浙教版八年级数学下册 专题2.15 换元法解一元二次方程（知识讲解）

这是一份浙教版八年级数学下册 专题2.15 换元法解一元二次方程（知识讲解），共12页。
1. 理解换元法的实际意义并能列出换元后的方程；
2. 掌握用换元法解一元二次方程的步骤，并熟练运用换元法解一元二次方程。
【要点梳理】
1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知
识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.
2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,
当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.
【典型例题】
类型一、解一元二次方程➽➼换元法➽➼列方程➽➼求值
1． （2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】把原方程按按照所给条件换元，整理即可
解：原方程可化为 ，整理为 ．
故答案为：A
【点拨】本题考查换元法解方程，灵活运用即可．
举一反三：
【变式1】 （2022秋·全国·九年级专题练习）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】将原方程中的换成，再移项即可．
解：根据题意，得，即；
故选：D．
【点拨】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换．
【变式2】 （2020·湖北武汉·统考二模）【问题背景】“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法．利用式子的特征进行整体代换，往往能解决许多看似复杂的问题．
【迁移运用】计算的值
解：设原式，则可分析得：
根据上述方程解得：，
而原式，故：原式
【联系拓展】___________
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题目呈现的“整体替换法”，令，，作差即可求解．
解：设，，
则，
故选：B．
【点拨】本题为新定义类型问题的考查，解题的关键是读懂题目中“整体替换法”的概念，应用到解题当中．
2． （2022秋·全国·九年级专题练习）若，则_____．
【答案】1
【分析】设，则方程化为，求出a的值，即可得出的值，代入求出即可．
解：，
，
设，
则化为，
解得：，
即，
所以．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是要将原式变形，设，得到一元二次方程．
举一反三：
【变式1】 （2022秋·河北承德·九年级校考期末）在利用方程，求时，嘉琪令则原方程转化为 _______________ ，聪明又谨慎的你可以利用得到的值为 _______________ ．
【答案】
【分析】先用换元法得到一元二次方程，注意，然后用因式分解法解一元二次方程，保留有意义的根，舍去不符合题意的根
解：∵，
∴令，则，
∴，
∴，
∴或，
∴（舍）或，
∴，
故答案为：，
【点拨】本题考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，注意隐含条件的判断是解决问题的关键
【变式2】 （2022秋·湖南常德·九年级统考期中）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解方程：方程的解为______．
【答案】，
【分析】设，得，解得，，当时，，方程无实数解，当时，，解得，．
解：设，则原方程变形为：，
解关于的方程得，，
当时，，方程无实数解，
当时，，
，
解得，，
经检验，，是原方程的解，
故答案为：，．
【点拨】本题考查换元法解无理方程，解题的关键是读懂题意，掌握换元法．
类型二、解一元二次方程➽➼换元法➽➼解方程
3． （2022秋·河南南阳·九年级统考期中）阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设
则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题：
(1) 已知实数、满足，求的值．
(2) 解方程．
(3) 若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数为 ．
【答案】(1) (2) ，，，．(3) 2，3，4，5
【分析】（1）设，则原方程变为，解方程求得，根据非负数的性质即可求得；
（2）设，则原方程可化为，解方程求得或2，再分别求得的值即可；
（3）设最小的正整数为，则另三个分别为、、，根据题意可得方程，整理为，设，则原方程变为，解方程求得或10，由于是正整数，可得，所以，再解方程求得的值即可．
（1）解：设，则，
，即，
，
，
，
．
（2）解：设，则原方程可化为：．
解得：，，
当时，，
；
当时，，
．
原方程的解是：，，，．
（3）解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
，
，
，（舍去），
这四个整数为2，3，4，5．
【点拨】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，理解“换元法”是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 （2022秋·全国·九年级专题练习）解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) x1＝，x2＝，x3＝，x4＝
(2)
【分析】（1）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；
（2）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解
（1）解：
设
则
或
解得，
∴或
∴或
解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝；
（2）解：
设，
则
，
或，
解得，，
或，
或，
解得，
【点拨】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．
【变式2】 （2022秋·广东江门·九年级校考期中）请阅读下列解方程的过程．
解：设，则原方程可变形为，即，得，．
当，，∴，，当，，无解．
所以，原方程的解为，．
这种解方程的方法叫做换元法．
用上述方法解下面两个方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，(2) ，，
【分析】（1）仿照例题方法和步骤解方程即可；
（2）设，进而利用解一元二次方程的方法步骤求解即可．
（1）解：设，则原方程可变形为，即，
解得：，．
当时，，∴，，
当，，无解．
所以，原方程的解为，．
（2）解：设，则原方程可变形为，即，
解得：，．
当时，，即，
∴，
∴，，
当时，，即，
解得：．
所以，原方程的解为，，．
【点拨】本题考查解一元二次方程，看懂题中例题的解法，会利用类比的方法求解一元二次方程是解答的关键．
类型三、解一元二次方程➽➼换元法➽➼解方程（中考真题专练）
4． （2020·湖北荆州·统考中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，
原方程可化为：，
续解：
【答案】，．
【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解．
解：续解：，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
，，
，
经检验都是方程的解．
【点拨】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．
举一反三：
【变式1】 （2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．
【答案】26．
【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有和，因此可以令，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出的值.
解：令，则原方程组可化为：
，整理得：，
②-①得：，
解得：，代入②可得：b=4，
∴方程组的解为：或，
，
当时，
∴，，
∴，代入，
可得，此时，方程无解，故不符合题意；
当时，=26，
因此的值为26．
【点拨】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键．
【变式2】 （2015·四川遂宁·统考中考真题）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣﹣﹣）×（++）﹣（1﹣﹣﹣）×（++）．
令++=t，则原式=（1﹣t）（t +）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t +t2=，
问题：
12．（1）计算：（1﹣﹣﹣）×（++）﹣（1﹣﹣﹣）×（++）；
13．（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
【答案】12．； 13．x=0或x=﹣5．
【分析】（1）设，则原式=，进行计算即可；
（2）设，则原方程化为：，求出t的值，再解一元二次方程即可．
12．设，
则原式=
=
=；
13．设，则原方程化为：，
∴，解得：或，
当时，，，
，；
当时，，，
△==25﹣4×1×8＜0，此时方程无解；
即原方程的解为：，．
【点拨】本题主要考查了换元法解一元二次方程、有理数的混合运算等知识，解题的关键是学会用换元的思想解决问题．