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人教版八年级数学下册同步精讲精练专题一次函数与线段、角度有关的问题(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练专题一次函数与线段、角度有关的问题(原卷版+解析)，共67页。试卷主要包含了一次函数与线段问题，一次函数与等角问题，一次函数与45°角问题，一次函数与角度有关的综合问题等内容，欢迎下载使用。
题型一 一次函数与线段问题
【例题1】（2021春•达川区校级期中）如图，直线y1=−13x+b与x轴交于点A、与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3；观察图象并解决下列问题：
（1）直接写出b值： ；
（2）直接写出关于不等式组0＜−13x+b≤x的解集；
（3）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1=−13x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若CD＝2OB，求m的值．
【变式1-1】（2022秋•青白江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AE：y=23x+8交x轴于点E，交y轴于点A，直线BD：y＝﹣2x﹣4交x轴于点D，交y轴于B，交直线AE于点C．
（1）求点D、点E和点C的坐标；
（2）求△CDE的面积；
（3）若在直线AE上存在点F，使BA是△BCF的中线，求点F的坐标．
【变式1-2】（2023春•包河区月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝﹣2x+10的图象与x轴交于点A，与一次函数y2=23x+2的图象交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）结合图象，当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围；
（3）C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数y1＝﹣2x+10的图象交于点D，与一次函数y2=23x+2的图象交于点E．当CE＝3CD时，求DE的长．
【变式1-3】（2023春•中原区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k，b的值；
（2）请直接写出不等式（k﹣3）x+b＞0的解集；
（3）M为射线CB上一点，过点M作y轴的平行线，交y＝3x于点N，当MN＝3DO时，求M点的坐标．
【变式1-4】（2022秋•榆阳区校级期末）如图1，平面直角坐标系中，直线y=12x﹣2与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y＝﹣x+b经过点A，并与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标及b的值；
（2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为 ．点E的坐标为 ；（均用含t的式子表示）
（3）在（2）的条件下，当点P在线段OA上时，探究是否存在某一时刻，使DE＝OB？若存在，求出此时△ADE的面积；若不存在说明理由．
【变式1-5】（2021秋•西湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=−34x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=34x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PD的长（用含m的代数式表示）；
②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
（3）过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
题型二 一次函数与等角问题
【例题2】（2022秋•东台市月考）如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝﹣x+4与y轴交于点D，点P在直线y＝﹣x+4上，当∠ABO＝∠POD时，直接写出点P的坐标．
【变式2-1】（2022秋•常州期末）【操作思考】
如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数y＝x的图象，再画出△ABC关于正比例函数y＝x的图象对称的△DEF．
【猜想验证】
猜想：点P（a，b）关于正比例函数y＝x的图象对称的点Q的坐标为 ；
验证点P（a，b）在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）．
证明：如图2，点P（a，b）、Q关于正比例函数y＝x的图象对称，PH⊥x轴，垂足为H．
【应用拓展】
在△ABC中，点A坐标为（3，3），点B坐标为（﹣2，﹣1），点C在射线BO上，且AO平分∠BAC，则点C的坐标为 ．
【变式2-2】（2022秋•开江县校级期末）如图1，已知函数y=12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为72，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．
【变式2-3】如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．
（1）求b的值；
（2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标；
（3）如图2，过点C的直线交直线AB于点E，已知D（﹣1，0），∠BEC＝∠CDO，求直线CE的解析式．
【变式2-4】（2022春•朔州期末）综合与探究
如图1，直线AB与坐标轴交于A，B两点，已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），点C是线段AB上一点．
知识初探：如图1，求直线AB的解析式．
探究计算：如图2，若点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（ ）
拓展探究：如图3，若点C是线段AB的中点，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点M，求点M的坐标．
类比探究：如图4，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点N，连接AN，当∠OAN＝∠CAN时，则点N的坐标为（ ）
题型三 一次函数与45°角问题
【例题3】（2022春•宛城区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=−43x+4分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
（1）将直线AB向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
（2）直接写出与直线AB关于x轴对称的直线的解析式；
（3）若点P在x轴上，且∠APB＝45°，求点P的坐标；
【变式3-1】（2022春•大冶市期末）如图1，直线y=12x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E为y轴负半轴上一点，且S△ABE＝12．
（1）求直线AE的解析式；
（2）如图2，直线y＝mx交直线AB于点M，交直线AE于点N，当S△OEN＝2S△OBM时，求m的值；
（3）点P为直线AE上一点，若∠ABP＝45°，请直接写出点P的坐标： ．
【变式3-2】（2022秋•镇海区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=−23x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE，在直线CD上有一点P，使得AP+EP最小，求P点坐标；
（3）如图2，直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（2022秋•洪山区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足|a﹣2|+2b+2=0．
（1）求a，b的值；
（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．
①求证：CF=12BC；
②直接写出点C到DE的距离．
【变式3-4】（2020秋•济南月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足m−6+（n﹣12）2＝0．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）设过点C的直线交x轴于点D，使得S△AOB＝S△ACD，求D点的坐标；
（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．
【变式3-5】（2022•江北区开学）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于点E，且S△BCE＝2S△AOB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）猜想线段CE与线段AB的数量关系与位置关系，并说明理由；
（4）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．
题型四 一次函数与角度有关的综合问题
【例题4】（2022秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=−43x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4．
（1）求出A点的坐标．
（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为y轴上一点，连结AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标．
【变式4-1】（2022•丛台区校级模拟）如图，点P（a，a+3）是直角坐标系xOy中的一个动点，直线l1：y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2经过点B和点（6，3）并与x轴交于点C．
（1）求直线l2的表达式及点C的坐标；
（2）点P会落在直线l1：y＝2x+6上吗？说明原因；
（3）当点P在△ABC的内部时．
①求a的范围；
②是否存在点P，使得∠OPA＝90°？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2022秋•和平区校级期中）如图1，直线y=34x和直线y=−12x+b相交于点A，直线y=−12x+b与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y=34x于点Q．已知A点的横坐标为4．
（1）点C的坐标为 ；
（2）当QP＝OA时，求Q点的坐标．
（3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP平分线交x轴于点M．
①求出M点的坐标．
②在线段QM上找一点N，使△AON的周长最小，直接写出周长最小值 ．
【变式4-3】（2022秋•常州期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=−43x+43的图象l1与x轴交于点A，一次函数y＝x+6的图象l2与x轴交于点B，与l1交于点P．直线l3过点A且与x轴垂直，C是l3上的一个动点．
（1）分别求出点A、P的坐标；
（2）设直线PC对应的函数表达式为y＝kx+b，且满足函数值y随x的增大而增大．若△PCA的面积为15，分别求出k、b的值；
（3）是否存在点C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-4】（2022秋•市中区校级期末）如图，直线y＝﹣x+4和直线y＝2x+1相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣x+4和y＝2x+1的图象于点D，E，若DE＝9，求a的值．
（3）在（2）的条件下，点Q为x轴负半轴上一点，直接写出△DEQ为等腰三角形时Q点的坐标．
【变式4-5】已知，在直角坐标系中，A（﹣a，0），B（b，0），C（0，c），且满足b=a−c+c−a+2
（1）如图1，过B作BD⊥AC，交y轴于M，垂足为D，求M点的坐标．
（2）如图2，若a＝32，AC＝6，点P为线段AC上一点，D为x轴负半轴上一点，且PD＝PO，∠DPO＝45°，求点D的坐标．
（3）如图3，M在OC上，E在AC上，满足∠CME＝∠OMA，EF⊥AM交AO于G，垂足为F，试猜想线段OG，OM，CM三者之间的数量关系，并给出证明．
【变式4-6】（2022春•江夏区校级月考）如图，直线y1＝3x+6分别交x轴、y轴于A，B两点，直线y2＝kx+3（k≠3）分别交x轴、y轴于C，D，交y1于点E．
（1）直接写出坐标A： ，B： ，D： ；
（2）如图1，若∠BED＝45°，求C点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点C关于y轴的对称点F作x轴的垂线交直线y2于点G，连接EF、BG、OE，求证：EF﹣BE=2OE．
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
专题 一次函数与线段、角度有关的问题
题型一 一次函数与线段问题
【例题1】（2021春•达川区校级期中）如图，直线y1=−13x+b与x轴交于点A、与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3；观察图象并解决下列问题：
（1）直接写出b值： ；
（2）直接写出关于不等式组0＜−13x+b≤x的解集；
（3）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1=−13x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若CD＝2OB，求m的值．
【分析】（1）先求出E点坐标，再代入求出b的值，
（2）求出直线y1=−13x+b与x轴交于点A坐标，根据函数的图象可以直接得出，当0＜y1≤y2时x的取值范围；
（3）由点B的坐标，可求出OB的长，进而求出CD的长，由于点C、D分别在两条直线上，由题意得CD的长就是这两个点纵坐标的差，因此有两种情况，分类讨论，得出答案．
【解答】解：（1）点E在直线y2＝x上，点E的横坐标为3．
∴E（3，3）代入直线y1=−13x+b得，3=−13×3+b，
∴b＝4，
故答案为：4．
（2）直线y1=−13x+4得与x轴交点A的坐标为（12，0），
由图象可知：当0＜y1≤y2时，相应的x的值为：3≤x＜12．
（3）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），即：OB＝4，
∴CD＝2OB＝8，
∵点C在直线y1=−13x+4上，点D在直线y2＝x上，
∴（−13m+4 ）﹣m＝8或x﹣（−13m+4 ）＝8，
解得：m＝﹣3或m＝9，
答：m的值为﹣3或9．
【点评】考查待定系数法求函数的关系式、一次函数与一元一次不等式组的关系等知识，数形结合是解决问题的关键．
【变式1-1】（2022秋•青白江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AE：y=23x+8交x轴于点E，交y轴于点A，直线BD：y＝﹣2x﹣4交x轴于点D，交y轴于B，交直线AE于点C．
（1）求点D、点E和点C的坐标；
（2）求△CDE的面积；
（3）若在直线AE上存在点F，使BA是△BCF的中线，求点F的坐标．
【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征求得点E、D的坐标，两解析式联立成方程组，解方程组求得点C的坐标；
（2）根据三角形面积公式解答即可；
（3）作CG⊥y轴于G，FH⊥y轴于H，构造全等三角形△CAG≌△FAH（AAS），由该全等三角形的对应边相等可以求得FH＝CG=92，将x=92代入直线方程来求点F的坐标．
【解答】解：（1）在y=23x+8中，令y＝0，得23x+8＝0，解得x＝﹣12，
∴E（﹣12，0）．
在y＝﹣2x﹣4中，令y＝0，得﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，
∴D（﹣2，0）．
解方程组y=23x+8y=−2x−4，得x=−92y=5，
∴C（−92，5）．
（2）∵E（﹣12，0），D（﹣2，0）．
∴DE＝10，
∴S△CDE=12×10×5=25；
（3）作CG⊥y轴于点G，FH⊥y轴于点H．
∵∠CGA＝∠FHA＝90°．
∵BA为△BCF的中线，
∴CA＝FA．
∵∠CAG＝∠FAH，
∴△CAG≌△FAH（AAS）．
∴FH＝CG=92．
在y=23x+8中，当x=92时，y＝11，
∴F（92，11）．
【点评】此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法，三角形面积求法和全等三角形的判定合性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用全等三角形的性质求得点的坐标．
【变式1-2】（2023春•包河区月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝﹣2x+10的图象与x轴交于点A，与一次函数y2=23x+2的图象交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）结合图象，当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围；
（3）C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数y1＝﹣2x+10的图象交于点D，与一次函数y2=23x+2的图象交于点E．当CE＝3CD时，求DE的长．
【分析】（1）联立可直接得点B的坐标；
（2）根据函数图象，结合B点的坐标即可求得x的取值范围；
（3）设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，23m+2），由CE＝3CD求出m，即可得DE的长．
【解答】解：（1）令﹣2x+10=23x+2，解得x＝3，
∴y＝4，
∴B点坐标为（3，4）．
（2）由图象以及B（3，4）可知，x＜3时，y1＞y2；
