天津市第一中学2024届高三下学期数学第五次适应性试卷

这是一份天津市第一中学2024届高三下学期数学第五次适应性试卷，共23页。
A．{3}B．{0，2，3，4，5}
C．{﹣1，0，2，3，4，5}D．{2，3，4，5}
2．（5分）已知n为正整数，则“n2≥2n”是“n＝3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知a＝lg42，，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b
4．（5分）已知函数f（x）的部分图象如如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5分）已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，a1＝1，，n∈N*，则S9＝（ ）
A．511B．61C．41D．9
6．（5分）在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x（万元）和需求量y（t）之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为根据上述信息，如下判断正确的是（ ）
A．商品的价格和需求量存在正相关关系
B．y与x不具有线性相关关系
C．m＝6
D．价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t
7．（5分）已知AB，CD分别是圆台上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A﹣BCD的体积为（ ）
A．B．C．14D．18
8．（5分）已知双曲线的左右焦点记为F1，F2且|F1F2|＝4，直线l过F2且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得△PF1F2的内切圆半径恰为，则此双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+acsωx（x∈R，ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．若函数f（x）在区间（0，m]上至少有4个零点，则
D．f（x）在区间上单调递增
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10．（5分）已知i为虚数单位，化简的结果为 ．
11．（5分）在的展开式中，x3项的系数为 ．
12．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），经过抛物线上一点（1，2）的切线截圆C：（x﹣a）2+y2＝4（a＞0）的弦长为，则a的值为 ．
13．（5分）市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2：3：5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9，0.9，0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率 ；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为 ．
14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，，，若，，则＝ （用，表示）；若P是AC上一动点，过P分别作PF⊥AB交BC于F，PE⊥AB交AB于E，则的最小值是 ．
15．（5分）若方程x|x﹣a|+k＝0在区间[0，2]上有解，其中，则实数k的取值范围为 ．（结果用a表示）
三．解答题（本大题共5小题，共75分）
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2csA﹣3cs2A＝3．
（1）求csA的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，b＝3，c＝2，
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）求sin（2A﹣C）的值．
17．（15分）如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．
（1）求证：AB1⊥平面A1B1C1；
（2）求直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值；
（3）求点A到平面A1B1C1的距离．
18．（15分）已知椭圆左右焦点为F1，F2，A是上顶点，B是右顶点，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）当时，直线l与椭圆相切于第二象限的点D，与y轴正半轴相交于点M，直线AB与直线l相交于点H，H′为H在x轴上投影，若（S△DHB表示△DHB的面积，O为坐标原点），求直线l的方程．
19．（15分）已知数列{an}是等差数列，a2+a5＝16，a5﹣a3＝4，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2bn﹣2，
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若集合中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；
（3）设数列{cn}满足，{cn}的前n项和为Tn，证明：．
20．（16分）已知m＞0，函数f（x）＝emx﹣1﹣x，．
（1）若函数f（x）的最小值是0，求实数m的值；
（2）已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的纵截距为正数．
（ⅰ）证明：函数g（x）恰有两个零点；
（ⅱ）证明：g（x）＞．
2024年天津一中高考数学第五次适应性试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）
