浙江省台州市山海协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

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1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. （ ）．
A. 15B. 30C. 45D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】由排列数公式，组合数公式及性质计算即可．
【详解】，
故选：C．
2. 若随机变量，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项分布的期望、方差计算可得答案.
【详解】因为，，
所以，解得.
故选：A.
3. 5个人分4张足球票（有位置区别），每人至多分1张，而且票必须分完，则不同分法的种数为（ ）
A 5B. 10C. 60D. 120
【答案】D
【解析】
【详解】结合题意可得不同的分法有种，最后计算排列数计算即可．
【分析】因为5个人分4张足球票（有位置区别），每人至多分1张，而且票必须分完，
所以只有一人没有分到票，其余4人分到1人1张票，
所以共有种不同的分法．
故选：D.
4. 已知函数，其导函数图象如图所示，则（ ）
A. 有2个极值点B. 在处取得极小值
C. 有极大值，没有极小值D. 在上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】通过导函数图象分析函数单调性即可得出结论.
【详解】由题意及图得，当时，；当时 ，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有一个极大值，没有极小值，故ABD错误，C正确，
故选：C.
5. 求形如的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，再解不等式，即可得答案；
【详解】由题意知：，
令，得， ，
∴原函数的单调增区间为，
故选：C.
【点睛】本题考查导数新定义题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意新定义的应用.
6. 在的展开式中，项的系数为（ ）
A. B. C. 30D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】根据多项式展开式确定含的项组成情况，再根据乘法计数原理与加法计数原理求结果.
【详解】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，
有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；
或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，
故项的系数为.
故选:B．
7. 设，随机变量的分布
则当在内增大时，（ ）
A. 增大，增大B. 增大，减小
C. 减小，增大D. 减小，减小
【答案】D
【解析】
【分析】求得之间的关系，再求出讨论其单调性即可判断.
【详解】因为分布列中概率之和为1，可得，
∴，∴当增大时，减小，
又由，
可知当在内增大时，减小.
故选：D.
8. 已知，则的大小关系是为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数值的特点，构造函数，利用函数的单调性，比较函数值的大小.
【详解】,
设，，得
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且
，所以，即，即，
故，
，，
设，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且
，所以，即，
则，即，
设，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且
，所以，即，
则，即，
综上可知，.
故选：A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）
9. 市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示：
按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 变量线性正相关
C. 相应于点的残差约为D. 当时，的估计值为14.4
【答案】AD
【解析】
【分析】对选项A由样本中心在回归方程上求参数；对选项B由相关系数的意义及回归方程的斜率符号判断；对选项C利用残差的定义求残差；对选项D将8代入回归方程求估计值.
【详解】由表格知：，
所以，可得，A正确；
由相关系数且回归方程斜率为负，
则变量线性负相关且相关性较强，B错误；
由，故残差为，C错误；
由，D正确；
故选：AD.
10. 某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的，各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据全概率公式判断A，根据条件概率公式求B，根据贝叶斯公式判断C，根据题意判断D.
【详解】A.由题意可知，
，故A正确；
B.，故B正确；
C.，故C错误；
D.由题意可知，，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 在上是增函数
B. 若函数有两个零点，，则
C. 若在定义域内存在单调递增区间，则实数
D. 若，且，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的即可判断；B选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，可判断结论；C选项中，问题等价于，在有解，利用一次函数二次函数的性质求解；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值判断结论.
【详解】对于A，当时，，令，则，，
由，当时，恒成立，在上单调递增；
又在上单调递增，根据复合函数单调性可知，在上是增函数，A正确；
对于B，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，则；
不妨设，则必有，
若，则，等价于，
又，则等价于；
令，则，，
由，，，即，
在上单调递增，，即，
所以，可知不成立，B错误；
对于 C，，函数定义域为，，
若在定义域内存在单调递增区间，则有解，
即，在有解，
时，结合一次函数和二次函数的性质可知，在一定有解；
时，有，解得，此时，对应的二次方程有两个不等的正根，符合题意，
所以在定义域内存在单调递增区间，实数，C正确；
对于D，由，且，
得，即，
由B选项知，在上单调递减，在上单调递增；
，则，所以，，则有，即，
可得；
令，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，且，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由正态分布的对称性得出概率.