（3）设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，23m+2），
∴CE=23m+2，CD＝2m﹣10，
∵CE＝3CD，
∴23m+2＝3（2m﹣10），解得m＝6．
∴D（6，﹣2），E（6，6），
∴DE＝8．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
【变式1-3】（2023春•中原区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k，b的值；
（2）请直接写出不等式（k﹣3）x+b＞0的解集；
（3）M为射线CB上一点，过点M作y轴的平行线，交y＝3x于点N，当MN＝3DO时，求M点的坐标．
【分析】（1）求出C（1，3），再用待定系数法可得k的值是﹣1，b的值是4；
（2）观察图象不等式（k﹣3）x+b＞0的解集为x＜1；
（3）由y＝﹣x+4，得D（0，4），OD＝4，设M（m，﹣m+4），则N（m，3m），有3m﹣（﹣m+4）＝3×4，即可解得答案．
【解答】解：（1）在y＝3x中，令x＝1得y＝3，
∴C（1，3），
把A（﹣2，6），C（1，3）代入y＝kx+b得：
−2k+b=6k+b=3，
解得k=−1b=4，
∴k的值是﹣1，b的值是4；
（2）由图象可得，当x＜1时，直线y＝kx+b在直线y＝3x上方，
∴kx+b＞3x的解集为x＜1，
∴不等式（k﹣3）x+b＞0的解集为x＜1；
（3）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
令x＝0得y＝4，
∴D（0，4），
∴OD＝4，
设M（m，﹣m+4），则N（m，3m），
∵MN＝3DO，
∴3m﹣（﹣m+4）＝3×4，
解得m＝4，
∴M的坐标为（4，0）．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
【变式1-4】（2022秋•榆阳区校级期末）如图1，平面直角坐标系中，直线y=12x﹣2与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y＝﹣x+b经过点A，并与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标及b的值；
（2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为 ．点E的坐标为 ；（均用含t的式子表示）
（3）在（2）的条件下，当点P在线段OA上时，探究是否存在某一时刻，使DE＝OB？若存在，求出此时△ADE的面积；若不存在说明理由．
【分析】（1）将y＝0代入y=12x﹣2，求出点A的坐标为（4，0），同理求出点B的坐标为（0，﹣2）；将A（4，0）代入y＝﹣x+b，求出b的值；
（2）由（1）知，直线AC的表达式为y＝﹣x+4，根据P点运动情况可知点P（t，0），再根据PD⊥x轴分别求出D（t，﹣t+4），E（t，12t﹣2）；
（3）求出B（0，﹣2），利用DE＝OB，求出t=83，进而求出△ADE的面积即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝4，
∴点A的坐标为（4，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B的坐标为（0，﹣2），
将A（4，0）代入y＝﹣x+b，得0＝﹣4+b，
解得b＝4；
（2）由（1）知，直线AC的表达式为y＝﹣x+4，
∵点P（t，0），
∵PD⊥x轴，
∴D（t，﹣t+4），E（t，12t﹣2），
故答案为（t，﹣t+4），（t，12t﹣2）；
（3）存在t，使DE＝OB，理由如下：
∵点P在线段OA上，
∴0≤t≤4，
由（2）知D（t，﹣t+4），E（t，12t﹣2），
∴DE＝﹣t+4﹣（12t﹣2）=−32t+6，
∵B（0，﹣2），
∴OB＝2，
∵DE＝OB，
∴−32t+6＝2，
解得：t=83，
∴AP＝4﹣t＝4−83=43，
∴S△ADE=12DE•AP=12×2×43=43．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直线与x轴垂直时点的坐标特点，两点间距离的求法是解题的关键．
【变式1-5】（2021秋•西湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=−34x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=34x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PD的长（用含m的代数式表示）；
②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
（3）过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）∴联立方程组：y=−34x+6y=34x，解得：x=4y=3，即可求解；
（2）①点P的横坐标为m，由PD∥y轴，得点P、D三点横坐标都为m，点D坐标为（m，−34m+6），得PD＝|−34m+6|；
②，先表示出P，D，E三点坐标，分两种情况第一种情形：点D是PE的中点时，第二种情形：点E是PD的中点时，根据中点坐标公式即可求解；
（3）在OA上取点H，使得OH＝BC，连接NH，先证△BCM≌△HON（SAS），BM＝NH，BM+BN＝NH+BN，当NH+BN最小，即B、N、H三点共线时，BM+BN最小，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y=−34x+6与直线y=34x交于点C，
∴联立方程组：y=−34x+6y=34x，
解得：x=4y=3，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）①点P的横坐标为m，
∵PD∥y轴，
∴点P、D，E三点横坐标都为m，
当x＝m时，y=34m，y=−34m+6，
∴点D坐标为（m，−34m+6），
∴PD=−34m+6；
②当x＝m时，y=34m，
∴点E坐标为（m，34m），
而点P坐标为（m，0），
第一种情形：点D是PE的中点时，
34m+02=−34m+6，
解得：m=163；
第二种情形：点E是PD的中点时，
12（−34m+6+0）=34m，
解得：m=83；
综上，m=163或83；
（3）BM+BN存在最小值，
在OA上取点H，使得OH＝BC，连接NH，
∵C（4，3），A（8，0），B（0，6），∠AOB＝90°，
∴AB＝10，
∵CF⊥BO，
∴点F坐标为（0，3），
∴CF垂直平分BO，
∴CB＝OC＝AC＝5，∠BCF＝∠OCF，
∵CF∥AO，
∴∠FCO＝∠AOC，
∴∠BCM＝∠HON，
∵MC＝NO，CB＝OH，
∴△BCM≌△HON（SAS），
∴BM＝NH，
∴BM+BN＝NH+BN，当NH+BN最小，即B、N、H三点共线时，BM+BN最小，
此时最小值=BO2+HO2=62+52=61．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，全等三角形的性质与判定，最值问题，解题关键是利用全等三角形的性质把BM+BN的值转化为NH+BN的值．
题型二 一次函数与等角问题
【例题2】（2022秋•东台市月考）如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝﹣x+4与y轴交于点D，点P在直线y＝﹣x+4上，当∠ABO＝∠POD时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数即可求解；
（2）分点P在y轴右侧，点P在y轴左侧两种情况，分别解答即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）．
∴2k+b=2b=−2，k=2b=−2，
∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝2x﹣2；
（2）①点P在y轴右侧时，
∵∠ABO＝∠POD，
∴OP∥AB，
∵直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2，
∴直线OP为y＝2x．
联立y＝﹣x+4得：y=−x+4y=2x，
解得x=43，
∴P（43，83）；
②点P在y轴左侧时，过点A作AM⊥x轴于M，减OP于N，设AB交x轴于点C，
∴∠OMN＝∠BOC＝90°，
∵A（2，2），
∴M（0，2），
∵B（0，﹣2），
∴OM＝BO＝2，
∵∠ABO＝∠POD，
∴△CBO≌△MON，
∴MN＝OC，
∵直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2，
∴点C（1，0），
∴OC＝1，
∴MN＝1，
∴N（﹣1，2），
设直线ON的函数表达式为y＝mx，
∴﹣x＝2，解得x＝﹣2，
∴直线ON的函数表达式为y＝﹣2x，
联立y＝﹣x+4得：y=−x+4y=−2x，
解得x＝﹣4，
∴P（﹣4，8）．
综上所述：点P坐标为（43，83）或（﹣4，8）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，两直线平行问题，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•常州期末）【操作思考】
如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数y＝x的图象，再画出△ABC关于正比例函数y＝x的图象对称的△DEF．
【猜想验证】
猜想：点P（a，b）关于正比例函数y＝x的图象对称的点Q的坐标为 ；
验证点P（a，b）在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）．
证明：如图2，点P（a，b）、Q关于正比例函数y＝x的图象对称，PH⊥x轴，垂足为H．
【应用拓展】
在△ABC中，点A坐标为（3，3），点B坐标为（﹣2，﹣1），点C在射线BO上，且AO平分∠BAC，则点C的坐标为 ．
【分析】操作思考：根据平面直角坐标系的对称性即可画出图象．
猜想验证：作QI⊥y，PH⊥x，点P、Q关于函数y＝x的图象对称，可证明得到△IOQ≌△HOP，从而得到IQ＝PH，OI＝OH，进而可得到Q点坐标；
应用拓展：在△ABC中，AO平分∠BAC，构造全等三角形，可得点C在AB关于AK的对称线AB'上，又因为点C在射线BO上，所以点C为直线BO和直线AB'的交点坐标．求出直线BO和直线AB'的解析式，即可得到答案．
【解答】解：操作思考：
猜想验证：
猜想点P（a，b）关于正比例函数y＝x的图象对称的点Q的坐标为（b，a）．
故答案为：（b，a）；
证明：作QI⊥y轴，垂足为I，连接OQ．
∵点P、Q关于函数y＝x的图象对称，
∴OP＝OQ，PQ⊥ON，
∴∠QON＝∠PON，
∵∠ION＝∠HON＝45°，
∴∠ION﹣∠QON＝∠HON﹣∠PON，即∠IOQ＝∠HOP．
在△IOQ和△HOP中，
∠QIO=∠PHO∠IOQ=∠HOPOQ=OP，
∴△IOQ≌△HOP（AAS），
∴IQ＝PH＝b，OI＝OH＝a，
∴Q（b，a）．
应用拓展：
如图3，过B作BB'⊥OA交AC延长线于B'，交直线AO于K，
∵A（3，3），
∴直线OA为y＝x的图象，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠B'AO，
∵∠BKA＝∠B'KA＝90°，AK＝AK，
∴△BKA≌△B'KA（ASA），
∴BK＝B'K，
∵BB'⊥AO，
∴B、B'关于直线y＝x对称，
∵B（﹣2，﹣1），
∴B'（﹣1，﹣2），
设直线AB'为y＝kx+b，
∴3k+b=3−k+b=−2，
∴k=54b=−34，
∴直线AB'为y=54x−34，
又∵直线BO为y=12x，
∴54x−34=12x，
∴x＝1，
∴y=12x=12，
∴C(1，12)．
故答案为：(1，12)．
【点评】本题考查了图形在平面直角坐标系中的对称问题、三角形全等问题、一次函数的应用，熟练掌握图形对称的定义，证明全等的方法，求交点坐标的方法是解此题的关键．
【变式2-2】（2022秋•开江县校级期末）如图1，已知函数y=12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为72，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．
【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式；
（2）①先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，当∠MBC＝90°即可，利用勾股定理建立方程即可x2+9+45＝（6﹣x）2，即可求解．
【解答】解：（1）对于y=12x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得：12x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴b=36k+b=0，解得k=−12b=3，
∴直线BC的函数解析式为y=−12x+3；
（2）①设点M（m，0），则点P（m，12m+3），点Q（m，−12m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ＝|−12m+3﹣（12m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
则△PQB的面积=12PQ•BD=12m2=72，解得m＝±7，
故点Q的坐标为（7，3−72）或（−7，3+72）；
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x，12x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x=−32，
∴P（−32，94），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（32，154），
综上，点P的坐标为（−32，94）或（32，154）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
【变式2-3】如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．
（1）求b的值；
（2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标；
（3）如图2，过点C的直线交直线AB于点E，已知D（﹣1，0），∠BEC＝∠CDO，求直线CE的解析式．
【分析】（1）利用△ABC和△ACO的面积公式求解；
（2）分两种情况讨论，点P在第一象限或者在第二象限，分别列出对应面积的表达式求解；
（3）构造△CDO和△CEF相似，求出点C和点E的坐标，利用待定系数法再求直线表达式．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，
∴点A（b，0），点B（0，b），
∴S△ABC=12×BC×OA=12×(b−2)×b，S△ACO=12OC×OA=12×2×b，
∵S△ABC＝2S△ACO，
∴12(b−2)×b=12×2b×2，
解得b＝6；
（2）由（1）知b＝6，直线AB表达式为y＝﹣x+6，
∴A点坐标（6，0），B点坐标（0，6），
设直线AC的表达式为y＝kx+b，将点A、C代入得，
6k+b=0b=2，解得k=−13b=2，
∴直线AC的解析式为y=−13x+2，
①当点P在第一象限时，过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，设Q（x，−13x+2），则点P（x，﹣x+6），
方法一：
∴PQ＝﹣x+6﹣（−13x+2）=−23x+4，
∴S△PAC＝S△PCQ+S△PAQ
=12PQ⋅x+12×PQ×(6−x)
＝12﹣2x，
S△PCO=12OC⋅x
＝x，
∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝x，解得：x＝4，则P点坐标（4，2）；
方法二：∵S△PAC＝S△BCA﹣S△BCP，
∴S△PAC=12BC×OA−12BC⋅x
=12×4×6−12×4⋅x
＝12﹣2x，
∵S△PCO=12OC⋅x=12×2⋅x=x，
∴S△PAC＝S△PCO，
∴12﹣2x＝x，
解得x＝4，
∴P（4，2）；
②当P点在第二象限时，设点P（x，﹣x+6），
∴S△PAC＝S△PBC+S△ABC
=12BC⋅(−x)+12BC⋅OA
＝12﹣2x，
S△PCO=12OC⋅(−x)
＝﹣x，
∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝﹣x，解得：x＝12，
∴第二象限x＜0，x＝12不符合题意舍去，
∴P点坐标（4，2）；
（3）如图，过点D作DF⊥CD交EC于点F，过点F作FH∠OD于H，设EC交x轴于点G．
∵∠BEC＝∠CDO，
∴∠BAO+∠EGA＝∠EGA+∠DCG，
∴∠DCG＝∠AO＝45°，
∴CD＝DF，
∵∠FDH+∠CDO＝90°，∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠DCO＝∠FDH，
∵∠FHD＝∠DOC＝90°，
∴△FHD≌△DOC（AAS），
∴FH＝OD＝1，DH＝OC＝2，
∴F（﹣3，1），
∴直线CE的解析式为y=13x+2．
【点评】本题是一次函数综合题目，主要考查直角坐标系内三角形面积计算，解题关键是熟练计算坐标系内三角形面积，求出点E和点C的坐标，进而求出直线的表达式，
【变式2-4】（2022春•朔州期末）综合与探究
如图1，直线AB与坐标轴交于A，B两点，已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），点C是线段AB上一点．
知识初探：如图1，求直线AB的解析式．
探究计算：如图2，若点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（ ）
拓展探究：如图3，若点C是线段AB的中点，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点M，求点M的坐标．
类比探究：如图4，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点N，连接AN，当∠OAN＝∠CAN时，则点N的坐标为（ ）
【分析】知识初探：利用待定系数法可求解析式；
探究计算：由中点公式可得，点C（2，32）；
拓展探究：连接AM，设M（m，0），则OM＝m，BM＝4﹣m，根据线段的垂直平分线的性质可得AM＝BM，在Rt△AOM中，利用勾股定理求出m的值，即可求解；