1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{﹣1，0，2，3}，则（∁UA）∪B＝（ ）
A．{3}B．{0，2，3，4，5}
C．{﹣1，0，2，3，4，5}D．{2，3，4，5}
【解答】解：U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，
则∁UA＝{3，4，5}，
（∁UA）∪B＝{﹣1，0，2，3，4，5}．
故选：C．
2．（5分）已知n为正整数，则“n2≥2n”是“n＝3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当n＝2时，满足n2≥2n，
故n2≥2n不一定能推出n＝3，充分性不成立，
当n＝3时，满足n2≥2n，必要性成立，
故“n2≥2n”是“n＝3”的必要不充分条件．
故选：B．
3．（5分）已知a＝lg42，，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b
【解答】解：a＝lg42＝，
，
c＝，
综上所述，c＞a＞b．
故选：D．
4．（5分）已知函数f（x）的部分图象如如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意，由f（x）的图象，其图象关于原点对称，在（0，+∞）与x轴有且只有1个交点，
用排除法分析选项：
对于B，f（x）＝，其定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，不符合题意；
对于C，f（x）＝，在区间（0，+∞）上，f（x）＜0，与x轴没有交点，不符合题意；
对于D，f（x）＝csx，当x＝kπ+（k∈Z）时，f（x）＝0，函数图象与x轴有无数个交点，不符合题意．
故选：A．
5．（5分）已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，a1＝1，，n∈N*，则S9＝（ ）
A．511B．61C．41D．9
【解答】解：因为各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，a1＝1，，n∈N*，
所以anan+1＝22n﹣1，
所以a2＝2，a3＝＝4，a4＝＝8，a5＝＝16，a6＝＝32，a7＝＝64，a8＝＝128，a9＝＝256，
则S9＝1+2+4+8+16+32+64+128+256＝＝29﹣1＝511．
故选：A．
6．（5分）在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x（万元）和需求量y（t）之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为根据上述信息，如下判断正确的是（ ）
A．商品的价格和需求量存在正相关关系
B．y与x不具有线性相关关系
C．m＝6
D．价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t
【解答】解：由图表可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A错误；
由经验回归方程为，可知y与x具有线性相关关系，故B错误；
，，
则，解得m＝﹣5，故C错误；
取x＝1.9，得y＝28.1﹣11.5×1.9＝6.25，故D正确．
故选：D．
7．（5分）已知AB，CD分别是圆台上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A﹣BCD的体积为（ ）
A．B．C．14D．18
【解答】解：如图，取CD的中点O，连接OA，OB，则OA⊥CD，OB⊥CD，
又AB⊥CD，所以CD⊥平面AOB，
所以，
因为圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，
如图EO＝1，AQ＝4，则AM＝3，AE＝5，
在直角三角形AME中，，
所以，
所以．
故选：B．
8．（5分）已知双曲线的左右焦点记为F1，F2且|F1F2|＝4，直线l过F2且与该双曲线的一条渐近线平行，记l与双曲线的交点为P，若所得△PF1F2的内切圆半径恰为，则此双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，直线l的方程为y＝（x﹣c），
联立，可得P（，﹣），
由双曲线的定义可得|PF1|＝（+）＝，
|PF2|＝（﹣）＝，
由等积法，可得×（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）＝••|F1F2|，
即有b（+2c）＝，
即为3b2＝c2+a2+2ac，即有3（c2﹣a2）＝c2+a2+2ac，即有c2﹣ac﹣2a2＝0，解得c＝2a，
由|F1F2|＝2c＝4，即c＝2，可得a＝1，b＝，
则双曲线的方程为x2﹣＝1．
故选：A．
9．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+acsωx（x∈R，ω＞0）的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．若函数f（x）在区间（0，m]上至少有4个零点，则
D．f（x）在区间上单调递增
【解答】解：f（x）＝sinωx+acsωx＝sin（ωx+φ），tanφ＝a，
因为函数的最大值为2，所以＝2，解得a＝±，
又因为f（0）＝acs0＝a＞0，
所以a＝，
所以f（x）＝2sin（ωx+），
A中，又因为f（）＝1＝2sin（ω+），所以sin（ω+）＝，
函数在x＝附近是单调递减，所以ω+＝，
解得ω＝2，所以aω＝2，所以A正确；
B中，设F（x）＝f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，
F（﹣x）＝2sin（﹣2x）＝﹣F（x），所以函数为奇函数，所以B正确；
C中，x∈（0，m），则2x+∈（，2m+），
要使函数f（x）在区间（0，m]上至少有4个零点，则2m+≥4π，
解得m≥，所以C正确；
D中，因为x∈（﹣，），所以2x+∈（﹣，），所以函数f（x）不单调，所以D不正确．
