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    浙教版八年级数学下册 专题1.2 二次根式及其性质(基础篇)(专项练习)

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    这是一份浙教版八年级数学下册 专题1.2 二次根式及其性质(基础篇)(专项练习),共15页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.下列各式是二次根式的是( )
    A.B.C.D.
    2.若,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.任意实数
    3.函数的自变量的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    4.下列各数中的无理数是( )
    A.B.C.D.
    5.下列计算中,正确的是( )
    A.B.C.D.
    6.实数、在轴上的位置如图所示,且,则化简的结果为( )
    A.B.C. D.
    7.将根号外的因式移到根号内为( )
    A.B.-C.-D.
    8.,,5三个数的大小关系是( )
    A.B.
    C.D.
    9.已知,当x分别取1,2,3,…,2023时,所对应的y值的总和是( )
    A.2022B.2023C.2024D.2025
    10.在中,若分别为所对的边,则化简的结果为( )
    A.B.C.D.0
    二、填空题
    11.当a=3时,二次根式的值是______.
    12.已知是正整数,则实数n的最小值是___.
    13.若式子在实数范围内有意义,则实数的取值范围是______________.
    14.若,则__.
    15.已知有理数满足,则的值是______.
    16.若,则的取值范围是______.
    17.观察下列各式:,,,……请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来_________.
    18.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,书中提出了已知三角形三边、、求面积的公式,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即为.现有周长为9的三角形的三边满足,则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为_______.
    三、解答题
    19.已知求的四次方根.
    20.计算:
    (1) ; (2) .
    21.计算:
    (1) ; (2)
    (3); (4)
    22.实数a、b对应的点如图所示,化简.
    23.请认真阅读下面这道例题的解法,并完成后续题目.
    例:已知,求的值.
    解:由 解得x=2021,y=2022,∴
    题目:已知
    (1)求a和b的值;
    (2)求的平方根.
    24.同学们,我们以前学过完全平方公式,你一定熟悉掌握了吧!现在,我们又学习了二次根式,那么所有非负数都可以看作是一个数的平方,如,,下面我们观察:

    反之,;
    ∴;
    ∴.
    仿上例,求:
    (1);
    (2)若,则、与、的关系是什么?并说明理由.
    参考答案
    1.B
    【分析】结合二次根式的定义即可求解.
    【详解】解:A:在中,,不合题意,故错误;
    B:在中,,符合题意,故正确;
    C:在中,的正负性不可确定,不合题意,故错误;
    D:在中,根指数是3,不合题意,故错误;
    故答案是:B.
    【点拨】本题考查二次根式的定义,属于基础概念题,难度不大.解题的关键是掌握二次根式的概念.形如“”且的式子叫二次根式.
    2.C
    【分析】根据二次根式的性质得出5−x≥0,求出即可.
    【详解】∵
    ∴5−x≥0,
    解得:x≤5,
    故答案为:C.
    【点拨】本题考查了二次根式的性质的应用,注意:当a≥0时,=a,当a<0时,=−a.
    3.C
    【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件,列出不等式组求解即可.
    【详解】根据题意可得:,
    解得: 且,
    故选:C.
    【点拨】本题考查函数自变量的取值范围,理解二次根式和分式有意义的条件是解题的关键.
    4.A
    【分析】根据无理数的定义:无限不循环小数,进行判断即可.
    【详解】解:A.,是无理数,符合题意;
    B.,不是无理数,不符合题意;
    C.,是无限循环小数,不符合题意;
    D.,不是无理数,不符合题意;
    故选A.
    【点拨】本题考查无理数的定义.熟练掌握无理数的定义:无限不循环小数,是解题的关键.
    5.D
    【分析】根据二次根式的性质和运算法则分别判断.
    【详解】解:A、,故错误,不符合题意;
    B、,故错误,不符合题意;
    C、,故错误,不符合题意;
    D、,故正确,符合题意,
    故选:D.
    【点拨】本题考查了二次根式的性质和运算,属于基础知识,要熟练掌握相关算法.
    6.B
    【分析】利用数轴得出的符号,进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可.
    【详解】∵由数轴可知,,且,
    ∴,
    ∴.
    故选:B.
    【点拨】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴,解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性.
    7.B
    【分析】直接利用二次根式的性质得出的符号进而化简求出答案;
    【详解】解:由题意可知,
    ∴,
    故选:B.
    【点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键.
    8.C
    【分析】变形,,比较24,25,27的大小即可.
    【详解】因为,,且24<25<27,
    所以即,
    故选:C.
    【点拨】本题考查了二次根式的大小比较,化成二次根式比较被开方数的大小是解题的关键.
    9.D
    【分析】当时,,当时,,把代入,求出,再根据题意得出总和为,再求出答案即可.
    【详解】解:

    当时,,
    当时,;
    当x=1时,;
    所以当x分别取1,2,3,…,2023时,所对应的y值的总和是,
    故选:D.
    【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简,数字变化类等知识点,能根据数据得出规律是解此题的关键.
    10.A
    【分析】根据三角形三边的关系和二次根式的性质进行化简求解即可.
    【详解】解:∵分别为所对的边,
    ∴,
    ∴原式