类比探究：根据角平分线的性质可得NO＝NC，利用HL得Rt△OAN≌Rt△ACN，根据全等三角形的性质得AC＝AO＝3，可得出BC＝AB﹣AC＝2，设点N的坐标为（n，0），则ON＝n，则CN＝n，BN＝4﹣n，在Rt△BCN中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：知识初探：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A，B两点坐标代入，得4k+b=0b=3，
解得k=−34b=3，
∴直线AB的解析式为y=−34x+3；
探究计算：∵点C为线段AB的中点，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），
∴由中点公式得，点C（2，32），
故答案为：2，32；
拓展探究：连接AM，
设M（m，0），则OM＝m，BM＝4﹣m，
∵点C是线段AB的中点，CM⊥AB，
∴AM＝BM＝4﹣m，
在Rt△AOM中，AM2＝OM2+OA2，
∴（4﹣m）2＝m2+32，
∴m=78，
∴M（78，0）；
类比探究：∵NC⊥AB，NO⊥OA，
∴当∠OAN＝∠CAN时，即AN平分∠OAB时，NO＝NC，
在Rt△OAN和Rt△ACN中，
AN=ANNO=NC，
∴Rt△OAN≌Rt△ACN（HL），
∴AC＝AO＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB=AO2+BO2=5，
∴BC＝AB﹣AC＝2，
设点N的坐标为（n，0），则ON＝n，则CN＝n，BN＝4﹣n，
在Rt△BCN中，由勾股定理得（4﹣n）2﹣n2＝22，
解得n=32，
∴点MN的坐标为（32，0）．
故答案为：32，0．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法解析式，中点公式，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理是本题的关键．
题型三 一次函数与45°角问题
【例题3】（2022春•宛城区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=−43x+4分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
（1）将直线AB向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
（2）直接写出与直线AB关于x轴对称的直线的解析式；
（3）若点P在x轴上，且∠APB＝45°，求点P的坐标；
【分析】（1）由图形平移的性质求解即可；
（2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可；
（3）由题意可知△OPB是等腰直角三角形，则OP＝OB，由此可求P点坐标；
【解答】解：（1）直线AB向下平移5个单位，得到y=−43x−1，
故答案为：y=−43x−1；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），
∴B点关于x轴的对称点（0，﹣4），
设直线AB：y=−43x+4关于x轴对称的直线解析式为y＝kx﹣4，
∴3k﹣4＝0，
∴k=43，
∴y=43x﹣4；
（3）∵B（0，4），
∴OB＝4，
∵点P在x轴上，∠APB＝45°，
∴点P在直线AB的两侧，OP＝OB＝4，
∴P（﹣4，0）或（4，0）；
【点评】本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键．
【变式3-1】（2022春•大冶市期末）如图1，直线y=12x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E为y轴负半轴上一点，且S△ABE＝12．
（1）求直线AE的解析式；
（2）如图2，直线y＝mx交直线AB于点M，交直线AE于点N，当S△OEN＝2S△OBM时，求m的值；
（3）点P为直线AE上一点，若∠ABP＝45°，请直接写出点P的坐标： ．
【分析】（1）设E（0，t），由三角形面积求出E（0，﹣4），再由待定系数法求出直线AE的解析式；
（2）联立方程组y=12x+2y=mx，求出M（42m−1，4m2m−1），联立方程组y=−x−4y=mx，求出N（−4m+1，−4mm+1），由三角形面积的关系可得42m−1=4m+1，从而求出m的值；
（3）当P点在A点下方时，过A点作AC⊥AB交BP的延长线于点C，过A点作MN⊥x轴，过B点作BM⊥MN交于M，过C作CN⊥MN交于N，通过证明△ABM≌△CAN（AAS），求出点C（﹣2，﹣4），利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝3x+2，联立方程组y=3x+2y=−x−4，即可求P（−32，−52）；当P点在A点下方时，同理可求P（﹣9，5）．
【解答】解：（1）在y=12x+2中，令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
设E（0，t），
∴BE＝2﹣t，
∵S△ABE＝12，
∴12×（2﹣t）×4＝12，
∴t＝﹣4，
∴E（0，﹣4），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∴−4k+b=0b=−4，
解得k=−1b=−4，
∴y＝﹣x﹣4；
（2）∵S△OEN＝2S△OBM，
∴4×（﹣xN）＝2×2xM，
∴﹣xN＝xM，
联立方程组y=12x+2y=mx，
解得x=42m−1y=4m2m−1，
∴M（42m−1，4m2m−1），
联立方程组y=−x−4y=mx，
解得x=−4m+1y=−4mm+1，
∴N（−4m+1，−4mm+1），
∴42m−1=4m+1，
∴m＝2，
经检验m＝2是方程的根，
∴m＝2；
（3）当P点在A点下方时，
过A点作AC⊥AB交BP的延长线于点C，过A点作MN⊥x轴，过B点作BM⊥MN交于M，过C作CN⊥MN交于N，
∵∠BAM+∠NAC＝90°，∠MAB+∠MBA＝90°，
∴∠NAC＝∠MBA，
∵∠ABC＝45°，
∴AC＝AB，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴BM＝AN，AM＝NC，
∵B（0，2），A（﹣4，0），
∴AM＝2，BM＝4，
∴C（﹣2，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴−2k+b=−4b=2，
∴k=3b=2，
∴y＝3x+2，
联立方程组y=3x+2y=−x−4，
解得x=−32y=−52，
∴P（−32，−52）；
当点P在A点上方时，
过A点作AQ⊥BP交于点Q，过点Q作QG⊥x轴交于G点，
∵∠QBA＝45°，
∴AQ＝AB，
∵∠QAB＝90°，
∴∠QAG+∠BAO＝90°，
∵∠QAG+∠AQG＝90°，
∴∠BAO＝∠AQG，
∴△AGQ≌△BOA（AAS），
∴AG＝BO，QG＝AO，
∴Q（﹣6，4），
设直线BQ的解析式为y＝k'x+b'，
∴b′=2−6k′+b′=4，
解得k′=−13b′=2，
∴y=−13x+2，
联立方程组y=−x−4y=−13x+2，
解得x=−9y=5，
∴P（﹣9，5）；
综上所述：P点的坐标（﹣9，5）或（−32，−52），
故答案为：（﹣9，5）或（−32，−52）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【变式3-2】（2022秋•镇海区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=−23x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE，在直线CD上有一点P，使得AP+EP最小，求P点坐标；
（3）如图2，直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于y=−23x+4，令y=−23x+4＝0，解得：x＝6，令x＝0，则y＝4，即可求解；
（2）作点A关于直线CD的对称点A′（6，4），连接A′E交CD于点P，则点P为所求点，进而求解；
（3）当点Q在AB上方时，证明△AHM≌△BOA（AAS），得到M的坐标为（4，10），进而求解；当点Q（Q′）在AB下方时，同理可解．
【解答】解：（1）对于y=−23x+4，
令y=−23x+4＝0，解得：x＝6，令x＝0，则y＝4，
故点A、B的坐标分别为（0，4）、（6，0）；
（2）∵点C为线段AB的中点，则点C（3，2），
如图1，过点C作CH⊥y轴于点H，
∵CF＝FE，故OF是△EHC的中位线，
即点O是HE的中点，则点E（0，﹣2），
作点A关于直线CD的对称点A′（6，4），连接A′E交CD于点P，则点P为所求点，
理由：AP+EP＝A′P+EP＝A′E为最小，
设直线A′E的表达式为：y＝kx+b，则b=−24=6k+b，解得k=1b=−2，
故直线A′E的表达式为：y＝x﹣2，
当x＝3时，y＝x﹣2＝1，
故点P的坐标为（3，1）；
（3）存在，理由：
当点Q在AB上方时，如图2，
过点A作AM⊥BQ交BQ于点M，过点M作MH⊥y轴于点H，
∵∠ABQ＝45°，
∴AM＝AB，
∵∠HMA+∠HAM＝90°，∠HAM+∠OAB＝90°，
∴∠HMA＝∠AOB，
在Rt△AHM和Rt△AOB中，
∠HMA=∠BAO∠MHA=∠AOB=90°AB=AM，
∴△AHM≌△BOA（AAS），
∴AH＝OB＝6，HM＝AO＝4，
故点M的坐标为（4，10），
由点M、B的坐标得，直线BM的表达式为：y＝﹣5x+30，
当x＝3时，y＝﹣5x+30＝15，
故点Q的坐标为（3，15）；
当点Q（Q′）在AB下方时，
过点A作AN⊥AB交BQ′于点N，则点M、N关于点A对称，
由中点坐标公式得，点N（4，2），
由点A、N得坐标得：直线AN得表达式为：y=15x−65，
当x＝3时，y=15x−65=−35，
故点Q′的坐标为（3，−35）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、点的对称性，全等三角形的判定和性质等，其中（3），需要分类求解，避免遗漏．
【变式3-3】（2022秋•洪山区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足|a﹣2|+2b+2=0．
（1）求a，b的值；
（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．
①求证：CF=12BC；
②直接写出点C到DE的距离．
【分析】（1）由非负数的性质可得出答案；
（2）分两种情况：∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可求出点C的坐标；
（3）①如图3，过点C作CL⊥y轴于点L，则CL＝1＝BO，根据AAS可证明△BOE≌△CLE，得出BE＝CE，根据ASA可证明△ABE≌△BCF，得出BE＝CF，则结论得证；
②如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，根据SAS可证明△CDE≌△CDF，可得∠CDE＝∠CDF，由角平分线的性质可得CK＝CH＝1．
【解答】（1）解：∵|a﹣2|+2b+2=0，
∵a﹣2≥0，2b+2≥0，
∴a﹣2＝0，2b+2＝0，
∴a＝2，b＝﹣1；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，
∴A（0，2），B（﹣1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，
∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，
①当∠BAC＝90°时，如图1，过点C作CG⊥OA于G，
∴∠AGC＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∵∠BAO+∠CAG＝90°，
∴∠BAO＝∠ACG，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
在△AOB和△CGA中，
∠CGA=∠AOB=90°∠ACG=∠BAOAB=AC，
∴△AOB≌△CGA（AAS），
∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，
∴OG＝OA﹣AG＝1，
∴C（2，1）；
②当∠ABC＝90°时，如图2，过点C作CG⊥BD于G，
同①得，△AOB≌△BGC（AAS），
∴BG＝OA＝2，CG＝OB＝1，
∴OG＝BG﹣OB＝1，
∴C（1，﹣1）；
即：满足条件的点C（2，1）或（1，﹣1）；
（3）①证明：如图3，由（2）知点C（1，﹣1），
过点C作CL⊥y轴于点L，则CL＝1＝BO，
在△BOE和△CLE中，
∠OEB=∠LEC∠EOB=∠ELCBO=CL，
∴△BOE≌△CLE（AAS），
∴BE＝CE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAO+∠BEA＝90°，
∵∠BOE＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∠BAE=∠CBFAB=BC∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，
∴CF=12BC；
②解：点C到DE的距离为1．
如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，
由①知BE＝CF，
∵BE=12BC，
∴CE＝CF，
∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，
∴∠ECD＝∠DCF，
∵DC＝DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠CDE＝∠CDF，
∴CK＝CH＝1．
∴点C到DE的距离为1．
【点评】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式3-4】（2020秋•济南月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足m−6+（n﹣12）2＝0．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）设过点C的直线交x轴于点D，使得S△AOB＝S△ACD，求D点的坐标；
（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．
【分析】（1）利用非负数的性质求出A、B两点坐标，再利用待定系数法切线直线AB解析式即可解决问题；
（2）根据三角形的面积公式可得AD＝18，即可解决问题；
（3）过点C作CF⊥CE交直线EP于点F，则△ECF为等腰直角三角形，求出直线PE解析式，利用方程组求交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵m−6+（n﹣12）2＝0，
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，0），B（0，12），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
则：b＝12，6k+b＝0，
解得：k＝﹣2，b＝12，
∴直线AB解析式为y＝﹣2x+12，
∵直线AB点C（a，a），
∴a＝﹣2a+12，
∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）；
（2）如图所示，
∵A（6，0），B（0，12），
∴S△AOB=12•OA•OB=12×6×12＝36，
S△ADC=12×4×AD＝36，
∴AD＝18，
设D（n，0），
∴n﹣6＝18或者n﹣6＝﹣18．
即n＝24或者n＝﹣12，
∴点D坐标（﹣12，0）或者（24，0）；
（3）如图，过点C作CF⊥CE交直线EP于点F，
∵∠CEF＝45°，
∴CE＝CF，
过C作x轴垂线l，分别过F、E作FM⊥l，EN⊥l，
∴∠FMC＝∠NCE＝90°，∠MCF+∠MFC＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠MCF+∠NCE＝90°，
∴∠MFC＝∠NCE，
∴△FMC≌△CNE（AAS），
∴FM＝CN＝6，CM＝EN＝4，
即F点坐标为（﹣2，8），
由E（0，﹣2），得直线EF的解析式为：y＝﹣5x﹣2，
联立y＝﹣5x﹣2，y＝﹣2x+12，得：
x=−143，y=643，
即点P坐标为：（−143，643）．
【点评】本题考查一次函数综合题、考查非负数的性质，待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是构造等腰直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
【变式3-5】（2022•江北区开学）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于点E，且S△BCE＝2S△AOB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）猜想线段CE与线段AB的数量关系与位置关系，并说明理由；
（4）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．
【分析】（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b，代入A、B坐标；
（2）设E（0，t），根据S△BCE＝2S△AOB，得12×3×（3−t）＝3，从而E（0，1），设直线CE的函数解析式为：y＝mx+n，将C、E的坐标代入得出直线CE的解析式，与直线AB联立即可；
（3）通过SAS证明△COE≌△BOA，得CE＝AB，∠OCE＝∠OBA，可得∠OCE+∠BAO＝∠OBA+∠BAO＝90°，即可得出结论；
（4）当点F在线段CD上时，过点D作GH∥y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，可证△BDG≌△DFH（AAS），得FH＝DG＝3−65=95，DH＝BG=35，从而点F（65，35），当点F在CD的延长线上时，由对称性可知F（−125，95）．
【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b，
∵点A（﹣1，0），B（0，3），
则−k+b=0b=3，
∴k=3b=3，
∴直线AB的函数解析式为：y＝3x+3；
（2）设E（0，t），
∵A（﹣1，0），B（0，3），
∴OA＝1，OB＝3，
∴S△AOB=12×1×3=32，
∵S△BCE＝2S△AOB，
∴S△BCE＝3，
∴12×3×（3−t）＝3，
解得t＝1，
∴E（0，1），
设直线CE的函数解析式为：y＝mx+n，将C、E的坐标代入得：