【详解】.
故答案为：
13. 已知函数，则的值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】求导，令，解得.
【详解】，故，
即，
解得.
故答案为：
14. 如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的，，的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往地和地，小齐保持原地不动，则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为 __.
【答案】##0.2025
【解析】
【分析】利用组合计数问题求出小明和小华各自到达目的地的试验含有的基本事件种数，再求出小明、小华、小齐三人能相遇的事件含有的基本事件数即得解.
【详解】小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种，
因此小明和小华各自到达目的地的试验有个基本事件，
小明经过到达目的地的不同路径有，小华经过到达目的地的不同路径有，
因此小明、小华、小齐三人能相遇的事件有个基本事件，
所以小明、小华、小齐三人能相遇的概率为.
故答案为：
非选择题部分
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15. 一个口袋中有大小相同的5个白球和4个红球，每个球编有不同的号码.
（1）若一次取2个球，至少有一个红球的取法有多少种;
（2）若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法.
【答案】（1）26 （2）70
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到两种可能:“两个都是红球”或“一个白球一个红球”，结合组合数的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，得到两种可能:“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”， 结合组合数的计算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，若一次取2个球，至少有一个红球有两种可能：
“两个都是红球”或“一个白球一个红球”，故不同的取法有种.
【小问2详解】
解：若一次取3个球，取出颜色不全相同有两种可能：
“两个白球一个红球”或“一个白球两个红球”，
故不同的取法有种.
16. 已知的展开式
（1）求展开式中所有项的系数和;
（2）求展开式中二项式系数最大的项;
（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
【答案】（1）2187
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）赋值法求出系数和；
（2）二项式系数最大的项求解即可；
（3）先求出有理项的个数，再应用古典概型与插空法即可得解.
【小问1详解】
令可得展开式中所有项的系数和.
【小问2详解】
二项式系数最大的项为第4项或第5项
二项式系数最大的项为
【小问3详解】
展开式共有8项，
展开式的通项公式为
当为整数，即时为有理项，共4项，
由插空法得有理项不相邻的概率为.
17. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若有三个零点，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）依题意只需满足，解得即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，
且
令，解得或，则函数在上单调递增；
令，解得，则函数在上单调递减，
所以函数单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）知函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
则，，
且当时，，当时，，
要使得函数有三个零点，则需满足，
解得，
综上可得，实数的取值范围.
18. 某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位:人）:
（1）判断是否有的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”?
（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性观众的人数，求的分布列;
（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人.现从这人中，随机抽出2人，用随机变量表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数.若随机变量的数学期望不小于1，求的最大值.
参考公式:，其中.
参考数据:
【答案】（1）有 （2）答案见解析
（3）2
【解析】
【分析】（1）根据列联表，求出，再根据参考数据可判断；
（2）先求出随机抽取1人为男性的概率，由题意，由二项分布可得答案；
（3）Y的可能取值为0，1，2，求出概率，求出期望，建立不等式，可得答案.
【小问1详解】
，
所以有的把握认为“观影评价与性别有关”.
【小问2详解】
从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，
所以，
，
故的分布列为
【小问3详解】从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，则男性4人，女性6人.则的可能取值为0，1，2，
所以.
所以，即
即，解得，又，所以的最大值为2.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问的解决关键是，将问题转化为二项分布问题，即根据条件得出，从而得解.
19. 已知函数在处的切线和直线垂直.
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，，都有成立（其中为自然对数的底数），求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，得到，根据题意得到，即可求解；
（2）不妨设，根据题意转化为，设，转化为在单调递增，即在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，可得，可得
因为函数在处切线l和直线垂直，所以，
即，解得.
【小问2详解】
解：不妨设，则，
因为对任意的，，都有成立，
可得，即，
设，则，故在单调递增，
从而有，即在上恒成立，
设，则，
因为，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，故在上最小值，所以，
实数的取值范围是.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
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价格
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好评
差评
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女性
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