    故选A.
    【点拨】本题考查了三角形三边的关系和二次根式的性质,灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.
    11.1
    【分析】把a=3代入二次根式,直接求解即可.
    【详解】解:当a=3时,
    =
    =1.
    故答案为:1.
    【点拨】本题主要考查二次根式求值,准确计算是解题的关键.
    12.
    【分析】根据二次根式的性质进行分析求值.
    【详解】解:∵是正整数,且最小的正整数是1,
    ∴当,此时,
    ∴的最小值为,
    故答案为:.
    【点拨】本题考查的是二次根式的定义和二次根式的化简,属于常考题型,熟练掌握二次根式的基本知识是解题的关键.
    13.
    【分析】根据二次根式有意义的条件,即可求解.
    【详解】解:根据题意得:,
    解得:.
    故答案为:
    【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件,熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
    14.
    【分析】根据已知可得,然后利用平方根的意义,进行计算即可解答.
    【详解】解:,


    故答案为:.
    【点拨】本题考查了二次根式的性质,平方根,解题的关键是熟练掌握平方根的意义.
    15.
    【分析】将已知等式整理得,由a,b为有理数,得到,求出a,b的值,代入计算即可.
    【详解】解:∵,
    ∴,
    ∵a,b为有理数,
    ∴,
    解得,
    ∴,
    故答案为:.
    【点拨】此题考查了求二次根式中的参数,将已知等式整理后得到对应关系,由此求出a,b的值是解题的关键.
    16.
    【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可.
    【详解】根据题意得,
    解①得,;
    解②得,;

    所以,的取值范围是,
    故答案为:
    【点拨】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键.
    17.
    【分析】根据等式的左边根号内整数部分为自然数加上,右边为,据此即可求解.
    【详解】解:∵第1个式子为:,
    第2个式子为:,
    第3个式子为:,
    ……
    ∴第个式子为:.
    故答案为:.
    【点拨】本题考查了二次根式的规律题,找到规律是解题的关键.
    18.
    【分析】先求出a、b、c的值,再代入所给的面积公式计算即可.
    【详解】解:∵,,
    ∴,,,


    故答案为:.
    【点拨】本题考查有理数的混合运算,二次根式的化简,根据比的性质,求出三角形各边长,再运用公式计算是解题的关键.
    19.
    【分析】根据算术平方根的性质和分式有意义的条件得出m的值,再计算出的四次方根.
    【详解】解:∵,,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,,
    ∴,
    ∴的四次方根为.
    【点拨】本题考查了算术平方根的非负性和分式有意义的条件,以及求n次方根,解题的关键是通过解出m求得n的值.
    20.(1);(2)
    【分析】(1)先分别计算绝对值,算术平方根,0次幂,和负整数次幂,然后再进行有理数加减即可;(2)先化简绝对值和二次根式,然后在合并同类二次根式即可.
    【详解】解:(1)原式=1-2+1+
    =;
    (2)原式=
    =
    【点拨】本题是对实数混合运算的考查,熟练掌握绝对值,算术平方根,0次幂,负整数次幂及二次根式的化简是解决本题的关键,难度不大,注意计算的准确性.
    21.(1)
    (2)
    (3)
    (4)
    【分析】(1)化简二次根式,绝对值的性质,非零数的零次幂是1,由此即可求解;
    (2)二次根式的乘法运算,约分即可求解;
    (3)化简二次根式,合并同类项即可求解;
    (4)根据积的乘方,平方差公式即可求解.
    【详解】(1)解:

    (2)解:

    (3)解:

    (4)解:

    【点拨】本题主要考查实数的混合运算,掌握绝对值的性质,二次根式的化简,非零数的零次幂,合并同类项等知识是解题的关键.
    22.b
    【分析】根据实数a、b在数轴上的位置可知,,进而得出,,,,再根据绝对值的定义进行化简即可.
    【详解】解:由实数a、b在数轴上的位置可知,,
    ∴,,,,


    【点拨】本题考查二次根式的性质与化简,数轴表示数,由实数a、b在数轴上的位置判断,,以及b的符号是正确解答的关键.
    23.(1),
    (2)±15
    【分析】(1)先仿照题意求出a的值,进而求出b的值;
    (2)根据(1)所求,代值求出,进而求出求平方根
    (1)
    解:由题意得:,
    解得,
    ∴,
    ∴;
    (2)
    解:∵,,
    ∴,
    ∵225的平方根为±15,
    ∴的平方根为±15.
    【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件,求一个数的平方根,正确根据二次根式有意义的条件求出a、b的值是解题的关键.
    24.(1);(2),.理由见解析.
    【分析】(1)根据阅读材料即可求解;
    (2)根据阅读材料两边同时平方即可求解.
    【详解】(1)

    (2),;
    ∵,∴,
    ∴,
    ∴,.
    【点拨】此题主要考查二次根式的性质,解题的关键是熟知二次根式的运算法则.
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