3m+n=0n=1，
∴m=−13n=1，
∴直线CE的函数解析式为：y=−13x+1，
当−13x+1＝3x+3时，
∴x=−35，
则y=65，
∴D（−35，65）；
（3）猜想：CE＝AB，CE⊥AB，理由如下：
∵OE＝OA＝1，OC＝OB＝3，∠COE＝∠BOA＝90°，
∴△COE≌△BOA（SAS），
∴CE＝AB，∠OCE＝∠OBA，
∵∠OBA+∠BAO＝90°，
∴∠OCE+∠BAO＝90°，
∴∠CDA＝90°，
∴CE⊥AB；
（4）在射线CD上存在两个F点，使∠DBF＝45°，
如图，当点F在线段CD上时，过点D作GH∥y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，
∵CD⊥AB，∠DBF＝45°，
∴∠DBF＝∠DFB＝45°，
∴BD＝DF，
∵∠BDG+∠FDH＝90°，
∠BDG+∠DBG＝90°，
∴∠FDH＝∠DBG，
又∵∠BGD＝∠DHF，
∴△BDG≌△DFH（AAS），
∴FH＝DG＝3−65=95，DH＝BG=35，
∴点F（65，35）；
当点F在CD的延长线上时，由对称性可知F（−125，95），
综上点F的坐标为：（65，35）或（−125，95）．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求直线解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，构造K型全等是解题的关键．
题型四 一次函数与角度有关的综合问题
【例题4】（2022秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=−43x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4．
（1）求出A点的坐标．
（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为y轴上一点，连结AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标．
【分析】（1）将点B代入直线，求出直线解析式y=−43x+b，然后求直线与x轴交点坐标；
（2）点Q在第一象限角平分线上，设Q（x，x），利用勾股定理列方程，即可求出点Q的标；
（3）分两种情况，①点P为y轴正半轴上一点；②点P为y轴负半轴上一点，根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵B的纵坐标为4．直线ly=−43x+b，与坐标轴分别交于A、B两点，
∴点B（0，4），
将点B（0，4）代入直线l的解析式y=−43x+b得：b＝4，
∴直线l的解析式为：y=−43x+4，
令y＝0得：x＝3，
∴A（3，0）；
（2）存在，
∵A（3，0），B（0，4），
∴AB=OA2+OB2=32+42=5，
∵Q在第一象限的角平分线上，
设Q（x，x），
根据勾股定理：
QB2+BA2＝QA2，
x2+（x﹣4）2+52＝x2+（x﹣3）2，
解得x＝16，
故Q（16，16）；
（3）如图：
①当点P为y轴正半轴上一点时，
∵∠APO＝2∠ABO，∠APO＝∠ABO+∠PAB，
∴∠ABO＝∠PAB，
∴PA＝PB，
设P（0，p），
∴PA2＝PB2，
∴32+p2＝（4﹣p）2，
∴p=78，
∴P（0，78）；
②当点P为y轴负半轴上一点时，
∠AP′P＝∠APO＝2∠ABO，
∴AP＝AP′，
∵AO⊥PP′，
∴OP′＝OP=78，
∴P′（0，−78）．
综上所述：点P的坐标为（0，78）或P（0，−78）．
【点评】此题一次函数的综合题，考查了点的坐标、勾股定理、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质等知识，利用数形结合思想以及分类思想解决问题是本题的关键．
【变式4-1】（2022•丛台区校级模拟）如图，点P（a，a+3）是直角坐标系xOy中的一个动点，直线l1：y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2经过点B和点（6，3）并与x轴交于点C．
（1）求直线l2的表达式及点C的坐标；
（2）点P会落在直线l1：y＝2x+6上吗？说明原因；
（3）当点P在△ABC的内部时．
①求a的范围；
②是否存在点P，使得∠OPA＝90°？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数是解析式即可；
（2）将点P代入直线l1：y＝2x+6，判断a是否有解即可；
（3）①由题意可知P点在直线y＝x+2上，只需判断该直线在△ABC内部时的a的取值即可；
②设AO的中点M为（−54，0），由题意可知PM=12AO，建立方程求出a是值即可求点的坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，则x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
b=66k+b=3，
解得k=−12b=6，
∴y=−12x+6，
令y＝0，则x＝12，
∴C（12，0）；
（2）将点P（a，a+3）代入y＝2x+6，
∴a+3＝2a+6，
解得a＝﹣3，
∴P（﹣3，0），
∴P点会落在直线l1上；
（3）①∵P（a，a+3），
∴P点在直线y＝x+3上，
令y＝0，则x＝﹣3，
∴直线y＝x+2与x轴的交点为（﹣3，0），
联立方程组y=−12x+6y=x+3，
解得x=2y=5，
∴直线y＝x+3与直线BC交点为（2，5），
∵点P在△ABC的内部，
∴﹣3＜a＜2；
②存在点P，使得∠OPA＝90°，理由如下：
∵A（﹣3，0），
∴AO＝3，
设AO的中点M为（−32，0），
∵∠OPA＝90°，
∴PM=12AO，
∴(a+32)2+(a+3)2=32，
2a2+9a+9＝0，
(a+94)2=916，
a1=−32，a2＝3，
∴P1(−32，32)，P2（﹣3，0）与A重合，
∴P（−32，32）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
【变式4-2】（2022秋•和平区校级期中）如图1，直线y=34x和直线y=−12x+b相交于点A，直线y=−12x+b与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y=34x于点Q．已知A点的横坐标为4．
（1）点C的坐标为 ；
（2）当QP＝OA时，求Q点的坐标．
（3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP平分线交x轴于点M．
①求出M点的坐标．
②在线段QM上找一点N，使△AON的周长最小，直接写出周长最小值 ．
【分析】（1）求出A的坐标为（4，3），用待定系数法求出直线AC的表达式，即可求解；
（2）设P（n，−12n+5），Q（n，34n），则PQ=34n﹣（−12n+5）=54n﹣5，而QP＝OA，即54n﹣5＝5，即可求解；
（3）①证明∠OQM＝∠OHM，则OH＝OQ=82+62=10，进而求出直线QH的表达式，即可求解；
②作点A关于直线HM的对称点A′，连接AO交QM于点N，则AN＝AN′，此时△AON的周长最小，进而求解．
【解答】解：（1）当x＝4时，y=34x＝3，即点A的坐标为（4，3），
将点A的坐标代入y=−12x+b得：3＝﹣2+b，解得：b＝5，
故直线AC的表达式为：y=−12x+5，令y＝0，解得x＝10，
故点C（10，0），
故答案为：（10，0）；
（2）∵点A的坐标为（4.3），
∴OA=42+32=5，
∵C（10，0），
设P（n，−12n+5），Q（n，34n），
∴PQ=34n﹣（−12n+5）=54n﹣5，
∵QP＝OA，
∴54n﹣5＝5，解得：n＝8，
∴P（8，1），Q（8，6）；
（3）①延长QM交y轴于点H，
∵QD∥y轴，则∠OHM＝∠MQD，
∵∠OQP平分线交x轴于点M，则∠MQO＝∠MQD，
∴∠OQM＝∠OHM，
∴OH＝OQ=82+62=10，
故点H（0，﹣10），
由点H、Q的坐标得，直线QH的表达式为：y＝2x﹣10，
令y＝2x﹣10＝0，解得x＝5，
故点M（5，0）；
②作点A关于直线HM的对称点A′，
∵QM是∠OQD的角平分线，故A′在QD上，
连接AO交QM于点N，则AN＝AN′，此时△AON的周长最小，理由：
△AON的周长＝AO+ON+A′N＝AO+ON+A′N＝AO+A′O最小，
由点A、Q的坐标知，点A是QO的中点，则AQ＝AO＝5＝QA′，
则点A′（8，1），
则△AON的周长最小值＝AO+A′O＝5+82+1=5+65，
故答案为：5+65．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，点的对称性，平行线的性质等，利用点的对称性求线段和的最小值，是解本题的关键．
【变式4-3】（2022秋•常州期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=−43x+43的图象l1与x轴交于点A，一次函数y＝x+6的图象l2与x轴交于点B，与l1交于点P．直线l3过点A且与x轴垂直，C是l3上的一个动点．
（1）分别求出点A、P的坐标；
（2）设直线PC对应的函数表达式为y＝kx+b，且满足函数值y随x的增大而增大．若△PCA的面积为15，分别求出k、b的值；
（3）是否存在点C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，即可求解点A的坐标，联立y=−43x+43y=x+6，即可求得点P的坐标；
（2）由（1）点A的坐标可知l3为直线x＝1，可设点C的坐标为（1，t），根据直线PC的单调性可知k＞0即t＞4，再根据三角形的面积公式解得t，把点C、P的坐标代入y＝kx+b求解即可；
（3）过点P作PE⊥l3于点E，由勾股定理求得AP，由2∠PCA+∠PAB＝90°和直角三角形的性质可得∠PAE＝2∠PCA，分两种情况讨论：①当点C1在x轴下方时，②当点C2在x轴上方时，由等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）令y＝0，得−43x+43=0，
解得x＝1，
∴A（1，0），
联立y=−43x+43y=x+6，
解得x=−2y=4，
∴P（﹣2，4）．
（2）点A（1，0）可知l3为直线x＝1，设点C的坐标为（1，t），
∵函数值y随x的增大而增大，P（﹣2，4），
∴k＞0，t＞4，
∴S△PCA=12×(1+2)×t=15，
∴t＝10，
∴C（1，10），
将P（﹣2，4）、C（1，10）代入y＝kx+b，
得−2k+b=4k+b=8，
解得k=2b=8，
∴k＝2，b＝8．
（3）过点P作PE⊥l3于点E，
∵P（﹣2，4），A（1，0），
∴E（1，4），
∵l3⊥x轴，
∴∠AEP＝∠EAO＝90°，
∴PE＝1﹣（﹣2）＝3，AE＝4，
在Rt△AEP中，AP=AE2+PE2=42+32=5，
∵2∠PCA+∠PAB＝90°，∠PAE+∠PAB＝90°，
∴∠PAE＝2∠PCA，
①当点C1在x轴下方时，连接PC1，
∵∠PAE＝∠PC1A+∠APC1＝2∠PC1A，
∴AC1＝AP＝5，
∴C1（1，﹣5），
②当点C2在x轴上方时，连接PC2，
∵∠PC2A＝∠PC1A，
∴PC1＝PC2，
又∵PE⊥C1C2，
∴EC1＝EC2，
∵EC1＝AE+AC1＝4+5＝9，
∴EC2＝9，
∴AC2＝AE+EC2＝4+9＝13，
∴C2（1，13），
综上，存在，C（1，﹣5）或C（1，13）．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式4-4】（2022秋•市中区校级期末）如图，直线y＝﹣x+4和直线y＝2x+1相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣x+4和y＝2x+1的图象于点D，E，若DE＝9，求a的值．
（3）在（2）的条件下，点Q为x轴负半轴上一点，直接写出△DEQ为等腰三角形时Q点的坐标．
【分析】（1）联立两条直线的解析式即可得出点A的坐标；
（2）由点P的坐标可得出点D，E的坐标，再根据DE＝6，列出方程，求解可得a的值；
（3）由（2）可得点D，E的坐标，再结合等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）令﹣x+4＝2x+1，解得x＝1，
∴y＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3）；
（2）由题意可知，D（a，﹣a+4），E（a，2a+1），
∴DE＝|2a+1﹣（﹣a+4）|＝9，
解得a＝﹣2或a＝4，
∴a的值为﹣2或4；
（3）设DE与x轴的交点为H，
当a＝﹣2时，D（﹣2，6），E（﹣2，﹣3），
以D为圆心，DE长为半径画弧交x轴负半轴于点Q，
QH=DQ2−DH2=92−62=35，
∴Q点的横坐标为﹣35−2，
∴Q（﹣35−2，0）；
同理：以E为圆心，DE长为半径画弧交x轴负半轴于点Q′，
Q′H=Q′E2−EH2=92−32=62，
∴Q′点的横坐标为﹣62−2，
∴Q′（﹣62−2，0）；
当a＝4时，D（4，0），E（4，9），
以E为圆心，DE长为半径画弧与x轴负半轴无交点，
以D为圆心，DE长为半径画弧与x轴负半轴交于Q″，
∴Q″的横坐标为：﹣（9﹣4）＝﹣5，
Q″（﹣5，0）．
故点Q的坐标为（﹣35−2，0）或（﹣62−2，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题为一次函数的综合应用，主要考查待定系数法、函数图象的交点、等腰三角形的性质，确定Q点的横坐标是解题的关键．
【变式4-5】已知，在直角坐标系中，A（﹣a，0），B（b，0），C（0，c），且满足b=a−c+c−a+2
（1）如图1，过B作BD⊥AC，交y轴于M，垂足为D，求M点的坐标．
（2）如图2，若a＝32，AC＝6，点P为线段AC上一点，D为x轴负半轴上一点，且PD＝PO，∠DPO＝45°，求点D的坐标．
（3）如图3，M在OC上，E在AC上，满足∠CME＝∠OMA，EF⊥AM交AO于G，垂足为F，试猜想线段OG，OM，CM三者之间的数量关系，并给出证明．
【分析】（1）由二次根式的性质得出a＝c，根据等腰直角三角形的性质求出∠CMD和∠BMO的度数，则OM＝OB＝2；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠APD＝∠COP，证明△PDA≌△OPC，根据全等三角形的性质得到OC＝PA，根据坐标与图形性质可得到答案；
（3）作ON∥EG，CH∥AO，CH与GE的延长线交于点H，可得出∠NCO＝∠MAO，根据ASA可证明△AOM≌△OCN，得到OM＝CN，证明△CME≌△CEH，得到CH＝CM，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵a﹣c≥0，c﹣a≥0，
∴a＝c，
∴△AOC为等腰直角三角形，∠ACO＝45°，
∵BD⊥AC，
∴∠CMD＝∠BMO＝45°，
∴OM＝OB＝2，
∴M（0，2）．
（2）∵∠APD+∠CPO＝180°﹣∠DPO＝135°，∠CPO+∠COP＝180°﹣∠ACO＝135°，
∴∠APD＝∠COP，
∵∠PCO＝∠PAD＝45°，PD＝PO，
∴△PDA≌△OPC（AAS），
∴PA＝OC＝32，DA＝PC＝6﹣32，
∴OD＝OA﹣DA＝32−（6﹣32）＝62−6．
∴D（6﹣62，0）．
（3）OM＝CM﹣OG．证明如下：
作ON∥EG，CH∥AO，且CH与GE的延长线交于点H，
∵EF⊥AM，
∴ON⊥AM，
∴∠NCO＝∠AOM＝90°，
∴∠NCO＝∠MAO，
∵OA＝OC，
∴△AOM≌△OCN（ASA），
∴OM＝CN，∠CNO＝∠AMO，
∵∠ACO＝45°，
∴∠HCE＝45°，
∵∠CME＝∠OMA，
∵ON∥GH，
∴∠CNO＝∠H，
∴∠H＝∠CME，
∵CM＝CM，
∴△CME≌△CEH（ASA），
∴CH＝CM，
∴OM＝CN＝CH﹣HN＝CM﹣OG．
【点评】本题是三角形综合题，考查了二次根式的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式4-6】（2022春•江夏区校级月考）如图，直线y1＝3x+6分别交x轴、y轴于A，B两点，直线y2＝kx+3（k≠3）分别交x轴、y轴于C，D，交y1于点E．
（1）直接写出坐标A： ，B： ，D： ；
（2）如图1，若∠BED＝45°，求C点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点C关于y轴的对称点F作x轴的垂线交直线y2于点G，连接EF、BG、OE，求证：EF﹣BE=2OE．
【分析】（1）由y1＝3x+6，y2＝kx+3，可得A（﹣2，0）、B（0，6）、D（0，3）；
（2）过点B作直线BF⊥AB交CD于点F，过点A作直线AH∥CD交BF于点H，证明△AMB≌△BNH（AAS），得AM＝BN＝6，MB＝NH＝2，即可得点H的坐标为（6，4），直线AH的表达式为y=12x+1，从而直线CD的表达式为y=12x+3，可得点C（﹣6，0）；
（3）由y=12x+3y=3x+6得E（−65，125），又点C（﹣6，0）关于y轴的对称点为F（6，0），得EF=12105，又B（0，6）得BE=6105，即得EF﹣BE=6105，而2OE=655×2=6105，故EF﹣BE=2OE．
【解答】（1）解：对于y1＝3x+6，令y1＝3x+6＝0，解得x＝﹣2，令x＝0，则y＝6，
对于y2＝kx+3，令x＝0，则y＝3，
∴A（﹣2，0）、B（0，6）、D（0，3）；
故答案为：（﹣2，0），（0，6），（0，3）；
（2）解：过点B作直线BF⊥AB交CD于点F，过点A作直线AH∥CD交BF于点H，
∵AH∥CD，则∠BAH＝∠BED＝45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AB＝BH，
由点A、B的坐标知，AM＝6，BM＝2，
∵∠ABM+∠MAB＝90°，∠ABM+∠NHB＝90°，
∴∠MAB＝∠NBH，
∴∠AMB＝∠BNH＝90°，AB＝BH，
∴△AMB≌△BNH（AAS），
∴AM＝BN＝6，MB＝NH＝2，
故点H的坐标为（6，4），
由点A（﹣2，0）、H（6，4）得，直线AH的表达式为y=12x+1，
∵AH∥CD，D（0，3），
∴直线CD的表达式为y=12x+3，
令y=12x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴点C（﹣6，0）；
（3）证明：由y=12x+3y=3x+6得：x=−65y=125，
∴E（−65，125），
∵点C（﹣6，0）关于y轴的对称点为F，
∴F（6，0），
∴EF=(−65−6)2+(125−0)2=12105，
∵B（0，6），
∴BE=(−65−0)2+(125−6)2=6105，
∴EF﹣BE=12105−6105=6105，
∵OE=(65)2+(125)2=655，