故选：D．
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
10．（5分）已知i为虚数单位，化简的结果为 ﹣i ．
【解答】解：．
故答案为：﹣i．
11．（5分）在的展开式中，x3项的系数为 15 ．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T＝，r＝0，1，…，6，
令6﹣，解得r＝2，
则x3的系数为．
故答案为：15．
12．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），经过抛物线上一点（1，2）的切线截圆C：（x﹣a）2+y2＝4（a＞0）的弦长为，则a的值为 1 ．
【解答】解：由抛物线过（1，2）可得p＝2，∴y2＝4x，
∴经过抛物线上一点（1，2）的切线方程为2y﹣4＝2（x﹣1），即x﹣y+1＝0，
∴圆心（a，0）到直线x﹣y+1＝0的距离为，
又圆的半径为2，弦长为2，∴弦心距d＝＝，
∴，解得a＝1或a＝﹣3（舍）．
故答案为：1．
13．（5分）市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2：3：5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9，0.9，0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率 0.85 ；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为 0.255 ．
【解答】解：由题意可知，此产品为正品的概率：0.2×0.9+0.3×0.9+0.5×0.8＝0.85，
在市场上随机购买两件产品，
则这两件产品中恰有一个是正品的概率为：．
故答案为：0.85；0.255．
14．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，，，若，，则＝ （用，表示）；若P是AC上一动点，过P分别作PF⊥AB交BC于F，PE⊥AB交AB于E，则的最小值是 ．
【解答】解：由题意有：，，
又MH＝2HB，则有，
化简得＝＝；
由题意，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，
则，
所以AB2+BC2＝AC2，故AB⊥BC，
因此四边形PEBF是矩形，则，
设D是AB的中点，
则•＝
＝＝|PD|2﹣|DB|2＝|PD|2﹣1，
当PD⊥AC时，PD最小，最小值为，
则，
即的最小值为．
15．（5分）若方程x|x﹣a|+k＝0在区间[0，2]上有解，其中，则实数k的取值范围为 ．（结果用a表示）
【解答】解：因为方程x|x﹣a|+k＝0，
即x|x﹣a|＝﹣k在区间[0，2]上有解，
设函数f（x）＝，
则函数f（x） 的图像与直线y＝﹣k在区间[0，2]上有交点．
因为，
所以，
所以函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
当2≤a＜4时，
在区间[0，2]上，，f（x）min＝f（0）＝0，
则0，解得；
当 时，
因为f（0）＝f（a）＝0，，f（2）＝4﹣2a．
令，解得，
，
所以，
则，
解得，
综上，实数k的取值范围为：．
故答案为：．
三．解答题（本大题共5小题，共75分）
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2csA﹣3cs2A＝3．
（1）求csA的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，b＝3，c＝2，
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）求sin（2A﹣C）的值．
【解答】解：（1）2csA﹣3cs2A＝3，可得2csA﹣3×（2cs2A﹣1）＝3，整理可得csA＝3cs2A，
解得csA＝0或；
（2）若△ABC为锐角三角形，可得csA＝，b＝3，c＝2，
（ⅰ）由余弦定理可得a＝＝＝3；
（ⅱ）因为sinA＝＝，
所以sin2A＝2sinAcsA＝，cs2A＝2cs2A﹣1＝﹣，
由正弦定理，可得＝，
所以sinC＝，可得csC＝＝，
所以sin（2A﹣C）＝sin2AcsC﹣cs2AsinC＝×﹣（﹣）×＝．
17．（15分）如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．
（1）求证：AB1⊥平面A1B1C1；
（2）求直线AC1与平面ABB1所成角的正弦值；
（3）求点A到平面A1B1C1的距离．
【解答】解：（1）证明：以AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，
∴，，，
∵，
则AB1⊥A1B1，AB1⊥A1C1，
又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1⊂平面A1B1C1，
∴AB1⊥平面A1B1C1；
（2）设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，
由（1）可知，，，
设平面ABB1的法向量为，
则，即，
令y＝1，则x＝，z＝0，∴，
则＝＝，
∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为；
（3）∵AB1⊥平面A1B1C1，∴平面A1B1C1的一个法向量为＝（1，，2），
∵＝（0，0，﹣4），
∴点A到平面A1B1C1的距离为：
d＝＝＝2．
18．（15分）已知椭圆左右焦点为F1，F2，A是上顶点，B是右顶点，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）当时，直线l与椭圆相切于第二象限的点D，与y轴正半轴相交于点M，直线AB与直线l相交于点H，H′为H在x轴上投影，若（S△DHB表示△DHB的面积，O为坐标原点），求直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意可知：F1（﹣c，0）F2（c，0），A（0，b），B（a，0），
