在上单调递减，则的极小值点为，…………………………………………………7分
由极大值，且当时，，
存在唯一的零点，满足，…………………………8分
化简得，，
∴，即，
∴，………………………………………………9分
设，，
，…………………………………………………………………10分
当时，，单调递增，
时，，单调递减， …………………………………………………11分
从而当时，有最小值，
综上所述，存在唯一的零点，且．…………………………………12分
22．（12分）
解：(1) 由题意得， ………………………………………1分
易知， ………………………………………………………………2分
由椭圆定义可知，动点在以，为焦点，且长轴长为的椭圆上，
又不能在直线上，∴的方程为：． …………………………3分
(2) ( = 1 \* rman i) （法一）设，，，易知直线的方程为，
联立，得， ∴，………………4分
∴，，即， …………5分
同理可得，， …………………………………………………………6分
∴，……………………………………………………………7分
欲使，则，即，∴，
∴存在唯一常数，使得当时，． …………………………8分
（法二）设，，，易知的斜率不为零，否则与重合，
欲使，则将在轴上，又为的中点，则轴，这与过矛盾，
故，同理有， …………………………………………………………………4分
则，可得， …………………………………………5分
易知，，且，，
∴，即，……………………………………………………………6分
同理可得，， …………………………………………………………………7分
欲使，则， ∴，∴，
∴存在唯一常数，使得当时，． …………………………8分
( = 2 \* rman ii) 由( = 1 \* rman i)易知，且，
∴，
即，同理可得，， …………………………………9分
∵，∴，记，
∴，
当且仅当，即时取等， ………………………………………………………10分
由椭圆的对称性，不妨设此时，，且直线和的夹角为，
则，不难求得， …………………………………………11分
此时，易知，且，
∴四边形的面积为． ……………12分学生
甲
乙
丙
丁
戊
成绩
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
B
D
A
C
C
题号
9
10
11
12
答案
BC
AD
AC
BCD