∴2OE=655×2=6105，
∴EF﹣BE=2OE．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是掌握作辅助线，利用条件∠BED＝45°．
题型一 一次函数与线段问题
【例题1】（2021春•达川区校级期中）如图，直线y1=−13x+b与x轴交于点A、与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3；观察图象并解决下列问题：
（1）直接写出b值： ；
（2）直接写出关于不等式组0＜−13x+b≤x的解集；
（3）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1=−13x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若CD＝2OB，求m的值．
【变式1-1】（2022秋•青白江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AE：y=23x+8交x轴于点E，交y轴于点A，直线BD：y＝﹣2x﹣4交x轴于点D，交y轴于B，交直线AE于点C．
（1）求点D、点E和点C的坐标；
（2）求△CDE的面积；
（3）若在直线AE上存在点F，使BA是△BCF的中线，求点F的坐标．
【变式1-2】（2023春•包河区月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝﹣2x+10的图象与x轴交于点A，与一次函数y2=23x+2的图象交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）结合图象，当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围；
（3）C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数y1＝﹣2x+10的图象交于点D，与一次函数y2=23x+2的图象交于点E．当CE＝3CD时，求DE的长．
【变式1-3】（2023春•中原区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k，b的值；
（2）请直接写出不等式（k﹣3）x+b＞0的解集；
（3）M为射线CB上一点，过点M作y轴的平行线，交y＝3x于点N，当MN＝3DO时，求M点的坐标．
【变式1-4】（2022秋•榆阳区校级期末）如图1，平面直角坐标系中，直线y=12x﹣2与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y＝﹣x+b经过点A，并与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标及b的值；
（2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为 ．点E的坐标为 ；（均用含t的式子表示）
（3）在（2）的条件下，当点P在线段OA上时，探究是否存在某一时刻，使DE＝OB？若存在，求出此时△ADE的面积；若不存在说明理由．
【变式1-5】（2021秋•西湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=−34x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=34x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PD的长（用含m的代数式表示）；
②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
（3）过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
题型二 一次函数与等角问题
【例题2】（2022秋•东台市月考）如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝﹣x+4与y轴交于点D，点P在直线y＝﹣x+4上，当∠ABO＝∠POD时，直接写出点P的坐标．
【变式2-1】（2022秋•常州期末）【操作思考】
如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数y＝x的图象，再画出△ABC关于正比例函数y＝x的图象对称的△DEF．
【猜想验证】
猜想：点P（a，b）关于正比例函数y＝x的图象对称的点Q的坐标为 ；
验证点P（a，b）在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）．
证明：如图2，点P（a，b）、Q关于正比例函数y＝x的图象对称，PH⊥x轴，垂足为H．
【应用拓展】
在△ABC中，点A坐标为（3，3），点B坐标为（﹣2，﹣1），点C在射线BO上，且AO平分∠BAC，则点C的坐标为 ．
【变式2-2】（2022秋•开江县校级期末）如图1，已知函数y=12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为72，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．
【变式2-3】如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．
（1）求b的值；
（2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标；
（3）如图2，过点C的直线交直线AB于点E，已知D（﹣1，0），∠BEC＝∠CDO，求直线CE的解析式．
【变式2-4】（2022春•朔州期末）综合与探究
如图1，直线AB与坐标轴交于A，B两点，已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），点C是线段AB上一点．
知识初探：如图1，求直线AB的解析式．
探究计算：如图2，若点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（ ）
拓展探究：如图3，若点C是线段AB的中点，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点M，求点M的坐标．
类比探究：如图4，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点N，连接AN，当∠OAN＝∠CAN时，则点N的坐标为（ ）
题型三 一次函数与45°角问题
【例题3】（2022春•宛城区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=−43x+4分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
（1）将直线AB向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
（2）直接写出与直线AB关于x轴对称的直线的解析式；
（3）若点P在x轴上，且∠APB＝45°，求点P的坐标；
【变式3-1】（2022春•大冶市期末）如图1，直线y=12x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E为y轴负半轴上一点，且S△ABE＝12．
（1）求直线AE的解析式；
（2）如图2，直线y＝mx交直线AB于点M，交直线AE于点N，当S△OEN＝2S△OBM时，求m的值；
（3）点P为直线AE上一点，若∠ABP＝45°，请直接写出点P的坐标： ．
【变式3-2】（2022秋•镇海区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=−23x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE，在直线CD上有一点P，使得AP+EP最小，求P点坐标；
（3）如图2，直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（2022秋•洪山区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足|a﹣2|+2b+2=0．
（1）求a，b的值；
（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．
①求证：CF=12BC；
②直接写出点C到DE的距离．
【变式3-4】（2020秋•济南月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足m−6+（n﹣12）2＝0．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）设过点C的直线交x轴于点D，使得S△AOB＝S△ACD，求D点的坐标；
（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．
【变式3-5】（2022•江北区开学）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于点E，且S△BCE＝2S△AOB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）猜想线段CE与线段AB的数量关系与位置关系，并说明理由；
（4）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．
题型四 一次函数与角度有关的综合问题
【例题4】（2022秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=−43x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4．
（1）求出A点的坐标．
（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为y轴上一点，连结AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标．
【变式4-1】（2022•丛台区校级模拟）如图，点P（a，a+3）是直角坐标系xOy中的一个动点，直线l1：y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2经过点B和点（6，3）并与x轴交于点C．
（1）求直线l2的表达式及点C的坐标；
（2）点P会落在直线l1：y＝2x+6上吗？说明原因；
（3）当点P在△ABC的内部时．
①求a的范围；
②是否存在点P，使得∠OPA＝90°？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2022秋•和平区校级期中）如图1，直线y=34x和直线y=−12x+b相交于点A，直线y=−12x+b与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y=34x于点Q．已知A点的横坐标为4．
（1）点C的坐标为 ；
（2）当QP＝OA时，求Q点的坐标．
（3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP平分线交x轴于点M．
①求出M点的坐标．
②在线段QM上找一点N，使△AON的周长最小，直接写出周长最小值 ．
【变式4-3】（2022秋•常州期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=−43x+43的图象l1与x轴交于点A，一次函数y＝x+6的图象l2与x轴交于点B，与l1交于点P．直线l3过点A且与x轴垂直，C是l3上的一个动点．
（1）分别求出点A、P的坐标；
（2）设直线PC对应的函数表达式为y＝kx+b，且满足函数值y随x的增大而增大．若△PCA的面积为15，分别求出k、b的值；
（3）是否存在点C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-4】（2022秋•市中区校级期末）如图，直线y＝﹣x+4和直线y＝2x+1相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣x+4和y＝2x+1的图象于点D，E，若DE＝9，求a的值．
（3）在（2）的条件下，点Q为x轴负半轴上一点，直接写出△DEQ为等腰三角形时Q点的坐标．
【变式4-5】已知，在直角坐标系中，A（﹣a，0），B（b，0），C（0，c），且满足b=a−c+c−a+2
（1）如图1，过B作BD⊥AC，交y轴于M，垂足为D，求M点的坐标．
（2）如图2，若a＝32，AC＝6，点P为线段AC上一点，D为x轴负半轴上一点，且PD＝PO，∠DPO＝45°，求点D的坐标．
（3）如图3，M在OC上，E在AC上，满足∠CME＝∠OMA，EF⊥AM交AO于G，垂足为F，试猜想线段OG，OM，CM三者之间的数量关系，并给出证明．
【变式4-6】（2022春•江夏区校级月考）如图，直线y1＝3x+6分别交x轴、y轴于A，B两点，直线y2＝kx+3（k≠3）分别交x轴、y轴于C，D，交y1于点E．
（1）直接写出坐标A： ，B： ，D： ；
（2）如图1，若∠BED＝45°，求C点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点C关于y轴的对称点F作x轴的垂线交直线y2于点G，连接EF、BG、OE，求证：EF﹣BE=2OE．
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
专题 一次函数与线段、角度有关的问题
题型一 一次函数与线段问题
【例题1】（2021春•达川区校级期中）如图，直线y1=−13x+b与x轴交于点A、与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3；观察图象并解决下列问题：
（1）直接写出b值： ；
（2）直接写出关于不等式组0＜−13x+b≤x的解集；
（3）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1=−13x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若CD＝2OB，求m的值．
【分析】（1）先求出E点坐标，再代入求出b的值，
（2）求出直线y1=−13x+b与x轴交于点A坐标，根据函数的图象可以直接得出，当0＜y1≤y2时x的取值范围；
（3）由点B的坐标，可求出OB的长，进而求出CD的长，由于点C、D分别在两条直线上，由题意得CD的长就是这两个点纵坐标的差，因此有两种情况，分类讨论，得出答案．
【解答】解：（1）点E在直线y2＝x上，点E的横坐标为3．
∴E（3，3）代入直线y1=−13x+b得，3=−13×3+b，
∴b＝4，
故答案为：4．
（2）直线y1=−13x+4得与x轴交点A的坐标为（12，0），
由图象可知：当0＜y1≤y2时，相应的x的值为：3≤x＜12．
（3）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），即：OB＝4，
∴CD＝2OB＝8，
∵点C在直线y1=−13x+4上，点D在直线y2＝x上，
∴（−13m+4 ）﹣m＝8或x﹣（−13m+4 ）＝8，
解得：m＝﹣3或m＝9，
答：m的值为﹣3或9．
【点评】考查待定系数法求函数的关系式、一次函数与一元一次不等式组的关系等知识，数形结合是解决问题的关键．
【变式1-1】（2022秋•青白江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AE：y=23x+8交x轴于点E，交y轴于点A，直线BD：y＝﹣2x﹣4交x轴于点D，交y轴于B，交直线AE于点C．
（1）求点D、点E和点C的坐标；
（2）求△CDE的面积；
（3）若在直线AE上存在点F，使BA是△BCF的中线，求点F的坐标．
【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征求得点E、D的坐标，两解析式联立成方程组，解方程组求得点C的坐标；
（2）根据三角形面积公式解答即可；
（3）作CG⊥y轴于G，FH⊥y轴于H，构造全等三角形△CAG≌△FAH（AAS），由该全等三角形的对应边相等可以求得FH＝CG=92，将x=92代入直线方程来求点F的坐标．
【解答】解：（1）在y=23x+8中，令y＝0，得23x+8＝0，解得x＝﹣12，
∴E（﹣12，0）．
在y＝﹣2x﹣4中，令y＝0，得﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，
∴D（﹣2，0）．
解方程组y=23x+8y=−2x−4，得x=−92y=5，
∴C（−92，5）．
（2）∵E（﹣12，0），D（﹣2，0）．
∴DE＝10，
∴S△CDE=12×10×5=25；
（3）作CG⊥y轴于点G，FH⊥y轴于点H．
∵∠CGA＝∠FHA＝90°．
∵BA为△BCF的中线，
∴CA＝FA．
∵∠CAG＝∠FAH，
∴△CAG≌△FAH（AAS）．
∴FH＝CG=92．
在y=23x+8中，当x=92时，y＝11，
∴F（92，11）．
【点评】此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法，三角形面积求法和全等三角形的判定合性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用全等三角形的性质求得点的坐标．
【变式1-2】（2023春•包河区月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝﹣2x+10的图象与x轴交于点A，与一次函数y2=23x+2的图象交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）结合图象，当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围；
（3）C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数y1＝﹣2x+10的图象交于点D，与一次函数y2=23x+2的图象交于点E．当CE＝3CD时，求DE的长．
【分析】（1）联立可直接得点B的坐标；
（2）根据函数图象，结合B点的坐标即可求得x的取值范围；
（3）设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，23m+2），由CE＝3CD求出m，即可得DE的长．
【解答】解：（1）令﹣2x+10=23x+2，解得x＝3，
∴y＝4，
∴B点坐标为（3，4）．
（2）由图象以及B（3，4）可知，x＜3时，y1＞y2；
（3）设点C的横坐标为m，则D（m，﹣2m+10），E（m，23m+2），
∴CE=23m+2，CD＝2m﹣10，
∵CE＝3CD，
∴23m+2＝3（2m﹣10），解得m＝6．
∴D（6，﹣2），E（6，6），