则，整理得，
所以椭圆的离心率．
（2）由（1）可知：，则，
解得a＝3，，b＝2，可知椭圆方程为，直线，
设D（x0，y0） x0＜0，y0＞0，则，
对于直线，可知点D（x0，y0）在该直线上，
联立方程，解得，
可知直线与椭圆切于点D（x0，y0），
即直线l的方程为，
令x＝0，解得，即，
令y＝0，解得，即，
联立方程，解得，
即，，
可得，
且S△DHB＝S△BEH﹣S△BED＝＝，
由可得：，
整理得，则，
又因为，即，
整理得，且0＜y0＜2，
则，整理得，解得或y0＝0（舍去），
代入，解得或（舍去），
所以直线l的方程为，即x﹣2y+5＝0．
19．（15分）已知数列{an}是等差数列，a2+a5＝16，a5﹣a3＝4，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2bn﹣2，
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若集合中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；
（3）设数列{cn}满足，{cn}的前n项和为Tn，证明：．
【解答】解：（1）数列{an}是等差数列，设公差为d，由a2+a5＝16，a5﹣a3＝4，可得2a1+5d＝16，2d＝4，
解得a1＝3，d＝2，则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
由Sn＝2bn﹣2，可得b1＝S1＝2b1﹣2，解得b1＝2，
当n≥2时，由Sn＝2bn﹣2，可得Sn﹣1＝2bn﹣1﹣2，相减可得bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2bn﹣2﹣2bn﹣1+2，
化为bn＝2bn﹣1，可得数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列，可得bn＝2n；
（2）λbn＜a1+a2+...+an，即为λ•2n＜n（3+2n+1）＝n2+2n，即有λ＜，
设dn＝，dn+1﹣dn＝﹣＝，
当n＝1时，d1＜d2；当n≥2时，dn+1﹣dn＜0，即有d2＞d3＞d4＞d5＞...＞dn，
由d1＝，d2＝2，d3＝，d4＝，d5＝，…，
由集合中恰有四个元素，可得≤λ＜，
即实数λ的取值范围是[，）；
（3）证明：＝，
可得T2＝c1+c2＝4+4＝23，
T4＝c1+c2+c3+c4＝4+4+16+16＝23+25，
...，T2n＝23+25+...+22n+1＝＝（4n﹣1），
由＝＞，
可得++...+＞（++...+）＝•＝（1﹣）；
由＝≤，
可得++...+≤（++...+）＝•＝（1﹣）＜，
综上，可得．
20．（16分）已知m＞0，函数f（x）＝emx﹣1﹣x，．
（1）若函数f（x）的最小值是0，求实数m的值；
（2）已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的纵截距为正数．
（ⅰ）证明：函数g（x）恰有两个零点；
（ⅱ）证明：g（x）＞．
【解答】解：（1）因为f（x）＝emx﹣1﹣x，则f'（x）＝memx﹣1﹣1，且m＞0，
令f（x）＞0解得；令f'（x）＜0，解得
可知f（x）在内单调递减，在内单调递增，
则f（x）的最小值为，解得m＝1．
（2）由（1）可知：f（x）＝emx﹣1﹣x，f'（x）＝memx﹣1﹣1，
可得f（1）＝em﹣1﹣1，f'（1）＝mem﹣1﹣1，
即切点坐标为（1，em﹣1﹣1），斜率k＝mem﹣1﹣1，
则切线方程为y﹣（em﹣1﹣1）＝（mem﹣1﹣1）（x﹣1），令x＝0，可得y＝（1﹣m）em﹣1，
由题意可得：（1﹣m）em﹣1＞0且m＞0，解得0＜m＜1；
证明：（i）因为g（x）＝f（x）﹣+x＝emx﹣1﹣（0＜m＜1），
可知g（x）的定义域为（0，+∞），
，
设h（x）＝m2xemx﹣1﹣1（x＞0），
则h'（x）＝m2（mx+1）emx﹣1＞0在（0，+∞）内恒成立，
可知函数h（x）在（0，+∞）上递增，
由（1）可知：当m＝1时，f（x）＝ex﹣1﹣x≥0，
即ex﹣1≥x，当且仅当x＝1时，等号成立，
则h，
可得，
又因h（0）＝﹣1，由零点的存在性定理可得，
存在，使得h（x1）＝0，即，（*）
当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，即g（x）＜0，g（x）为减函数，
当x∈（x1，+∞）时，h'（x）＞0，即g（x）＞0，g（x）为增函数，
又因为0＜m＜1，，
设，则，
所以函数G（x）在（0，1）上递增，
所以G（x）＜G（1）＝0，即，
因为ex﹣1≥x（x＞0），所以x﹣1≥lnx，即，所以，
则，
所以且．
当0＜m＜1时，，
所以由φ（x）的单调性可知mx1＞1，且，
所以当x∈（1，x1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，
当x∈（x1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，
所以由零点的存在性定理可知，g（x）在区间上存在唯一的零点，
，
所以由零点的存在性定理可知，g（x）在区间上存在唯一的零点，
所以函数g（x）恰有两个零点，
（ii）因为，即2lnm+lnx1+mx1﹣1＝0，
则lnx1+1＝﹣2lnm﹣mx1+2，
所以，
有基本不等式可得g（x1）＝+﹣≥+﹣＝，
当且仅当＝x1，即x1＝时，取等号，
由，由 可得m＝1，这与0＜m＜1矛盾，所以，
所以，
要证，即证g（x1）＞，
设H（x）＝2lnx﹣x+（x＞0），
则，
所以函数H（x）在（0，+∞）上递减，
所以当0＜x＜1时，H（x）＞H（1）＝0，
因为0＜m＜1，所以0＜＜1，
所以，
，所以g（x）＞．价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
m
3
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
m
3