∴DE＝8．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
【变式1-3】（2023春•中原区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k，b的值；
（2）请直接写出不等式（k﹣3）x+b＞0的解集；
（3）M为射线CB上一点，过点M作y轴的平行线，交y＝3x于点N，当MN＝3DO时，求M点的坐标．
【分析】（1）求出C（1，3），再用待定系数法可得k的值是﹣1，b的值是4；
（2）观察图象不等式（k﹣3）x+b＞0的解集为x＜1；
（3）由y＝﹣x+4，得D（0，4），OD＝4，设M（m，﹣m+4），则N（m，3m），有3m﹣（﹣m+4）＝3×4，即可解得答案．
【解答】解：（1）在y＝3x中，令x＝1得y＝3，
∴C（1，3），
把A（﹣2，6），C（1，3）代入y＝kx+b得：
−2k+b=6k+b=3，
解得k=−1b=4，
∴k的值是﹣1，b的值是4；
（2）由图象可得，当x＜1时，直线y＝kx+b在直线y＝3x上方，
∴kx+b＞3x的解集为x＜1，
∴不等式（k﹣3）x+b＞0的解集为x＜1；
（3）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
令x＝0得y＝4，
∴D（0，4），
∴OD＝4，
设M（m，﹣m+4），则N（m，3m），
∵MN＝3DO，
∴3m﹣（﹣m+4）＝3×4，
解得m＝4，
∴M的坐标为（4，0）．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
【变式1-4】（2022秋•榆阳区校级期末）如图1，平面直角坐标系中，直线y=12x﹣2与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y＝﹣x+b经过点A，并与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标及b的值；
（2）如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线AC，AB于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为 ．点E的坐标为 ；（均用含t的式子表示）
（3）在（2）的条件下，当点P在线段OA上时，探究是否存在某一时刻，使DE＝OB？若存在，求出此时△ADE的面积；若不存在说明理由．
【分析】（1）将y＝0代入y=12x﹣2，求出点A的坐标为（4，0），同理求出点B的坐标为（0，﹣2）；将A（4，0）代入y＝﹣x+b，求出b的值；
（2）由（1）知，直线AC的表达式为y＝﹣x+4，根据P点运动情况可知点P（t，0），再根据PD⊥x轴分别求出D（t，﹣t+4），E（t，12t﹣2）；
（3）求出B（0，﹣2），利用DE＝OB，求出t=83，进而求出△ADE的面积即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝4，
∴点A的坐标为（4，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B的坐标为（0，﹣2），
将A（4，0）代入y＝﹣x+b，得0＝﹣4+b，
解得b＝4；
（2）由（1）知，直线AC的表达式为y＝﹣x+4，
∵点P（t，0），
∵PD⊥x轴，
∴D（t，﹣t+4），E（t，12t﹣2），
故答案为（t，﹣t+4），（t，12t﹣2）；
（3）存在t，使DE＝OB，理由如下：
∵点P在线段OA上，
∴0≤t≤4，
由（2）知D（t，﹣t+4），E（t，12t﹣2），
∴DE＝﹣t+4﹣（12t﹣2）=−32t+6，
∵B（0，﹣2），
∴OB＝2，
∵DE＝OB，
∴−32t+6＝2，
解得：t=83，
∴AP＝4﹣t＝4−83=43，
∴S△ADE=12DE•AP=12×2×43=43．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直线与x轴垂直时点的坐标特点，两点间距离的求法是解题的关键．
【变式1-5】（2021秋•西湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=−34x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=34x交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PD的长（用含m的代数式表示）；
②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
（3）过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）∴联立方程组：y=−34x+6y=34x，解得：x=4y=3，即可求解；
（2）①点P的横坐标为m，由PD∥y轴，得点P、D三点横坐标都为m，点D坐标为（m，−34m+6），得PD＝|−34m+6|；
②，先表示出P，D，E三点坐标，分两种情况第一种情形：点D是PE的中点时，第二种情形：点E是PD的中点时，根据中点坐标公式即可求解；
（3）在OA上取点H，使得OH＝BC，连接NH，先证△BCM≌△HON（SAS），BM＝NH，BM+BN＝NH+BN，当NH+BN最小，即B、N、H三点共线时，BM+BN最小，即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y=−34x+6与直线y=34x交于点C，
∴联立方程组：y=−34x+6y=34x，
解得：x=4y=3，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）①点P的横坐标为m，
∵PD∥y轴，
∴点P、D，E三点横坐标都为m，
当x＝m时，y=34m，y=−34m+6，
∴点D坐标为（m，−34m+6），
∴PD=−34m+6；
②当x＝m时，y=34m，
∴点E坐标为（m，34m），
而点P坐标为（m，0），
第一种情形：点D是PE的中点时，
34m+02=−34m+6，
解得：m=163；
第二种情形：点E是PD的中点时，
12（−34m+6+0）=34m，
解得：m=83；
综上，m=163或83；
（3）BM+BN存在最小值，
在OA上取点H，使得OH＝BC，连接NH，
∵C（4，3），A（8，0），B（0，6），∠AOB＝90°，
∴AB＝10，
∵CF⊥BO，
∴点F坐标为（0，3），
∴CF垂直平分BO，
∴CB＝OC＝AC＝5，∠BCF＝∠OCF，
∵CF∥AO，
∴∠FCO＝∠AOC，
∴∠BCM＝∠HON，
∵MC＝NO，CB＝OH，
∴△BCM≌△HON（SAS），
∴BM＝NH，
∴BM+BN＝NH+BN，当NH+BN最小，即B、N、H三点共线时，BM+BN最小，
此时最小值=BO2+HO2=62+52=61．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，全等三角形的性质与判定，最值问题，解题关键是利用全等三角形的性质把BM+BN的值转化为NH+BN的值．
题型二 一次函数与等角问题
【例题2】（2022秋•东台市月考）如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；
（2）若直线y＝﹣x+4与y轴交于点D，点P在直线y＝﹣x+4上，当∠ABO＝∠POD时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数即可求解；
（2）分点P在y轴右侧，点P在y轴左侧两种情况，分别解答即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）．
∴2k+b=2b=−2，k=2b=−2，
∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝2x﹣2；
（2）①点P在y轴右侧时，
∵∠ABO＝∠POD，
∴OP∥AB，
∵直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2，
∴直线OP为y＝2x．
联立y＝﹣x+4得：y=−x+4y=2x，
解得x=43，
∴P（43，83）；
②点P在y轴左侧时，过点A作AM⊥x轴于M，减OP于N，设AB交x轴于点C，
∴∠OMN＝∠BOC＝90°，
∵A（2，2），
∴M（0，2），
∵B（0，﹣2），
∴OM＝BO＝2，
∵∠ABO＝∠POD，
∴△CBO≌△MON，
∴MN＝OC，
∵直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2，
∴点C（1，0），
∴OC＝1，
∴MN＝1，
∴N（﹣1，2），
设直线ON的函数表达式为y＝mx，
∴﹣x＝2，解得x＝﹣2，
∴直线ON的函数表达式为y＝﹣2x，
联立y＝﹣x+4得：y=−x+4y=−2x，
解得x＝﹣4，
∴P（﹣4，8）．
综上所述：点P坐标为（43，83）或（﹣4，8）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，两直线平行问题，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•常州期末）【操作思考】
如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数y＝x的图象，再画出△ABC关于正比例函数y＝x的图象对称的△DEF．
【猜想验证】
猜想：点P（a，b）关于正比例函数y＝x的图象对称的点Q的坐标为 ；
验证点P（a，b）在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）．
证明：如图2，点P（a，b）、Q关于正比例函数y＝x的图象对称，PH⊥x轴，垂足为H．
【应用拓展】
在△ABC中，点A坐标为（3，3），点B坐标为（﹣2，﹣1），点C在射线BO上，且AO平分∠BAC，则点C的坐标为 ．
【分析】操作思考：根据平面直角坐标系的对称性即可画出图象．
猜想验证：作QI⊥y，PH⊥x，点P、Q关于函数y＝x的图象对称，可证明得到△IOQ≌△HOP，从而得到IQ＝PH，OI＝OH，进而可得到Q点坐标；
应用拓展：在△ABC中，AO平分∠BAC，构造全等三角形，可得点C在AB关于AK的对称线AB'上，又因为点C在射线BO上，所以点C为直线BO和直线AB'的交点坐标．求出直线BO和直线AB'的解析式，即可得到答案．
【解答】解：操作思考：
猜想验证：
猜想点P（a，b）关于正比例函数y＝x的图象对称的点Q的坐标为（b，a）．
故答案为：（b，a）；
证明：作QI⊥y轴，垂足为I，连接OQ．
∵点P、Q关于函数y＝x的图象对称，
∴OP＝OQ，PQ⊥ON，
∴∠QON＝∠PON，
∵∠ION＝∠HON＝45°，
∴∠ION﹣∠QON＝∠HON﹣∠PON，即∠IOQ＝∠HOP．
在△IOQ和△HOP中，
∠QIO=∠PHO∠IOQ=∠HOPOQ=OP，
∴△IOQ≌△HOP（AAS），
∴IQ＝PH＝b，OI＝OH＝a，
∴Q（b，a）．
应用拓展：
如图3，过B作BB'⊥OA交AC延长线于B'，交直线AO于K，
∵A（3，3），
∴直线OA为y＝x的图象，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠B'AO，
∵∠BKA＝∠B'KA＝90°，AK＝AK，
∴△BKA≌△B'KA（ASA），
∴BK＝B'K，
∵BB'⊥AO，
∴B、B'关于直线y＝x对称，
∵B（﹣2，﹣1），
∴B'（﹣1，﹣2），
设直线AB'为y＝kx+b，
∴3k+b=3−k+b=−2，
∴k=54b=−34，
∴直线AB'为y=54x−34，
又∵直线BO为y=12x，
∴54x−34=12x，
∴x＝1，
∴y=12x=12，
∴C(1，12)．
故答案为：(1，12)．
【点评】本题考查了图形在平面直角坐标系中的对称问题、三角形全等问题、一次函数的应用，熟练掌握图形对称的定义，证明全等的方法，求交点坐标的方法是解此题的关键．
【变式2-2】（2022秋•开江县校级期末）如图1，已知函数y=12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为72，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．
【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式；
（2）①先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，当∠MBC＝90°即可，利用勾股定理建立方程即可x2+9+45＝（6﹣x）2，即可求解．
【解答】解：（1）对于y=12x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得：12x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴b=36k+b=0，解得k=−12b=3，
∴直线BC的函数解析式为y=−12x+3；
（2）①设点M（m，0），则点P（m，12m+3），点Q（m，−12m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ＝|−12m+3﹣（12m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
则△PQB的面积=12PQ•BD=12m2=72，解得m＝±7，
故点Q的坐标为（7，3−72）或（−7，3+72）；
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x，12x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x=−32，
∴P（−32，94），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（32，154），
综上，点P的坐标为（−32，94）或（32，154）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
【变式2-3】如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．
（1）求b的值；
（2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标；
（3）如图2，过点C的直线交直线AB于点E，已知D（﹣1，0），∠BEC＝∠CDO，求直线CE的解析式．
【分析】（1）利用△ABC和△ACO的面积公式求解；
（2）分两种情况讨论，点P在第一象限或者在第二象限，分别列出对应面积的表达式求解；
（3）构造△CDO和△CEF相似，求出点C和点E的坐标，利用待定系数法再求直线表达式．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，
∴点A（b，0），点B（0，b），
∴S△ABC=12×BC×OA=12×(b−2)×b，S△ACO=12OC×OA=12×2×b，
∵S△ABC＝2S△ACO，
∴12(b−2)×b=12×2b×2，
解得b＝6；
（2）由（1）知b＝6，直线AB表达式为y＝﹣x+6，
∴A点坐标（6，0），B点坐标（0，6），
设直线AC的表达式为y＝kx+b，将点A、C代入得，
6k+b=0b=2，解得k=−13b=2，
∴直线AC的解析式为y=−13x+2，
①当点P在第一象限时，过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，设Q（x，−13x+2），则点P（x，﹣x+6），
方法一：
∴PQ＝﹣x+6﹣（−13x+2）=−23x+4，
∴S△PAC＝S△PCQ+S△PAQ
=12PQ⋅x+12×PQ×(6−x)
＝12﹣2x，
S△PCO=12OC⋅x
＝x，
∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝x，解得：x＝4，则P点坐标（4，2）；
方法二：∵S△PAC＝S△BCA﹣S△BCP，
∴S△PAC=12BC×OA−12BC⋅x
=12×4×6−12×4⋅x
＝12﹣2x，
∵S△PCO=12OC⋅x=12×2⋅x=x，
∴S△PAC＝S△PCO，
∴12﹣2x＝x，
解得x＝4，
∴P（4，2）；
②当P点在第二象限时，设点P（x，﹣x+6），
∴S△PAC＝S△PBC+S△ABC
=12BC⋅(−x)+12BC⋅OA
＝12﹣2x，
S△PCO=12OC⋅(−x)
＝﹣x，
∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝﹣x，解得：x＝12，
∴第二象限x＜0，x＝12不符合题意舍去，
∴P点坐标（4，2）；
（3）如图，过点D作DF⊥CD交EC于点F，过点F作FH∠OD于H，设EC交x轴于点G．
∵∠BEC＝∠CDO，
∴∠BAO+∠EGA＝∠EGA+∠DCG，
∴∠DCG＝∠AO＝45°，
∴CD＝DF，
∵∠FDH+∠CDO＝90°，∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠DCO＝∠FDH，
∵∠FHD＝∠DOC＝90°，
∴△FHD≌△DOC（AAS），
∴FH＝OD＝1，DH＝OC＝2，
∴F（﹣3，1），
∴直线CE的解析式为y=13x+2．
【点评】本题是一次函数综合题目，主要考查直角坐标系内三角形面积计算，解题关键是熟练计算坐标系内三角形面积，求出点E和点C的坐标，进而求出直线的表达式，
【变式2-4】（2022春•朔州期末）综合与探究
如图1，直线AB与坐标轴交于A，B两点，已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），点C是线段AB上一点．
知识初探：如图1，求直线AB的解析式．
探究计算：如图2，若点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（ ）
拓展探究：如图3，若点C是线段AB的中点，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点M，求点M的坐标．
类比探究：如图4，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点N，连接AN，当∠OAN＝∠CAN时，则点N的坐标为（ ）
【分析】知识初探：利用待定系数法可求解析式；
探究计算：由中点公式可得，点C（2，32）；
拓展探究：连接AM，设M（m，0），则OM＝m，BM＝4﹣m，根据线段的垂直平分线的性质可得AM＝BM，在Rt△AOM中，利用勾股定理求出m的值，即可求解；
类比探究：根据角平分线的性质可得NO＝NC，利用HL得Rt△OAN≌Rt△ACN，根据全等三角形的性质得AC＝AO＝3，可得出BC＝AB﹣AC＝2，设点N的坐标为（n，0），则ON＝n，则CN＝n，BN＝4﹣n，在Rt△BCN中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：知识初探：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将A，B两点坐标代入，得4k+b=0b=3，
解得k=−34b=3，
∴直线AB的解析式为y=−34x+3；
探究计算：∵点C为线段AB的中点，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），
∴由中点公式得，点C（2，32），
故答案为：2，32；
拓展探究：连接AM，
设M（m，0），则OM＝m，BM＝4﹣m，
∵点C是线段AB的中点，CM⊥AB，
∴AM＝BM＝4﹣m，
在Rt△AOM中，AM2＝OM2+OA2，
∴（4﹣m）2＝m2+32，
∴m=78，
∴M（78，0）；
类比探究：∵NC⊥AB，NO⊥OA，
∴当∠OAN＝∠CAN时，即AN平分∠OAB时，NO＝NC，
在Rt△OAN和Rt△ACN中，
AN=ANNO=NC，
∴Rt△OAN≌Rt△ACN（HL），
∴AC＝AO＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB=AO2+BO2=5，
∴BC＝AB﹣AC＝2，
设点N的坐标为（n，0），则ON＝n，则CN＝n，BN＝4﹣n，
在Rt△BCN中，由勾股定理得（4﹣n）2﹣n2＝22，
解得n=32，
∴点MN的坐标为（32，0）．
故答案为：32，0．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法解析式，中点公式，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理是本题的关键．
题型三 一次函数与45°角问题
【例题3】（2022春•宛城区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=−43x+4分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
（1）将直线AB向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
（2）直接写出与直线AB关于x轴对称的直线的解析式；
（3）若点P在x轴上，且∠APB＝45°，求点P的坐标；
【分析】（1）由图形平移的性质求解即可；
（2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可；
（3）由题意可知△OPB是等腰直角三角形，则OP＝OB，由此可求P点坐标；
【解答】解：（1）直线AB向下平移5个单位，得到y=−43x−1，
故答案为：y=−43x−1；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），
∴B点关于x轴的对称点（0，﹣4），
设直线AB：y=−43x+4关于x轴对称的直线解析式为y＝kx﹣4，
∴3k﹣4＝0，
∴k=43，
∴y=43x﹣4；
（3）∵B（0，4），
∴OB＝4，
∵点P在x轴上，∠APB＝45°，
∴点P在直线AB的两侧，OP＝OB＝4，
∴P（﹣4，0）或（4，0）；
【点评】本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键．
【变式3-1】（2022春•大冶市期末）如图1，直线y=12x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，点E为y轴负半轴上一点，且S△ABE＝12．
（1）求直线AE的解析式；
（2）如图2，直线y＝mx交直线AB于点M，交直线AE于点N，当S△OEN＝2S△OBM时，求m的值；
（3）点P为直线AE上一点，若∠ABP＝45°，请直接写出点P的坐标： ．
【分析】（1）设E（0，t），由三角形面积求出E（0，﹣4），再由待定系数法求出直线AE的解析式；
（2）联立方程组y=12x+2y=mx，求出M（42m−1，4m2m−1），联立方程组y=−x−4y=mx，求出N（−4m+1，−4mm+1），由三角形面积的关系可得42m−1=4m+1，从而求出m的值；
（3）当P点在A点下方时，过A点作AC⊥AB交BP的延长线于点C，过A点作MN⊥x轴，过B点作BM⊥MN交于M，过C作CN⊥MN交于N，通过证明△ABM≌△CAN（AAS），求出点C（﹣2，﹣4），利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝3x+2，联立方程组y=3x+2y=−x−4，即可求P（−32，−52）；当P点在A点下方时，同理可求P（﹣9，5）．
【解答】解：（1）在y=12x+2中，令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
设E（0，t），
∴BE＝2﹣t，
∵S△ABE＝12，
∴12×（2﹣t）×4＝12，
∴t＝﹣4，
∴E（0，﹣4），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∴−4k+b=0b=−4，
解得k=−1b=−4，
∴y＝﹣x﹣4；
（2）∵S△OEN＝2S△OBM，
∴4×（﹣xN）＝2×2xM，
∴﹣xN＝xM，
联立方程组y=12x+2y=mx，
解得x=42m−1y=4m2m−1，
∴M（42m−1，4m2m−1），
联立方程组y=−x−4y=mx，
解得x=−4m+1y=−4mm+1，
∴N（−4m+1，−4mm+1），
∴42m−1=4m+1，
∴m＝2，
经检验m＝2是方程的根，
∴m＝2；
（3）当P点在A点下方时，
过A点作AC⊥AB交BP的延长线于点C，过A点作MN⊥x轴，过B点作BM⊥MN交于M，过C作CN⊥MN交于N，
∵∠BAM+∠NAC＝90°，∠MAB+∠MBA＝90°，
∴∠NAC＝∠MBA，
∵∠ABC＝45°，
∴AC＝AB，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴BM＝AN，AM＝NC，
∵B（0，2），A（﹣4，0），
∴AM＝2，BM＝4，
∴C（﹣2，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴−2k+b=−4b=2，
∴k=3b=2，
∴y＝3x+2，
联立方程组y=3x+2y=−x−4，
解得x=−32y=−52，
∴P（−32，−52）；
当点P在A点上方时，
过A点作AQ⊥BP交于点Q，过点Q作QG⊥x轴交于G点，
∵∠QBA＝45°，
∴AQ＝AB，
∵∠QAB＝90°，
∴∠QAG+∠BAO＝90°，
∵∠QAG+∠AQG＝90°，
∴∠BAO＝∠AQG，
∴△AGQ≌△BOA（AAS），
∴AG＝BO，QG＝AO，
∴Q（﹣6，4），
设直线BQ的解析式为y＝k'x+b'，
∴b′=2−6k′+b′=4，
解得k′=−13b′=2，
∴y=−13x+2，
联立方程组y=−x−4y=−13x+2，
解得x=−9y=5，
∴P（﹣9，5）；
综上所述：P点的坐标（﹣9，5）或（−32，−52），
故答案为：（﹣9，5）或（−32，−52）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【变式3-2】（2022秋•镇海区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=−23x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE，在直线CD上有一点P，使得AP+EP最小，求P点坐标；
（3）如图2，直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于y=−23x+4，令y=−23x+4＝0，解得：x＝6，令x＝0，则y＝4，即可求解；
（2）作点A关于直线CD的对称点A′（6，4），连接A′E交CD于点P，则点P为所求点，进而求解；
（3）当点Q在AB上方时，证明△AHM≌△BOA（AAS），得到M的坐标为（4，10），进而求解；当点Q（Q′）在AB下方时，同理可解．
【解答】解：（1）对于y=−23x+4，
令y=−23x+4＝0，解得：x＝6，令x＝0，则y＝4，
故点A、B的坐标分别为（0，4）、（6，0）；
（2）∵点C为线段AB的中点，则点C（3，2），
如图1，过点C作CH⊥y轴于点H，
∵CF＝FE，故OF是△EHC的中位线，
即点O是HE的中点，则点E（0，﹣2），
作点A关于直线CD的对称点A′（6，4），连接A′E交CD于点P，则点P为所求点，
理由：AP+EP＝A′P+EP＝A′E为最小，
设直线A′E的表达式为：y＝kx+b，则b=−24=6k+b，解得k=1b=−2，
故直线A′E的表达式为：y＝x﹣2，
当x＝3时，y＝x﹣2＝1，
故点P的坐标为（3，1）；
（3）存在，理由：
当点Q在AB上方时，如图2，
过点A作AM⊥BQ交BQ于点M，过点M作MH⊥y轴于点H，
∵∠ABQ＝45°，
∴AM＝AB，
∵∠HMA+∠HAM＝90°，∠HAM+∠OAB＝90°，
∴∠HMA＝∠AOB，
在Rt△AHM和Rt△AOB中，
∠HMA=∠BAO∠MHA=∠AOB=90°AB=AM，
∴△AHM≌△BOA（AAS），
∴AH＝OB＝6，HM＝AO＝4，
故点M的坐标为（4，10），
由点M、B的坐标得，直线BM的表达式为：y＝﹣5x+30，
当x＝3时，y＝﹣5x+30＝15，
故点Q的坐标为（3，15）；
当点Q（Q′）在AB下方时，
过点A作AN⊥AB交BQ′于点N，则点M、N关于点A对称，
由中点坐标公式得，点N（4，2），
由点A、N得坐标得：直线AN得表达式为：y=15x−65，
当x＝3时，y=15x−65=−35，
故点Q′的坐标为（3，−35）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、点的对称性，全等三角形的判定和性质等，其中（3），需要分类求解，避免遗漏．
【变式3-3】（2022秋•洪山区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足|a﹣2|+2b+2=0．
（1）求a，b的值；
（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．
①求证：CF=12BC；
②直接写出点C到DE的距离．
【分析】（1）由非负数的性质可得出答案；
（2）分两种情况：∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可求出点C的坐标；
（3）①如图3，过点C作CL⊥y轴于点L，则CL＝1＝BO，根据AAS可证明△BOE≌△CLE，得出BE＝CE，根据ASA可证明△ABE≌△BCF，得出BE＝CF，则结论得证；
②如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，根据SAS可证明△CDE≌△CDF，可得∠CDE＝∠CDF，由角平分线的性质可得CK＝CH＝1．
【解答】（1）解：∵|a﹣2|+2b+2=0，
∵a﹣2≥0，2b+2≥0，
∴a﹣2＝0，2b+2＝0，
∴a＝2，b＝﹣1；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，
∴A（0，2），B（﹣1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，
∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，
①当∠BAC＝90°时，如图1，过点C作CG⊥OA于G，
∴∠AGC＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∵∠BAO+∠CAG＝90°，
∴∠BAO＝∠ACG，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
在△AOB和△CGA中，
∠CGA=∠AOB=90°∠ACG=∠BAOAB=AC，
∴△AOB≌△CGA（AAS），
∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，
∴OG＝OA﹣AG＝1，
∴C（2，1）；
②当∠ABC＝90°时，如图2，过点C作CG⊥BD于G，
同①得，△AOB≌△BGC（AAS），
∴BG＝OA＝2，CG＝OB＝1，
∴OG＝BG﹣OB＝1，
∴C（1，﹣1）；
即：满足条件的点C（2，1）或（1，﹣1）；
（3）①证明：如图3，由（2）知点C（1，﹣1），
过点C作CL⊥y轴于点L，则CL＝1＝BO，
在△BOE和△CLE中，
∠OEB=∠LEC∠EOB=∠ELCBO=CL，
∴△BOE≌△CLE（AAS），
∴BE＝CE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAO+∠BEA＝90°，
∵∠BOE＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∠BAE=∠CBFAB=BC∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，
∴CF=12BC；
②解：点C到DE的距离为1．
如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，
由①知BE＝CF，
∵BE=12BC，
∴CE＝CF，
∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，
∴∠ECD＝∠DCF，
∵DC＝DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠CDE＝∠CDF，
∴CK＝CH＝1．
∴点C到DE的距离为1．
【点评】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式3-4】（2020秋•济南月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足m−6+（n﹣12）2＝0．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）设过点C的直线交x轴于点D，使得S△AOB＝S△ACD，求D点的坐标；
（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．
【分析】（1）利用非负数的性质求出A、B两点坐标，再利用待定系数法切线直线AB解析式即可解决问题；
（2）根据三角形的面积公式可得AD＝18，即可解决问题；
（3）过点C作CF⊥CE交直线EP于点F，则△ECF为等腰直角三角形，求出直线PE解析式，利用方程组求交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵m−6+（n﹣12）2＝0，
∴m＝6，n＝12，
∴A（6，0），B（0，12），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
则：b＝12，6k+b＝0，
解得：k＝﹣2，b＝12，
∴直线AB解析式为y＝﹣2x+12，
∵直线AB点C（a，a），
∴a＝﹣2a+12，
∴a＝4，
∴点C坐标（4，4）；
（2）如图所示，
∵A（6，0），B（0，12），
∴S△AOB=12•OA•OB=12×6×12＝36，
S△ADC=12×4×AD＝36，
∴AD＝18，
设D（n，0），
∴n﹣6＝18或者n﹣6＝﹣18．
即n＝24或者n＝﹣12，
∴点D坐标（﹣12，0）或者（24，0）；
（3）如图，过点C作CF⊥CE交直线EP于点F，
∵∠CEF＝45°，
∴CE＝CF，
过C作x轴垂线l，分别过F、E作FM⊥l，EN⊥l，
∴∠FMC＝∠NCE＝90°，∠MCF+∠MFC＝90°，
∵CF⊥CE，
∴∠MCF+∠NCE＝90°，
∴∠MFC＝∠NCE，
∴△FMC≌△CNE（AAS），
∴FM＝CN＝6，CM＝EN＝4，
即F点坐标为（﹣2，8），
由E（0，﹣2），得直线EF的解析式为：y＝﹣5x﹣2，
联立y＝﹣5x﹣2，y＝﹣2x+12，得：
x=−143，y=643，
即点P坐标为：（−143，643）．
【点评】本题考查一次函数综合题、考查非负数的性质，待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是构造等腰直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
【变式3-5】（2022•江北区开学）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，3），C（3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于点E，且S△BCE＝2S△AOB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）猜想线段CE与线段AB的数量关系与位置关系，并说明理由；
（4）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．
【分析】（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b，代入A、B坐标；
（2）设E（0，t），根据S△BCE＝2S△AOB，得12×3×（3−t）＝3，从而E（0，1），设直线CE的函数解析式为：y＝mx+n，将C、E的坐标代入得出直线CE的解析式，与直线AB联立即可；
（3）通过SAS证明△COE≌△BOA，得CE＝AB，∠OCE＝∠OBA，可得∠OCE+∠BAO＝∠OBA+∠BAO＝90°，即可得出结论；
（4）当点F在线段CD上时，过点D作GH∥y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，可证△BDG≌△DFH（AAS），得FH＝DG＝3−65=95，DH＝BG=35，从而点F（65，35），当点F在CD的延长线上时，由对称性可知F（−125，95）．
【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b，
∵点A（﹣1，0），B（0，3），
则−k+b=0b=3，
∴k=3b=3，
∴直线AB的函数解析式为：y＝3x+3；
（2）设E（0，t），
∵A（﹣1，0），B（0，3），
∴OA＝1，OB＝3，
∴S△AOB=12×1×3=32，
∵S△BCE＝2S△AOB，
∴S△BCE＝3，
∴12×3×（3−t）＝3，
解得t＝1，
∴E（0，1），
设直线CE的函数解析式为：y＝mx+n，将C、E的坐标代入得：
3m+n=0n=1，
∴m=−13n=1，
∴直线CE的函数解析式为：y=−13x+1，
当−13x+1＝3x+3时，
∴x=−35，
则y=65，
∴D（−35，65）；
（3）猜想：CE＝AB，CE⊥AB，理由如下：
∵OE＝OA＝1，OC＝OB＝3，∠COE＝∠BOA＝90°，
∴△COE≌△BOA（SAS），
∴CE＝AB，∠OCE＝∠OBA，
∵∠OBA+∠BAO＝90°，
∴∠OCE+∠BAO＝90°，
∴∠CDA＝90°，
∴CE⊥AB；
（4）在射线CD上存在两个F点，使∠DBF＝45°，
如图，当点F在线段CD上时，过点D作GH∥y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，
∵CD⊥AB，∠DBF＝45°，
∴∠DBF＝∠DFB＝45°，
∴BD＝DF，
∵∠BDG+∠FDH＝90°，
∠BDG+∠DBG＝90°，
∴∠FDH＝∠DBG，
又∵∠BGD＝∠DHF，
∴△BDG≌△DFH（AAS），
∴FH＝DG＝3−65=95，DH＝BG=35，
∴点F（65，35）；
当点F在CD的延长线上时，由对称性可知F（−125，95），
综上点F的坐标为：（65，35）或（−125，95）．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求直线解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，构造K型全等是解题的关键．
题型四 一次函数与角度有关的综合问题
【例题4】（2022秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=−43x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4．
（1）求出A点的坐标．
（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为y轴上一点，连结AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标．
【分析】（1）将点B代入直线，求出直线解析式y=−43x+b，然后求直线与x轴交点坐标；
（2）点Q在第一象限角平分线上，设Q（x，x），利用勾股定理列方程，即可求出点Q的标；
（3）分两种情况，①点P为y轴正半轴上一点；②点P为y轴负半轴上一点，根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵B的纵坐标为4．直线ly=−43x+b，与坐标轴分别交于A、B两点，
∴点B（0，4），
将点B（0，4）代入直线l的解析式y=−43x+b得：b＝4，
∴直线l的解析式为：y=−43x+4，
令y＝0得：x＝3，
∴A（3，0）；
（2）存在，
∵A（3，0），B（0，4），
∴AB=OA2+OB2=32+42=5，
∵Q在第一象限的角平分线上，
设Q（x，x），
根据勾股定理：
QB2+BA2＝QA2，
x2+（x﹣4）2+52＝x2+（x﹣3）2，
解得x＝16，
故Q（16，16）；
（3）如图：
①当点P为y轴正半轴上一点时，
∵∠APO＝2∠ABO，∠APO＝∠ABO+∠PAB，
∴∠ABO＝∠PAB，
∴PA＝PB，
设P（0，p），
∴PA2＝PB2，
∴32+p2＝（4﹣p）2，
∴p=78，
∴P（0，78）；
②当点P为y轴负半轴上一点时，
∠AP′P＝∠APO＝2∠ABO，
∴AP＝AP′，
∵AO⊥PP′，
∴OP′＝OP=78，
∴P′（0，−78）．
综上所述：点P的坐标为（0，78）或P（0，−78）．
【点评】此题一次函数的综合题，考查了点的坐标、勾股定理、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质等知识，利用数形结合思想以及分类思想解决问题是本题的关键．
【变式4-1】（2022•丛台区校级模拟）如图，点P（a，a+3）是直角坐标系xOy中的一个动点，直线l1：y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2经过点B和点（6，3）并与x轴交于点C．
（1）求直线l2的表达式及点C的坐标；
（2）点P会落在直线l1：y＝2x+6上吗？说明原因；
（3）当点P在△ABC的内部时．
①求a的范围；
②是否存在点P，使得∠OPA＝90°？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数是解析式即可；
（2）将点P代入直线l1：y＝2x+6，判断a是否有解即可；
（3）①由题意可知P点在直线y＝x+2上，只需判断该直线在△ABC内部时的a的取值即可；
②设AO的中点M为（−54，0），由题意可知PM=12AO，建立方程求出a是值即可求点的坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，则x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
b=66k+b=3，
解得k=−12b=6，
∴y=−12x+6，
令y＝0，则x＝12，
∴C（12，0）；
（2）将点P（a，a+3）代入y＝2x+6，
∴a+3＝2a+6，
解得a＝﹣3，
∴P（﹣3，0），
∴P点会落在直线l1上；
（3）①∵P（a，a+3），
∴P点在直线y＝x+3上，
令y＝0，则x＝﹣3，
∴直线y＝x+2与x轴的交点为（﹣3，0），
联立方程组y=−12x+6y=x+3，
解得x=2y=5，
∴直线y＝x+3与直线BC交点为（2，5），
∵点P在△ABC的内部，
∴﹣3＜a＜2；
②存在点P，使得∠OPA＝90°，理由如下：
∵A（﹣3，0），
∴AO＝3，
设AO的中点M为（−32，0），
∵∠OPA＝90°，
∴PM=12AO，
∴(a+32)2+(a+3)2=32，
2a2+9a+9＝0，
(a+94)2=916，
a1=−32，a2＝3，
∴P1(−32，32)，P2（﹣3，0）与A重合，
∴P（−32，32）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
【变式4-2】（2022秋•和平区校级期中）如图1，直线y=34x和直线y=−12x+b相交于点A，直线y=−12x+b与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y=34x于点Q．已知A点的横坐标为4．
（1）点C的坐标为 ；
（2）当QP＝OA时，求Q点的坐标．
（3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP平分线交x轴于点M．
①求出M点的坐标．
②在线段QM上找一点N，使△AON的周长最小，直接写出周长最小值 ．
【分析】（1）求出A的坐标为（4，3），用待定系数法求出直线AC的表达式，即可求解；
（2）设P（n，−12n+5），Q（n，34n），则PQ=34n﹣（−12n+5）=54n﹣5，而QP＝OA，即54n﹣5＝5，即可求解；
（3）①证明∠OQM＝∠OHM，则OH＝OQ=82+62=10，进而求出直线QH的表达式，即可求解；
②作点A关于直线HM的对称点A′，连接AO交QM于点N，则AN＝AN′，此时△AON的周长最小，进而求解．
【解答】解：（1）当x＝4时，y=34x＝3，即点A的坐标为（4，3），
将点A的坐标代入y=−12x+b得：3＝﹣2+b，解得：b＝5，
故直线AC的表达式为：y=−12x+5，令y＝0，解得x＝10，
故点C（10，0），
故答案为：（10，0）；
（2）∵点A的坐标为（4.3），
∴OA=42+32=5，
∵C（10，0），
设P（n，−12n+5），Q（n，34n），
∴PQ=34n﹣（−12n+5）=54n﹣5，
∵QP＝OA，
∴54n﹣5＝5，解得：n＝8，
∴P（8，1），Q（8，6）；
（3）①延长QM交y轴于点H，
∵QD∥y轴，则∠OHM＝∠MQD，
∵∠OQP平分线交x轴于点M，则∠MQO＝∠MQD，
∴∠OQM＝∠OHM，
∴OH＝OQ=82+62=10，
故点H（0，﹣10），
由点H、Q的坐标得，直线QH的表达式为：y＝2x﹣10，
令y＝2x﹣10＝0，解得x＝5，
故点M（5，0）；
②作点A关于直线HM的对称点A′，
∵QM是∠OQD的角平分线，故A′在QD上，
连接AO交QM于点N，则AN＝AN′，此时△AON的周长最小，理由：
△AON的周长＝AO+ON+A′N＝AO+ON+A′N＝AO+A′O最小，
由点A、Q的坐标知，点A是QO的中点，则AQ＝AO＝5＝QA′，
则点A′（8，1），
则△AON的周长最小值＝AO+A′O＝5+82+1=5+65，
故答案为：5+65．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，点的对称性，平行线的性质等，利用点的对称性求线段和的最小值，是解本题的关键．
【变式4-3】（2022秋•常州期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=−43x+43的图象l1与x轴交于点A，一次函数y＝x+6的图象l2与x轴交于点B，与l1交于点P．直线l3过点A且与x轴垂直，C是l3上的一个动点．
（1）分别求出点A、P的坐标；
（2）设直线PC对应的函数表达式为y＝kx+b，且满足函数值y随x的增大而增大．若△PCA的面积为15，分别求出k、b的值；
（3）是否存在点C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，即可求解点A的坐标，联立y=−43x+43y=x+6，即可求得点P的坐标；
（2）由（1）点A的坐标可知l3为直线x＝1，可设点C的坐标为（1，t），根据直线PC的单调性可知k＞0即t＞4，再根据三角形的面积公式解得t，把点C、P的坐标代入y＝kx+b求解即可；
（3）过点P作PE⊥l3于点E，由勾股定理求得AP，由2∠PCA+∠PAB＝90°和直角三角形的性质可得∠PAE＝2∠PCA，分两种情况讨论：①当点C1在x轴下方时，②当点C2在x轴上方时，由等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）令y＝0，得−43x+43=0，
解得x＝1，
∴A（1，0），
联立y=−43x+43y=x+6，
解得x=−2y=4，
∴P（﹣2，4）．
（2）点A（1，0）可知l3为直线x＝1，设点C的坐标为（1，t），
∵函数值y随x的增大而增大，P（﹣2，4），
∴k＞0，t＞4，
∴S△PCA=12×(1+2)×t=15，
∴t＝10，
∴C（1，10），
将P（﹣2，4）、C（1，10）代入y＝kx+b，
得−2k+b=4k+b=8，
解得k=2b=8，
∴k＝2，b＝8．
（3）过点P作PE⊥l3于点E，
∵P（﹣2，4），A（1，0），
∴E（1，4），
∵l3⊥x轴，
∴∠AEP＝∠EAO＝90°，
∴PE＝1﹣（﹣2）＝3，AE＝4，
在Rt△AEP中，AP=AE2+PE2=42+32=5，
∵2∠PCA+∠PAB＝90°，∠PAE+∠PAB＝90°，
∴∠PAE＝2∠PCA，
①当点C1在x轴下方时，连接PC1，
∵∠PAE＝∠PC1A+∠APC1＝2∠PC1A，
∴AC1＝AP＝5，
∴C1（1，﹣5），
②当点C2在x轴上方时，连接PC2，
∵∠PC2A＝∠PC1A，
∴PC1＝PC2，
又∵PE⊥C1C2，
∴EC1＝EC2，
∵EC1＝AE+AC1＝4+5＝9，
∴EC2＝9，
∴AC2＝AE+EC2＝4+9＝13，
∴C2（1，13），
综上，存在，C（1，﹣5）或C（1，13）．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式4-4】（2022秋•市中区校级期末）如图，直线y＝﹣x+4和直线y＝2x+1相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣x+4和y＝2x+1的图象于点D，E，若DE＝9，求a的值．
（3）在（2）的条件下，点Q为x轴负半轴上一点，直接写出△DEQ为等腰三角形时Q点的坐标．
【分析】（1）联立两条直线的解析式即可得出点A的坐标；
（2）由点P的坐标可得出点D，E的坐标，再根据DE＝6，列出方程，求解可得a的值；
（3）由（2）可得点D，E的坐标，再结合等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）令﹣x+4＝2x+1，解得x＝1，
∴y＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3）；
（2）由题意可知，D（a，﹣a+4），E（a，2a+1），
∴DE＝|2a+1﹣（﹣a+4）|＝9，
解得a＝﹣2或a＝4，
∴a的值为﹣2或4；
（3）设DE与x轴的交点为H，
当a＝﹣2时，D（﹣2，6），E（﹣2，﹣3），
以D为圆心，DE长为半径画弧交x轴负半轴于点Q，
QH=DQ2−DH2=92−62=35，
∴Q点的横坐标为﹣35−2，
∴Q（﹣35−2，0）；
同理：以E为圆心，DE长为半径画弧交x轴负半轴于点Q′，
Q′H=Q′E2−EH2=92−32=62，
∴Q′点的横坐标为﹣62−2，
∴Q′（﹣62−2，0）；
当a＝4时，D（4，0），E（4，9），
以E为圆心，DE长为半径画弧与x轴负半轴无交点，
以D为圆心，DE长为半径画弧与x轴负半轴交于Q″，
∴Q″的横坐标为：﹣（9﹣4）＝﹣5，
Q″（﹣5，0）．
故点Q的坐标为（﹣35−2，0）或（﹣62−2，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题为一次函数的综合应用，主要考查待定系数法、函数图象的交点、等腰三角形的性质，确定Q点的横坐标是解题的关键．
【变式4-5】已知，在直角坐标系中，A（﹣a，0），B（b，0），C（0，c），且满足b=a−c+c−a+2
（1）如图1，过B作BD⊥AC，交y轴于M，垂足为D，求M点的坐标．
（2）如图2，若a＝32，AC＝6，点P为线段AC上一点，D为x轴负半轴上一点，且PD＝PO，∠DPO＝45°，求点D的坐标．
（3）如图3，M在OC上，E在AC上，满足∠CME＝∠OMA，EF⊥AM交AO于G，垂足为F，试猜想线段OG，OM，CM三者之间的数量关系，并给出证明．
【分析】（1）由二次根式的性质得出a＝c，根据等腰直角三角形的性质求出∠CMD和∠BMO的度数，则OM＝OB＝2；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠APD＝∠COP，证明△PDA≌△OPC，根据全等三角形的性质得到OC＝PA，根据坐标与图形性质可得到答案；
（3）作ON∥EG，CH∥AO，CH与GE的延长线交于点H，可得出∠NCO＝∠MAO，根据ASA可证明△AOM≌△OCN，得到OM＝CN，证明△CME≌△CEH，得到CH＝CM，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵a﹣c≥0，c﹣a≥0，
∴a＝c，
∴△AOC为等腰直角三角形，∠ACO＝45°，
∵BD⊥AC，
∴∠CMD＝∠BMO＝45°，
∴OM＝OB＝2，
∴M（0，2）．
（2）∵∠APD+∠CPO＝180°﹣∠DPO＝135°，∠CPO+∠COP＝180°﹣∠ACO＝135°，
∴∠APD＝∠COP，
∵∠PCO＝∠PAD＝45°，PD＝PO，
∴△PDA≌△OPC（AAS），
∴PA＝OC＝32，DA＝PC＝6﹣32，
∴OD＝OA﹣DA＝32−（6﹣32）＝62−6．
∴D（6﹣62，0）．
（3）OM＝CM﹣OG．证明如下：
作ON∥EG，CH∥AO，且CH与GE的延长线交于点H，
∵EF⊥AM，
∴ON⊥AM，
∴∠NCO＝∠AOM＝90°，
∴∠NCO＝∠MAO，
∵OA＝OC，
∴△AOM≌△OCN（ASA），
∴OM＝CN，∠CNO＝∠AMO，
∵∠ACO＝45°，
∴∠HCE＝45°，
∵∠CME＝∠OMA，
∵ON∥GH，
∴∠CNO＝∠H，
∴∠H＝∠CME，
∵CM＝CM，
∴△CME≌△CEH（ASA），
∴CH＝CM，
∴OM＝CN＝CH﹣HN＝CM﹣OG．
【点评】本题是三角形综合题，考查了二次根式的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式4-6】（2022春•江夏区校级月考）如图，直线y1＝3x+6分别交x轴、y轴于A，B两点，直线y2＝kx+3（k≠3）分别交x轴、y轴于C，D，交y1于点E．
（1）直接写出坐标A： ，B： ，D： ；
（2）如图1，若∠BED＝45°，求C点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点C关于y轴的对称点F作x轴的垂线交直线y2于点G，连接EF、BG、OE，求证：EF﹣BE=2OE．
【分析】（1）由y1＝3x+6，y2＝kx+3，可得A（﹣2，0）、B（0，6）、D（0，3）；
（2）过点B作直线BF⊥AB交CD于点F，过点A作直线AH∥CD交BF于点H，证明△AMB≌△BNH（AAS），得AM＝BN＝6，MB＝NH＝2，即可得点H的坐标为（6，4），直线AH的表达式为y=12x+1，从而直线CD的表达式为y=12x+3，可得点C（﹣6，0）；
（3）由y=12x+3y=3x+6得E（−65，125），又点C（﹣6，0）关于y轴的对称点为F（6，0），得EF=12105，又B（0，6）得BE=6105，即得EF﹣BE=6105，而2OE=655×2=6105，故EF﹣BE=2OE．
【解答】（1）解：对于y1＝3x+6，令y1＝3x+6＝0，解得x＝﹣2，令x＝0，则y＝6，
对于y2＝kx+3，令x＝0，则y＝3，
∴A（﹣2，0）、B（0，6）、D（0，3）；
故答案为：（﹣2，0），（0，6），（0，3）；
（2）解：过点B作直线BF⊥AB交CD于点F，过点A作直线AH∥CD交BF于点H，
∵AH∥CD，则∠BAH＝∠BED＝45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AB＝BH，
由点A、B的坐标知，AM＝6，BM＝2，
∵∠ABM+∠MAB＝90°，∠ABM+∠NHB＝90°，
∴∠MAB＝∠NBH，
∴∠AMB＝∠BNH＝90°，AB＝BH，
∴△AMB≌△BNH（AAS），
∴AM＝BN＝6，MB＝NH＝2，
故点H的坐标为（6，4），
由点A（﹣2，0）、H（6，4）得，直线AH的表达式为y=12x+1，
∵AH∥CD，D（0，3），
∴直线CD的表达式为y=12x+3，
令y=12x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴点C（﹣6，0）；
（3）证明：由y=12x+3y=3x+6得：x=−65y=125，
∴E（−65，125），
∵点C（﹣6，0）关于y轴的对称点为F，
∴F（6，0），
∴EF=(−65−6)2+(125−0)2=12105，
∵B（0，6），
∴BE=(−65−0)2+(125−6)2=6105，
∴EF﹣BE=12105−6105=6105，
∵OE=(65)2+(125)2=655，
∴2OE=655×2=6105，
∴EF﹣BE=2OE．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是掌握作辅助线，利用条件∠BED＝45°．
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